2025-2026学年山西省吕梁市人教版七年级下学期期末模拟卷（一）

**基本信息** 融入嫦娥七号、春晚武术等时代情境，覆盖代数、几何、统计核心知识，通过折叠台灯探究、动点综合题等设计，考查数学眼光、思维与语言的综合应用。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|平移、同位角、算术平方根|以祥云图案、桔槔杠杆为情境，考查空间观念| |填空题|5/15|平方根、光的反射、不等式组整数解|结合会徽设计、光反射定律，体现应用意识| |解答题|8/75|统计图表、坐标系综合、几何探究|折叠台灯几何证明（推理能力）、动点问题（创新意识），层次分明|

2026年山西省吕梁市人教版七年级期末模拟卷（一） （数学） 姓名__________ 考号___________ 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．祥云，寓意祥瑞之云气，表达了吉祥、喜庆、幸福的愿望以及对生命的美好向往．下列选项中可以看作是下面祥云图案平移得到的是（   ） A． B． C． D． 2．如图①是最早出现在春秋时代的桔槔。桔槔始见于《墨子·备城门》，它是在一根竖立的架子上加上一根细长的杠杆，当中是支点，末端悬挂一个重物，前端悬挂水桶，当水桶中的水打满以后，可借助重物轻松地将水拉起．如图②是“桔槔”的简易装置图，则与构成同位角的是（　　） A． B． C． D． 3．如果的算术平方根是，则下列式子中成立的是（　　） A． B． C． D． 4．某公司近年来的销售收入情况如图所示： 请你根据趋势图预测该公司2025年的销售收入为（    ） A．75万元 B．80万元 C．85万元 D．94万元 5．嫦娥七号探测器计划于2026年8月发射，探索月球南极．在发射场地面坐标系中，某关键设备位于点，已知点，且直线轴，则的值为（   ） A． B． C． D． 6．定义运算“*”，规定 ，其中a、b为常数，且，，则（   ） A．-3 B．5 C．25 D．29 7．嘉淇解一道一元一次不等式的过程如下： 解：， ， □， x☆ 其中，“◇”“□”表示数字，“☆”表示不等号，则“◇”“□”“☆”分别代表（    ） A．6，4， B．6，4， C．，， D．，， 8．2026年央视春晚武术节目《武》以“人机共武”表演惊艳全球，首次实现机器人持武器动态操控，成为科技与传统文化融合的典范之作．如图1是机器人在展示中国功夫时的精彩瞬间，图2是其瞬间的几何示意图，其中，，，则（     ） A． B． C． D． 9．下列说法正确的是（   ） A．是分数 B．如果，那么 C．若，那么 D．两个无理数的和不一定是无理数 10．如图，在平面直角坐标系中，，把一根长为2025个单位长度且没有弹性的细线(线的粗细忽略不计)的一端固定在点处，并按的规律绕在四边形的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是(   ) A． B． C． D． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11．2026年某校举办校园科技文化节．设计了正方形的主题会徽．已知该会徽面积的一个平方根是2026，另一个平方根是，则m的值为______． 12．根据光的反射定律，入射光线和平面镜的夹角等于反射光线和平面镜的夹角．如图，笔直的墙面上点的灯泡发出的一束光线照在平面镜上的点，，反射光线恰好和墙面平行，若，则的度数为__________． 13．小明用若干张图1中的长方形和正方形卡片，拼成了如图2所示的长方形图案，已知拼成的长方形周长为，则______． 14．已知关于y的不等式组有且只有3个整数解，则满足条件的所有整数a的值之和为______． 15．如图，，，延长交的平分线于点．若，，则______． 三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（10分）计算： (1) (2) 17．（7分）下面是两位同学解方程组的做法， 芊芊的做法如下： 由方程①得③ 将方程③代入②得 解得 把代入③ ∴方程组的解为 浩浩的做法如下： 由①×2得③ 由②＋③得 解得 把代入①得 ∴方程组的解为 请认真阅读并完成下面的问题． (1)芊芊的消元方法是 ；浩浩的消元方法是 ． (2)判断 （选填“芊芊”或“浩浩”）的解答过程有误，并运用该同学的消元方法进行正确解答． 18．（8分）李老师对本班学生的兴趣爱好进行了一次调查，并根据采集到的数据绘制了如图所示的扇形统计图和条形统计图，统计图有些地方不完整，请你根据统计图中的信息回答下列几个问题． (1)球类运动人数占调查人数的______%，参与本次调查的人数共______人； (2)扇形统计图中，爱好为音乐类所对的圆心角为______°，爱好音乐的学生有______名； (3)已知爱好阅读人数与其他爱好人数的比值为15，将条形统计图补充完整（绘图虚线已给出）． 19．（8分）某校400名师生参加迎元旦环湖跑，学校计划租用大客车、小客车若干辆将师生送往活动地点．已知租用的大客车、小客车满员载客数量如下表格所示： 大客车（辆） 小客车（辆） 共计载客人数 1 3 105 3 2 175 (1)求每辆小客车与每辆大客车满员分别能坐的人数？ (2)若租用小客车辆，租用大客车辆，保证大小客车均要有且满员，同时将师生运送完毕，请设计出所有的租车方案． 20．（8分）如图，在平面直角坐标系中，点在轴上，点在轴上，，，点在第二象限． (1)写出，两点的坐标； (2)若点，请在图中画出点，并画出当的长最小时点的位置，并写出的值； (3)若线段经过平移后得到线段，请画出此时点的位置，并写出平移的过程； (4)点在轴上，三角形的面积等于四边形面积的，当时，求点的坐标． 21．（9分）阅读与思考 下面是某同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务． 探索141的算术平方根的近似值思考：表示4的算术平方根，其值为2．同样地，表示36的算术平方根，其值为6，则141的算术平方根是多少呢？ 问题解决：141的算术平方根为，可以将其转化为正方形的边长求解． ，． 设，则． ，（依据）， ，即．画出如图1所示的示意图， 可得图中正方形的面积． ，． 当时，可忽略，得，得到， 即． 任务： (1)材料中的依据是______（填“A”或“B”），材料中的解题过程主要体现的思想是______（填“C”或“D”）． A． 不等式的性质1    B． 不等式的性质2 C． 分类讨论思想    D． 数形结合思想 (2)仿照上述方法，在图2中补全探究近似值的相关数据． (3)的近似值为______．（保留一位小数） 22．（12分）综合与实践 【探究发现】 （1）小明家有一款可折叠的护眼台灯如图1，是灯头，，是支架，是底座，连接部分可分别绕连接点B，E，D旋转，当旋转至时，图2是其平面示意图，小明发现，请证明小明的发现． 【拓展延伸】 （2）保持，当旋转到如图3所示位置时，判断，，之间的数量关系，并证明． 【学以致用】 （3）如图4，，，和的平分线相交于点P，求的度数． 23．（13分）综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，点在轴负半轴上，点在轴负半轴上，点，其中满足．动点从点出发，沿轴正方向以每秒2个单位长度的速度向原点匀速运动；同时动点从原点出发，沿轴负方向以每秒1个单位长度的速度向点匀速运动． 设运动时间为秒，连接． 【基础应用】 (1)点的坐标是_____，和的位置关系是_____； 【拓展探究】 (2)请你通过添加辅助线，探究在动点、运动过程中，与这三个角之间的数量关系，并说明理由． 【综合应用】 (3)在动点运动过程中，当时，求的值及此时点的坐标． 试卷第2页，共22页 试卷第1页，共8页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年山西省吕梁市人教版七年级期末模拟卷（一）（解析版） （数学） 姓名__________ 考号___________ 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．祥云，寓意祥瑞之云气，表达了吉祥、喜庆、幸福的愿望以及对生命的美好向往．下列选项中可以看作是下面祥云图案平移得到的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平移的定义：将一个图形沿某一直线方向移动，得到的新图形与原图形的形状、大小和方向完全相同．根据平移的定义判断即可． 【详解】解：A、能沿某一直线方向移动得到，符合题意； B、不能沿某一直线方向移动得到，不符合题意； C、不能沿某一直线方向移动得到，不符合题意； D、不能沿某一直线方向移动得到，不符合题意； 故选：A． 2．如图①是最早出现在春秋时代的桔槔。桔槔始见于《墨子·备城门》，它是在一根竖立的架子上加上一根细长的杠杆，当中是支点，末端悬挂一个重物，前端悬挂水桶，当水桶中的水打满以后，可借助重物轻松地将水拉起．如图②是“桔槔”的简易装置图，则与构成同位角的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了同位角、同旁内角、内错角等知识，根据定义进行判断即可． 【详解】解：根据“桔槔”的简易装置图，则与构成同位角的是， 故选：C 3．如果的算术平方根是，则下列式子中成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用算术平方根的非负性即可推导出x与y的大小关系． 【详解】解：∵的算术平方根是， ∴ ． ∴． 4．某公司近年来的销售收入情况如图所示： 请你根据趋势图预测该公司2025年的销售收入为（    ） A．75万元 B．80万元 C．85万元 D．94万元 【答案】D 【分析】本题考查趋势图，根据题意知销售收入随年份增加而增加，结合图形可知2025年时的销售收入应该在90至100万元之间，即由年份及销售收入所对应的点应该在图中直线的附近，由此可得答案．解题的关键是这些点大致落在一条呈上升趋势的直线附近． 【详解】解：当2025年的销售收入为94万元． 故选：D． 5．嫦娥七号探测器计划于2026年8月发射，探索月球南极．在发射场地面坐标系中，某关键设备位于点，已知点，且直线轴，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行于轴的直线上所有点的纵坐标相等求解即可. 【详解】解：∵轴，点，点， ∴， 即：． 6．定义运算“*”，规定 ，其中a、b为常数，且，，则（   ） A．-3 B．5 C．25 D．29 【答案】C 【分析】根据新定义列出方程组，解方程组求得，代入规定的式子，将代入进而即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴， 解得， ∴， ． 7．嘉淇解一道一元一次不等式的过程如下： 解：， ， □， x☆ 其中，“◇”“□”表示数字，“☆”表示不等号，则“◇”“□”“☆”分别代表（    ） A．6，4， B．6，4， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】本题考查了解一元一次不等式，掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键．利用不等式的基本性质解不等式即可． 【详解】解：， ， 对比□与x☆，得， ∴代表， 对比与□，可得即， ∴代表, 故选D 8．2026年央视春晚武术节目《武》以“人机共武”表演惊艳全球，首次实现机器人持武器动态操控，成为科技与传统文化融合的典范之作．如图1是机器人在展示中国功夫时的精彩瞬间，图2是其瞬间的几何示意图，其中，，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作，由平行和垂直可得，进而得出，再根据平行线的性质求解即可． 【详解】解：如图，过点作， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 9．下列说法正确的是（   ） A．是分数 B．如果，那么 C．若，那么 D．两个无理数的和不一定是无理数 【答案】D 【分析】本题主要考查实数，逐一分析各选项的正误，结合数学定义及反例进行判断即可． 【详解】解：A、是无理数，不是分数，原说法错误，本选项不符合题意； B、如果，那么或或，原说法错误，本选项不符合题意； C、取反例，，满足，但，故原说法错误，本选项不符合题意； D、两个无理数的和不一定是无理数，说法正确，符合题意， 故选：D． 10．如图，在平面直角坐标系中，，把一根长为2025个单位长度且没有弹性的细线(线的粗细忽略不计)的一端固定在点处，并按的规律绕在四边形的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查点的坐标，矩形的周长，掌握知识点是解题的关键． 由点A，B，C，D的坐标可得出，的长，矩形的周长，结合，细线的另一端所在位置是点C，点C的坐标是，即可解答． 【详解】解：由题意得， ∴四边形的周长为：， ∵，， ∴细线的另一端所在位置是点C，点C的坐标是． 故选：C． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11．2026年某校举办校园科技文化节．设计了正方形的主题会徽．已知该会徽面积的一个平方根是2026，另一个平方根是，则m的值为______． 【答案】 【分析】根据平方根定义，得出，求出m的值即可． 【详解】解：∵该会徽面积的一个平方根是2026，另一个平方根是， ∴， 解得：． 12．根据光的反射定律，入射光线和平面镜的夹角等于反射光线和平面镜的夹角．如图，笔直的墙面上点的灯泡发出的一束光线照在平面镜上的点，，反射光线恰好和墙面平行，若，则的度数为__________． 【答案】/110度 【分析】本题考查了平行线的性质，根据两直线平行，同位角相等得出的度数，即可求出的度数，再根据平角的定义计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 13．小明用若干张图1中的长方形和正方形卡片，拼成了如图2所示的长方形图案，已知拼成的长方形周长为，则______． 【答案】6 【分析】观察拼成的大长方形，可知该长方形的长为，宽为，通过周长为可列方程，利用上排3个小长方形的长等于下排2个小长方形的长加上2个小正方形的边长可列方程，联立方程，解方程组即可． 【详解】解：由题意得， 解方程组得：， ∴． 14．已知关于y的不等式组有且只有3个整数解，则满足条件的所有整数a的值之和为______． 【答案】 【分析】先解不等式组得到解集，再根据不等式组有且只有个整数解确定的取值范围，找出范围内所有整数，计算其和即可． 【详解】解：， 解不等式得， 解不等式，不等式两边同乘得， 展开得，移项得， ∴不等式组的解集为， 不等式组有且只有个整数解， 三个整数解为，可得， ∴， ∴， ∴满足条件的所有整数为，和为． 15．如图，，，延长交的平分线于点．若，，则______． 【答案】 【分析】如图，过作，记的交点为，过作，过作，再进一步求解即可. 【详解】解：如图，过作，记的交点为，过作，过作， ∵， ∴， 而， ∴，，，， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴. 三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 16．（10分）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解一元一次不等式组； （1）根据有理数的运算法则以及运算顺序进行计算即可求解； （2）先求出每个不等式的解集，再根据口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了，确定不等式组的解集． 【详解】（1） ； （2）解： 解不等式①得： 解不等式②得： ∴不等式组的解集为： 17．（7分）下面是两位同学解方程组的做法， 芊芊的做法如下： 由方程①得③ 将方程③代入②得 解得 把代入③ ∴方程组的解为 浩浩的做法如下： 由①×2得③ 由②＋③得 解得 把代入①得 ∴方程组的解为 请认真阅读并完成下面的问题． (1)芊芊的消元方法是 ；浩浩的消元方法是 ． (2)判断 （选填“芊芊”或“浩浩”）的解答过程有误，并运用该同学的消元方法进行正确解答． 【答案】(1)代入消元法；加减消元法 (2)浩浩；，见解析 【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法和代入消元法是解题的关键． （1）由加减消元法和代入消元法的步骤判断即可； （2）浩浩的做法中，由①2得③，错了．由加减消元法和代入消元法的步骤分别求解即可． 【详解】（1）解：芊芊的消元方法是代入消元法；浩浩的消元方法是加减消元法． 故答案为：代入消元法，加减消元法． （2）解：浩浩. 正确解答如下： 由①2得③． 由②③得． 解得． 把代入①得． 方程组的解为． 18．（8分）李老师对本班学生的兴趣爱好进行了一次调查，并根据采集到的数据绘制了如图所示的扇形统计图和条形统计图，统计图有些地方不完整，请你根据统计图中的信息回答下列几个问题． (1)球类运动人数占调查人数的______%，参与本次调查的人数共______人； (2)扇形统计图中，爱好为音乐类所对的圆心角为______°，爱好音乐的学生有______名； (3)已知爱好阅读人数与其他爱好人数的比值为15，将条形统计图补充完整（绘图虚线已给出）． 【答案】(1)25；80 (2)72；16 (3)详见解析 【分析】本题考查了扇形统计图和条形统计图： （1）先根据球类圆心角度为，来计算球类运动人数占调查人数的占比，再计算总人数； （2）根据占比计算圆心角和人数即可； （3）根据比值分别计算出阅读和其他爱好的人数，再补充画图即可． 【详解】（1）解：由图可知，球类圆心角为， 则球类运动人数占调查人数：， 参与本次调查的人数：（人） （2）解：爱好为音乐类所对的圆心角为， 爱好音乐的学生：（人） （3）解：阅读与其他爱好的总人数为（人）， 阅读其他， 阅读人数为（人），其他人数为（人）． 条形统计图如图所示． 19．（8分）某校400名师生参加迎元旦环湖跑，学校计划租用大客车、小客车若干辆将师生送往活动地点．已知租用的大客车、小客车满员载客数量如下表格所示： 大客车（辆） 小客车（辆） 共计载客人数 1 3 105 3 2 175 (1)求每辆小客车与每辆大客车满员分别能坐的人数？ (2)若租用小客车辆，租用大客车辆，保证大小客车均要有且满员，同时将师生运送完毕，请设计出所有的租车方案． 【答案】(1)每辆小客车满员能坐20人，每辆大客车满员能坐45人 (2)方案1：小客车11辆，大客车4辆；方案2：小客车2辆，大客车8辆 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，根据等量关系列出方程，是解题的关键． （1）设每辆小客车满员乘坐人，每辆大客车满员乘坐人，根据表格中信息，列出方程组，解方程组即可； （2）根据每辆小客车满员乘坐20人，每辆大客车满员乘坐45人，师生共400人，列出二元一次方程，求出方程的正整数解即可． 【详解】（1）解：设每辆小客车满员能坐人，每辆大客车满员能坐人， 由题意得：， 解得： 答：每辆小客车满员能坐20人，每辆大客车满员能坐45人． （2）解：由题意得：， 整理可得：， 又因为均为正整数，于是b应该是4的正整数倍． 可得，， 方案1：小客车11辆，大客车4辆； 方案2：小客车2辆，大客车8辆． 20．（8分）如图，在平面直角坐标系中，点在轴上，点在轴上，，，点在第二象限． (1)写出，两点的坐标； (2)若点，请在图中画出点，并画出当的长最小时点的位置，并写出的值； (3)若线段经过平移后得到线段，请画出此时点的位置，并写出平移的过程； (4)点在轴上，三角形的面积等于四边形面积的，当时，求点的坐标． 【答案】(1)，． (2)． (3)见解析，将线段向左平移个单位长度得到线段． (4)点的坐标为或． 【分析】本题考查坐标与图形变化，三角形面积，垂线段的性质等知识，解题的关键是掌握平移变换的性质，进行解答，即可． （1）根据平面直角坐标系中点的性质，即可； （2）根据题意，描点得到，过点作轴的平行线，过点作于点，根据垂线段最短，此时的横坐标与点的横坐标相等，即求出； （3）根据平移的性质，画出平移的线段，即可； （4）根据，求出点的坐标，根据，三角形的面积等于四边形面积的，即可． 【详解】（1）解：∵点在轴上，点在轴上，，， ∴，． （2）解：如图所示，描点得到， 过点作轴的平行线，过点作于点， ∴点即为所求， ∵，， ∴． （3）解：如图，点即为所求． 平移的过程为：将线段向左平移个单位长度得到线段． （4）解：∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 设点的坐标为， ∵三角形的面积等于四边形面积的， ∴ ， 解得或， ∴点的坐标为或． 21．（9分）阅读与思考 下面是某同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务． 探索141的算术平方根的近似值思考：表示4的算术平方根，其值为2．同样地，表示36的算术平方根，其值为6，则141的算术平方根是多少呢？ 问题解决：141的算术平方根为，可以将其转化为正方形的边长求解． ，． 设，则． ，（依据）， ，即．画出如图1所示的示意图， 可得图中正方形的面积． ，． 当时，可忽略，得，得到， 即． 任务： (1)材料中的依据是______（填“A”或“B”），材料中的解题过程主要体现的思想是______（填“C”或“D”）． A． 不等式的性质1    B． 不等式的性质2 C． 分类讨论思想    D． 数形结合思想 (2)仿照上述方法，在图2中补全探究近似值的相关数据． (3)的近似值为______．（保留一位小数） 【答案】(1)A，D (2)图见解析 (3)15.8 【分析】本题考查无理数的估算，算术平方根的实际应用： （1）根据不等式的性质和数形结合的思想，进行判断即可； （2）类比题干给定的方法，估算出，设，补全图形即可； （3）利用题干中的方法，结合（2）中的图形，进行求解即可． 【详解】（1）材料中的依据是不等式的性质1，解题过程体现了数形结合的思想， 故选A，D； （2）∵， ∴， 设， 补全图形如图： （3）由（2）可知：图中正方形的面积． ， ． 当时，可忽略，得，得到， 即． 22．（12分）综合与实践 【探究发现】 （1）小明家有一款可折叠的护眼台灯如图1，是灯头，，是支架，是底座，连接部分可分别绕连接点B，E，D旋转，当旋转至时，图2是其平面示意图，小明发现，请证明小明的发现． 【拓展延伸】 （2）保持，当旋转到如图3所示位置时，判断，，之间的数量关系，并证明． 【学以致用】 （3）如图4，，，和的平分线相交于点P，求的度数． 【答案】（1）见解析；（2），见解析；（3） 【分析】本题考查平行线的性质及角平分线性质的应用，解题关键是通过作辅助线构造平行线，利用平行线性质找出角之间的关系，结合已知条件进行推导求解． （1）过点E作，利用平行线性质先得到，再由，推出，进而得到，最后通过等量代换证明结论． （2）作，依据得出 ，利用平行线性质得到， ，再结合周角为，即，从而证明 ． （3）先由得 ，根据角平分线性质得到， ，利用（1）论建立与的关系，再将用和表示并化简，进而求出的度数． 【详解】解：（1）证明：如图1，过点E作，    ∴，     ∵， ∴，    　 ∴， ∴．     （2）     证明：作． ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴； （3）∵， ∴，     ∵和的平分线相交于点P， ∴，， 由（1）可知，，， ∴，即， ， = ． 23．（13分）如图，在平面直角坐标系中，点在轴负半轴上，点在轴负半轴上，点，其中满足．动点从点出发，沿轴正方向以每秒2个单位长度的速度向原点匀速运动；同时动点从原点出发，沿轴负方向以每秒1个单位长度的速度向点匀速运动． 设运动时间为秒，连接． 【基础应用】 (1)点的坐标是_____，和的位置关系是_____； 【拓展探究】 (2)请你通过添加辅助线，探究在动点、运动过程中，与这三个角之间的数量关系，并说明理由． 【综合应用】 (3)在动点运动过程中，当时，求的值及此时点的坐标． 【答案】(1)，平行 (2)，理由见解析 (3)； 【分析】（1）利用非负数的性质求出，即可得到，再根据坐标的特点即可得到和的位置关系； （2）过点作，利用平行线的性质可得 ，结合 ，即可说明； （3）由题意得， ，求出，得到 ， ，根据，建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵，且 ， ∴ ， ∴ ， ∴， ∵点，点的纵坐标相等，点，点的纵坐标相等， ∴和的位置关系是平行； （2）解：，理由如下： 过点作， ， ， ， ， ； （3）解：由题意得， ， ∵ ，， ∴， ∵， ∴， ， ， ， ， 解得； 此时点的横坐标：， 点的坐标为． 试卷第20页，共22页 试卷第21页，共22页 学科网（北京）股份有限公司 $