8.6.3二面角课件 -2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

8.6.3-1二面角 教学目标 1、能说出二面角的定义，能阐释定义二面角的平面角的过程中所采取的数学思想方法； 教学重难点 1、教学重点：二面角的平面角的定义，平面与平面垂直的判定定理； 2、教学难点：二面角的平面角，发现并验证平面与平面垂直的判定定理。 4、能用已获得的结论证明空间基本图形位置关系的简单命题。 2、能用自己的语言解析平面与平面垂直的定义； 3、借助长方体，通过直观感知，能用自己的语言解释空间中平面与平面垂直的关系，归纳出平面与平面垂直的判定定理； 知识回顾 1、线面角定义 2、线面角的范围 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角 00≤α≤90° 3、线面垂直的性质 垂直于同一个平面的两条直线平行 4、线线垂直的判断 等腰三角形底边的中线和底边(三线合一)；菱形对角线；矩形相邻两边；勾股定理；向量数量积为零；直径所对圆周角；线面垂直的定义；直棱柱侧棱与底面内的直线；两平行中的一条垂直于第三条直线，也垂直于另一条 2025/6/3 思考1：空间平面和平面的位置关系有哪些？ 思考2：我们了解了线线，线面垂直和它们所成角的定义。这些垂直和空间角都有什么共同特点？ 平行、相交 阅读书本P155-156,思考：生活中有哪些线面垂直的情景和面面角的概念。 思考3：根据经验，接下来我们要研究面面垂直和所成的角，那么如何判断呢，从什么方面思考呢？ 都转化成线线，利用平面图形解决 所以线线问题是解决空间问题的基础 2025/6/3 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角. 二面角的定义 图形表示 符号表示 二面角α-AB-β，二面角α-l-β， 二面角P-l-Q，二面角P-AB-Q， 二面角的棱 二面角的面 二面角的面 2025/6/3 思考3：日常生活中，我们常说“把门开大一点”，这说明什么？ 那么，如何刻画二面角的大小呢？ 门与墙面所形成的角度有不同的大小 类比，线面角，应该是要转化成线线的夹角，而且存在且唯一 阅读书本P156,思考：二面角平面角的定义 2025/6/3 在二面角α-l-β的棱l任取一点O,以点O为垂足,在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB,则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角. 二面角平面角的定义 图形表示 符号表示 OA⊂α，OB⊂β，OA⊥l，OB⊥l ⇒∠AOB叫做二面角的平面角 范围 直二面角 0°≤∠AOB≤180° 平面角是直角的二面角 记作： α⊥β 2025/6/3 1. 如图所示的二面角可记为（　　） A. α-β-l B. M-l-N C. l-M-N D. l-β-α 2. 在二面角α-l-β的棱l上任取一点O，若∠AOB是二面角α-l-β的平面角，则必须具有的条件是（　　） A. AO⊥BO，AO⊂α，BO⊂β B. AO⊥l，BO⊥l C. AB⊥l，AO⊂α，BO⊂β D. AO⊥l，BO⊥l，且AO⊂α，BO⊂β B D 2025/6/3 3、如图，四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，且PA＝AB. （2）求二面角A-PD-C的大小。 （1）求二面角B-PA-C的大小； 解：（1）∵PA⊥平面ABCD， ∴AB⊥PA，AC⊥PA. ∴∠BAC为二面角B-PA-C的平面角. 又四边形ABCD为正方形， ∴∠BAC＝45°. 即二面角B-PA-C的大小为45°. 2025/6/3 3、如图，四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，且PA＝AB. （2）求二面角A-PD-C的大小。 （1）求二面角B-PA-C的大小； 解：（2）∵PA⊥平面ABCD， ∴PA⊥CD. 又四边形ABCD为正方形， ∴CD⊥AD. ∵PA∩AD＝A， ∴CD⊥平面PAD. 又CD⊂平面PCD， ∴平面PAD⊥平面PCD. ∴二面角A-PD-C的大小为90°. 2025/6/3 通性通法 求二面角大小的步骤 提醒　作平面角时，要清楚二面角的平面角的大小与顶点在棱上的位 置无关，通常可根据需要，选择特殊点做平面角的顶点. 　　简称为“一作二证三求”. 2025/6/3 4、（2024·宁波质检）在正四面体A-BCD中， 求二面角A-CD-B的平面角的余弦值。 解：由A-BCD为正四面体， 取CD的中点E， 连接AE，BE（如图）， 则AE⊥CD， BE⊥CD， AE∩BE＝E， ∴CD⊥平面ABE， ∠AEB为二面角A-CD-B的平面角， 设正四面体的棱长为1， 则AE＝BE＝ ，AB＝1， 在△ABE中， 作AH⊥BE于H， 则 cos ∠AEB＝ ， 由AB2－BH2＝AE2－HE2 且BH＝BE－HE， 可得HE＝ ， ∴ cos ∠AEB＝ ∴ 二面角A-CD-B的平面角的余弦值为 E H 2025/6/3 5、（2024·江门月考）如图所示，AB是☉O的直径，PA垂直于☉O所在的平面，C是圆周上的一点，且PA＝AC，求二面角P-BC-A的大小. 解：∵PA⊥平面ABC， BC⊂平面ABC， ∴PA⊥BC. ∵AB是☉O的直径， 且点C在圆周上， ∴AC⊥BC. 又∵PA∩AC＝A， PA，AC⊂平面PAC， ∴BC⊥平面PAC， 而PC⊂平面PAC， ∴PC⊥BC. 又∵BC是二面角P-BC-A的棱， ∴∠PCA是二面角P-BC-A的平面角. 由PA＝AC知， △PAC是等腰直角三角形， ∴∠PCA＝45°， 故二面角P-BC-A的大小是45°. 2025/6/3 小结 二面角的定义 01 二面角平面角的定义 02 2025/6/3 作业 练习册P269，1-10必做 感谢积极思考协作的你 2025/6/3 $$