专题7.2 复数的四则运算 知识填空与考点专练-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

**基本信息** 以知识填空系统构建复数四则运算体系，通过分层训练（典例-变式-巩固）强化运算规则与几何意义的应用，逻辑递进且覆盖高频考点。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |知识梳理|5类运算法则+自检|填空式梳理运算律/几何意义|从加减到乘除再到综合，构建“概念-法则-应用”链条| |加减运算|典例6+变式10+巩固10|实部虚部辨析、复平面位置、向量模计算|代数运算与几何意义结合，体现数形结合素养| |乘除运算|典例6+变式10+巩固10|共轭复数、分母实数化、方程根问题|强化多项式乘法迁移与分母有理化思想| |综合应用|典例5+变式6+巩固4|轨迹问题、参数范围、综合运算|整合运算规则与函数思想，培养逻辑推理能力|

专题7.2 复数的四则运算 高中数学导学案 专题7.2 复数的四则运算 一、知识填空 1．复数的加法与减法 （1）复数加减法的运算法则 对任意两个复数和，规定两个复数的和仍然是一个复数，两个复数的和的实部是它们的_____，两个复数的和的虚部是它们的_____．也就是：___________，两个复数的差仍然是一个复数，两个复数的差的实部是它们的_____，两个复数的差的虚部是它们的_____．也就是：___________ （2）复数加法的运算律 结合律 __________ 交换律 __________ （3）加法的几何意义 复数的加法可以按照_____来进行，这就是复数加法的几何意义. 2．复数的乘法 （1）复数乘法的运算法则 设，，类比多项式的乘法，定义复数的乘法如下： ______. （2）复数乘法的运算律 对任何复数，，，有 结合律 __________ 交换律 __________ 乘法对加法的分配律 __________ 3．复数的除法 设（且），则 __________，由此可见，在进行复数除法运算时，实际上是将分母“实数化”. 4．复数的乘方 对于复数z，定义它的乘方.根据乘法的运算律，实数范围内正整数指数幂的运算性质在复数范围内仍然成立，即对任何复数和正整数m，n，有___________；____________；_____________. 5.常用结论： (1);; (2); (3). 自检自纠： 1. 实部的和 虚部的和 实部的差 虚部的差 向量的加法 2. 3. 4. 5.(1) (2) (3) 二、考点专练 地 城 考点01 复数的加减运算及其几何意义 【经典例题】 1．(25-26高一下·四川仁寿第一中学校南校区·期中)已知复数是实数，则_____. 2．(25-26高一下·黑龙江大庆实验中学实验二部·)复数，，为虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．(25-26高一·河北唐山遵化高级中学·)在复平面内，向量对应的复数为，向量对应的复数为，则向量对应的复数的模为（     ） A． B． C． D． 4．求两个复数对应的两点之间的距离（   ） A．5 B．10 C． D．25 5．(25-26高一下·湖北荆州中学·月考)复平面内与复数，，，对应的四点可以构成平行四边形，则不可能为（   ） A． B． C． D． 6．(25-26高一下·陕西榆林第十四中学·期中)若复数满足，则的最大值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【变式训练】 1．(25-26高一下·宁夏吴忠兰亭中学·期中)计算的结果是（    ） A． B． C． D． 2．设复数，（是虚数单位），则________． 3．(25-26高一下·广西来宾部分学校·)已知复数，在复平面内对应的点关于虚轴对称，且在复平面内对应的点位于第一象限，则在复平面内对应的点不可能位于第_________象限. 4．(25-26高一下·广西河池·)已知为虚数单位，复数满足，则_________． 5．已知复数，，则的值为（　　） A．5 B． C． D．13 6．(25-26高一·山东济宁实验中学等校·期中)若复数满足，则（   ） A． B．2 C． D．3 7．(25-26高一下·安徽芜湖皖江中学·)设，若复数，满足，，则__________． 8．(25-26高一·广东深圳科学高中·期中)（多选）已知复数z满足，则（ ） A． B． C． D．的最大值为2 9．(25-26高一下·山东滨州阳信县第一中学等校·)已知，若，则的最小值为___________． 10．(25-26高三·上海虹口区·期末)已知和是复平面上的两个动点，它们所对应的复数分别为和，若，，则随着的运动，动点所形成的平面图形的面积为_____________． 【巩固练习】 1．(25-26高一下·黑龙江齐齐哈尔教联体·期中)已知复数，则（   ） A． B． C． D． 2．(25-26高一下·陕西渭南瑞泉中学·)若复数，则的实部为（     ） A．1 B．4 C．3 D．7 3．(25-26高一下·广西南宁宾阳中学·期中)已知，，则（   ） A． B．7 C．8 D．6 4．(25-25高一下·广东惠州泰雅实验高中·月考)复数，，则（    ） A．1 B． C． D．3 5．(25-26高一下·黑龙江哈尔滨第三中学校·期中)设复数，是的共轭复数，则复平面内对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 6．(25-26高一下·湖北荆州中学·月考)已知是关于x的方程的一个根，其中p、q为实数，则（   ） A．4 B．13 C．12 D．5 7．已知复数满足，则（   ） A． B． C． D． 8．(25-26高一·上海第六十中学·)在复平面内，向量对应的复数为，向量对应的复数为，则向量对应的复数为（     ） A． B． C． D． 9．(25-26高一·陕西榆林横山中学·期中)已知复数满足，则在复平面内对应的点形成的轨迹为（    ） A．一条直线 B．一条线段 C．一个圆 D．一段圆弧 10．(24-25高一下·江西吉安四所重点中学·)已知，若，则的最小值为__________. 【经典例题】地 城 考点02 复数的乘、除运算 1．(25-26高一下·河北邢台质检联盟·)的共轭复数为（     ） A． B． C． D． 2．已知是虚数单位，复数______． 3．(25-26高一下·安徽阜阳临泉县临化高级中学·)若复数满足（i为虚数单位），则为（    ） A． B． C． D． 4．(25-26高一下·广东广州十六中学·期中)已知复数在复平面内对应的点为，则（     ）． A． B． C． D． 5．(25-26高一下·重庆第十八中学·调研)设复数，满足，且，则____________． 6．(25-26高一·上海宜川中学·)已知关于x的方程的两个根分别为，，若，则实数__________. 【变式训练】 1．(25-26高一下·四川乐山沫若中学·月考)若复数，则___________． 2．设，则（   ） A． B． C．1 D． 3．(25-26高一下·黑龙江哈尔滨第三中学校·)已知复数，则（     ） A． B． C． D． 4．若，则（     ） A． B． C． D． 5．(25-26高一下·湖北十堰郧阳中学、恩施土家族苗族高级中学·期中)复数，则的虚部是_____． 6．(25-26高一下·四川泸州合江县·期中)已知为虚数单位，复数满足，则的共轭复数的模为（   ） A． B． C． D． 7．(25-26高一下·辽宁沈阳第十中学·)已知为虚数单位，且复数满足，则（ ） A．1 B． C．2 D． 8．(25-26高三下·上海延安中学·适考)已知，方程的一个根为（为虚数单位），则________． 9．(25-26高一下·黑龙江大庆实验中学实验二部·)（多选）已知复数，则下列结论正确的有（    ） A．对应的点在第四象限 B． C．的共轭复数为 D．的虚部为1 10．(25-26高一下·海南华侨中学·月考)（多选）已知复数（为虚数单位），下列说法正确的是（     ） A．的对应点在第三象限 B．的虚部为 C． D．满足的复数对应的点在以原点为圆心，为半径的圆上 【巩固练习】 1．(25-26高一·天津宝坻区第九中学·期中)已知是虚数单位，复数____________． 2．(25-26高一·天津北京师范大学天津生态城附属学校·期中)已知复数，则______ 3．(25-26高一·贵州毕节黔西·期中)已知复数，则（   ） A． B． C． D． 4．已知复数，则（   ） A． B． C． D． 5．(25-26高二下·云南红河州中央民族大学附属中学红河州实验学校·期中)已知复数满足，则的虚部为（   ） A． B． C． D． 6．(25-26高一下·四川乐山沫若中学·月考)已知复数z满足，则z在复平面内对应的点所在的象限为（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 7．(25-26高一下·河北邢台质检联盟·)（多选）若复数，则（） A． B．的虚部为 C．在复平面内对应的点位于第四象限 D．是方程的复数根 8．(25-26高一·浙江金华卓越联盟·)（多选）复数，，已知，，下列说法正确的是（   ） A．复平面内与对应的点在第三象限 B． C． D． 9．(25-26高一下·广东广州科学城中学·期中)（多选）关于复数，下列说法正确的是（    ） A． B．z的共轭复数对应的点与z关于实轴对称 C．若复数满足，则 D．若，则 10．(25-26高一下·黑龙江齐齐哈尔第八中学·)（多选）已知复数（i为虚数单位），则 （      ） A．的共轭复数为 B．的虚部为 C． D． 【经典例题】地 城 考点03 复数运算综合 1．(25-26高一下·安徽桐城中学·期中)若复数满足条件，则其在复平面内所对应的点构成的图形面积大小为__________. 2．(25-26高一下·上海浦东新区·期末)已知为虚数单位，为实数，复数． (1)当时，求的模和； (2)若为实数，求的值． 3．(25-26高一下·河南九师联盟·月考)已知复数． (1)若复数为纯虚数，求的值； (2)若复数在复平面内对应的点位于第四象限，求的取值范围． 4．(25-26高一下·吉林吉林毓文中学·期中)（1）若复数（其中）为纯虚数，求的值； （2）已知，求； （3）已知是关于的一元二次实系数方程的一个根，求实数，的值． 5．(25-26高一·广东茂名高州·)设是实数，复数，（是虚数单位）. (1)若在复平面内对应的点在第一象限，求的取值范围； (2)求的最小值. 【变式训练】 1．(25-26高一下·广东广州十三中学·期中)（多选）已知复数（为虚数单位），则下列说法正确的是（     ） A． B．复数的虚部为 C．若对应的向量为，对应的向量为，则向量对应的复数为 D．若复数是关于的方程（，）的一个根，则 2．(25-26高一下·湖南邵阳第二中学等校·期中)已知复数z满足，且，则的最小值是（    ） A．2 B．3 C． D． 3．(25-26高一·广东肇庆端州中学·期中)已知复数，． (1)当z为纯虚数时，求m的值； (2)当时，z是关于x的方程的一个根，求实数p，q的值． 4．(25-26高一下·湖北十堰郧阳中学、恩施土家族苗族高级中学·期中)设实数，复数 ． (1)若复数是纯虚数，求实数的值； (2)当时，复数是方程的一个根，求实数，的值． 5．(25-26高一下·宁夏银川永宁中学·期中)已知复数，复数在复平面内对应的点为． (1)若复数是关于的方程的一个根，，求的值： (2)若复数满足，求复数的共轭复数． 6．(25-26高一下·广东茂名·期中)已知是虚数，，，且. (1)求的值和的实部的取值范围； (2)求证：为纯虚数； (3)求的最小值. 【巩固练习】 1．(25-26高一·山东淄博实验中学、淄博齐盛高中·)（多选）已知为虚数单位，则下列说法正确的是（     ） A．若，则 B．若，互为共轭复数，，则 C．若复数满足，则的最大值为 D．若复数是实系数方程的一个根，则 2．(25-26高一·河北黄骅中学·)已知复数，. (1)求； (2)求； (3)若，求. 3．(25-26高一下·吉林长春九台区第一中学、农安县实验中学等校·期中)已知复数． (1)若为实数，求m的值； (2)若为纯虚数，求； (3)证明：在复平面内对应的点位于第四象限． 4．(25-26高一下·陕西安康·)已知复数． (1)若，求； (2)若复数为纯虚数，求的值； (3)若复数在复平面内对应的点位于第一象限，求的取值范围． 试卷第1页，共3页 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $专题7.2 复数的四则运算 高中数学导学案 专题7.2 复数的四则运算 一、知识填空 1．复数的加法与减法 （1）复数加减法的运算法则 对任意两个复数和，规定两个复数的和仍然是一个复数，两个复数的和的实部是它们的_____，两个复数的和的虚部是它们的_____．也就是：___________，两个复数的差仍然是一个复数，两个复数的差的实部是它们的_____，两个复数的差的虚部是它们的_____．也就是：___________ （2）复数加法的运算律 结合律 __________ 交换律 __________ （3）加法的几何意义 复数的加法可以按照_____来进行，这就是复数加法的几何意义. 2．复数的乘法 （1）复数乘法的运算法则 设，，类比多项式的乘法，定义复数的乘法如下： ______. （2）复数乘法的运算律 对任何复数，，，有 结合律 __________ 交换律 __________ 乘法对加法的分配律 __________ 3．复数的除法 设（且），则 __________，由此可见，在进行复数除法运算时，实际上是将分母“实数化”. 4．复数的乘方 对于复数z，定义它的乘方.根据乘法的运算律，实数范围内正整数指数幂的运算性质在复数范围内仍然成立，即对任何复数和正整数m，n，有___________；____________；_____________. 5.常用结论： (1);; (2); (3). 自检自纠： 1. 实部的和 虚部的和 实部的差 虚部的差 向量的加法 2. 3. 4. 5.(1) (2) (3) 二、考点专练 地 城 考点01 复数的加减运算及其几何意义 【经典例题】 1．(25-26高一下·四川仁寿第一中学校南校区·期中)已知复数是实数，则_____ 【答案】1 【来源】四川省仁寿第一中学校南校区2025-2026学年高一下学期5月期中检测数学试题 【详解】由题意知，， 因为是实数，根据实数的定义：复数的虚部系数为0， 可得方程：，解得. 2．(25-26高一下·黑龙江大庆实验中学实验二部·)复数，，为虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【来源】黑龙江大庆实验中学实验二部2025-2026学年高一下学期6月阶段考试数学试题 【详解】由题意得， 则在复平面内对应的点的坐标为，则其位于第四象限. 3．(25-26高一·河北唐山遵化高级中学·)在复平面内，向量对应的复数为，向量对应的复数为，则向量对应的复数的模为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】河北唐山市遵化市高级中学2025-2026学年第二学期学业水平测试高一数学试题 【详解】由题意，所以， 故向量对应的复数为，其模为. 4．求两个复数对应的两点之间的距离（   ） A．5 B．10 C． D．25 【答案】C 【来源】广西河池市罗城仫佬族自治县高级中学25-2026学年高一第二学期数学期中试卷 【详解】复数对应复平面内的点； 复数对应复平面内的点. 两点间的距离即为的模长，， 则 ，故两点间的距离为. 5．(25-26高一下·湖北荆州中学·月考)复平面内与复数，，，对应的四点可以构成平行四边形，则不可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】湖北省荆州中学2025-2026学年高一下学期5月月考数学试卷 【详解】平面内与复数，，，对应的四点分别为， 1.若四点构成平行四边形， 则，进而可得，所以， 所以，解得，所以； 2.若四点构成平行四边形， 则，进而可得，所以， 所以，解得，所以； 3.若四点构成平行四边形， 则，进而可得，所以， 所以，解得，所以. 6．(25-26高一下·陕西榆林第十四中学·期中)若复数满足，则的最大值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【来源】陕西榆林市第十四中学2025-2026学年高一下学期5月期中检测数学试题 【详解】因为，所以复数对应的点的轨迹是以原点为圆心，2为半径的圆， 表示圆上的点与定点的距离， 而圆心到定点的距离为4， 则的最大值为． 【变式训练】 1．(25-26高一下·宁夏吴忠兰亭中学·期中)计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】宁夏吴忠市兰亭中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试题 【详解】由题意得原式. 2．设复数，（是虚数单位），则________． 【答案】 【来源】湖南株洲市第四中学2026届高三普通高中学业水平合格性考试模拟二数学试题 【详解】由题意. 3．(25-26高一下·广西来宾部分学校·)已知复数，在复平面内对应的点关于虚轴对称，且在复平面内对应的点位于第一象限，则在复平面内对应的点不可能位于第_________象限. 【答案】四 【来源】广西来宾市部分学校2025-2026学年高一下学期四月阶段性检测数学试题 【详解】设（，），则，则， 在复平面内对应的点为. 当时，位于第三象限， 当时，位于第二象限， 当时，位于第一象限， 当时，位于坐标轴上. 综上，不可能位于第四象限. 4．(25-26高一下·广西河池·)已知为虚数单位，复数满足，则_________． 【答案】 【来源】广西河池市2025-2026学年高一下学期5月阶段性测试数学试题 【详解】设，则， 所以， 根据复数相等可得，故，即，故. 5．已知复数，，则的值为（　　） A．5 B． C． D．13 【答案】C 【来源】专题03 复数13大考点（期末真题汇编，广东专用）高一数学下学期人教A版 【详解】因为，， 所以， 则． 6．(25-26高一·山东济宁实验中学等校·期中)若复数满足，则（   ） A． B．2 C． D．3 【答案】A 【来源】山东济宁市实验中学等校2025-2026学年高一第二学期期中质量检测数学试题 【详解】设，则， 所以， 因为，所以 ，即， 则 . 7．(25-26高一下·安徽芜湖皖江中学·)设，若复数，满足，，则__________． 【答案】 【来源】安徽芜湖皖江中学2025-2026学年高一下学期四月校内训练数学试卷 【详解】已知，，. . 所以. 所以. 8．(25-26高一·广东深圳科学高中·期中)（多选）已知复数z满足，则（ ） A． B． C． D．的最大值为2 【答案】BCD 【来源】广东深圳科学高中2025-2026学年第二学期期中考试高一数学试题 【详解】，取，则，故A错误； 由复数模的性质可知，，故B正确； ，，则， ， 的虚部为0，是实数， ，故C正确； ，表示复平面上对应的点到的距离， 在以为圆心，半径的圆上， 圆心到的距离为， 则圆上点到定点的距离最大值为，故D正确． 9．(25-26高一下·山东滨州阳信县第一中学等校·)已知，若，则的最小值为___________． 【答案】1 【来源】山东滨州市阳信县第一中学等校2025-2026学年高一下学期5月阶段性检测数学试题 【详解】由题意得，， 所以，则当时，的最小值为1． 10．(25-26高三·上海虹口区·期末)已知和是复平面上的两个动点，它们所对应的复数分别为和，若，，则随着的运动，动点所形成的平面图形的面积为_____________． 【答案】16π 【来源】上海市虹口区2025-2026学年第二学期期末学生学习能力诊断测试高三数学试题 【详解】由知，点的轨迹为以坐标原点O为圆心，以为半径的圆， 又，，所以点到点的距离小于或等于. 所以随着的运动，动点所形成的平面图形为以坐标原点O为圆心，以为半径的圆的外部与以坐标原点O为圆心，以为半径的圆的内部形成的圆环，所以其面积为. 【巩固练习】 1．(25-26高一下·黑龙江齐齐哈尔教联体·期中)已知复数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】黑龙江齐齐哈尔市教联体2025-2026学年高一下学期期中考试数学试题 【详解】因为复数，则.，故B正确. 2．(25-26高一下·陕西渭南瑞泉中学·)若复数，则的实部为（     ） A．1 B．4 C．3 D．7 【答案】B 【来源】陕西渭南市瑞泉中学2025-2026学年高一下学期第二次教学质量检测数学试题 【详解】，故的实部为4． 3．(25-26高一下·广西南宁宾阳中学·期中)已知，，则（   ） A． B．7 C．8 D．6 【答案】C 【来源】广西南宁市宾阳中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试题 【详解】因为， 可得，即，所以. 4．(25-25高一下·广东惠州泰雅实验高中·月考)复数，，则（    ） A．1 B． C． D．3 【答案】C 【来源】广东惠州市泰雅实验高中2025-2025学年高一下学期第二次月考数学试题 【详解】，， ，. 5．(25-26高一下·黑龙江哈尔滨第三中学校·期中)设复数，是的共轭复数，则复平面内对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【来源】黑龙江省哈尔滨市第三中学校2025-2026学年高一下学期期中数学试题 【详解】因为复数，是的共轭复数，所以， 所以复平面内对应的点为，位于第一象限. 6．(25-26高一下·湖北荆州中学·月考)已知是关于x的方程的一个根，其中p、q为实数，则（   ） A．4 B．13 C．12 D．5 【答案】C 【来源】湖北省荆州中学2025-2026学年高一下学期5月月考数学试卷 【详解】因为是关于的方程的一个根， 所以也是关于的方程的一个根， 所以， 所以. 7．已知复数满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】河北省雄安新区2026届高三下学期考前预测数学试题 【详解】设复数 ，则， 根据复数相等的条件可得，解得，所以. 8．(25-26高一·上海第六十中学·)在复平面内，向量对应的复数为，向量对应的复数为，则向量对应的复数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】上海市第六十中学2025-2026学年高一第二学期5月阶段测验数学试题 【详解】根据向量运算关系可得：， 所以所对应的复数为：. 9．(25-26高一·陕西榆林横山中学·期中)已知复数满足，则在复平面内对应的点形成的轨迹为（    ） A．一条直线 B．一条线段 C．一个圆 D．一段圆弧 【答案】A 【来源】陕西榆林市横山中学2025-2026学年第二学期期中检测高一数学试题 【详解】记复数在复平面中的点为， 表示点到原点的距离，表示点到的距离， 因为，所以在复平面内对应的点形成的轨迹为线段的中垂线， 即一条直线. 10．(24-25高一下·江西吉安四所重点中学·)已知，若，则的最小值为__________. 【答案】 【来源】江西吉安市四所省重点中学2024-2025学年高一下学期第二次联考数学试题 【详解】因为， 所以复数在复平面对应的点到点的距离为1， 则复数在复平面对应的点的轨迹为以为圆心，为半径的圆， 而表示到原点的距离，且，则的最小值为. 【经典例题】地 城 考点02 复数的乘、除运算 1．(25-26高一下·河北邢台质检联盟·)的共轭复数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】河北邢台市质检联盟2025-2026学年高一下学期6月测评数学试题 【详解】因为， 所以的共轭复数为. 2．已知是虚数单位，复数______． 【答案】 【来源】天津市宝坻区第一中学2026届高三考前自测数学试题 【详解】 3．(25-26高一下·安徽阜阳临泉县临化高级中学·)若复数满足（i为虚数单位），则为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】安徽阜阳市临泉县临化高级中学2025-2026学年高一下学期5月教学质量测评数学试题A卷 【详解】，则． 4．(25-26高一下·广东广州十六中学·期中)已知复数在复平面内对应的点为，则（     ）． A． B． C． D． 【答案】D 【来源】广东省广州十六中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试题 【详解】由题知复平面内点对应复数为， 所以. . 5．(25-26高一下·重庆第十八中学·调研)设复数，满足，且，则____________． 【答案】 【来源】重庆市第十八中学2025-2026学年度高一下学期五月学情调研数学试题 【详解】法一：设，，， 由，则， 则， 即，， 则，， 即， 故， 又， 则 . 法二：由复数模长性质可得， 则， 故. 6．(25-26高一·上海宜川中学·)已知关于x的方程的两个根分别为，，若，则实数__________. 【答案】或 【来源】上海市宜川中学2025-2026学年第二学期阶段练高一数学 【详解】关于x的方程的两个根分别为，， 当时，即当时，方程有两个实数根分别为，， 有， 由 ，显然满足，因此. 当时，即当时，方程有两个虚数根分别为，， 根据一元二次方程虚数根的特点，设，则， 由， 由， 由，显然满足， 综上所述：实数，或. 【变式训练】 1．(25-26高一下·四川乐山沫若中学·月考)若复数，则___________． 【答案】 【来源】四川乐山市沫若中学2025-2026学年高一下学期4月月考数学试题 【详解】，所以. 2．设，则（   ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【来源】2023届安徽省、云南省、吉林省、黑龙江省高三下学期2月适应性测试数学试题 【详解】因为， 所以. 3．(25-26高一下·黑龙江哈尔滨第三中学校·)已知复数，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】黑龙江省哈尔滨市第三中学校2025-2026学年高一下学期6月阶段检测数学试题 【详解】由，则. 4．若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】山西省定襄县定襄中学校2026届高考临考预测数学试题 【详解】因为，， 所以. 5．(25-26高一下·湖北十堰郧阳中学、恩施土家族苗族高级中学·期中)复数，则的虚部是_____． 【答案】/ 【来源】湖北十堰市郧阳中学、恩施土家族苗族自治州高级中学2025-2026学年高一下学期5月期中联考数学试题 【详解】先化简：，. 所以，共轭复数. 的虚部为. 6．(25-26高一下·四川泸州合江县·期中)已知为虚数单位，复数满足，则的共轭复数的模为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】四川省泸州市合江县2025-2026学年高一下学期6月期中数学试题 【详解】由题设，则. 7．(25-26高一下·辽宁沈阳第十中学·)已知为虚数单位，且复数满足，则（ ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【来源】辽宁沈阳市第十中学2025-2026学年高一下学期第三次质量监测数学试卷 【详解】由，得 ， 所以， 所以. 8．(25-26高三下·上海延安中学·适考)已知，方程的一个根为（为虚数单位），则________． 【答案】 【来源】上海市延安中学2025-2026学年高三下学期5月适应性考试数学试卷 【详解】由方程的一个根为，可得方程的另一个根为， 根据根与系数的关系，可得. 9．(25-26高一下·黑龙江大庆实验中学实验二部·)（多选）已知复数，则下列结论正确的有（    ） A．对应的点在第四象限 B． C．的共轭复数为 D．的虚部为1 【答案】BCD 【来源】黑龙江大庆实验中学实验二部2025-2026学年高一下学期6月阶段考试数学试题 【详解】对于A选项，因为， 所以复数 z 对应的点为，在第一象限，故 A 错误； ，故B正确； ，故C正确； ，的虚部为1，故D正确. 10．(25-26高一下·海南华侨中学·月考)（多选）已知复数（为虚数单位），下列说法正确的是（     ） A．的对应点在第三象限 B．的虚部为 C． D．满足的复数对应的点在以原点为圆心，为半径的圆上 【答案】ACD 【来源】海南华侨中学2025-2026学年高一下学期第二次月考数学试题 【详解】由题可得：， 则复数在复平面内对应的点位于第三象限，A正确； 因为，则复数的虚部为，B错误； ，C正确； 由， 可知满足的复数对应的点在以原点为圆心，半径为的圆上，D正确. 【巩固练习】 1．(25-26高一·天津宝坻区第九中学·期中)已知是虚数单位，复数____________． 【答案】/ 【来源】天津市宝坻区第九中学2025-2026学年度高一第二学期阶段期中考试数学试卷 【详解】. 2．(25-26高一·天津北京师范大学天津生态城附属学校·期中)已知复数，则______ 【答案】 【来源】天津市北京师范大学天津生态城附属学校2025-2026学年高一第二学期期中考试数学试卷 【详解】可知，则，所以. 3．(25-26高一·贵州毕节黔西·期中)已知复数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】贵州毕节市黔西市2025-2026学年第二学期期中教学质量监测高一数学试题 【详解】，. 4．已知复数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】云南2026届高三下学期5月联考数学试题 【详解】，则. 5．(25-26高二下·云南红河州中央民族大学附属中学红河州实验学校·期中)已知复数满足，则的虚部为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】云南红河州中央民族大学附属中学红河州实验学校2025-2026学年高二下学期期中质量监测数学试卷 【详解】，，故的虚部为. 6．(25-26高一下·四川乐山沫若中学·月考)已知复数z满足，则z在复平面内对应的点所在的象限为（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【来源】四川乐山市沫若中学2025-2026学年高一下学期4月月考数学试题 【详解】由题意得复数， 复数z在复平面内对应的点为，该点位于第一象限. 7．(25-26高一下·河北邢台质检联盟·)（多选）若复数，则（） A． B．的虚部为 C．在复平面内对应的点位于第四象限 D．是方程的复数根 【答案】AC 【来源】河北邢台市质检联盟2025-2026学年高一下学期6月测评数学试题 【详解】. 选项A：，正确. 选项B：的虚部为，不是，错误. 选项C：在复平面内对应点为，位于第四象限，正确. 选项D：将代入方程可得： ，故不是该方程的根，错误. 8．(25-26高一·浙江金华卓越联盟·)（多选）复数，，已知，，下列说法正确的是（   ） A．复平面内与对应的点在第三象限 B． C． D． 【答案】BCD 【来源】浙江金华市卓越联盟2025-2026学年第二学期5月阶段性联考高一数学试题 【详解】对于A项，对应的点为在第二象限，故A错误； 对于B项，，则，故B正确； 对于C项，，故C正确； 对于D项，，故D正确. 9．(25-26高一下·广东广州科学城中学·期中)（多选）关于复数，下列说法正确的是（    ） A． B．z的共轭复数对应的点与z关于实轴对称 C．若复数满足，则 D．若，则 【答案】BD 【来源】广东广州科学城中学2025-2026学年高一下学期期中质量监测数学试题 【详解】对于A，复数的共轭复数为，，A错误；对于B，复数对应点，其共轭复数对应点，两点关于实轴（轴）对称，正确；对于C，由已知的解为，，因此由 不能推出 ，C错误；对于D，表示以点为圆心、半径为1的圆，圆心到原点的距离为，因此圆上的点到原点的距离最小值为，最大值为，即，D正确. 10．(25-26高一下·黑龙江齐齐哈尔第八中学·)（多选）已知复数（i为虚数单位），则 （      ） A．的共轭复数为 B．的虚部为 C． D． 【答案】BD 【来源】黑龙江省齐齐哈尔市第八中学2025-2026学年下学期高一6月阶段检测数学试卷 【详解】， 选项A：共轭复数要求实部不变，虚部变号，因此的共轭复数为，A错误； 选项B：的虚部为，B正确； 选项C：，C错误； 选项D：，D正确. 【经典例题】地 城 考点03 复数运算综合 1．(25-26高一下·安徽桐城中学·期中)若复数满足条件，则其在复平面内所对应的点构成的图形面积大小为__________. 【答案】 【来源】安徽省桐城中学2025-2026学年高一下学期4月期中考试数学试卷 【详解】设，则表示，点到的距离， 又表示：以为圆心，为半径的圆；表示，以为圆心，为半径的圆； 故表示一个圆环，如下所示： 故其面积为：.故答案为：. 2．(25-26高一下·上海浦东新区·期末)已知为虚数单位，为实数，复数． (1)当时，求的模和； (2)若为实数，求的值． 【来源】上海市浦东新区2025-2026学年高一下学期期末综合练习数学试题 【详解】（1）当时，， 所以复数的模为，共轭复数为. （2）因为， 因为该复数为实数，所以虚部为 0， 即：，解得. 3．(25-26高一下·河南九师联盟·月考)已知复数． (1)若复数为纯虚数，求的值； (2)若复数在复平面内对应的点位于第四象限，求的取值范围． 【来源】河南省九师联盟2025-2026学年高一下学期6月考数学试题（人教A版） 【详解】（1）由题意可知， 因为为纯虚数，则，解得， 所以，； （2） ， 因为在复平面内对应的点位于第四象限，所以，解得或， 即的取值范围是． 4．(25-26高一下·吉林吉林毓文中学·期中)（1）若复数（其中）为纯虚数，求的值； （2）已知，求； （3）已知是关于的一元二次实系数方程的一个根，求实数，的值． 【来源】吉林吉林市毓文中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试题 【详解】（1）由于为纯虚数，故 且，解得， （2）,则， （3）由于是关于的一元二次实系数方程的一个根， 故，即， 则， 因此且，解得， 5．(25-26高一·广东茂名高州·)设是实数，复数，（是虚数单位）. (1)若在复平面内对应的点在第一象限，求的取值范围； (2)求的最小值. 【来源】广东茂名市高州市2025~2026学年度第二学期高一质量监测数学试题 【详解】（1）， 复数在复平面内对应点的坐标为， 第一象限的点满足实部、虚部均大于0，因此，. 解得，即的取值范围是. （2）由得共轭复数，则 ， 根据复数模的计算公式得. 因为为实数，，当时，取最小值20，因此： ，即最小值为. 【变式训练】 1．(25-26高一下·广东广州十三中学·期中)（多选）已知复数（为虚数单位），则下列说法正确的是（     ） A． B．复数的虚部为 C．若对应的向量为，对应的向量为，则向量对应的复数为 D．若复数是关于的方程（，）的一个根，则 【答案】ABCD 【来源】广东省广州十三中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试题 【详解】选项A：由模长公式，代入得，A正确； 选项B：，复数的虚部为的系数，即，B正确； 选项C：向量对应的复数等于对应的复数减去对应的复数， 即，C正确； 选项D：实系数一元二次方程的虚根成对出现，故另一根为，由韦达定理得 ，，解得，故，D正确. 2．(25-26高一下·湖南邵阳第二中学等校·期中)已知复数z满足，且，则的最小值是（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】C 【来源】湖南邵阳市第二中学等校2025-2026学年高一下学期5月期中检测数学试题 【详解】设，，由题意可知，则， 又，由复数的几何意义知z在复平面内对应的点在半径为3的圆内部（含边界）的坐标轴上运动，如图所示即在线段，上运动， 设，则，由图象可知，所以. 3．(25-26高一·广东肇庆端州中学·期中)已知复数，． (1)当z为纯虚数时，求m的值； (2)当时，z是关于x的方程的一个根，求实数p，q的值． 【来源】广东肇庆市端州中学2025-2026学年第二学期高一数学期中检测试题 【详解】（1）复数，其中实部为，虚部为， 由纯虚数的定义得： ，解得. （2）当时， ， z是关于x的方程的一个根，得： ， 由复数相等的充要条件得： ， 解得， 代入方程得. 4．(25-26高一下·湖北十堰郧阳中学、恩施土家族苗族高级中学·期中)设实数，复数 ． (1)若复数是纯虚数，求实数的值； (2)当时，复数是方程的一个根，求实数，的值． 【答案】(1) (2)， 【来源】湖北十堰市郧阳中学、恩施土家族苗族自治州高级中学2025-2026学年高一下学期5月期中联考数学试题 【详解】（1） 因为复数是纯虚数，所以,解得, 综上所述. （2）当时，， 因为方程为实系数一元二次方程，所以复数根成对共轭出现，另一根为 ． 由韦达定理得 综上所述，． 5．(25-26高一下·宁夏银川永宁中学·期中)已知复数，复数在复平面内对应的点为． (1)若复数是关于的方程的一个根，，求的值： (2)若复数满足，求复数的共轭复数． 【来源】宁夏银川市永宁中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试题 【详解】（1）由题意，将代入方程可得， 整理得，即， 所以，解得， 所以. （2）由题意 ， 所以， 则复数的共轭复数 6．(25-26高一下·广东茂名·期中)已知是虚数，，，且. (1)求的值和的实部的取值范围； (2)求证：为纯虚数； (3)求的最小值. 【来源】广东茂名市2025-2026学年高一下学期5月期中考试数学试题 【详解】（1）设，且，则 . 因，得出为实数，那么，. . ，因为，所以，. （2）证:，且(1)得. 因此为纯虚数. （3）由上题得，，，那么. 设，那么 . 其最小值在时取得，即，因为，所以， 因此时取得最小值且最小值为. 【巩固练习】 1．(25-26高一·山东淄博实验中学、淄博齐盛高中·)（多选）已知为虚数单位，则下列说法正确的是（     ） A．若，则 B．若，互为共轭复数，，则 C．若复数满足，则的最大值为 D．若复数是实系数方程的一个根，则 【答案】BCD 【来源】山东淄博实验中学、淄博齐盛高中2025-2026学年高一第二学期第一次模块考试数学试题 【详解】对于A，取反例，满足，但均不为0，故A错误； 对于B，先化简，其共轭复数， 由于的幂次周期为4，，故，故B正确； 对于C，的几何意义是复平面上对应点的轨迹为以为圆心、半径为的圆，是圆上点到原点的距离， 原点到圆心距离为，故最大值为，故C正确； 对于D，实系数方程的虚根互为共轭复数，因此另一根为， 由韦达定理：两根和为，解得；两根积为，解得 故，故D正确. 2．(25-26高一·河北黄骅中学·)已知复数，. (1)求； (2)求； (3)若，求. 【来源】河北黄骅中学2025-2026学年高一第二学期6月测试数学试卷 【详解】（1）， . （2）. （3）因为， 所以. 3．(25-26高一下·吉林长春九台区第一中学、农安县实验中学等校·期中)已知复数． (1)若为实数，求m的值； (2)若为纯虚数，求； (3)证明：在复平面内对应的点位于第四象限． 【来源】吉林长春市九台区第一中学、农安县实验中学等校2025-2026学年高一下学期期中联考数学试卷 【详解】（1）， 因为为实数，所以，得． （2）因为为纯虚数，所以 解得．故． （3）． 因为， 所以在复平面内对应的点位于第四象限． 4．(25-26高一下·陕西安康·)已知复数． (1)若，求； (2)若复数为纯虚数，求的值； (3)若复数在复平面内对应的点位于第一象限，求的取值范围． 【来源】陕西安康市2025-2026学年高一年级下学期阶段性检测数学试题 【详解】（1）时，， ． （2）若为纯虚数，则， 解得，解得， 综上可得，． （3）已知复数在复平面内对应的点位于第一象限， ，解得，或；解得，； 的取值范围为． 试卷第1页，共3页 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $