2.1 认识一元二次方程 第1课时 课件 2026--2027学年北师大版九年级数学上册

这是一份初中数学同步教学课件，聚焦“一元二次方程”第1课时，包含课时导入、知识讲解、随堂小测、小结及巩固练习等模块。通过幼儿园地毯铺设、梯子滑动等实际问题构建学习支架，引导学生从已知量与未知量关系入手，逐步理解定义、一般形式及“三要素”。 资料特色突出核心素养培养，以生活情境（如矩形地毯面积）引导学生用数学眼光观察现实世界，通过列方程、化简过程（如从(8-2x)(5-2x)=18到2x²-13x+11=0）发展数学思维，结合《算法统宗》等数学文化题提升数学语言表达能力。能帮助学生建立方程模型意识，为教师提供层次分明、实例丰富的教学资源。 本课时针对初中学生，尤其九年级学生需衔接升学考试，注重从具体问题抽象数学模型，培养规范表达和逻辑推理能力，助力学生掌握一元二次方程基础，为后续学习奠定基础。

2.1 认识一元二次方程 第二章 一元二次方程 第1课时 一元二次方程 课时导入 已知量： 未知量： 矩形地面的长、宽 地毯的面积 地毯的长、宽 条形区域的宽 幼儿园活动教室矩形地面的长为8，宽为5，现准备在地面的正中间铺设一块面积为18m2的地毯，四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同. 8 m 5 m 已知量： 未知量： 矩形地面的长、宽 地毯的面积 地毯的长、宽 条形区域的宽 你能找出地毯问题中的相等关系吗？ 地毯的长×宽 = 18m2 地毯的长+2倍条形区域的宽 = 8m 地毯的宽+2倍条形区域的宽 = 5m 8 m 5 m 你能求出这个宽度吗？ 如果设所求的宽为 x m ， 那么地毯的长为 m， 宽为　 m， 根据题意，可得方程： （ 8 - 2x ） （ 5 - 2x ） 幼儿园活动教室矩形地面的长为8，宽为5，现准备在地面的正中间铺设一块面积为18m2的地毯，四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同. (8 - 2x )(5 - 2x ) = 18 8 m 5 m 你能求出这个宽度吗？ 幼儿园活动教室矩形地面的长为8，宽为5，现准备在地面的正中间铺设一块面积为18m2的地毯，四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同. (8 - 2x )(5 - 2x ) = 18 40 - 16x - 10x + 4x2 = 18 2x2 - 13x + 11 = 0 （去括号） 你还能找到其他的五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和吗？ 如果设五个连续整数中的第一个数为，那么后面四个数依次可表示为：_______，_______，_______，_______. 观察下面等式： 102+112+122 =132+142 根据题意，可得方程： x2 + (x+1)2 + (x+ 2)2 = (x+3)2 + (x+4)2 x+1 x+2 x+3 x+4 观察·思考 知识讲解 知识点 一元二次方程的定义与一般形式 x2 + (x+1)2 + (x+ 2)2 = (x+3)2 + (x+4)2 去括号、移项、合并同类项 x2 - 8x -20 = 0 10 m 8 m 如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8．如果梯子的顶端下滑1，那么梯子的底端滑动多少米？ 解：由勾股定理可知，滑动前梯子底端距墙　　m. 6 7 m 1 m 10 m 6 m 解：由勾股定理可知，滑动前梯子底端距墙　　m. 6 如果设梯子底端滑动 x m，那么滑动后梯子底端距墙_______m. （x+6） 根据题意，可得方程： 72+(x+6)2 = 102 如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8．如果梯子的顶端下滑1，那么梯子的底端滑动多少米？ 72+(x+6)2 = 102 去括号、移项、合并同类项 x2 +12 x -15 = 0 只含有一个未知数x的整式方程，并且可以化成ax2+bx+c=0（a，b，c为常数，a≠0）的形式，这样的方程叫作一元二次方程. 我们把ax2+bx+c=0（a，b，c为常数，a≠0） 称为一元二次方程的一般形式，其中ax2，bx，c分别称为二次项、一次项和常数项，a，b分别称为二次项系数，一次项系数. 误区警示: 最高次数是2的项的系数的取值范围不明确的方程不一定是一元二次方程，如：（m-2）x2+3x-8=0不一定是一元二次方程。 一元二次方程的“三要素” 一是整式方程， 二是只含一个未知数， 三是整理后未知数的最高次数是2. 随 堂 小 测 1. 如果方程是关于x的一元二次方程，那么的值为( ) A. ±3 B. 3 C. －3 D. 以上都不对 C 2.下列方程：① x2+y－6=0；② x2+=2；③ x2－x－2=0；④ 2x2－3x=2(x2－2)，其中是一元二次方程的_______.(填序号). ③ 3.方程的一般形式是 ( ) A. B. C. D. B 通过这节课的学习活动，你有什么收获？ 小结 只含有一个未知数 x 的整式方程，并且都可以化为 ax2＋bx＋c＝0 (a，b，c为常数，a≠0)的形式，这样的方程叫作一元二次方程. 我们把 ax2+bx+c＝0（a，b，c为常数，a≠0） 称为一元二次方程的一般形式. 小结 ax2 bx c 二次项 一次项 常数项 a b 二次项系数 一次项系数 1. 若关于x的方程ax2－3x－6＝0是一元二次方程，则（　A　） A. a≠0 B. a＞0 C. a≥0 D. a＝1 A 巩固练习 A层基础练 2. 下列方程是一元二次方程的是（　C　） C A层基础练 3. 一元二次方程2x2－3x－1＝0的一次项系数、常数项分别为 （　C　） A. 2，－1 B. 2，1 C. －3，－1 D. 3，1 C A层基础练 4. 将下列一元二次方程化为一般形式，并写出二次项系数a、 一次项系数b及常数项c。 一元二次方程 一般形式 a b c 4x2＝5－x 4x2＋x－5＝0 4 1 －5 4＝x（x－5） x2－5x－4＝0 1 －5 －4 (x＋2)(x－2)＝0 x2－4＝0 1 0 －4 4x2＋x－5＝0 4 1 －5 x2－5x－4＝0 1 －5 －4 x2－4＝0 1 0 －4 A层基础练 5. 已知关于x的方程（m－4）x2＋（m＋4）x＋2m＋3＝0。 （1）当m取何值时，此方程是一元二次方程； 解：（1）∵关于x的方程（m－4）x2＋（m＋4）x＋2m＋3 ＝0是一元二次方程， ∴m－4≠0。解得m≠4。 解：（1）∵关于x的方程（m－4）x2＋（m＋4）x＋2m＋3＝0 是一元二次方程， ∴m－4≠0。解得m≠4。 （2）当m取何值时，此方程是一元一次方程。＝4。 （2）∵关于x的方程（m－4）x2＋（m＋4）x＋2m＋3＝0 是一元一次方程， ∴ 即 ∴m＝4。 A层基础练 6. 在一张矩形的床单四周绣上宽度相等的花边，剩下部分的 面积为1.6 m2。已知床单的长是2 m，宽是1.4 m，求花边的宽 度。请根据题意列出方程。（方程无需化简） 解：设花边的宽度为x m，则由图可知剩下部分的长为（2－ 2x）m，剩下部分的宽为（1.4－2x）m。 ∵剩下部分的面积为1.6 m2， ∴可列方程为（2－2x）（1.4－2x）＝1.6。 A层基础练 7. 若关于x的方程x2－2kx＝4x－1化成一般形式后不含有x的 一次项，则k的值为（　B　） A. 2 B. －2 C. 4 D. －4 B 8. 若关于x的一元二次方程（a－2）x2＋4x＋a2－4＝0的常 数项为0，则a的值为 ⁠。 －2　 B层 提升练 9. 【创新点·数学文化】填空： （1）我国古代著作《算法统宗》中记载：“今有方田一段， 圆田一段，共积二百五十二步，只云方面圆径适等。问方 （面）圆径各若干？”意思是：现在有正方形田和圆形田各一 块（如图所示），面积之和为252，只知道正方形田的边长与 圆形田的直径相等。问正方形田的边长和圆形田的直径各为多 少？设正方形田的边长为x，则可列方程为 ； x2＋π ＝252　 B层 提升练 （2）我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中记录了 这样一个问题：“直田积八百六十四步，只云阔与长共六十 步，问阔及长各几步？”其大意是：一个矩形的面积为864平 方步，其中一条宽与一条长的和为60步，问宽和长各几步？设 矩形的长为x步，则根据题意，可列方程为 ⁠ （化成一般形式）。 x2－60x＋864＝0 B层 提升练 10. 将4个数a，b，c，d排成2行2列，两边各加一条竖线，记 成 ，定义 ＝ad－bc。那么 ＝22表示 的方程是一元二次方程吗？如果是，请写出它的一般形式。 解：是一元二次方程。 根据题意，得（x＋1）·2x－（x－2）（x＋2）＝22。 整理，得2x2＋2x－x2＋4＝22， 即x2＋2x－18＝0。 解：是一元二次方程。 根据题意，得（x＋1）·2x－（x－2）（x＋2）＝22。 整理，得2x2＋2x－x2＋4＝22， 即x2＋2x－18＝0。 B层 提升练 11. （思想方法·待定系数法）已知关于x的方程（m－2）x｜m｜ ＋2x－2m＝0是一元二次方程，求不等式（m＋1）x－m ＞1的解集。 解：∵（m－2）x｜m｜＋2x－2m＝0是一元二次方程， ∴｜m｜＝2，且m－2≠0。解得m＝－2。 ∴原不等式为－x＋2＞1。解得x＜1。 解：∵（m－2）x｜m｜＋2x－2m＝0是一元二次方程， ∴｜m｜＝2，且m－2≠0。解得m＝－2。 ∴原不等式为－x＋2＞1。解得x＜1。 C层 拓展练 $