云南昭通市第一中学等校2025-2026学年高二下学期6月检测数学试题

理数 数学-双向细目表 题号 试题形式 LBDZ: 试题形式：主观题和客观题 题型 分值 题型 知识模块 考查能力 预计难度 1 客观题 选择题 5 单选题 复数计算 运算求解能力 易 2 客观题 选择题 5 单选题 集合运算 运算求解能力 易 3 客观题 选择题 5 单选题 圆锥曲线的方程（双曲线离心率） 运算求解能力 易 4 客观题 选择题 5 单选题 统计（统计量） 运算求解能力 推理论证能力 易 5 客观题 选择题 5 单选题 等差等比数列 运算求解能力 推理论证能力 空间想象能力 易 6 客观题 选择题 5 单选题 指对幂比大小 运算求解能力 推理论证能力 中 7 客观题 选择题 5 单选题 三角函数的图像 运算求解能力 推理论证能力 中 8 客观题 选择题 5 单选题 抽象函数 推理论证能力 运算求解能力 难 9 客观题 选择题 6 多选题 基本不等式 运算求解能力 易 10 客观题 选择题 6 多选题 解析几何综合（抛物线） 推理论证能力 运算求解能力 中 11 客观题 选择题 6 多选题 函数导数综合 运算求解能力 推理论证能力 难 12 客观题 选择题 5 填空题 向量计算 运算求解能力 易 13 客观题 填空题 5 填空题 切线问题 运算求解能力 中 14 客观题 填空题 5 填空题 概率综合（背景新颖的数学期望类型） 推理论证能力 运算求解能力 难 15 客观题 填空题 13 解答题 立体几何（共面问题、空间角、距离） 推理论证能力 运算求解能力 易 16 客观题 填空题 15 解答题 解析几何（椭圆） 推理论证能力 运算求解能力 中 17 主观题 解答题 15 解答题 概率统计（条件概率、独立性检验、回归方程） 运算求解能力 推理论证能力 空间想象能力 中 18 主观题 解答题 17 解答题 数列（通项、分组求和、不等式） 推理论证能力 运算求解能力 难 19 主观题 解答题 17 解答题 导数与解三角形综合 运算求解能力 推理论证能力 数据分析能力 难 理数原始 序号 知识板块 知识点 认知水平 考查能力 题型 试题形式 LBDZ: 试题形式：主观题和客观题 知识板块 认知水平 考察能力 1 集合 集合的含义 了解 运算求解能力 选择题 主观题 集合 了解 运算求解能力 2 集合 元素与集合关系的判断 理解 数据处理能力 填空题 客观题 函数概念与基本初等函数Ⅰ 理解 数据处理能力 3 集合 集合的确定性、互异性、无序性 掌握 空间想象能力 作图题 立体几何初步 掌握 空间想象能力 4 集合 集合的分类 应用 应用意识能力 解答题 平面解析几何初步 应用 应用意识能力 5 集合 集合的表示法 探究 推理论证能力 计算题 算法初步 探究 推理论证能力 6 集合 子集与真子集 抽象概括能力 综合题 统计 抽象概括能力 7 集合 集合的包含关系判断及应用 创新意识能力 实验题 概率 创新意识能力 8 集合 集合的相等 推断题 三角函数 9 集合 全集及其运算 简答题 平面向量 10 集合 空集的定义、性质及运算 翻译题 三角恒等变换 11 集合 并集及其运算 写作题 解三角形 12 集合 交集及其运算 改错题 数列 13 集合 补集及其运算 选做题 不等式 14 集合 交、并、补集的混合运算 框图 15 集合 Venn图表达集合的关系及运算 常用逻辑用语 16 函数概念与基本初等函数Ⅰ 函数的概念及其构成要素 圆锥曲线与方程 17 函数概念与基本初等函数Ⅰ 区间与无穷的概念 空间向量与立体几何 18 函数概念与基本初等函数Ⅰ 函数的定义域及其求法 导数及其应用 19 函数概念与基本初等函数Ⅰ 函数的对应法则 推理与证明 20 函数概念与基本初等函数Ⅰ 函数的值域 数系的扩充与复数的引入 21 函数概念与基本初等函数Ⅰ 映射 计数原理 22 函数概念与基本初等函数Ⅰ 函数的表示方法 概率与统计 23 函数概念与基本初等函数Ⅰ 函数解析式的求解及常用方法 几何证明选讲 24 函数概念与基本初等函数Ⅰ 分段函数的解析式求法及其图象的作法 坐标系与参数方程 25 函数概念与基本初等函数Ⅰ 分段函数的应用 不等式选讲 26 函数概念与基本初等函数Ⅰ 一次函数的性质与图象 27 函数概念与基本初等函数Ⅰ 二次函数的图象 28 函数概念与基本初等函数Ⅰ 二次函数的性质 29 函数概念与基本初等函数Ⅰ 二次函数在闭区间上的最值 30 函数概念与基本初等函数Ⅰ 函数的单调性及单调区间 31 函数概念与基本初等函数Ⅰ 函数单调性的判断与证明 32 函数概念与基本初等函数Ⅰ 函数单调性的性质 33 函数概念与基本初等函数Ⅰ 复合函数的单调性 34 函数概念与基本初等函数Ⅰ 奇函数 35 函数概念与基本初等函数Ⅰ 偶函数 36 函数概念与基本初等函数Ⅰ 函数奇偶性的判断 37 函数概念与基本初等函数Ⅰ 函数奇偶性的性质 38 函数概念与基本初等函数Ⅰ 奇偶函数图象的对称性 39 函数概念与基本初等函数Ⅰ 奇偶性与单调性的综合 40 函数概念与基本初等函数Ⅰ 函数的图象 41 函数概念与基本初等函数Ⅰ 函数的图象与图象变化 42 函数概念与基本初等函数Ⅰ 函数的周期性 43 函数概念与基本初等函数Ⅰ 抽象函数及其应用 44 函数概念与基本初等函数Ⅰ 函数恒成立问题 45 函数概念与基本初等函数Ⅰ 函数的值 46 函数概念与基本初等函数Ⅰ 正整数指数函数 47 函数概念与基本初等函数Ⅰ 分数指数幂 48 函数概念与基本初等函数Ⅰ 方根与根式及根式的化简运算 49 函数概念与基本初等函数Ⅰ 根式与分数指数幂的互化及其化简运算 50 函数概念与基本初等函数Ⅰ 有理数指数幂的运算性质 51 函数概念与基本初等函数Ⅰ 有理数指数幂的化简求值 52 函数概念与基本初等函数Ⅰ 指数函数的定义、解析式、定义域和值域 53 函数概念与基本初等函数Ⅰ 指数函数的图像与性质 54 函数概念与基本初等函数Ⅰ 指数函数的图像变换 55 函数概念与基本初等函数Ⅰ 指数函数的单调性与特殊点 56 函数概念与基本初等函数Ⅰ 指数函数单调性的应用 57 函数概念与基本初等函数Ⅰ 指数型复合函数的性质及应用 58 函数概念与基本初等函数Ⅰ 指数函数的实际应用 59 函数概念与基本初等函数Ⅰ 指数函数综合题 60 函数概念与基本初等函数Ⅰ 对数的概念 61 函数概念与基本初等函数Ⅰ 指数式与对数式的互化 62 函数概念与基本初等函数Ⅰ 对数的运算性质 63 函数概念与基本初等函数Ⅰ 对数值大小的比较 64 函数概念与基本初等函数Ⅰ 换底公式的应用 65 函数概念与基本初等函数Ⅰ 对数函数的定义 66 函数概念与基本初等函数Ⅰ 对数函数的定义域 67 函数概念与基本初等函数Ⅰ 对数函数的值域与最值 68 函数概念与基本初等函数Ⅰ 对数函数的图像与性质 69 函数概念与基本初等函数Ⅰ 对数函数的单调性与特殊点 70 函数概念与基本初等函数Ⅰ 对数函数的单调区间 71 函数概念与基本初等函数Ⅰ 对数函数图象与性质的综合应用 72 函数概念与基本初等函数Ⅰ 指数函数与对数函数的关系 73 函数概念与基本初等函数Ⅰ 反函数 74 函数概念与基本初等函数Ⅰ 幂函数的概念、解析式、定义域、值域 75 函数概念与基本初等函数Ⅰ 幂函数的图像 76 函数概念与基本初等函数Ⅰ 幂函数的性质 77 函数概念与基本初等函数Ⅰ 幂函数的单调性、奇偶性及其应用 78 函数概念与基本初等函数Ⅰ 幂函数的实际应用 79 函数概念与基本初等函数Ⅰ 函数的零点 80 函数概念与基本初等函数Ⅰ 函数零点的判定定理 81 函数概念与基本初等函数Ⅰ 函数的零点与方程根的关系 82 函数概念与基本初等函数Ⅰ 根的存在性及根的个数判断 83 函数概念与基本初等函数Ⅰ 二分法的定义 84 函数概念与基本初等函数Ⅰ 二分法求方程的近似解 85 函数概念与基本初等函数Ⅰ 函数与方程的综合运用 86 函数概念与基本初等函数Ⅰ 函数最值的应用 87 函数概念与基本初等函数Ⅰ 函数模型的选择与应用 88 立体几何初步 构成空间几何体的基本元素 89 立体几何初步 棱柱的结构特征 90 立体几何初步 棱锥的结构特征 立体几何初步 棱台的结构特征 立体几何初步 旋转体（圆柱、圆锥、圆台） 立体几何初步 简单组合体的结构特征 立体几何初步 简单空间图形的三视图 立体几何初步 由三视图求面积、体积 立体几何初步 中心投影及中心投影作图法 立体几何初步 平行投影及平行投影作图法 立体几何初步 平面图形的直观图 立体几何初步 空间几何体的直观图 立体几何初步 斜二测法画直观图 立体几何初步 棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积 立体几何初步 棱柱、棱锥、棱台的体积 立体几何初步 球的体积和表面积 立体几何初步 球面距离及相关计算 立体几何初步 组合几何体的面积、体积问题 立体几何初步 平面的概念、画法及表示 立体几何初步 异面直线及其所成的角 立体几何初步 异面直线的判定 立体几何初步 空间中直线与直线之间的位置关系 立体几何初步 空间中直线与平面之间的位置关系 立体几何初步 平面与平面之间的位置关系 立体几何初步 平面的基本性质及推论 立体几何初步 平行公理 立体几何初步 空间图形的公理 立体几何初步 直线与平面平行的性质 立体几何初步 直线与平面平行的判定 立体几何初步 平面与平面平行的性质 立体几何初步 平面与平面平行的判定 立体几何初步 直线与平面垂直的性质 立体几何初步 直线与平面垂直的判定 立体几何初步 平面与平面垂直的性质 立体几何初步 平面与平面垂直的判定 平面解析几何初步 直线的倾斜角 平面解析几何初步 直线的斜率 平面解析几何初步 斜率的计算公式 平面解析几何初步 三点共线 平面解析几何初步 两条直线平行的判定 平面解析几何初步 两条直线垂直的判定 平面解析几何初步 直线的点斜式方程 平面解析几何初步 直线的斜截式方程 平面解析几何初步 直线的两点式方程 平面解析几何初步 直线的截距式方程 平面解析几何初步 中点坐标公式 平面解析几何初步 直线的一般式方程 平面解析几何初步 两条直线的交点坐标 平面解析几何初步 两点间的距离公式 平面解析几何初步 两点间距离公式的应用 平面解析几何初步 点到直线的距离公式 平面解析几何初步 两条平行直线间的距离 平面解析几何初步 圆的标准方程 平面解析几何初步 圆的一般方程 平面解析几何初步 轨迹方程 平面解析几何初步 点与圆的位置关系 平面解析几何初步 关于点、直线对称的圆的方程 平面解析几何初步 圆的切线方程 平面解析几何初步 直线与圆相交的性质 平面解析几何初步 直线与圆的位置关系 平面解析几何初步 圆与圆的位置关系及其判定 平面解析几何初步 相交弦所在直线的方程 平面解析几何初步 直线和圆的方程的应用 平面解析几何初步 圆方程的综合应用 平面解析几何初步 空间直角坐标系 平面解析几何初步 空间中的点的坐标 平面解析几何初步 空间两点间的距离公式 算法初步 算法的概念 算法初步 算法的特点 算法初步 排序问题与算法的多样性 算法初步 流程图的概念 算法初步 程序框图 算法初步 顺序结构 算法初步 选择结构 算法初步 循环结构 算法初步 设计程序框图解决实际问题 算法初步 程序框图的三种基本逻辑结构的应用 算法初步 伪代码 算法初步 赋值语句 算法初步 输入、输出语句 算法初步 条件语句 算法初步 循环语句 算法初步 秦九韶算法 算法初步 进位制 统计 简单随机抽样 统计 分层抽样方法 统计 系统抽样方法 统计 分布的意义和作用 统计 频率分布表 统计 频率分布直方图 统计 频率分布折线图、密度曲线 统计 茎叶图 统计 众数、中位数、平均数 统计 极差、方差与标准差 统计 用样本的频率分布估计总体分布 统计 用样本的数字特征估计总体的数字特征 统计 随机抽样和样本估计总体的实际应用 统计 散点图 统计 变量间的相关关系 统计 两个变量的线性相关 统计 最小二乘法 统计 线性回归方程 概率 随机事件 概率 概率的意义 概率 概率的基本性质 概率 互斥事件与对立事件 概率 互斥事件的概率加法公式 概率 等可能事件 概率 等可能事件的概率 概率 相互独立事件 概率 相互独立事件的概率乘法公式 概率 n次独立重复试验中恰好发生k次的概率 概率 古典概型及其概率计算公式 概率 列举法计算基本事件数及事件发生的概率 概率 随机数的含义与应用 概率 模拟方法估计概率 概率 几何概型 三角函数 任意角的概念 三角函数 终边相同的角 三角函数 弧度制 三角函数 象限角、轴线角 三角函数 弧度制的应用 三角函数 弧度与角度的互化 三角函数 弧长公式 三角函数 扇形面积公式 三角函数 单位圆与周期性 三角函数 三角函数线 三角函数 任意角的三角函数的定义 三角函数 三角函数的定义域 三角函数 三角函数值的符号 三角函数 三角函数的恒等变换及化简求值 三角函数 诱导公式的推导 三角函数 诱导公式的作用 三角函数 运用诱导公式化简求值 三角函数 三角函数的周期性及其求法 三角函数 正弦函数的图象 三角函数 正弦函数的奇偶性 三角函数 正弦函数的定义域和值域 三角函数 正弦函数的单调性 三角函数 正弦函数的对称性 三角函数 余弦函数的图象 三角函数 余弦函数的奇偶性 三角函数 余弦函数的定义域和值域 三角函数 余弦函数的单调性 三角函数 余弦函数的对称性 三角函数 正切函数的图象 三角函数 正切函数的定义域 三角函数 正切函数的值域 三角函数 正切函数的单调性 三角函数 正切函数的周期性 三角函数 正切函数的奇偶性与对称性 三角函数 同角三角函数间的基本关系 三角函数 同角三角函数基本关系的运用 三角函数 三角函数的化简求值 三角函数 弦切互化 三角函数 三角函数中的恒等变换应用 三角函数 五点法作函数y=Asin（ωx+φ）的图象 三角函数 函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换 三角函数 已知三角函数模型的应用问题 平面向量 向量的物理背景与概念 平面向量 向量的几何表示 平面向量 向量的模 平面向量 零向量 平面向量 单位向量 平面向量 平行向量与共线向量 平面向量 相等向量与相反向量 平面向量 向量的加法及其几何意义 平面向量 向量的减法及其几何意义 平面向量 向量的三角形法则 平面向量 两向量的和或差的模的最值 平面向量 向量加减法的应用 平面向量 向量数乘的运算及其几何意义 平面向量 向量的共线定理 平面向量 向量的线性运算性质及几何意义 平面向量 平面向量的基本定理及其意义 平面向量 平面向量的正交分解及坐标表示 平面向量 平面向量的坐标运算 平面向量 平面向量共线（平行）的坐标表示 平面向量 线段的定比分点 平面向量 平面向量坐标表示的应用 平面向量 平面向量数量积的含义与物理意义 平面向量 平面向量数量积的性质及其运算律 平面向量 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 平面向量 数量积判断两个平面向量的垂直关系 平面向量 向量在几何中的应用 平面向量 向量在物理中的应用 平面向量 平面向量的综合题 三角恒等变换 两角和与差的余弦函数 三角恒等变换 两角和与差的正弦函数 三角恒等变换 两角和与差的正切函数 三角恒等变换 二倍角的正弦 三角恒等变换 二倍角的余弦 三角恒等变换 二倍角的正切 三角恒等变换 半角的三角函数 三角恒等变换 三角函数的积化和差公式 三角恒等变换 三角函数的和差化积公式 解三角形 正弦定理 解三角形 正弦定理的应用 解三角形 余弦定理 解三角形 余弦定理的应用 解三角形 三角形中的几何计算 解三角形 解三角形的实际应用 数列 数列的概念及简单表示法 数列 等差数列 数列 等差关系的确定 数列 等差数列的性质 数列 等比数列 数列 等比关系的确定 数列 等比数列的性质 数列 等差数列的通项公式 数列 等差数列的前n项和 数列 等比数列的通项公式 数列 等比数列的前n项和 数列 数列的应用 数列 数列的求和 数列 数列递推式 数列 数列与函数的综合 数列 数列与不等式的综合 数列 等差数列与等比数列的综合 不等式 不等关系与不等式 不等式 不等式比较大小 不等式 一元二次不等式 不等式 一元二次不等式的解法 不等式 一元二次不等式的应用 不等式 二元一次不等式组 不等式 二元一次不等式的几何意义 不等式 二元一次不等式（组）与平面区域 不等式 简单线性规划 不等式 简单线性规划的应用 不等式 其他不等式的解法 不等式 基本不等式 不等式 基本不等式在最值问题中的应用 不等式 不等式的综合 框图 工序流程图（即统筹图） 框图 绘制简单实际问题的流程图 框图 流程图的作用 框图 结构图 框图 绘制结构图 常用逻辑用语 四种命题 常用逻辑用语 四种命题间的逆否关系 常用逻辑用语 四种命题的真假关系 常用逻辑用语 充分条件 常用逻辑用语 必要条件 常用逻辑用语 充要条件 常用逻辑用语 必要条件、充分条件与充要条件的判断 常用逻辑用语 逻辑联结词“或” 常用逻辑用语 逻辑联结词“且” 常用逻辑用语 逻辑联结词“非” 常用逻辑用语 复合命题 常用逻辑用语 复合命题的真假 常用逻辑用语 全称量词 常用逻辑用语 存在量词 常用逻辑用语 全称命题 常用逻辑用语 特称命题 常用逻辑用语 命题的否定 常用逻辑用语 命题的真假判断与应用 圆锥曲线与方程 圆锥曲线的实际背景及作用 圆锥曲线与方程 椭圆的定义 圆锥曲线与方程 椭圆的标准方程 圆锥曲线与方程 椭圆的简单性质 圆锥曲线与方程 抛物线的定义 圆锥曲线与方程 抛物线的标准方程 圆锥曲线与方程 抛物线的简单性质 圆锥曲线与方程 双曲线的定义 圆锥曲线与方程 双曲线的标准方程 圆锥曲线与方程 双曲线的简单性质 圆锥曲线与方程 椭圆的应用 圆锥曲线与方程 抛物线的应用 圆锥曲线与方程 双曲线的应用 圆锥曲线与方程 直线与圆锥曲线的关系 圆锥曲线与方程 直线与圆锥曲线的综合问题 圆锥曲线与方程 圆锥曲线的综合 圆锥曲线与方程 曲线与方程 圆锥曲线与方程 圆锥曲线的共同特征 空间向量与立体几何 空间向量的概念 空间向量与立体几何 空间向量的基本定理及其意义 空间向量与立体几何 空间向量的正交分解及其坐标表示 空间向量与立体几何 空间向量的加减法 空间向量与立体几何 空间向量的数乘运算 空间向量与立体几何 空间向量运算的坐标表示 空间向量与立体几何 空间向量的数量积运算 空间向量与立体几何 空间向量的夹角与距离求解公式 空间向量与立体几何 向量的数量积判断向量的共线与垂直 空间向量与立体几何 直线的方向向量 空间向量与立体几何 平面的法向量 空间向量与立体几何 空间点、线、面的位置 空间向量与立体几何 用向量证明平行 空间向量与立体几何 用向量证明垂直 空间向量与立体几何 异面直线 空间向量与立体几何 直线与平面所成的角 空间向量与立体几何 点、线、面间的距离计算 空间向量与立体几何 用空间向量求直线间的夹角、距离 空间向量与立体几何 用空间向量求直线与平面的夹角 空间向量与立体几何 用空间向量求平面间的夹角 空间向量与立体几何 二面角的平面角及求法 导数及其应用 变化的快慢与变化率 导数及其应用 导数的几何意义 导数及其应用 导数的加法与减法法则 导数及其应用 导数的乘法与除法法则 导数及其应用 导数的运算 导数及其应用 简单复合函数的导数 导数及其应用 函数的单调性与导数的关系 导数及其应用 利用导数研究函数的单调性 导数及其应用 函数在某点取得极值的条件 导数及其应用 利用导数研究函数的极值 导数及其应用 利用导数求闭区间上函数的最值 导数及其应用 定积分 导数及其应用 微积分基本定理 导数及其应用 定积分的简单应用 推理与证明 合情推理的含义与作用 推理与证明 进行简单的合情推理 推理与证明 归纳推理 推理与证明 类比推理 推理与证明 演绎推理的意义 推理与证明 演绎推理的基本方法 推理与证明 进行简单的演绎推理 推理与证明 合情推理和演绎推理之间的联系和差异 推理与证明 分析法和综合法 推理与证明 反证法 推理与证明 反证法的应用 推理与证明 数学归纳法 数系的扩充与复数的引入 虚数单位i及其性质 数系的扩充与复数的引入 复数的基本概念 数系的扩充与复数的引入 复数相等的充要条件 数系的扩充与复数的引入 复数的代数表示法及其几何意义 数系的扩充与复数的引入 复数代数形式的乘除运算 数系的扩充与复数的引入 复数代数形式的加减运算 数系的扩充与复数的引入 复数代数形式的混合运算 数系的扩充与复数的引入 复数求模 计数原理 分类加法计数原理 计数原理 分步乘法计数原理 计数原理 计数原理的应用 计数原理 排列及排列数公式 计数原理 组合及组合数公式 计数原理 排列数公式的推导 计数原理 组合数公式的推导 计数原理 排列、组合及简单计数问题 计数原理 排列、组合的实际应用 计数原理 排列与组合的综合 计数原理 二项式定理 计数原理 二项式系数的性质 计数原理 二项式定理的应用 概率与统计 离散型随机变量及其分布列 概率与统计 总体分布的估计 概率与统计 连续型随机变量 概率与统计 超几何分布 概率与统计 条件概率与独立事件 概率与统计 二项分布与n次独立重复试验的模型 概率与统计 离散型随机变量的期望与方差 概率与统计 概率的应用 概率与统计 正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义 概率与统计 相关系数 概率与统计 独立性检验 概率与统计 独立性检验的基本思想 概率与统计 独立性检验的应用 概率与统计 回归分析 概率与统计 回归分析的初步应用 概率与统计 可线性化的回归分析 几何证明选讲 平行截割定理 几何证明选讲 平行线等分线段定理 几何证明选讲 平行线分线段成比例定理 几何证明选讲 相似三角形的判定 几何证明选讲 相似三角形的性质 几何证明选讲 直角三角形的射影定理 几何证明选讲 圆周角定理 几何证明选讲 圆的切线的判定定理的证明 几何证明选讲 圆的切线的性质定理的证明 几何证明选讲 弦切角 几何证明选讲 圆內接多边形的性质与判定 几何证明选讲 与圆有关的比例线段 坐标系与参数方程 平面直角坐标系与曲线方程 坐标系与参数方程 极坐标系 坐标系与参数方程 简单曲线的极坐标方程 坐标系与参数方程 极坐标刻画点的位置 坐标系与参数方程 平面直角坐标轴中的伸缩变换 坐标系与参数方程 极坐标系和平面直角坐标的区别 坐标系与参数方程 点的极坐标和直角坐标的互化 坐标系与参数方程 坐标系的选择及意义 坐标系与参数方程 参数方程的概念 坐标系与参数方程 抛物运动轨迹的参数方程 坐标系与参数方程 参数的意义 坐标系与参数方程 参数方程化成普通方程 坐标系与参数方程 直线的参数方程 坐标系与参数方程 圆的参数方程 坐标系与参数方程 椭圆的参数方程 不等式选讲 不等式 不等式选讲 绝对值不等式 不等式选讲 不等式的基本性质 不等式选讲 绝对值三角不等式 不等式选讲 绝对值不等式的解法 不等式选讲 不等式的证明 不等式选讲 比较法 不等式选讲 综合法与分析法(选修） 不等式选讲 反证法与放缩法 不等式选讲 二维形式的柯西不等式 不等式选讲 一般形式的柯西不等式 不等式选讲 柯西不等式的几何意义 不等式选讲 排序不等式 $ 数学评分细则 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C A B D C A C B 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 题号 9 10 11 答案 AC BCD ACD 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 题号 12 13 14 答案 3 四、解答题（共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（本小题满分13分） （1）证明：底面为矩形，所以， 又因为平面，平面，所以， 又，，平面， 所以平面，又平面， 可知平面平面．（6分） （2）解：由（1）可知，，两两垂直，以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，如图2所示： 易知，，，，， 则，， 设平面的法向量为， 则，令，可得，， 可得， 平面的法向量为， 因为平面，所以平面的法向量为， 所以， 因此平面与平面所成角的余弦值为．（13分） 16．（本小题满分15分） 解：（1）设，，因为为在轴上的射影，所以． 已知，则，可得，即． 又因为在圆上，将代入圆方程得， 即，所以的方程为．（6分） （2）设直线的方程为，，设，． 将代入，化简得． ，即， 由韦达定理得，． 根据两点间距离公式，， ． 所以． 把，代入得： ． 又， 所以的取值范围为．（15分） 17．（本小题满分15分） 解：（1）零假设：体能达标群体与未达标群体的体育锻炼习惯没有差异， ，其中，，，，， ， 根据小概率值的独立性检验，没有充分证据零假设成立， 因此认为体能达标群体与未达标群体的体育锻炼习惯有差异．（7分） （2）①指“在体能达标的学生中，不经常锻炼的概率”，， 指“既不经常锻炼，又体能达标的概率”，； ②先计算各部分概率：，，， ，代入公式：．（15分） 18．（本小题满分17分） 解：（1）由条件知， ，．（4分） （2）当为奇数且时，，也符合， 所以当为奇数时，； 当为偶数时，； 所以数列．（10分） （3）由题可知，所以， 所以数列的前项和， 所以， 又因为单调递减，所以当时，有最大值， 所以的取值范围为．（17分） 19．（本小题满分17分） 解：（1）在中，因为，由余弦定理， 因为，所以； 又，由正弦定理得， 得， 又因为，，所以， 因为，所以，所以．（4分） （2），所以． ①当时，在区间上恒成立，所以在上单调递增； ②当时，当时，得，当时，得， 所以，在上单调递减，在上单调递增， 综上，①当时，在上单调递增； ②当时，在上单调递减，在上单调递增．（10分） （3）由（1）知，当时，， 则，则， 令，易知， 则， 令，得，， （i）当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增，但，即在区间上，即在区间上，不满足题意； （ii）当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增，但，即在区间上，即在区间上，不满足题意； （iii）当时，恒成立，在定义域是单调递增， 又，则在区间上单调递减，在区间上单调递增，满足题意， 所以为的割线单调分界点； 综上得的割线单调分界点为．（17分） 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学试卷 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚． 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效． 3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．满分150分，考试用时120分钟． 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．复数满足，则 A． B． C．5 D．13 2．已知集合，，则 A． B． C． D． 3．已知双曲线，则离心率为 A．5 B． C．3 D． 4．一组数据从小到大排列为：，，，，，．若该组数据的中位数是极差的，则该组数据的第80百分位数是 A．4 B．12 C．13 D．14 5．已知是公差不为零的等差数列，，若，，成等比数列，则 A． B． C．12 D．18 6．已知，，，则，，的大小关系是 A． B． C． D． 7．已知函数，若，且在区间上单调递减，则整数 A．1或2 B．1 C．2 D．3 8．已知为上的奇函数，，若对，，当时，都有，则不等式的解集为 A． B． C． D． 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．已知正实数，满足，则 A．的最大值为 B．的最小值为4 C．的最大值为 D．的最小值为1 10．已知抛物线，过抛物线的焦点的直线与抛物线交于，两点，则 A．抛物线的准线方程为 B．若，则 C．的取值范围为 D．设为坐标原点，的中点到准线的距离为，则 11．已知函数，则 A．是奇函数 B．0可能是的极值点 C．可能有2个极值点 D．当在上有极大值时，的取值范围为 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12．已知向量，满足，，，则__________． 13．若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则__________． 14．学校社团文化节的“盲盒打卡”活动中，准备了4款不同等级的纪念徽章，编号为1（普通款），2（进阶款），3（稀有款），4（隐藏款）．每次打卡可随机获得1枚徽章，且每次打卡获得任意一款徽章的概率均等，徽章可重复获得．某同学计划连续打卡次，设随机变量表示他打卡获得的徽章的最高编号．若，则的最小值为__________． 四、解答题（共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本小题满分13分） 如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，，，为的中点． （1）证明：平面平面； （2）求平面与平面所成角的余弦值． 16．（本小题满分15分） 已知点是圆上的动点，点在轴上的射影为，点满足，记动点的轨迹为． （1）求的方程； （2）若斜率为1的直线与轴交于点，与交于，两点，求的取值范围． 17．（本小题满分15分） 某学校为研究学生的体育锻炼习惯（分为“经常锻炼”和“不经常锻炼”两类）与体能达标情况的关系，在体能达标的学生中随机调查了80名（称为达标组），同时在体能未达标的学生中随机调查了80名（称为未达标组），得到如下数据： 不经常锻炼 经常锻炼 达标组 20 60 未达标组 40 40 （1）根据小概率值的独立性检验，能否推断体能达标群体与未达标群体的体育锻炼习惯有差异？ （2）从该校学生中任选一人，设事件表示“选到的学生不经常锻炼”，事件表示“选到的学生体能达标”． ①直接写出和的估计值； ②计算指标的估计值（可利用①的结果简化计算）． 附：． 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 18．（本小题满分17分） 已知数列的前项和为，且． （1）求、的值； （2）求数列的通项； （3）设数列的前项和为，求的取值范围． 19．（本小题满分17分） 已知在中，内角，，的对边分别是，，，且满足，．函数，其中． （1）求； （2）记是的导数，讨论的单调性； （3）当时，设，若，使在时的单调性与时的单调性相反，则称为的割线单调分界点，试求出的所有割线单调分界点． 学科网（北京）股份有限公司 $数学答题卡 班级 姓 名 考场号 座位号 注意事项 填 正确填涂 准考证号 L答题前，考生先将自己的姓名、准考证 号、考场号、座位号填写清楚。 2选择题使用团铅笔填涂，非选择恶使用 错误填涂 黑色碳素笔书写，超出答题区域无效。 ☑ 000 000000 0 3保特卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 母中 2 2 2四 22 2四 22 2四 2 3 3 3 33] 3 33 3 3 4四 44四4四四4四44四4四 4 555551 55155] 5 贴条形码区 666 166666 6 6 刀刀 刀 (正面朝上，请贴在虚线框内) 8] 88 1888 88 8☐ 9999999999 单项选择题（每小题5分，共40分） 1IB☒D 5N回@回 2AB网 6四E☒回 3 [A][BC]D 7AIBC☒D 4A四B回 8NB网D可 二、多项选择题（每小题6分，共18分） 9 [A][B [C][D] 10A四B网D 11B☑D四 三、填空题（每小题5分，共15分）》 12 13. 14. 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 四、解答题（共77分） 15.(本小题满分13分) (1) 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 (2) 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 16.(本小题满分15分) 解：(1) (2) 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 ■■口■国口■■■■口 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 17.（本小题满分15分) 解：(1) (2) 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 18.(本小题满分17分) 解：（1) (2) … (3) 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 19.(本小题满分17分) 解：(1) (2) 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 ■■口■■口■■■■口 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 (3) 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效