二面角 课件-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

该高中数学课件聚焦平面与平面所成的角，系统讲解二面角及其平面角的概念、求法。通过书页开合、开门等生活实例导入，类比直线分割射线、平面分割半平面，从平面角自然过渡到二面角，搭建空间问题平面化的学习支架。 其亮点在于以生活现象引导学生用数学眼光观察空间形式，通过类比推理（如平面角到二面角）培养数学思维，系统总结定义法、三垂线法等四种求法并结合正方体、三棱锥例题。课堂小结“一作二证三求”步骤清晰，帮助学生发展空间观念与逻辑推理能力，为教师提供结构化教学资源，提升教学效率。

第八章 立体几何 平面与平面所成的角 01 02 03 目 录 平面与平面的夹角------二面角 题型剖析 二面角的求法 04 课堂小结 教学目标 学习目标——二面角 1.理解二面角及其平面角的概念. 3.掌握求二面角的常见方法：定义法、三垂线法、垂面法、 射影面积法. 2.能正确地作出或找出简单二面角的平面角. 学习目标——二面角 01 二面角以及二面 角的平面角 翻开的书本 探究新知——二面角及其平面角 书页所在的平面之间是什么位置关系？ 两个平面相交，“张开”的程度如何描述？ 二面角 平面与平面之间的夹角 直线上的一点将直线分割成两部分，每一部分都叫做射线。 平面上的一条直线将平面分割成两部分，每一部分叫什么名称? 将一条直线沿直线上一点折起，得到的平面图形是一个角。 将一个平面沿平面上的一条直线折起，得到的空间图形称为二面角 射线 射线 探究新知——二面角及其平面角 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角. 这条直线叫做二面角的棱， 这两个半平面叫做二面角的面. 二面角的定义 符号语言：二面角. 在内(棱以外)分别取点，记作二面角. 棱记作，可记作二面角或二面角. 面 棱 探究新知——二面角及其平面角 半平面 平面内的一条直线把平面分成两部分，这两部分通常称为半平面． 半平面 半平面 二面角的记法 A B   二面角－AB－  A B C D 二面角C－AB－ D   l l   二面角－ l－  探究新知——二面角及其平面角 ①如右图,在日常生活中,我们常说“把门开大一些”，是指哪个角大一些?        ②把书打开，相邻两页书也构成二面角，随着打开的程度不同，得到不同的二面角,如何刻画？ 受此启发，你认为应该怎样刻画二面角的大小呢？ 探究新知 转化为两相交直线所成的角，用平面角来刻画。 探究新知——二面角及其平面角 A B O A′ B′ O′ α β 新知生成——二面角及其平面角 类比线面角的求解——空间问题平面化 我们规定：以二面角的棱上任意一点O为顶点，在两个面α，β内分别作垂直于棱l的两条射线OA和OB，这两条射线所成的角∠AOB叫做二面角的平面角 二面角的平面角 的平面角 角的顶点在棱上； 角的两边分别在两个面内； 角的边都要垂直于二面角的棱 探究新知——二面角及其平面角 问题：∠AOB 的大小与点O在棱l上的位置有关吗？为什么？ 根据空间等角定理，∠AOB的大小与点O在棱l上的位置无关． 问题：二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的取值范围是多少？ α(β) l A(B) O θ=0o 直二面角 钝二面角 α β l A B O θ =180o 锐二面角 直二面角的定义： 我们把平面角是直角的二面角叫做直二面角． 新知生成——二面角及其平面角 二面角的平面角θ 的取值范围为0o≤θ≤180o． 例1：如图,四边形是正方形,平面,且. (1)求二面角的大小； (2)求二面角的大小; (2)求二面角的大小； 总结：在两个平面内找交线的相交垂线 二面角的平面角实战演练 新知小结——二面角的求法 求二面角大小的一般步骤： 简称为“一作二证三求”. 02 二面角的求法 二面角的平面角的作法： 二面角的平面角的求法：定义法 1.定义法： 在二面角的棱上任取一点，以此点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，如图1， 即为二面角的平面角. o A B 例1.如图，已知三棱锥A-BCD的各棱长均为2，求二面角A-CD-B的平面角的余弦值. 二面角的平面角的求法：定义法 1.若一个正四棱锥的高和底面边长都为，求它的侧面与底面所成角的余弦值. 二面角的平面角的求法： 2.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=，CC1=,求二面角C1-BD-C的值. 二面角的平面角的求法： 过棱上一点 作与棱垂直的平面，该平面与二面角的两个半平面相交，得到两条交线 ， ，如图3， 即为二面角的平面角. 2.垂面法： o A B 二面角的平面角的求法： 例2.如图，在三棱锥S－ABC中，SA⊥底面ABC，AB⊥BC，DE垂直平分SC且分别交AC，SC于点D，E，又SA＝AB，SB＝BC，求二面角E－BD－C的大小. 面SAC面ABC， 面SAC面BDE DESC，BESC SA面ABC SBBC,E为SC中点 二面角的平面角的求法： 过一个平面内一点作另一个平面的垂线，垂足为 ，过垂足 作二面角的棱的垂线，垂足为，连接，如图，即为二面角的平面角. 3.三垂线法： 二面角的平面角的求法： 例3.如图，AB是圆O的直径，PA垂直圆O所在平面，C是圆周上一点，且PA=AC，求二面角P－BC－A的大小. 二面角的平面角的求法： 3.如图，在四棱锥P-ABCD，四边形ABCD是平行四边形，PA平面ABCD，PA=AB，，求二面角P－BC－A的余弦值. 提示：作AGBC 二面角的平面角的求法： 4.如图，将正方形A1BCD折成二面角A－BD－C，求二面角A-CD-B的余弦值. 二面角的平面角的作法： 4.射影面积法： 找出一个平面在另一个平面上的射影. 二面角的平面角的求法： 例4.正四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为正方形，PA平面ABCD，PA=AB=，求平面PBA与平面PCD所成二面角的大小. 二面角的平面角的求法： 1.二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面. 2.二面角的平面角：我们规定：以二面角的棱上任意一点O为顶点，在两个面α，β内分别作垂直于棱l的两条射线OA和OB，这两条射线所成的角∠AOB叫做二面角的平面角. 3.二面角的平面角θ 的取值范围为0o≤θ≤180o． 课堂小结——直线与平面所成的角 4.二面角的求法： 1.定义法： o A B 2.垂面法： o A B 4.射影面积法： 3.三垂线法： THANKS 感谢您的聆听 $