专题8.2 空间几何体的表面积和体积 知识填空与考点专练-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

**基本信息** 以知识填空构建概念体系，通过分层训练（典例-变式-巩固-培优）实现表面积与体积计算能力的递进培养，突出空间观念与运算能力的结合。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |知识梳理|7个知识模块+自检自纠|定义辨析+公式推导|从特殊几何体定义→表面积（展开图）→体积（高的定义）→球及内切外接结论，形成概念-性质-应用链条| |考点专练|5大考点（棱柱棱锥台/圆柱圆锥台表面积与体积、球体问题）|选择/填空/解答，基础计算到组合体综合|按几何体类型分考点，从单一几何体到组合体，从静态计算到动态切割（如截几何体），体现几何直观与逻辑推理|

专题8.1 空间几何体的表面积和体积 高中数学导学案 专题8.2 空间几何体的表面积和体积 一、知识填空 1.特殊的棱柱和棱锥 （1）侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱，底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱．反之，正棱柱的底面是正多边形，侧棱垂直于底面，侧面是矩形． （2）底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面正多边形的中心的棱锥叫做正棱锥． 特别地，各棱长均相等的正三棱锥叫做正四面体． 反过来，正棱锥的底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面正多边形的中心． 2.棱柱、棱锥、棱台的表面积 （1）正方体、长方体的表面积： 长、宽、高分别为的长方体的表面积： ； 棱长为的正方体的表面积： . （2）棱柱、棱锥、棱台的侧面展开图: 棱柱的侧面展开图为 ，一边为棱柱的侧棱，另一边等于棱柱的 . 如图: 棱锥的侧面展开图由若干个 拼成，如图 棱台的侧面展开图由若干个 拼成如图. （3）棱柱、棱锥、棱台的表面积: 棱柱的表面积：； 棱锥的表面积：； 棱台的表面积： 3.棱柱、棱锥、棱台的体积 （1）棱柱的体积 棱柱的高：柱体的 之间的距离，即从一底面上任意一点向另一底面作垂线，这点与垂足（垂线与底面的交点）之间的距离，即垂线段的长. 棱柱的体积：柱体的体积等于它的底面积和高的乘积，即 . （2）棱锥的体积 棱锥的高：锥体的 之间的距离，即从顶点向底面作垂线，顶点与垂足（垂线与底面的交点）之间的距离，即垂线段的长. 棱锥的体积：锥体的体积等于它的底面积和高的乘积的,即 . （3）棱台的体积 棱台的高：台体的 之间的距离，即从上底面上任意一点向下底面作垂线，此点与垂足（垂线与底面的交点）之间的距离，即垂线段的长 棱台的体积： (,分别为上下底面面积，为台体的高) 4.圆柱、圆锥、圆台的表面积 （1）圆柱的表面积 圆柱的侧面积： 圆柱的侧面展开图是一个 .圆柱的底面半径为,母线长为,那么这个矩形的一边长为圆柱的底面周长，另一边长为圆柱的 ，故圆柱的侧面积为. 圆柱的表面积： . （2）圆锥的表面积： 圆锥的侧面积： 圆锥的侧面展开图是一个 .圆锥的底面半径为,母线长为,那么这个扇形的弧长为圆锥的底面周长，半径为圆锥的 ，故圆锥的侧面积为 . 圆锥的表面积： （3）圆台的表面积： 圆台的侧面积：圆台的侧面展开图是一个 .圆台的上底面半径为,下底面半径为,母线长为,故圆台的侧面积为 圆台的表面积： 5.圆柱、圆锥、圆台的体积 （1）圆柱的体积： （2）圆锥的体积： （3）圆台的体积： 6.球的表面积和体积： （1）球的表面积： ；（2）球的体积: . 7.内切外接球的常用结论： （1）球与正方体的六个面都相切，称球为正方体的 ， 此时球的半径为 ，过在一个平面上的四个切点作截面如图（1）． （2）球与正方体的各条棱相切于各棱的中点，过球心作正方体的对角面有 ，如图（2）． （3）长方体的八个顶点都在球面上，称球为长方体的 ，根据球的定义可知，长方体的体对角线是球的直径，若长方体过同一顶点的三条棱长为，则球的半径为 ，如图（3）. （4）正方体棱长与外接球半径的关系为 ． （5）正四面体的棱长a与外接球半径R的关系为 ． 自检自纠：2.（1）， （2）平行四边形，底面周长，三角形，梯形 3. （1）两底面， （2）顶点到底面，（3）两底面， 4.（1）矩形，母线长，，（2）扇形，母线长， （3）扇环，， 5. （1）（2）（3） 5. （1）（2） 6. （1）（2） 7.（1）内切球， （2） （3）外接球，（4） （5） 二、考点专练 地 城 考点01 棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积 【经典例题】 1．如图，是正四棱锥，是正方体，其中，，则该几何体的表面积______ . 2．（多选）正三棱台的上、下底面边长分别是2和6，侧棱长是5，则下列说法正确的是（   ） A．该正三棱台的上底面积是 B．该正三棱台的侧面面积是 C．该正三棱台的表面积是 D．该正三棱台的高是 【变式训练】 1．已知一个正六棱柱底面边长为，高为，则这个正六棱柱的侧面积为__________. 2．已知正三棱柱中，，则该正三棱柱的表面积为（   ） A． B． C． D． 3．在长方体中，，，，则该长方体的表面积为（    ） A．204 B．200 C．196 D．192 4．若正三棱锥的所有棱长均为，则该三棱锥的表面积为（    ） A． B． C． D． 5．一个正四棱锥的高是2，底面边长也为2，则正四棱锥的侧面积是（    ） A． B． C． D． 6．已知正四面体的棱长都是2，则这个正四面体的表面积是（    ） A． B． C． D． 7．已知正四棱台的上、下底的边长分别是2、4，高为1，则该四棱台的表面积为________． 8．已知正四棱台的高为，则该棱台的侧面积为_________． 9．正六棱台的上、下底面边长分别是2 cm和6 cm，侧棱长是5 cm，则它的表面积为________ cm2. 10．在正方体中，棱长为2，则三棱锥的表面积为___________. 【巩固练习】 1．一个正四棱柱底面边长为2，高为1，则它的表面积是_____. 2．长方体的长宽高分别为1，2，3，则该长方体的表面积为（   ） A．6 B．11 C．18 D．22 3．已知正六棱柱的高为6，底面边长为4，则它的表面积为______. 4．若正三棱锥的所有棱长均为，则该三棱锥的表面积为（    ） A． B． C． D． 5．已知正四棱锥底面边长为6，侧棱长为5，则此棱锥的侧面积为（   ） A．12 B．15 C．48 D．60 6．四棱台的上、下底面均为正方形，它们的边长分别为1，2，侧棱长为，则该四棱台的高为______，侧面积为______． 7．在四面体中，，则该四面体的表面积为（   ） A． B． C． D． 8．已知三棱锥的三条侧棱长均为2，侧面有两个是等腰直角三角形，底面等腰三角形底边上的高为，求这个三棱锥的表面积. 【强化培优】 1．有一个正六棱柱的机械零件，底面边长为，高为，则这个正六棱柱的机械零件的表面积为 . 2．如图，某实心零部件的形状是正四棱台，已知，，棱台的高为，现需要对该零部件的表面进行防腐处理，若每平方厘米的防腐处理费用为0.5元，则该零部件的防腐处理费用是（    ）   A．160元 B．128元 C．97.5元 D．86.875元 3．现有一块棱长为4的正四面体实心木料，用平行于该木料底面的一个平面将木料截成两部分，若这两部分的表面积相等，则该平面在木料上的截面面积为（    ） A． B． C． D． 地 城 考点02 棱柱、棱锥、棱台的体积 【经典例题】 1．已知一个直三棱柱的底面是直角三角形，两直角边分别为和，斜边为，棱柱的高为，若该棱柱的表面积和体积满足关系，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．如图，将一个长方体沿相邻三个面的对角线截出一个棱锥，则余下部分的体积与所截出棱锥的体积的比值是（   ） A．3 B．5 C．6 D．8 3．《九章算术》中将正四棱台体（棱台的上、下底面均为正方形）称为方亭.如图，现有一方亭，其上、下底面的周长分别为4，8，方亭的高为3，则方亭的体积为（    ） A．10 B．9 C．8 D．7 4．如图，某几何体可看成是个几何体的组合体，上面的几何体I是直棱柱，中间的几何体Ⅱ是棱台，下面的几何体Ⅲ也是棱台，几何体Ⅲ的下底面与几何体I的底面是全等的六边形，几何体III的上底面面积是下底面面积的倍，若几何体I、II、III的高之比分别为，则几何体I、II、III的体积之比为 （    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．正三棱柱底面边长为2，高为1，则其体积为________. 2．若一个正三棱锥的高是，底面边长是3，则该正三棱锥的体积为_______． 3．若正四棱台的上底面边长为4，下底面边长为6，高为2，则其体积为__________． 4．正三棱柱的侧面积为，体积为，则此棱柱的高为__________，底面边长为_________． 5．空间中有一正方体， 将点依次连接， 得到体积为 的三棱锥 ，则正方体的体积为（   ） A． B．24 C． D． 6．如图，在三棱柱中，，分别是和的中点，记和的体积分别为，，则（    ） A． B． C． D． 7．如图，在三棱锥中，分别为的中点，记三棱锥的体积为，三棱锥的体积为，则______． 【巩固练习】 1．已知底面边长为，侧棱长为的正三棱柱的体积为（    ） A． B． C． D． 2．已知正四棱锥的底面边长为，侧棱长为5，则它的体积为（   ） A．18 B．21 C．24 D．27 3．若一个三棱台的上、下底面面积分别为4，9，高为6，则该棱台的体积为__________. 4．正四棱台的上、下底面的边长分别是2cm和3cm，高是cm，则它的体积是__________． 5．已知正四棱台的体积为其上下底面的边长分别为1和2，则这个正四棱台的高为（    ） A． B． C． D． 6．在棱长为2的正方体中，三棱锥的体积是（   ） A．8 B．4 C． D． 7．已知正三棱柱的棱长均为为的中点，则四面体的体积为（    ） A． B． C． D． 8．在正四棱柱中，，且四棱锥的体积为6，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 9．正方体中，过顶点，，作截面，截下一个三棱锥，则截下的三棱锥的体积与剩下的几何体体积的比为（    ） A．1:5 B．1:6 C．5:6 D．1:4 10．如图所示，在正方体中，则四棱锥的体积与正方体体积的比为__________. 【强化培优】 1．如图所示，长方体中， 若，M，N分别为棱的中点，用平面把这个长方体分成两部分，则左侧几何体的体积为（    ） A． B． C． D． 2．正六棱柱的底面边长为6，高为4.若挖去一个以正六棱柱上底面的中心为顶点，正六棱柱下底面为底面的正六棱锥，则剩余部分几何体的体积为（    ） A． B． C． D． 3．已知一个长方体的铜块长､宽､高分别是，将它熔化后铸成一个正方体形的铜块（不计损耗），则铸成后的铜块的棱长（    ） A．小于4 B．等于4 C．大于4 D．无法判断 4．一个封闭的正三棱柱容器，内装水若干，水面高度为3（如图（1），底面处于水平状态）.将容器放倒（如图（2），一个侧面处于水平状态），若此时水面与各棱的交点分别为所在棱的中点，则该正三棱柱容器的高为____________. 【经典例题】地 城 考点03 圆柱、圆锥、圆台的侧面积和表面积 1．圆锥的底面直径和高均是，从圆锥的底面挖去一个圆柱，该圆柱的上底面为过中点作的平行于底面的截面，剩下几何体的表面积是（    ） A． B． C． D． 2．打羽毛球是一项全民喜爱的体育活动，标准的羽毛球由16根羽毛固定在球托上，测得每根羽毛在球托之外的长为7cm，球托之外由羽毛围成的部分可看成一个圆台的侧面，测得顶端所围成的直径是6.8cm，底部所围成圆的直径是2.8cm，据此可估算得球托之外羽毛所在的曲面的面积大约为（    ） A．105.5cm2 B．111cm2 C．92.8cm2 D．100.8cm2 【变式训练】 1．一个圆柱的底面半径为1，母线长为2，则该圆柱的侧面积是________． 2．若圆锥的高为，底面半径为，则这个圆锥的侧面积为（ ） A． B． C． D． 3．已知一个圆锥的母线长为6，侧面积 则此底面半径为___________. 4．一圆台的上下底面的半径分别为1和2，高为，则其侧面积为（   ） A． B． C． D． 5．已知圆台的上底面半径为，母线长为，表面积为，则该圆台的高为（    ） A． B． C． D． 6．已知圆锥的底面半径为3，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则圆锥表面积为（    ） A． B． C． D． 7.（多选）一个圆柱和一个圆锥的轴截面分别是边长为的正方形和正三角形，则它们的表面积可能为（    ） A． B． C． D． 8．已知圆锥，的底面半径之比为2，母线长之比为，则圆锥，的侧面积之比为（   ） A． B． C． D．3 9．如图，梯形中，，现将该梯形沿旋转一周，则旋转形成的几何体的表面积为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习】 1．某圆锥的母线长为5cm，底面半径长为3cm，则该圆锥的表面积为______ 2．已知圆台的上、下底面半径分别为1和2，高为，则该圆台的侧面积为（ ） A． B． C． D． 3．已知一个圆台的轴截面为梯形，若，则该圆台的侧面积为______． 4．已知圆台的上、下底面的半径分别为1，2，高为，则该圆台的表面积为______． 5．圆台的上底面圆的半径为1，下底面圆的半径为2，高为，则圆台的表面积为______. 6．已知一个圆锥与一个圆柱的底面半径均为3，高均为4，则圆锥的表面积与圆柱的表面积的比值是（    ） A． B． C． D． 7．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为，圆台的侧面积为，则圆台较小底面的半径为（ ） A．4 B．5 C．6 D．7 8．如图，和分别为圆台上下底面中心，且，在轴截面中，为正三角形.若，则圆台的表面积为（ ） A． B． C． D． 9．已知直角梯形，，，，，绕直角边旋转一周，则所得几何体的侧面积为___________． 10．如图所示是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若扇形的两个圆弧所在圆的半径分别是1和3，且，则该圆台的表面积为（    ） A． B． C． D． 11．已知某圆锥的底面和某圆台的下底面相同，它们的高均为2，且圆台的上、下底面圆的半径之比是1︰2，圆锥的侧面积是，则该圆台的侧面积是（   ） A． B． C． D． 【强化培优】 1．某科技馆“人造太阳”模型外观为圆台形，上底面半径为，下底面半径为，圆台母线长为，模型外侧面需要喷漆，则喷漆面积为（   ） A． B． C． D． 2．陀螺也叫作“冰尜（gá）”或“打老牛”．现有一圆锥形陀螺（如图所示），其底面半径为4，将其放倒在一平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点滚动，当圆锥在平面内转回到原位置时，圆锥本身恰好滚动了4周，则该圆锥的侧面积为（     ）   A． B． C． D． 3．福善牛皮鼓是四川省自贡市富顺县福善镇的传统手工技艺，属于自贡市级非物质文化遗产传统技艺类项目，该技艺以本地水牛前肋皮为原料，完整保留选材、撑皮、晒皮、下料、削皮、浸泡、鼓皮定型、箍桶、上索、上楔等十道核心工序，成品具有音质纯正、粗犷深沉的声学特质．如图所示的牛皮鼓的鼓面直径为20cm，其表面积为，用平行于鼓面的平面截牛皮鼓，所得截面圆的最大直径为30cm．若将该牛皮鼓看成由两个相同的圆台拼接而成，忽略鼓面与鼓身的厚度，则该牛皮鼓的高度为（   ） A．36cm B．32cm C．24cm D．20cm 4．已知一个矩形的周长为，矩形绕它的一条边旋转形成一个圆柱.当矩形的边长为______cm时，旋转形成的圆柱的侧面积最大，最大侧面积为______ 5．已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，圆柱的下底面在圆锥的底面上，上底面圆的圆周在圆锥的侧面上，则圆柱的侧面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【经典例题】地 城 考点04 圆柱、圆锥、圆台的体积 1．（多选）如图，该几何体由高均为1的圆锥与圆柱组成，圆锥的底面与圆柱的上底面重合，若该几何体底面半径为1，则（    ） A．圆锥的母线长为 B．圆锥与圆柱的体积比为1：3 C．该几何体的表面积为 D．圆锥侧面展开图的圆心角为 2．（多选）如图，为四边形的斜二测直观图，其中.将四边形以为旋转轴，旋转一周得到几何体.则下列说法正确的有（    ） A． B．几何体是圆台 C．几何体的体积为 D．几何体的侧面积为 3．（多选）如图所示的圆台，圆台的高为，上底面圆的半径为1，下底面圆的半径为2，则下列说法正确的是（   ） A．该圆台轴截面面积为 B．该圆台的表面积为 C．该圆台的体积为 D．一只蚂蚁从点出发，沿着圆台表面爬行，最终到达的中点处，则爬行的最短路程为5 【变式训练】 1．已知圆柱的侧面积为，底面半径为1，则圆柱的体积为_____ 2．已知底面半径为1的圆柱的体积为，则该圆柱的侧面积为（   ） A． B． C． D． 3．已知圆锥的底面半径为1，母线与底面所成的角为，其侧面积和体积分别为，，则（   ） A． B． C． D． 4．若圆锥的侧面展开图为一个半径为2的半圆，则圆锥的体积是____________． 5．已知一圆台的上底面半径为1，高为，体积为，则该圆台的侧面积为（   ） A． B． C． D． 6．已知圆台的上、下底面半径分别为2和4，且母线与下底面所成的角的正切值为2，则该圆台的表面积为________，体积为________. 7．（多选）已知某圆锥的侧面展开图是面积为 的半圆，则下列说法正确的是（   ） A．该圆锥的母线长是 B．该圆锥的高是 C．该圆锥的表面积是 D．该圆锥的体积是 8．已知圆柱和圆锥的底面半径相等，高均为3，侧面积之比为2:3，则圆锥的体积为（   ） A． B． C． D． 9．已知一个圆锥和圆柱的底面半径和侧面积分别相等，且圆锥的轴截面是等边三角形，则这个圆锥和圆柱的体积之比为（    ） A． B． C． D． 10．如图是一个在圆柱顶部挖去一个与该圆柱同底面的圆锥的几何模型，已知圆柱的底面半径为3，圆锥的高为4，若该几何模型的体积为60π，则其表面积为（    ） A．48π B．60π C．72π D．144π 【巩固练习】 1．已知圆锥的底面周长为，侧面积为，则该圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 2．已知圆台的上、下底面的面积分别为、，侧面积是，则这个圆台的体积是_____. 3．若圆台的上下底面半径分别为1和4，侧面积为，则圆台的体积为________. 4．若圆台的上下底面半径分别为1和4，体积为，则侧面积为_____ 5．以边长为2的正方形的一边所在的直线为旋转轴，其余三边旋转一周得到一个圆柱，则该圆柱的体积是_______；表面积是_______. 6．（多选）圆台的上、下底面半径分别为1和2，它的侧面展开所得的扇环所对的圆心角为180°，则圆台的（   ） A．母线长为4 B．表面积为11 C．高为 D．体积为 7．一个圆锥的侧面展开图是面积为的半圆面，则该圆锥的体积为_________. 8．已知圆柱和圆锥的高相等，侧面积相等，且它们的底面半径均为，则圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 9．一个圆锥被平行于底面的平面所截，上下两个几何体的侧面积之比为，则上下两个几何体的体积之比为（    ） A． B． C． D． 10．一圆台的上、下底面半径分别是10cm和20cm，它的侧面展开图扇环的圆心角为180°，下列说法不正确的是（    ） A．圆台的母线长是20cm B．圆台的高是cm C．圆台的表面积是 D．圆台的体积是 【强化培优】 1．（多选）如图，圆锥的底面半径为4，高为，过靠近的四等分点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，则下列说法正确的是（    ）   A．挖去圆柱的体积为 B．圆锥的侧面积为 C．剩下几何体的表面积为 D．圆锥母线与底面所成的角的余弦值为 2．已知圆柱形水杯的底面半径为3cm，侧面积为，则水杯的容积约为__________ml．（精确到1ml，水杯壁厚度忽略不计） 3．一个有盖的圆台形水桶的上、下底面的半径分别为，，体积为，则其表面积为（    ） A． B． C． D． 地 城 考点05 球体及其内切外接问题 【经典例题】 1．若圆柱、圆锥的底面直径和高都等于球的半径，则圆柱、圆锥、球的体积的比为（    ） A． B． C． D． 2．在四面体中，，，两两垂直，且，若均在球的球面上，则的表面积为（   ） A．50 B．100 C．150 D．200 3．在高为的正四棱台中，，，则此四棱台的外接球的表面积为______. 4．若正方体内部有两个球，其中球与正方体的三个面相切，球与正方体的六个面均相切，球与球也相切，设球、球的表面积分别为，则___________． 【变式训练】 1．直径为6的球的表面积与体积（    ） A．36，36 B．144，36 C．36，144 D．144，144 2．已知半径为的球的体积与表面积相等，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．已知圆柱的底面直径和高都等于球的半径，则圆柱与球的体积之比为（   ） A． B． C． D． 4．已知球的半径为R，圆锥的底面半径也为R，母线长为2R，则球与圆锥的体积之比为（   ） A． B． C． D． 5．棱长为1的正方体的外接球半径为（     ） A． B． C． D．1 6．已知三棱锥的所有棱长都是，则该三棱锥的外接球的表面积为（　　） A． B． C． D． 7．已知正四棱柱，，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为_______. 8．已知正方体内切球半径为1，则该正方体外接球的表面积为_________． 9．已知高为4的正四棱锥的所有顶点都在球的表面上，若球被平面所截得的截面面积为，则四棱锥的体积为（    ） A． B． C． D． 10．已知圆锥的轴截面是面积为的正三角形，则该圆锥的外接球的体积为（   ） A． B． C． D． 【巩固练习】 1．某种手持弹力球的半径是，则这种手持弹力球的体积为__________． 2．体积为的球的表面积为（   ） A． B． C． D． 3．已知一个圆柱的底面半径为3，高为8，则该圆柱的外接球的表面积等于________. 4．在长方体中，已知，则长方体外接球的体积为（   ） A． B． C． D． 5．棱长为2的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的体积为（    ） A． B． C． D． 6．已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若球的体积为，则正方体的棱长为（   ） A． B． C． D．1 7．高和底面圆直径均为2的圆锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 8．已知圆柱的两个底面的圆周在同一个球的球面上，圆柱的高和底面直径均为，则这个球的体积为_____. 9．在三棱锥中，，，，，若，，，都在球的球面上，则球的表面积为_______． 10．（多选）已知圆锥的底面半径为1，其侧面展开图是一个半圆，则下列结论正确的是（   ） A．圆锥的侧面积为 B．圆锥的体积为 C．圆锥的外接球的表面积为 D．圆锥的内切球的体积为 【强化培优】 1．已知三棱锥的顶点均在球的球面上，且球心在棱上，若球的表面积为，则三棱锥的体积最大值为（   ） A． B．2 C． D． 2．表面积为的圆柱内放入一个球，则该球体的体积最大值为（    ） A． B． C． D． 3．半径为定值的球中有一内接圆柱.当圆柱的侧面积最大时，圆柱的高和球的半径之比为（    ） A． B． C． D． 4．已知正四棱台的上､下底面积分别为3，12，当正四棱台的外接球的体积最小时，该四棱台的侧面积为（    ） A． B． C．18 D． 5．“阿基米德多面体”也称半正多面体，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，它体现了数学的对称美.如图是以一正方体的各条棱的中点为顶点的多面体，这是一个有八个面为正三角形，六个面为正方形的“阿基米德多面体”，若该多面体的棱长为1，则该多面体外接球的体积为_______. 试卷第1页，共3页 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $专题8.2 空间几何体的表面积和体积 高中数学导学案 专题8.2 空间几何体的表面积和体积 一、知识填空 1.特殊的棱柱和棱锥 （1）侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱，底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱．反之，正棱柱的底面是正多边形，侧棱垂直于底面，侧面是矩形． （2）底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面正多边形的中心的棱锥叫做正棱锥． 特别地，各棱长均相等的正三棱锥叫做正四面体． 反过来，正棱锥的底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面正多边形的中心． 2.棱柱、棱锥、棱台的表面积 （1）正方体、长方体的表面积： 长、宽、高分别为的长方体的表面积： ； 棱长为的正方体的表面积： . （2）棱柱、棱锥、棱台的侧面展开图: 棱柱的侧面展开图为 ，一边为棱柱的侧棱，另一边等于棱柱的 . 如图: 棱锥的侧面展开图由若干个 拼成，如图 棱台的侧面展开图由若干个 拼成如图. （3）棱柱、棱锥、棱台的表面积: 棱柱的表面积：； 棱锥的表面积：； 棱台的表面积： 3.棱柱、棱锥、棱台的体积 （1）棱柱的体积 棱柱的高：柱体的 之间的距离，即从一底面上任意一点向另一底面作垂线，这点与垂足（垂线与底面的交点）之间的距离，即垂线段的长. 棱柱的体积：柱体的体积等于它的底面积和高的乘积，即 . （2）棱锥的体积 棱锥的高：锥体的 之间的距离，即从顶点向底面作垂线，顶点与垂足（垂线与底面的交点）之间的距离，即垂线段的长. 棱锥的体积：锥体的体积等于它的底面积和高的乘积的,即 . （3）棱台的体积 棱台的高：台体的 之间的距离，即从上底面上任意一点向下底面作垂线，此点与垂足（垂线与底面的交点）之间的距离，即垂线段的长 棱台的体积： (,分别为上下底面面积，为台体的高) 4.圆柱、圆锥、圆台的表面积 （1）圆柱的表面积 圆柱的侧面积： 圆柱的侧面展开图是一个 .圆柱的底面半径为,母线长为,那么这个矩形的一边长为圆柱的底面周长，另一边长为圆柱的 ，故圆柱的侧面积为. 圆柱的表面积： . （2）圆锥的表面积： 圆锥的侧面积： 圆锥的侧面展开图是一个 .圆锥的底面半径为,母线长为,那么这个扇形的弧长为圆锥的底面周长，半径为圆锥的 ，故圆锥的侧面积为 . 圆锥的表面积： （3）圆台的表面积： 圆台的侧面积：圆台的侧面展开图是一个 .圆台的上底面半径为,下底面半径为,母线长为,故圆台的侧面积为 圆台的表面积： 5.圆柱、圆锥、圆台的体积 （1）圆柱的体积： （2）圆锥的体积： （3）圆台的体积： 6.球的表面积和体积： （1）球的表面积： ；（2）球的体积: . 7.内切外接球的常用结论： （1）球与正方体的六个面都相切，称球为正方体的 ， 此时球的半径为 ，过在一个平面上的四个切点作截面如图（1）． （2）球与正方体的各条棱相切于各棱的中点，过球心作正方体的对角面有 ，如图（2）． （3）长方体的八个顶点都在球面上，称球为长方体的 ，根据球的定义可知，长方体的体对角线是球的直径，若长方体过同一顶点的三条棱长为，则球的半径为 ，如图（3）. （4）正方体棱长与外接球半径的关系为 ． （5）正四面体的棱长a与外接球半径R的关系为 ． 自检自纠：2.（1）， （2）平行四边形，底面周长，三角形，梯形 3. （1）两底面， （2）顶点到底面，（3）两底面， 4.（1）矩形，母线长，，（2）扇形，母线长， （3）扇环，， 5. （1）（2）（3） 5. （1）（2） 6. （1）（2） 7.（1）内切球， （2） （3）外接球，（4） （5） 二、考点专练 地 城 考点01 棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积 【经典例题】 1．如图，是正四棱锥，是正方体，其中，，则该几何体的表面积______. 【答案】/ 【来源】江西省南昌市第二中学2024-2025学年高二上学期月考（一）数学试卷 【详解】题意得正四棱锥的斜高，故几何体表面积为. 故答案为：. 2．（多选）正三棱台的上、下底面边长分别是2和6，侧棱长是5，则下列说法正确的是（   ） A．该正三棱台的上底面积是 B．该正三棱台的侧面面积是 C．该正三棱台的表面积是 D．该正三棱台的高是 【答案】AC 【来源】黑龙江省哈尔滨市第三十二中学校2024-2025学年高一下学期7月期末考试数学试题 【详解】对于选项A：因为正三棱台的上底面为正三角形，其边长为2，所以上底面面积为，所以A正确；对于选项B：正三棱台的侧面为等腰梯形，所以侧面积为： ，所以B错误；对于选项C：该正三棱台的下底面面积为.所以该三四棱台的表面积为，所以C正确； 对于选项D：设为正三棱台的高，根据勾股定理可得， 解得，所以D错误.故选：AC. 【变式训练】 1．已知一个正六棱柱底面边长为，高为，则这个正六棱柱的侧面积为__________. 【答案】36 【来源】上海市长征中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷 【详解】由正棱柱的侧面积公式可得，故答案为：36 2．已知正三棱柱中，，则该正三棱柱的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】北京市大兴区第一中学2025-2026学年第二学期期中练习高一数学 【详解】已知正三棱柱中，，正三棱柱底面是边长为2的正三角形，高为2， 正三棱柱的底面面积，侧面，正三棱柱的表面积为：． 3．在长方体中，，，，则该长方体的表面积为（    ） A．204 B．200 C．196 D．192 【答案】D 【来源】安徽省亳州市涡阳县蔚华中学2023-2024学年高一下学期第二次月考数学试题 【详解】如图，在长方体中，连接，，因为，，， 所以，所以，所以该长方体的表面积.故选：D. 4．若正三棱锥的所有棱长均为，则该三棱锥的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】福建华安县第一中学2025-2026学年下学期期中考试高一数学试卷 【详解】因为正三棱锥的所有棱长均为，所以每个面均为等边三角形，其面积为， 所以三棱锥的表面积为. 5．一个正四棱锥的高是2，底面边长也为2，则正四棱锥的侧面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】北京市第四中学2025-2026学年高二上学期开学测试数学试题 【详解】由正四棱锥顶点在底面的投影是底面正方形的中心，所以根据题意，可知，在直角三角形中，有，所以三角形的面积为，即正四棱锥的侧面积是，故选：C. 6．已知正四面体的棱长都是2，则这个正四面体的表面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】天津市第三中学2025-2026学年高一年级下学期期中质量检测数学试题 【详解】. 7．已知正四棱台的上、下底的边长分别是2、4，高为1，则该四棱台的表面积为________． 【答案】 【来源】陕西西安市华山中学2025-2026学年度高一下学期期中质量检测数学试题 【详解】因为正四棱台的侧面是等腰梯形，又正四棱台的上、下底面的边长分别是2、4，高为1，所以侧面梯形的斜高为，则四个梯形的面积为，上下底的底面面积分别为，，所以该四棱台的表面积为． 8．已知正四棱台的高为，则该棱台的侧面积为_________． 【答案】80 【来源】海南省海南中学、海口一中文昌中学、嘉积中学2026届高三下学期联考数学试题 【详解】正四棱台中，连接，则平面平面，过作，垂足为，则平面，由，得，在中，，，所以，过点作，垂足为，则，得，所以该正四棱台的侧面积为. 9．正六棱台的上、下底面边长分别是2 cm和6 cm，侧棱长是5 cm，则它的表面积为________ cm2. 【答案】 【详解】如图在正六棱台中，由题意，所以侧面的等腰梯形的高即正六棱台斜高，且为，所以梯形的面积为，故正六棱台的侧面积为；由图可知，该正六棱台的上底面为正六边形，即为6个边长为2的等边三角形组成，所以该正六棱台的上底面积为，同理下底面积为 ，所以该正六棱台的表面积是．故答案为： 10．在正方体中，棱长为2，则三棱锥的表面积为___________ 【答案】 【来源】上海市上海师范大学附属外国语中学2025-2026学年高二上学期10月月考数学试题 【详解】正方体的棱长为2，所以，三棱锥是棱长为的正四面体，，所以三棱锥表面积为，故答案为：. 【巩固练习】 1．一个正四棱柱底面边长为2，高为1，则它的表面积是_____. 【答案】16 【来源】上海市浦东新区2025-2026学年高二上学期11月阶段练习数学试题 【详解】因为一个正四棱柱底面边长为2，高为1，则它的表面积是.故答案为：16 2．长方体的长宽高分别为1，2，3，则该长方体的表面积为（   ） A．6 B．11 C．18 D．22 【答案】D 【来源】河北唐山市滦南县2025-2026学年高一第二学期期中质量检测数学试卷 【详解】由题设长方体的表面积为. 3．已知正六棱柱的高为6，底面边长为4，则它的表面积为______. 【答案】 【来源】天津市第五十四中学2024-2025学年高一下学期6月月考数学试题 【详解】依题意，该正六棱柱的两底面面积和为，侧面积为， 所以该正六棱柱的表面积为.故答案为： 4．若正三棱锥的所有棱长均为，则该三棱锥的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】福建华安县第一中学2025-2026学年下学期期中考试高一数学试卷 【详解】因为正三棱锥的所有棱长均为，所以每个面均为等边三角形，其面积为， 所以三棱锥的表面积为. 5．已知正四棱锥底面边长为6，侧棱长为5，则此棱锥的侧面积为（   ） A．12 B．15 C．48 D．60 【答案】C 【来源】湖南衡阳市衡阳县第三中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试卷 【详解】正四棱锥的侧面为4个全等的等腰三角形，等腰三角形的腰长为侧棱长5，底边长为底面边长6。 设斜高，斜高、侧棱长、底面边长的一半构成直角三角形，由勾股定理得：，单个侧面的面积为，则正四棱锥的侧面积. 6．四棱台的上、下底面均为正方形，它们的边长分别为1，2，侧棱长为，则该四棱台的高为______，侧面积为______． 【答案】 【详解】设四棱台的上、下底面中心分别为，连接，，，则四边形为直角梯形，为四棱台的高．，，，，又，． 在侧面中，，，，∴斜高为，． 7．在四面体中，，则该四面体的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】山西临汾第一中学校、忻州市第一中学校2025-2026学年高一下学期5月月考数学试题 【详解】记，，，的面积分别为， 则，，， 而由余弦定理得，故，而显然，由勾股定理得，于是， 由得，故，故四面体的表面积． 8．已知三棱锥的三条侧棱长均为2，侧面有两个是等腰直角三角形，底面等腰三角形底边上的高为，求这个三棱锥的表面积. 【答案】 【详解】结合题目边长关系，三棱锥如图所示，， 由题意是等腰直角三角形，则，， 则表面积为. 【强化培优】 1．有一个正六棱柱的机械零件，底面边长为，高为，则这个正六棱柱的机械零件的表面积为 . 【答案】/ 【详解】. 故答案为： 2．如图，某实心零部件的形状是正四棱台，已知，，棱台的高为，现需要对该零部件的表面进行防腐处理，若每平方厘米的防腐处理费用为0.5元，则该零部件的防腐处理费用是（    ）    A．160元 B．128元 C．97.5元 D．86.875元 【答案】B 【来源】云南省昆明市云南师范大学附属中学2024-2025学年高二下学期教学质量监测（八）（6月月考）数学试卷 【详解】由题意，分别取上下底面的中心为，分别取的中点为，连接，如下图：  则，，，易知，根据题意可得正四棱台的斜高为，所以正四棱台的表面积为，所以该零部件的防腐处理费用是元.故选：B. 3．现有一块棱长为4的正四面体实心木料，用平行于该木料底面的一个平面将木料截成两部分，若这两部分的表面积相等，则该平面在木料上的截面面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】广西壮族自治区柳州市上进联考2024-2025学年高一下学期6月期末联合考试数学试题 【详解】如图正四面体，，，令，截面，由，得，即，则，，四面体为正四面体，四面体的表面积为：， 梯形的面积为，则三棱台的表面积为：，由，得，解得， 所以截面.故选：D 地 城 考点02 棱柱、棱锥、棱台的体积 【经典例题】 1．已知一个直三棱柱的底面是直角三角形，两直角边分别为和，斜边为，棱柱的高为，若该棱柱的表面积和体积满足关系，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意知：棱柱的体积，表面积， ，，解得.故答案为：C. 2．如图，将一个长方体沿相邻三个面的对角线截出一个棱锥，则余下部分的体积与所截出棱锥的体积的比值是（   ） A．3 B．5 C．6 D．8 【答案】B 【详解】设长方体的长、宽、高分别为，易知长方体的体积为. 不妨令.由长方体，易知两两垂直， 所以，于是. 故剩下几何体的体积，因此， .故选：B. 3．《九章算术》中将正四棱台体（棱台的上、下底面均为正方形）称为方亭.如图，现有一方亭，其上、下底面的周长分别为4，8，方亭的高为3，则方亭的体积为（    ） A．10 B．9 C．8 D．7 【答案】D 【详解】上底面周长为，边长为，面积为.下底面周长为，边长为，面积为.所以方亭的体积为. 4．如图，某几何体可看成是个几何体的组合体，上面的几何体I是直棱柱，中间的几何体Ⅱ是棱台，下面的几何体Ⅲ也是棱台，几何体Ⅲ的下底面与几何体I的底面是全等的六边形，几何体III的上底面面积是下底面面积的倍，若几何体I、II、III的高之比分别为，则几何体I、II、III的体积之比为 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设直棱柱I的底面积为，高为，则棱台II的上底面面积为，下底面面积为，高为， 棱台III的上底面面积为，下底面面积为，高为，设几何体I、II、III的体积分别为、、， 则，，，因此，.故选：C. 【变式训练】 1．正三棱柱底面边长为2，高为1，则其体积为________. 【答案】 【详解】该正三棱柱底面积，又高为1，故其体积. 2．若一个正三棱锥的高是，底面边长是3，则该正三棱锥的体积为_______． 【答案】 【详解】因为底面边长是3，底面为正三角形，故底面面积为：； 则该正三棱锥的体积为． 3．若正四棱台的上底面边长为4，下底面边长为6，高为2，则其体积为__________． 【答案】/ 【详解】由正四棱台得，上底面和下底面都为正方形，则体积． 4．正三棱柱的侧面积为，体积为，则此棱柱的高为__________，底面边长为_________． 【答案】 / 10 【详解】设底面边长为，高为，则，且，解得，． 故答案为：；10. 5．空间中有一正方体， 将点依次连接， 得到体积为 的三棱锥 ，则正方体的体积为（   ） A． B．24 C． D． 【答案】D 【详解】由题意可得，三棱锥的体积等于正方体的体积减去四个体积相等的三棱锥体积，即，设正方体的边长为，则有，所以正方体体积为，故选：D. 6．如图，在三棱柱中，，分别是和的中点，记和的体积分别为，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】取的中点为，连接，如下图：易知三棱柱的体积是三棱柱的一半，由图可知三棱锥与三棱柱同底等高，则三棱锥的体积是三棱柱体积的三分之一，即四棱锥的体积是三棱柱体积的三分之二，综上可得四棱锥的体积是是三棱柱的三分之一，即.故选：A. 7．如图，在三棱锥中，分别为的中点，记三棱锥的体积为，三棱锥的体积为，则______． 【答案】# 【详解】因为分别为的中点，则， 所以，则. 【巩固练习】 1．已知底面边长为，侧棱长为的正三棱柱的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意得该三棱柱体积为.故选：B. 2．已知正四棱锥的底面边长为，侧棱长为5，则它的体积为（   ） A．18 B．21 C．24 D．27 【答案】C 【详解】该正四棱锥的高为，则该正四棱锥的体积． 3．若一个三棱台的上、下底面面积分别为4，9，高为6，则该棱台的体积为__________. 【答案】 【详解】． 4．正四棱台的上、下底面的边长分别是2cm和3cm，高是cm，则它的体积是__________． 【答案】/ 【详解】正四棱台的上底面面积，下底面面积，. 5．已知正四棱台的体积为其上下底面的边长分别为1和2，则这个正四棱台的高为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设正四棱台的高为，则，故. 6．在棱长为2的正方体中，三棱锥的体积是（   ） A．8 B．4 C． D． 【答案】C 【详解】如图所示，在正方体中，可得平面，即点到平面的距离为，即三棱锥的高，所以三棱锥的体积为. 7．已知正三棱柱的棱长均为为的中点，则四面体的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图所示，几何体为正三棱柱，且所有棱长均为， 底面ABC为正三角形，侧面为正方形，则 ．故选:A． 8．在正四棱柱中，，且四棱锥的体积为6，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】连接，相交于，则，由正棱柱的性质可知平面，平面， 所以，又，平面，则平面，且， 所以四棱锥的高为，其体积为，解得． 9．正方体中，过顶点，，作截面，截下一个三棱锥，则截下的三棱锥的体积与剩下的几何体体积的比为（    ） A．1:5 B．1:6 C．5:6 D．1:4 【答案】A 【详解】如图，设正方体的棱长为，则该正方体的体积为，则，所以剩余部分的体积为，所以截下的三棱锥的体积与剩下的几何体体积的比为.故选：A. 10．如图所示，在正方体中，则四棱锥的体积与正方体体积的比为__________. 【答案】 【详解】设正方体棱长为，则，.所以四棱锥的体积与正方体体积的比为.故答案为：. 【强化培优】 1．如图所示，长方体中， 若，M，N分别为棱的中点，用平面把这个长方体分成两部分，则左侧几何体的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设左侧几何体的体积为，长方体的体积为，右侧三棱柱的体积为， 则.故选：C. 2．正六棱柱的底面边长为6，高为4.若挖去一个以正六棱柱上底面的中心为顶点，正六棱柱下底面为底面的正六棱锥，则剩余部分几何体的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因正六棱柱的底面正六边形是由6个边长为6的全等正三角形组成， 故其面积为，其体积为， 挖去的正六棱锥底面与棱柱下底面重合，高等于棱柱的高4， 故其体积为， 故剩余几何体的体积. 3．已知一个长方体的铜块长､宽､高分别是，将它熔化后铸成一个正方体形的铜块（不计损耗），则铸成后的铜块的棱长（    ） A．小于4 B．等于4 C．大于4 D．无法判断 【答案】A 【详解】由题意，设铸成后的正方体形铜块的棱长为，依题意得，则. 故选：A. 4．一个封闭的正三棱柱容器，内装水若干，水面高度为3（如图（1），底面处于水平状态）.将容器放倒（如图（2），一个侧面处于水平状态），若此时水面与各棱的交点分别为所在棱的中点，则该正三棱柱容器的高为____________. 【答案】4 【详解】设正三棱柱的底面积为，高为，则水的体积，因为分别为所在棱的中点，所以，，所以图（2）中水的体积为，又，，解得. 所以该正三棱柱容器的高为4.故答案为：4. 【经典例题】地 城 考点03 圆柱、圆锥、圆台的侧面积和表面积 1．圆锥的底面直径和高均是，从圆锥的底面挖去一个圆柱，该圆柱的上底面为过中点作的平行于底面的截面，剩下几何体的表面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可画图如下：底面直径​，故底面半径​​，高，过的中点作平行于底面的截面，该截面半径为，由相似三角形性质，有，所以，以该截面为底面挖去一个圆柱，圆柱的高，圆锥的母线长；则；； ；故. 2．打羽毛球是一项全民喜爱的体育活动，标准的羽毛球由16根羽毛固定在球托上，测得每根羽毛在球托之外的长为7cm，球托之外由羽毛围成的部分可看成一个圆台的侧面，测得顶端所围成的直径是6.8cm，底部所围成圆的直径是2.8cm，据此可估算得球托之外羽毛所在的曲面的面积大约为（    ） A．105.5cm2 B．111cm2 C．92.8cm2 D．100.8cm2 【答案】A 【详解】将圆台补成圆锥，则羽毛所在曲面的面积为大圆锥和小圆锥的侧面积之差，因为顶端所围成的直径是6.8cm，底部所围成圆的直径是2.8cm，所以相应半径为3.4cm，1.4cm.设小圆锥母线长为，则大圆锥母线长为，由相似得，，即，所以羽毛所在曲面面积 . 【变式训练】 1．一个圆柱的底面半径为1，母线长为2，则该圆柱的侧面积是________． 【答案】 【详解】因圆柱的底面半径为，母线长为，则该圆柱的侧面积是. 2．若圆锥的高为，底面半径为，则这个圆锥的侧面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】圆锥的高为，底面半径为，则母线长为，则这个圆锥的侧面积为. 3．已知一个圆锥的母线长为6，侧面积 则此底面半径为___________. 【答案】1 【详解】令圆锥的半径为，且母线，则侧面积，可得. 4．一圆台的上下底面的半径分别为1和2，高为，则其侧面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】已知，，，则.圆台侧面积为. 5．已知圆台的上底面半径为，母线长为，表面积为，则该圆台的高为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设圆台的下底面半径为，则该圆台的表面积为， 整理可得，因为，解得.故该圆台的高为. 6．已知圆锥的底面半径为3，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则圆锥表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】圆心角是，对应为，设扇形的半径为，也即扇形围成的圆锥母线长为，由解得：，所以圆锥的表面积为. 7.（多选）一个圆柱和一个圆锥的轴截面分别是边长为的正方形和正三角形，则它们的表面积可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】，. 8．已知圆锥，的底面半径之比为2，母线长之比为，则圆锥，的侧面积之比为（   ） A． B． C． D．3 【答案】C 【详解】设圆锥的底面半径为，母线长为，则圆锥的底面半径、母线长分别为，， 设它们的侧面积分别为，. 9．如图，梯形中，，现将该梯形沿旋转一周，则旋转形成的几何体的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为梯形中，，所以，，将该梯形沿旋转一周，则旋转形成的几何体为圆台，圆台的上底面半径为，下底面半径为，高为，母线长为，所以该圆台的表面积为，即旋转形成的几何体的表面积为 【巩固练习】 1．某圆锥的母线长为5cm，底面半径长为3cm，则该圆锥的表面积为______ 【答案】 【详解】∵ 圆锥的底面半径，母线长，∴ 圆锥的底面积为， 圆锥的侧面积为，∴ 该圆锥的表面积. 2．已知圆台的上、下底面半径分别为1和2，高为，则该圆台的侧面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设圆台母线长为，上、下底面半径分别为和，高为， 如图所示：则， 所以圆台的侧面积为. 3．已知一个圆台的轴截面为梯形，若，则该圆台的侧面积为______． 【答案】 【详解】易知上底面圆的半径，下底面圆的半径， 母线长，所以该圆台的侧面积． 4．已知圆台的上、下底面的半径分别为1，2，高为，则该圆台的表面积为______． 【答案】 【详解】圆台的上底面半径 ，下底面半径 ，高 ，所以母线长 ，侧面积 ，上底面积 ，下底面积 ，表面积 ． 5．圆台的上底面圆的半径为1，下底面圆的半径为2，高为，则圆台的表面积为______. 【答案】 【详解】由题意，圆台的上、下底面半径分别为1和2，高为，∴上下圆面积分别为：，，作出截面图，并作出截面上端点对底边的垂线，如下图所示，由几何知识得，，，，，在Rt中，，由勾股定理得，，∴圆台的侧面积为：，∴圆台的表面积为：， 6．已知一个圆锥与一个圆柱的底面半径均为3，高均为4，则圆锥的表面积与圆柱的表面积的比值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由底面半径，高，圆锥母线长， 圆锥表面积：， 圆柱表面积 ， 所以 . 7．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为，圆台的侧面积为，则圆台较小底面的半径为（ ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【详解】因为圆台的两个底面周长之比为，所以两底面圆的半径之比也为.设圆台较大底面的半径为，较小底面的半径为，则由圆台的侧面积为可得：，解得. 8．如图，和分别为圆台上下底面中心，且，在轴截面中，为正三角形.若，则圆台的表面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为为正三角形，，所以，又因为，所以， 即圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，圆台的高为，可得圆台的母线长为， 所以圆台的表面积为. 9．已知直角梯形，，，，，绕直角边旋转一周，则所得几何体的侧面积为___________． 【答案】/ 【详解】因为，，，所以，绕直角边旋转一周，所得几何体为圆台，圆台的上底面半径为，下底面半径为，母线为，所以圆台的侧面积. 10．如图所示是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若扇形的两个圆弧所在圆的半径分别是1和3，且，则该圆台的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设圆台的上下底面圆的半径分别为.因为扇形的两个圆弧所在圆的半径分别是1和3，且，所以，，解得，，所以该圆台的表面积为. 11．已知某圆锥的底面和某圆台的下底面相同，它们的高均为2，且圆台的上、下底面圆的半径之比是1︰2，圆锥的侧面积是，则该圆台的侧面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设圆台的上底面圆的半径为，则圆锥的底面圆和圆台的下底面圆的半径均为，圆锥的母线，圆锥的侧面积是，，得，解得;圆台的母线，圆台侧面积为． 【强化培优】 1．某科技馆“人造太阳”模型外观为圆台形，上底面半径为，下底面半径为，圆台母线长为，模型外侧面需要喷漆，则喷漆面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】. 2．陀螺也叫作“冰尜（gá）”或“打老牛”．现有一圆锥形陀螺（如图所示），其底面半径为4，将其放倒在一平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点滚动，当圆锥在平面内转回到原位置时，圆锥本身恰好滚动了4周，则该圆锥的侧面积为（     ）   A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可得圆锥侧面展开扇形的圆心角为，设圆锥的母线长为，则 该圆锥的侧面积为． 3．福善牛皮鼓是四川省自贡市富顺县福善镇的传统手工技艺，属于自贡市级非物质文化遗产传统技艺类项目，该技艺以本地水牛前肋皮为原料，完整保留选材、撑皮、晒皮、下料、削皮、浸泡、鼓皮定型、箍桶、上索、上楔等十道核心工序，成品具有音质纯正、粗犷深沉的声学特质．如图所示的牛皮鼓的鼓面直径为20cm，其表面积为，用平行于鼓面的平面截牛皮鼓，所得截面圆的最大直径为30cm．若将该牛皮鼓看成由两个相同的圆台拼接而成，忽略鼓面与鼓身的厚度，则该牛皮鼓的高度为（   ） A．36cm B．32cm C．24cm D．20cm 【答案】C 【详解】解：依题意可得，圆台上底面半径为10cm，圆台下底面半径为15cm，该牛皮鼓的表面积＝两个圆台的侧面积＋两个圆台的上底面面积，则，即，解得． 又，所以，解得．由，得，即，则该牛皮鼓的高度为24cm． 4．已知一个矩形的周长为，矩形绕它的一条边旋转形成一个圆柱.当矩形的边长为______cm时，旋转形成的圆柱的侧面积最大，最大侧面积为______ 【答案】 9 【详解】矩形绕它的一条边旋转形成一个圆柱，设矩形的边长为cm时，旋转形成的圆柱的侧面积最大， 则圆柱的高为cm，则圆柱的底面半径为cm，则圆柱的侧面积为，故当矩形的边长为9cm时，旋转形成的圆柱的侧面积最大，最大侧面积为.故答案为：9， 5．已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，圆柱的下底面在圆锥的底面上，上底面圆的圆周在圆锥的侧面上，则圆柱的侧面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由的底面半径，母线长，所以圆锥的高.由题可设圆柱的底面半径为()，高为.由得，即，截得. 所以圆柱的侧面积，所以当时，侧面积取得最大值为. 【经典例题】地 城 考点04 圆柱、圆锥、圆台的体积 1．（多选）如图，该几何体由高均为1的圆锥与圆柱组成，圆锥的底面与圆柱的上底面重合，若该几何体底面半径为1，则（    ） A．圆锥的母线长为 B．圆锥与圆柱的体积比为1：3 C．该几何体的表面积为 D．圆锥侧面展开图的圆心角为 【答案】ABD 【详解】对于A，由勾股定理得圆锥母线长，A正确；对于B，圆锥的体积为，圆柱的体积为，因此圆锥与圆柱的体积比为，B正确； 对于C，该几何体的表面积为，C错误；对于D，设圆锥侧面展开图的圆心角为，由弧长公式得，圆心角，D正确．故选：ABD 2．（多选）如图，为四边形的斜二测直观图，其中.将四边形以为旋转轴，旋转一周得到几何体.则下列说法正确的有（    ） A． B．几何体是圆台 C．几何体的体积为 D．几何体的侧面积为 【答案】BC 【详解】在四边形中，由题知是底角为的等腰梯形，所以.把直观图还原为原平面图形，则四边形是直角梯形，其中，则，故A错误；因为，则几何体是上底半径为1，下底半径为3，高为的圆台，故B正确；几何体的体积为，故C正确；几何体的侧面积为，故D错误. 3．（多选）如图所示的圆台，圆台的高为，上底面圆的半径为1，下底面圆的半径为2，则下列说法正确的是（   ） A．该圆台轴截面面积为 B．该圆台的表面积为 C．该圆台的体积为 D．一只蚂蚁从点出发，沿着圆台表面爬行，最终到达的中点处，则爬行的最短路程为5 【答案】ACD 【详解】对于A，圆台轴截面为等腰梯形，其中，则其面积为：，故A正确；对于B，由图知，圆台的母线长， 则圆台的表面积为：，故B错误；对于C，该圆台的体积为，故C正确； 对于D，将圆台沿着母线展开，得到如图的扇环形，由题意，蚂蚁爬行的最短路程为的长. 因劣弧的长为，故的弧度数为，又点是的中点，故，由勾股定理，，故D正确.故选：ACD. 【变式训练】 1．已知圆柱的侧面积为，底面半径为1，则圆柱的体积为_____ 【答案】 【详解】由圆柱的侧面积为，底面半径为1，得母线长，所以该圆柱的体积为. 故答案为: 2．已知底面半径为1的圆柱的体积为，则该圆柱的侧面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设圆柱的高为，则，解得，所以该圆柱的侧面积为.故选：D 3．已知圆锥的底面半径为1，母线与底面所成的角为，其侧面积和体积分别为，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】已知圆锥底面半径 ，母线与底面所成的角为 ，则母线长 满足 ，即 ，解得 ，圆锥高 ，圆锥体积 ，侧面积 ，因此，故选：A 4．若圆锥的侧面展开图为一个半径为2的半圆，则圆锥的体积是____________． 【答案】/ 【详解】易知圆锥的母线长，设圆锥的底面半径为，则，，则高． 则圆锥的体积，故答案为：. 5．已知一圆台的上底面半径为1，高为，体积为，则该圆台的侧面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设圆台的下底面半径为r，由题意知，整理得，解得（负值舍去），设圆台的母线长为，则，所以该圆台的侧面积为. 6．已知圆台的上、下底面半径分别为2和4，且母线与下底面所成的角的正切值为2，则该圆台的表面积为________，体积为________. 【答案】 【详解】设圆台的上底面和下底面半径分别为和，圆台的高为，母线长为，因为母线与下底面所成的角的正切值为2，所以，得，. 则，，，.. 7．（多选）已知某圆锥的侧面展开图是面积为 的半圆，则下列说法正确的是（   ） A．该圆锥的母线长是 B．该圆锥的高是 C．该圆锥的表面积是 D．该圆锥的体积是 【答案】ABD 【详解】设圆锥的母线长为l，则母线长l为侧面展开图的半圆的半径，又圆锥的侧面展开图是面积为的半圆，所以，则；设圆锥的底面半径为，则；该圆锥的高；该圆锥的表面积，该圆锥的体积为，故选：ABD 8．已知圆柱和圆锥的底面半径相等，高均为3，侧面积之比为2:3，则圆锥的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设圆柱的底面半径为，则圆锥的母线长为，而它们的侧面积之比为2:3，所以即，故，故圆锥的体积为．故选：C 9．已知一个圆锥和圆柱的底面半径和侧面积分别相等，且圆锥的轴截面是等边三角形，则这个圆锥和圆柱的体积之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设圆锥的底面半径为r，因为圆锥的轴截面是等边三角形，所以圆锥的母线长为， 则圆锥的高为，设圆柱的高为，又圆锥和圆柱的侧面积相等， 所以，解得，所以这个圆锥和圆柱的体积之比为.故选：C． 10．如图是一个在圆柱顶部挖去一个与该圆柱同底面的圆锥的几何模型，已知圆柱的底面半径为3，圆锥的高为4，若该几何模型的体积为60π，则其表面积为（    ） A．48π B．60π C．72π D．144π 【答案】C 【详解】设圆柱的高为，则，解得， 故所求为.故选：C. 【巩固练习】 1．已知圆锥的底面周长为，侧面积为，则该圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设圆锥的底面半径、高、母线长分别为，，，已知底面周长，解得；侧面积，代入可得到母线长；由勾股定理可得高；则体积. 故选： 2．已知圆台的上、下底面的面积分别为、，侧面积是，则这个圆台的体积是_____. 【答案】 【详解】依题意知圆台上底面半径为 ，下底面半径为，设圆台的高为h， 如图所示圆台展开为一个圆环的一部分即ABCD，其小扇形弧长，大扇形弧长， 由知道 ，则圆台的侧面积，所以，所以 ， 所以高 ，所以圆台的体积 3．若圆台的上下底面半径分别为1和4，侧面积为，则圆台的体积为________. 【答案】 【详解】设圆台母线长为，则，所以，所以圆台的高为， 所以圆台的体积为. 4．若圆台的上下底面半径分别为1和4，体积为，则侧面积为_____ 【答案】 【详解】设圆台的高为，因为圆台的上下底面半径分别为1和4，体积为，所以，解得，由轴截面为等腰梯形可求母线长为，所以侧面积为. 5．以边长为2的正方形的一边所在的直线为旋转轴，其余三边旋转一周得到一个圆柱，则该圆柱的体积是_______；表面积是_______. 【答案】 【详解】由题意可知圆柱的底面半径，高，所以圆柱的体积为， 表面积为.故答案为： 6．（多选）圆台的上、下底面半径分别为1和2，它的侧面展开所得的扇环所对的圆心角为180°，则圆台的（   ） A．母线长为4 B．表面积为11 C．高为 D．体积为 【答案】BC 【详解】如图所示，设圆台的上底面周长为C，因为扇环所对的圆心角为180°，所以，又，所以，同理，故圆台的母线，高，体积，表面积，故B，C正确，A，D错误. 故选：BC故选：BC. 7．一个圆锥的侧面展开图是面积为的半圆面，则该圆锥的体积为_________. 【答案】 【详解】设圆锥的底面半径为，母线长为，高为，由题知，解得，所以，所以圆锥的体积为，故答案为：. 8．已知圆柱和圆锥的高相等，侧面积相等，且它们的底面半径均为，则圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设它们的高为，则由它们的侧面积相等，可得，解得，则圆锥的体积为.故选：A. 9．一个圆锥被平行于底面的平面所截，上下两个几何体的侧面积之比为，则上下两个几何体的体积之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】一个圆锥被平行于底面的平面所截得到两个几何体：圆锥与圆台，如图，设大圆锥侧面展开扇形的圆心角为，大圆锥的侧面积与体积分别为，小圆锥的侧面积与体积分别为，圆台的体积为，由题意可得,因为相似几何体的体积之比等于相似比的立方，所以，则，所以上下两个几何体的体积之比为.故选：D 10．一圆台的上、下底面半径分别是10cm和20cm，它的侧面展开图扇环的圆心角为180°，下列说法不正确的是（    ） A．圆台的母线长是20cm B．圆台的高是cm C．圆台的表面积是 D．圆台的体积是 【答案】D 【详解】依题意，圆台侧面展开图，如图，设圆台的上底面周长为，由扇环的圆心角为，得， 又，则，同理，于是圆台的母线cm， 高cm，表面积， 体积，ABC正确，D错误.故选：D. 【强化培优】 1．（多选）如图，圆锥的底面半径为4，高为，过靠近的四等分点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，则下列说法正确的是（    ）   A．挖去圆柱的体积为 B．圆锥的侧面积为 C．剩下几何体的表面积为 D．圆锥母线与底面所成的角的余弦值为 【答案】BCD 【详解】如图所示，因为为的四等分点，所以，，对于A，挖去的圆柱的体积，故A错误；对于B，圆锥母线长，所以圆锥的侧面积，故B正确；对于C，圆柱的侧面积，剩下几何体的表面积，故C正确；对于D，因为圆锥的底面半径为4，母线长，则，故D正确.故选：BCD. 2．已知圆柱形水杯的底面半径为3cm，侧面积为，则水杯的容积约为__________ml．（精确到1ml，水杯壁厚度忽略不计） 【答案】565 【详解】设圆柱形水杯的底面圆的半径为，高为，则，所以水杯的侧面积，解得，所以水杯的容积.故答案为：. 3．一个有盖的圆台形水桶的上、下底面的半径分别为，，体积为，则其表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设圆台的高为，由条件得圆台上底半径 ，下底半径 ，体积， 则 ，化简得： ，由勾股定理，母线长满足，入得： ，则侧面积，上下底面积和：，故表面积：. 地 城 考点05 球体及其内切外接问题 【经典例题】 1．若圆柱、圆锥的底面直径和高都等于球的半径，则圆柱、圆锥、球的体积的比为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设球的半径为，则圆柱、圆锥的半径为，高为， 所以圆锥的体积， 圆柱的体积，球的体积，因此圆柱、圆锥、球的体积的比为. 2．在四面体中，，，两两垂直，且，若均在球的球面上，则的表面积为（   ） A．50 B．100 C．150 D．200 【答案】A 【详解】根据题意得四面体的外接球和以，，为长宽高的长方体的外接球相同，所以外接球的直径为，所以外接球的表面积为，故选：A. 3．在高为的正四棱台中，，，则此四棱台的外接球的表面积为______. 【答案】 【详解】如图，正四棱台中，、分别是上、下底面对角线交点， 即上、下底面中心，是正四棱台的高，．，， 由对称性外接球球心在直线上，设球半径为，连接，则，， 若在线段上（如图），由得，因为，，所以方程无实数解；因此在的延长线上（如图），即在平面下方，因此有，解得，所以球表面积为． 4．若正方体内部有两个球，其中球与正方体的三个面相切，球与正方体的六个面均相切，球与球也相切，设球、球的表面积分别为，则___________． 【答案】 【详解】设正方体的边长为，由球与正方体的六个面均相切，可知球的半径为1，由球与正方体的三个面相切且与球也相切，设球的半径为，如图可知，，，所以，根据，则有，解得：，所以，故答案为：. 【变式训练】 1．直径为6的球的表面积与体积（    ） A．36，36 B．144，36 C．36，144 D．144，144 【答案】A 【详解】由题可知，球的半径为，所以球的表面积为，体积为. 2．已知半径为的球的体积与表面积相等，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】因为半径为的球的体积与表面积相等，所以. 3．已知圆柱的底面直径和高都等于球的半径，则圆柱与球的体积之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设球的半径为，则球的体积，又圆柱的底面直径和高都等于球的半径，所以圆柱的体积，所以圆柱与球的体积之比为． 4．已知球的半径为R，圆锥的底面半径也为R，母线长为2R，则球与圆锥的体积之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据球的体积公式，可得，已知圆锥底面半径为，母线长，可得圆锥的高，所以，得，，即球与圆锥的体积之比为. 5．棱长为1的正方体的外接球半径为（     ） A． B． C． D．1 【答案】C 【详解】正方体外接球的球心为正方体的中心，外接球的直径与正方体的体对角线长度相等， 设正方体棱长为，正方体的体对角线长度为： 设外接球半径为，则，解得，即棱长为1的正方体的外接球半径为. 6．已知三棱锥的所有棱长都是，则该三棱锥的外接球的表面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为三棱锥的所有棱长都是，所以三棱锥可以看成由一个边长为的正方体截得的，因此三棱锥的外接球即为正方体的外接球，所以外接球的直径，故三棱锥的外接球的表面积为. 7．已知正四棱柱，，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为_______. 【答案】 【详解】由为正四棱柱，且，所以为正方形，则正四棱柱的外接球半径，所以球的表面积为. 8．已知正方体内切球半径为1，则该正方体外接球的表面积为_________． 【答案】 【详解】由正方体内切球半径为1，则该正方体棱长为，故该正方体外接球的半径为该正方体体对角线一半，即为，则该正方体外接球的表面积. 9．已知高为4的正四棱锥的所有顶点都在球的表面上，若球被平面所截得的截面面积为，则四棱锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】球被平面所截得的截面面积为，可得截面圆的半径为，正方形的边长为， 设球的半径为，则到平面的距离为，，解得， 所以四棱锥的体积为. 10．已知圆锥的轴截面是面积为的正三角形，则该圆锥的外接球的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为圆锥的轴截面是面积为的正三角形，所以圆锥底面圆的半径，圆锥的高， 因为，所以圆锥外接球的球心在线段上，如图，设圆锥外接球的半径为，在中，，所以，解得，所以该圆锥的外接球的体积为. 【巩固练习】 1．某种手持弹力球的半径是，则这种手持弹力球的体积为__________． 【答案】 【详解】由题意可得手持弹力球的半径是，故手持弹力球的体积为. 2．体积为的球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设该球半径为r，则，解得，则该球的表面积为． 3．已知一个圆柱的底面半径为3，高为8，则该圆柱的外接球的表面积等于________. 【答案】 【详解】圆柱的外接球的球心为圆柱上下底面圆心连线的中点，设外接球的半径为，已知圆柱底面半径，高，球心到下底面圆周上任意一点的距离即为外接球半径，由勾股定理可得： ，根据球的表面积公式，代入得： ，即该圆柱的外接球的表面积为. 4．在长方体中，已知，则长方体外接球的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设长方体外接球的半径为．因为，所以，该长方体外接球的体积． 5．棱长为2的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为正方体棱长为2，所以正方体的体对角线长为，所以正方体的外接球的半径为，所以该球的体积为. 6．已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若球的体积为，则正方体的棱长为（   ） A． B． C． D．1 【答案】C 【详解】由球的体积为，可得球的半径满足，解得，因为正方体的所有顶点在一个球面上，则有正方体的体对角线长度为，设正方体的棱长为，则有，解得，故选：C. 7．高和底面圆直径均为2的圆锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设外接球的半径为，依题意可得，解得，所以圆锥的外接球的表面积.故选：C 8．已知圆柱的两个底面的圆周在同一个球的球面上，圆柱的高和底面直径均为，则这个球的体积为_____. 【答案】/ 【详解】设球的半径为，圆柱的底面半径为，圆柱的高为，则，由[，所以，所以球的体积.故答案为： 9．在三棱锥中，，，，，若，，，都在球的球面上，则球的表面积为_______． 【答案】 【详解】在三棱锥中，，则，，两两垂直， 三棱锥与以，，为棱的长方体有相同的外接球，因此球的半径，所以球的表面积为． 10．（多选）已知圆锥的底面半径为1，其侧面展开图是一个半圆，则下列结论正确的是（   ） A．圆锥的侧面积为 B．圆锥的体积为 C．圆锥的外接球的表面积为 D．圆锥的内切球的体积为 【答案】ACD 【详解】设圆锥的底面半径，母线长为， 则侧面展开图半圆的弧长等于圆锥底面周长，即，解得，所以圆锥的高.对于A：圆锥侧面积，A正确. 对于B：圆锥体积，B错误.对于C：设外接球的半径为，球心在圆锥的高上，由勾股定理得，，即，解得，圆锥的外接球的表面积，C正确. 对于D：设内切球半径为，圆锥轴截面为边长为2的等边三角形，则，解得.所以内切球的体积为，D正确. 【强化培优】 1．已知三棱锥的顶点均在球的球面上，且球心在棱上，若球的表面积为，则三棱锥的体积最大值为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【详解】设球的半径为，则有，解得，又因为球心在棱上，所以为直径且，所以为直角三角形，且,要使棱锥的体积最大，则的面积最大，且点到平面的距离也要最大，当平面时，最大，此时,又,当且仅当时，等号成立；设三棱锥的体积为，所以，所以. 2．表面积为的圆柱内放入一个球，则该球体的体积最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设圆柱的底面圆的半径为，高为，而圆柱的表面积为，则，即， 要在圆柱内放入一个球，设球的半径为，则，即，要使球体的体积最大，则应取，则，即，则该球体的体积最大值为. 3．半径为定值的球中有一内接圆柱.当圆柱的侧面积最大时，圆柱的高和球的半径之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设球的半径为，圆柱的高为，底面半径为，可得：，圆柱的侧面积为：，当且仅当时取等，此时圆柱的侧面积最大，所以，所以，所以圆柱的高和球的半径之比为. 4．已知正四棱台的上､下底面积分别为3，12，当正四棱台的外接球的体积最小时，该四棱台的侧面积为（    ） A． B． C．18 D． 【答案】A 【详解】因为正四棱台上下底均为正方形，由上､下底面积分别为3，12，可得上､下底面正方形的边分别为，上､下底面正方形的外接圆半径分别为和，因为正四棱台的外接球半径一定大于或等于下底面正方形的外接圆半径，所以正四棱台的外接球的半径最小值为，此时下底面中心即为外接球的球心.则棱台的高，再由勾股定理计算可得：，所以再由勾股定理可得侧面梯形的斜高为：，即一个侧面的梯形面积为， 则该四棱台的侧面积为. 5．“阿基米德多面体”也称半正多面体，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，它体现了数学的对称美.如图是以一正方体的各条棱的中点为顶点的多面体，这是一个有八个面为正三角形，六个面为正方形的“阿基米德多面体”，若该多面体的棱长为1，则该多面体外接球的体积为_______. 【答案】/ 【详解】将“阿基米德多面体”补全为正方体，如下图所示： 不妨取两棱中点为，由题知，所以，该多面体的外接球即为正方体的棱切球，所以棱切球的直径为该正方体的面对角线，长度为2，因此该多面体的外接球的半径为1，所以其体积. 试卷第1页，共3页 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $