第八章 空间几何体的表面积与体积的求解训练-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

**基本信息** 以公式体系为基础，以组合体处理为核心，通过题型分类构建“概念-方法-应用”逻辑链，突出空间观念与推理能力培养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |柱锥台表面积|8题|正棱柱侧面积公式应用、圆锥轴截面与侧面积关系、表面积比值计算|从基本几何体公式到复杂几何体（正四面体、切割圆柱）表面积求解| |柱锥台体积|6题|圆锥侧面展开圆心角与体积关联、圆台扇环圆心角求体积、棱台体积公式应用|结合空间几何体结构特征（正四棱台、正方体截锥）深化体积计算| |球的表面积体积|6题|球的体积表面积关系、圆锥与球表面积体积比、圆柱与球体积比|围绕球的基本公式，结合柱锥结构考查空间度量关系| |组合体表面积体积|10题|拼接/挖空体积加减、表面积重复面扣除、旋转体构成分析|从简单组合到复杂旋转体/挖切体，强化空间分解与几何直观|

第八章 空间几何体的表面积与体积的求解 目录 题型1：柱、锥、台的表面积 3 题型2：柱、锥、台的体积 3 题型3：球的体积和表面积的简单应用 5 题型4：组合体的表面积和体积 5 1. 简单几何体的表面积与体积 表面积 体积 棱柱 V棱柱=Sh (S为棱柱的底面积，h为棱柱的高) 棱锥 (S为棱锥的底面面积，h为棱锥的高) 棱台 (分别为棱台的上、下底面面积，h为棱台的高) 圆柱 (是底面半径，是高且) 圆锥 (是底面半径，是高且) 圆台 (分别为上、下底面面积) (分别是上、下底面半径，是高且) 球 2. 组合体的表面积与体积 (1) 体积：直接相加或相减 拼接型：把组合体拆成几个基本几何体，体积相加； 挖空型：大几何体减去被挖去的部分，体积相减. (2) 表面积：不是简单相加！ 这是最容易出错的地方。 拼接时，相接的两个面要去掉（各算一次，不能重复）; 挖空时，挖去的面一般不算表面积，但内表面可能要算（看题目是否要求“外露表面积”）. 题型1：柱、锥、台的表面积 【例1.1.】 已知正三棱柱中，，则该正三棱柱的表面积为（   ） A． B． C． D． 【例1.2.】 已知某圆锥的底面积为，轴截面为等边三角形，则该圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【例1.3.】 已知一个圆锥与一个圆柱的底面半径均为3，高均为4，则圆锥的表面积与圆柱的表面积的比值是（    ） A． B． C． D． 【例1.4.】 已知正四面体的棱长都是2，则这个正四面体的表面积是（    ） A． B． C． D． 【例1.5.】 在四面体中，，则该四面体的表面积为（   ） A． B． C． D． 【例1.6.】 四等分切割如下图所示的圆柱，再将其重新组合成一个新的几何体，若新几何体的表面积比原圆柱的表面积增加了10，则圆柱的侧面积是________. 【例1.7.】 若正六棱台的上、下底面边长分别是2和4，侧棱长是3，则它的表面积为________. 【例1.8.】 圆台的上底面圆的半径为1，下底面圆的半径为2，高为，则圆台的表面积为______. 题型2：柱、锥、台的体积 【例2.1.】 已知一个圆锥的底面半径为2，且它的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则这个圆锥的体积是_____. 【例2.2.】 圆台的上、下底面半径分别为10和20，它的侧面展开所得的扇环所对的圆心角为180°，则圆台的体积为(　　) A． B． C． D． 【例2.3.】 一个正四棱台的上底边长与侧棱长相等，且为下底边长的一半，一个侧面的面积为，则该正四棱台的体积为（   ） A． B． C． D． 【例2.4.】 如图，正四棱锥底面边长和高均为，分别是其所在棱的中点，则几何体的体积为______.    【例2.5.】 如图，在正方体的八个顶点中，，，，四个顶点恰好是正三棱锥的顶点，则正三棱锥的体积与正方体的体积之比为（   ） A． B． C． D． 【例2.6.】 正三棱柱的底面边长为，高为，为上的点，，平面将该棱柱截成两个几何体，那么小的几何体与大的几何体的体积比值为（   ） A． B． C． D． 题型3：球的体积和表面积的简单应用 【例3.1.】 已知半径为的球的体积与表面积相等，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【例3.2.】 已知圆锥的轴截面是等边三角形，若该圆锥的表面积与球O的表面积相等，则该圆锥的体积与球O的体积之比为（   ） A． B． C． D． 【例3.3.】 如图圆柱的底面直径和高都等于球的直径，则球与圆柱的体积之比为（    ） A． B． C． D． 【例3.4.】 体积为的球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【例3.5.】 若一个半径为的球与一个底面半径为的圆柱体积相等，则圆柱的高为______. 【例3.6.】 一个底面半径为2cm的圆柱形容器内盛有足量的水，能放入一个半径为1cm的实心铁球，沉入水底后，水未溢出容器，则水面升高了________cm． 题型4：组合体的表面积和体积 【例4.1.】 如图，该几何体由高均为1的圆锥与圆柱组成，圆锥的底面与圆柱的上底面重合，若该几何体底面半径为1，则下列说法不正确的是（    ） A．圆锥的母线长为 B．圆锥与圆柱的体积比为 C．该几何体的表面积为 D．该几何体的体积为 【例4.2.】 （多选）如图，封闭图形由线段和曲线组成，其中三点共线，，曲线是以为圆心，为半径的一段弧，且所对的圆心角为，将该图形绕着所在的直线旋转一周得到旋转体，则（    ） A．该旋转体由个球体和1个圆锥体组成 B．该旋转体由个球体和1个圆锥体组成 C．该旋转体的表面积为 D．该旋转体的体积为 【例4.3.】 如图，一个几何体是由一个正三棱柱内挖去一个倒圆锥组成，该三棱柱的底面正三角形的边长为，高为，圆锥的底面内切于该三棱柱的上底面.     (1)求该几何体的体积； (2)求该几何体的表面积； (3)现准备剪一张彩色塑料纸装饰，使其刚好贴合圆锥内壁表面，请画出剪好后的塑料纸展开图，在图中标出所有的长度及角度. 【例4.4.】 如图，圆锥的底面半径是1，高是. (1)过线段的中点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，求剩下几何体的表面积与体积. (2)若过线段上的任意一点作平行于底面的截面，并以该截面为底面挖去一个圆柱，求挖去的圆柱侧面积的最大值. 【例4.5.】 如图所示的几何体，由上、下两层组成，上层是正四棱锥，下层是长方体，，，．    (1)求这个几何体的表面积； (2)求这个几何体的体积． 【例4.6.】 如图，在封闭图形ABCD中，CD段是以直线AD上的点E为圆心，DE长为半径的四分之一圆弧，，，，求图中封闭图形ABCD绕AD所在直线旋转一周所形成几何体的表面积和体积． 【例4.7.】 如图，棱长为5的立方体无论从哪一面看，都有两个直通的边长为1的正方形孔，则这个有孔立方体的表面积（含孔内各面）是___________． 【例4.8.】 庑殿式屋顶是中国古代建筑中等级最高的屋顶形式，分为单檐庑殿顶与重檐庑殿顶．单檐庑殿顶主要有一条正脊和四条垂脊，前后左右都有斜坡（如图①）（如图②），若四边形是矩形，，且，，则五面体的表面积为（　　） A．64 B． C． D． 【例4.9.】 如图，正三棱柱的所有棱长都为2，点分别在棱上，其中，则几何体的体积为______． 【例4.10.】 已知长方体中，，，用平面截去长方体的一个角后得到如图所示的几何体． (1)求被截去的几何体的体积； (2)求几何体的表面积． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 第八章 空间几何体的表面积与体积的求解 目录 题型1：柱、锥、台的表面积 3 题型2：柱、锥、台的体积 6 题型3：球的体积和表面积的简单应用 11 题型4：组合体的表面积和体积 13 1. 简单几何体的表面积与体积 表面积 体积 棱柱 V棱柱=Sh (S为棱柱的底面积，h为棱柱的高) 棱锥 (S为棱锥的底面面积，h为棱锥的高) 棱台 (分别为棱台的上、下底面面积，h为棱台的高) 圆柱 (是底面半径，是高且) 圆锥 (是底面半径，是高且) 圆台 (分别为上、下底面面积) (分别是上、下底面半径，是高且) 球 2. 组合体的表面积与体积 (1) 体积：直接相加或相减 拼接型：把组合体拆成几个基本几何体，体积相加； 挖空型：大几何体减去被挖去的部分，体积相减. (2) 表面积：不是简单相加！ 这是最容易出错的地方。 拼接时，相接的两个面要去掉（各算一次，不能重复）; 挖空时，挖去的面一般不算表面积，但内表面可能要算（看题目是否要求“外露表面积”）. 题型1：柱、锥、台的表面积 【例1.1.】 已知正三棱柱中，，则该正三棱柱的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】棱柱表面积的有关计算 【详解】已知正三棱柱中，， 正三棱柱底面是边长为2的正三角形，高为2， 正三棱柱的底面面积，侧面， 正三棱柱的表面积为：． 【例1.2.】 已知某圆锥的底面积为，轴截面为等边三角形，则该圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】圆锥表面积的有关计算 【分析】根据圆锥的底面积求出底面半径，再由轴截面为等边三角形求得圆锥的母线长，再代入圆锥的侧面积公式求解. 【详解】因为底面积为，所以圆锥的底面半径为2，轴截面为等边三角形， 所以该圆锥的母线长为4， 所以. 【例1.3.】 已知一个圆锥与一个圆柱的底面半径均为3，高均为4，则圆锥的表面积与圆柱的表面积的比值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.82 【知识点】圆柱表面积的有关计算、圆锥表面积的有关计算 【分析】由圆锥、圆柱的表面积公式即可求解. 【详解】由底面半径，高， 圆锥母线长， 圆锥表面积： 圆柱表面积： ， 所以 . 【例1.4.】 已知正四面体的棱长都是2，则这个正四面体的表面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】正棱锥及其有关计算、棱锥表面积的有关计算 【分析】正四面体各个面都是正三角形，直接计算面积即可. 【详解】. 【例1.5.】 在四面体中，，则该四面体的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】余弦定理解三角形、棱锥表面积的有关计算、三角形面积公式及其应用 【分析】应用三角形面积公式及余弦定理计算求解，最后结合同角三角函数关系及面积公式计算求值. 【详解】记，，，的面积分别为， 则，， ， 而由余弦定理得，故，而显然， 由勾股定理得， 于是， 由得， 故， 故四面体的表面积． 【例1.6.】 四等分切割如下图所示的圆柱，再将其重新组合成一个新的几何体，若新几何体的表面积比原圆柱的表面积增加了10，则圆柱的侧面积是________. 【答案】 【难度】0.77 【知识点】圆柱表面积的有关计算 【详解】设圆柱的底面半径为，高为， 根据题意，将圆柱重新组合成的几何体，表面积多了两个矩形，对应的边长分别为， 所以表面积增加了，即， 所以圆柱的侧面积为 【例1.7.】 若正六棱台的上、下底面边长分别是2和4，侧棱长是3，则它的表面积为________. 【答案】 【难度】0.85 【知识点】棱台表面积的有关计算 【详解】正六棱台的表面积， 而，， ， 所以. 【例1.8.】 圆台的上底面圆的半径为1，下底面圆的半径为2，高为，则圆台的表面积为______. 【答案】 【难度】0.75 【知识点】圆台表面积的有关计算 【分析】求出上、下圆的面积，作出截面，利用勾股定理求出母线的长，进而求出圆台的侧面积，即可求出圆台的表面积. 【详解】由题意，圆台的上、下底面半径分别为1和2，高为， ∴上下圆面积分别为：，， 作出截面图，并作出截面上端点对底边的垂线，如下图所示， 由几何知识得， ，，，， 在Rt中，， 由勾股定理得，， ∴圆台的侧面积为：， ∴圆台的表面积为：. 题型2：柱、锥、台的体积 【例2.1.】 已知一个圆锥的底面半径为2，且它的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则这个圆锥的体积是_____. 【答案】 【难度】0.75 【知识点】圆锥表面积的有关计算、锥体体积的有关计算 【详解】 设圆锥母线长为，则，解得， 所以圆锥高为，则圆锥的体积为. 【例2.2.】 圆台的上、下底面半径分别为10和20，它的侧面展开所得的扇环所对的圆心角为180°，则圆台的体积为(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.84 【知识点】台体体积的有关计算、圆台的结构特征辨析 【分析】由圆台的侧面展开图可得母线长，进而可求圆台的高，再结合圆台体积的计算公式即可求解. 【详解】如图所示，设圆台的上底面周长为，下底面周长为， 因为扇环所对的圆心角为180°，所以，解得， ，解得，故圆台的母线， 高， 故圆台的体积 【例2.3.】 一个正四棱台的上底边长与侧棱长相等，且为下底边长的一半，一个侧面的面积为，则该正四棱台的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.62 【知识点】正棱台及其有关计算、棱台表面积的有关计算、台体体积的有关计算 【详解】设正四棱台的上底边长为，则侧棱长为，下底边长为， 正四棱台的侧面是等腰梯形，设斜高为，则 ， 侧面积为：， 解得，或（舍去）， ， 设棱台的高为，则， 上底面积， 下底面积， 该正四棱台的体积： ． 【例2.4.】 如图，正四棱锥底面边长和高均为，分别是其所在棱的中点，则几何体的体积为______.    【答案】 【难度】0.65 【知识点】求组合体的体积、正棱锥及其有关计算、锥体体积的有关计算、台体体积的有关计算 【分析】分别计算和，作差得到答案. 【详解】正四棱锥底面边长和高均为，分别是其所在棱的中点， 则正四棱锥的底面边长和高均为， 则，， 故几何体的体积为. 【例2.5.】 如图，在正方体的八个顶点中，，，，四个顶点恰好是正三棱锥的顶点，则正三棱锥的体积与正方体的体积之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.7 【知识点】锥体体积的有关计算、柱体体积的有关计算 【分析】设正方体的棱长为，求得正方体的体积是，结合间接法，求得正三棱锥的体积为，进而得到正三棱锥的体积与正方体的体积之比. 【详解】设正方体的棱长为，可得该正方体的体积是， 由三棱锥的体积为 正三棱锥的体积为， 所以正三棱锥的体积与正方体的体积之比为. 【例2.6.】 正三棱柱的底面边长为，高为，为上的点，，平面将该棱柱截成两个几何体，那么小的几何体与大的几何体的体积比值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.42 【知识点】柱体体积的有关计算、台体体积的有关计算 【分析】先确定平面截棱柱的截面位置及截成的几何体的形状，一个三棱台和一个五面体，再分别计算三棱台的体积和三棱柱的体积，进而可得体积比值. 【详解】如图：设平面与棱交于点， 由棱柱的性质知，平面，平面， 所以平面，且平面，平面平面， 所以，因此，所以几何体是三棱台， ， ， ，， 所以，小的几何体与大的几何体的体积比值为. 题型3：球的体积和表面积的简单应用 【例3.1.】 已知半径为的球的体积与表面积相等，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【难度】0.9 【知识点】球的体积的有关计算、球的表面积的有关计算 【详解】因为半径为的球的体积与表面积相等， 所以. 【例3.2.】 已知圆锥的轴截面是等边三角形，若该圆锥的表面积与球O的表面积相等，则该圆锥的体积与球O的体积之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.74 【知识点】锥体体积的有关计算、球的体积的有关计算、圆锥表面积的有关计算、球的表面积的有关计算 【详解】设圆锥的底面半径为r，则其母线长为2r，高为， 所以该圆锥的表面积为， 设球O的半径为R，则球O的表面积为， 由题意知，所以， 圆锥的体积，球O的体积， 所以. 【例3.3.】 如图圆柱的底面直径和高都等于球的直径，则球与圆柱的体积之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】球的体积的有关计算、柱体体积的有关计算 【分析】设球的半径为R，根据球与圆柱的体积公式计算即可 【详解】设球的半径为R，则圆柱的底面半径为R，高． 则球的体积，圆柱的体积， ∴. 【例3.4.】 体积为的球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】球的体积的有关计算、球的表面积的有关计算 【详解】设该球半径为r，则，解得， 则该球的表面积为． 【例3.5.】 若一个半径为的球与一个底面半径为的圆柱体积相等，则圆柱的高为______. 【答案】/ 【难度】0.88 【知识点】柱体体积的有关计算、球的体积的有关计算 【详解】设圆柱的高为， 则，， 由，解得. 【例3.6.】 一个底面半径为2cm的圆柱形容器内盛有足量的水，能放入一个半径为1cm的实心铁球，沉入水底后，水未溢出容器，则水面升高了________cm． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】柱体体积的有关计算、球的体积的有关计算 【分析】利用上升水的体积等于实心铁球的体积计算即可得. 【详解】设水面升高了cm，由题意知，解得：. 题型4：组合体的表面积和体积 【例4.1.】 如图，该几何体由高均为1的圆锥与圆柱组成，圆锥的底面与圆柱的上底面重合，若该几何体底面半径为1，则下列说法不正确的是（    ） A．圆锥的母线长为 B．圆锥与圆柱的体积比为 C．该几何体的表面积为 D．该几何体的体积为 【答案】C 【难度】0.72 【知识点】求组合旋转体的表面积、求组合体的体积、圆柱表面积的有关计算、圆锥表面积的有关计算 【详解】因为圆锥的底面半径为1，高为1，所以圆锥的母线长为，A正确； 圆锥的体积，圆柱的体积， 所以圆锥与圆柱的体积比为，B正确； 该几何体的体积为，D正确； 圆锥的侧面积，圆柱的侧面积， 圆柱的下底面面积， 所以该几何体的表面积为，C错误. 【例4.2.】 （多选）如图，封闭图形由线段和曲线组成，其中三点共线，，曲线是以为圆心，为半径的一段弧，且所对的圆心角为，将该图形绕着所在的直线旋转一周得到旋转体，则（    ） A．该旋转体由个球体和1个圆锥体组成 B．该旋转体由个球体和1个圆锥体组成 C．该旋转体的表面积为 D．该旋转体的体积为 【答案】BC 【难度】0.7 【知识点】求旋转体的体积、求组合旋转体的表面积、球的表面积的有关计算、由平面图形旋转得旋转体 【详解】由题知，该旋转体由个球体和1个圆锥体组成，半球体的半径为3，圆锥体的底面半径为3，高为6，母线长为， 则该旋转体的表面积为，体积为. 【例4.3.】 如图，一个几何体是由一个正三棱柱内挖去一个倒圆锥组成，该三棱柱的底面正三角形的边长为，高为，圆锥的底面内切于该三棱柱的上底面.     (1)求该几何体的体积； (2)求该几何体的表面积； (3)现准备剪一张彩色塑料纸装饰，使其刚好贴合圆锥内壁表面，请画出剪好后的塑料纸展开图，在图中标出所有的长度及角度. 【答案】(1) (2) (3)答案见解析 【难度】0.65 【知识点】求组合多面体的表面积、求组合体的体积、圆锥的展开图及最短距离问题、柱体体积的有关计算 【分析】（1）首先求出正三棱柱的体积，然后求出圆锥的体积，两者相减即是该几何体的体积. （2）首先求出正三棱柱的表面积，然后求出圆锥的侧面积和底面积，通过相加减即可得到该几何体的表面积. （3）根据圆锥的结构特征和扇形的相关公式即可求出. 【详解】（1）正三棱柱的底面积为， 所以正三棱柱的体积为， 设正三角形的内切圆半径为，所以，所以， 所以圆锥的体积为， 所以该几何体的体积为. （2）因为正三棱柱的表面积为， 圆锥的母线长为， 所以圆锥的侧面积为， 圆锥的底面圆面积为，所以该几何体的表面积为. （3）圆锥的侧面展开图是扇形，其半径即圆锥的母线长为， 扇形的弧长即圆锥的底面周长为， 故扇形的圆心角为，所以塑料纸展开图如图. 【例4.4.】 如图，圆锥的底面半径是1，高是. (1)过线段的中点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，求剩下几何体的表面积与体积. (2)若过线段上的任意一点作平行于底面的截面，并以该截面为底面挖去一个圆柱，求挖去的圆柱侧面积的最大值. 【答案】(1)， (2) 【难度】0.66 【知识点】锥体体积的有关计算、圆锥表面积的有关计算、圆柱表面积的有关计算、求组合体的体积 【分析】（1）求得圆柱的底面半径和高，由此求得剩下几何体的表面积和体积. （2）首先求得圆柱的侧面积表达式，结合二次函数的性质即可求解. 【详解】（1）由题可知，， 所以剩下几何体的表面积为：， 体积为 （2）取上一点，设，则， 所以， 所以圆柱侧面积为， 所以当时，圆柱侧面积最大，为 【例4.5.】 如图所示的几何体，由上、下两层组成，上层是正四棱锥，下层是长方体，，，．    (1)求这个几何体的表面积； (2)求这个几何体的体积． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】求组合体的体积、求组合多面体的表面积 【分析】（1）取的中点，连接，先求出，进而求得正四棱锥的侧面积，再求长方体底座的侧面积和底面积，把它们相加，即得这种几何体的表面积； （2）连接，设的交点为，连接，根据图形和相关边长求出正四棱锥的高，再利用棱锥和长方体的体积公式计算即得. 【详解】（1）如图，取的中点，连接， 由四棱锥为正四棱锥知，所以，且， 又，所以， 则， 故正四棱锥的侧面积为． 长方体的侧面积为， 长方体的下底面积为， 所以这个几何体的表面积为． （2）连接，设的交点为，连接， 易知为正四棱锥的高，且， 因为，所以，又，所以， 则正四棱锥的体积为． 长方体的体积为． 所以这个几何体的体积为．    【例4.6.】 如图，在封闭图形ABCD中，CD段是以直线AD上的点E为圆心，DE长为半径的四分之一圆弧，，，，求图中封闭图形ABCD绕AD所在直线旋转一周所形成几何体的表面积和体积． 【答案】表面积，体积 【难度】0.68 【知识点】求组合旋转体的表面积、求组合体的体积 【分析】根据球体的表面积和体积公式，圆锥表面积，圆台体积公式即可求解． 【详解】过点C作，垂足为F，则，， 所以， ； ． 【例4.7.】 如图，棱长为5的立方体无论从哪一面看，都有两个直通的边长为1的正方形孔，则这个有孔立方体的表面积（含孔内各面）是___________． 【答案】222 【难度】0.42 【知识点】求组合多面体的表面积、棱柱表面积的有关计算 【分析】根据给定条件，利用有孔立方体的表面积的意义，结合棱柱侧面积公式计算得解. 【详解】依题意，正方体表面去掉每个面上的两个边长为1的正方形后，面积， 6个直通的正四棱柱去掉6个交汇处的小正方体后的侧面积为， 所以这个有孔立方体的表面积为. 【例4.8.】 庑殿式屋顶是中国古代建筑中等级最高的屋顶形式，分为单檐庑殿顶与重檐庑殿顶．单檐庑殿顶主要有一条正脊和四条垂脊，前后左右都有斜坡（如图①）（如图②），若四边形是矩形，，且，，则五面体的表面积为（　　） A．64 B． C． D． 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】求组合多面体的表面积 【分析】根据平面图形的几何性质，分别求等腰三角形和梯形的高，再求各个面的面积，即可求总面积． 【详解】分别取的中点，连接， 过点作的垂线，垂足为， 因为，，所以，所以， 根据对称性可得，所以， 在中，，所以， ， 又， 所以． 故选：D． 【例4.9.】 如图，正三棱柱的所有棱长都为2，点分别在棱上，其中，则几何体的体积为______． 【答案】 【难度】0.62 【知识点】形状相同的几何体体积的比、求组合体的体积、柱体体积的有关计算 【详解】如图所示，连接. 因为，所以梯形和梯形的面积相等， 所以四棱锥和四棱锥的体积相等； 因为，所以点到平面和平面的距离相等， 因为和的面积相等， 所以三棱锥和三棱锥的体积相等. 所以， 因为， 所以几何体的体积等于. 【例4.10.】 已知长方体中，，，用平面截去长方体的一个角后得到如图所示的几何体． (1)求被截去的几何体的体积； (2)求几何体的表面积． 【答案】(1)2 (2) 【难度】0.78 【知识点】锥体体积的有关计算、求组合多面体的表面积 【分析】（1）由题可知截去的几何体为三棱锥，再利用锥体体积公式计算即可； （2）由题可知表面由3个三角形和3个矩形构成，结合余弦定理求面积即可． 【详解】（1）解：被截去的几何体为三棱锥，体积为． （2）解：因为，， 所以，，， ． ，， 在中，由余弦定理得， 则， 所以， 所以． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $