精品解析：陕西西安铁一中滨河高级中学2026届高三二模数学试题

西安铁一中滨河高级中学2026届高三二模数学试题 一、单选题（共40分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，其中为虚数单位，则（） A. B. 1 C. 3 D. 3. 已知向量，，若，则=（ ） A. B. C. D. 12 4. 设定义在上的奇函数，满足对任意的都有，且当时，，则的值等于（ ） A. B. C. D. 5. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 2025年春节期间，有《封神第二部：战火西岐》《哪吒之魔童闹海》《唐探1900》《熊出没•重启未来》和《射雕英雄传：侠之大者》五部电影上映，小罗准备和另外3名同学去随机观看这五部电影中的某一部电影，则小罗看《哪吒之魔童闹海》，且4人中恰有两人看同一部电影的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知圆，过点的直线，，…，被该圆M截得的弦长依次为，，…，，若，，…，是公差为的等差数列，则n的最大值是（ ） A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 8. 已知函数，若关于的方程有且仅有4个不同的实数根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（共18分） 9. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若样本数据的方差为2，则数据的方差为17 B. 一组数据8，9，10，11，12的第80百分位数是11.5 C. 用决定系数比较两个模型的拟合效果时，若越大，则相应模型的拟合效果越好 D. 以模型 去拟合一组数据时，为了求出经验回归方程，设，求得线性回归方程为，则c，k的值分别是和2 10. 函数的部分图象如图所示，则（ ） A. 的图象关于直线对称 B. 的图象向左平移个单位长度后得到函数 C. 的单调递增区间为 D. 若方程在上有且只有6个根，则 11. 如图，椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点． 已知椭圆 其左、右焦点分别是，，P为椭圆C上任意一点，直线l与椭圆 C相切于点 P，过点 P与l垂直的直线与椭圆的长轴交于点 M，点，若| 的最大值为7，则（ ） A. 椭圆C的离心率为 B. 若的内切圆半径为 则 C. 若 则 D. 若 垂足为，则 三、填空题（共15分） 12. 若二项式展开式的所有项系数之和为，则______． 13. 已知函数的图像在点处的切线与直线垂直，若数列的前项和为，则__________． 14. 如图，已知，是双曲线的右支上的两点（点在第一象限），点关于坐标原点对称的点为，且，若直线的斜率为，则该双曲线的离心率为__________． 四、解答题（共77分） 15. 设的内角、、的对边分别为、、，已知． （1）求角的大小； （2）若，且，求边上中线的长． 16. 如图，在四棱锥中，底面，． （1）设分别为的中点，为的重心，证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 17. 2025年春晚舞台上，机器人扭秧歌表演成为一大亮点.参与表演的机器人Unitree A1由中国某科技企业制造，其具备出色的负载能力和环境适应能力，可应用于巡检与监控､物流运输､安防与救援等场景.现统计出机器人Unitree A1在某地区2024年2月至6月的销售量，数据如下表： 月份 2 3 4 5 6 销售量 45 55 70 110 用最小二乘法得到Unitree A1的销售量关于月份的回归直线方程为，且相关系数，销售量的方差. （1）求的值（结果精确到0.1）； （2）（i）求的值； （ii）现从这5个月份中随机有放回地抽取3次，每次抽取1个月份，设抽取到销售量大于60的月份次数为，求的分布列和方差. 附：回归系数，相关系数. 18. 如图，已知抛物线，过点作斜率为，的直线，，分别交抛物线于点，与，． （1）若点是抛物线上位于第一象限内一点，且其到焦点的距离为2，求点的坐标； （2）若，证明：； （3）若直线过点，请判断直线是否过定点，若是，请求出此定点坐标；若不是，请说明理由． 19. 已知函数， （1）若在定义域内单调递增，求实数的取值范围； （2）当时，若对任意，不等式恒成立，求实数的最小值； （3）若存在两个不同的极值点，，且，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 西安铁一中滨河高级中学2026届高三二模数学试题 一、单选题（共40分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出集合A和集合B，再利用集合的交集定义求解． 【详解】由题得，集合， 集合， 所以． 故选：D． 2. 已知，其中为虚数单位，则（） A. B. 1 C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】 整理等式为,等号左右两边实部、虚部对应相等,进而求得 【详解】由题,,所以,则, 故选：D 【点睛】本题考查相等的复数,考查复数的实部与虚部的定义,属于基础题 3. 已知向量，，若，则=（ ） A. B. C. D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】求出的坐标，根据可得，结合数量积的坐标表示，即可求得答案. 【详解】由题意知向量，，， 则，而， 故，解得， 故选：B 4. 设定义在上的奇函数，满足对任意的都有，且当时，，则的值等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用函数的奇偶性和对称性可分别求得和的值，相加即可求得结果. 【详解】由于函数为上的奇函数，满足对任意的都有， 则， ， 因此，. 故选：C. 【点睛】本题考查利用函数的奇偶性与对称性求函数值，考查计算能力，属于基础题. 5. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由辅助角公式得到，再结合余弦二倍角公式即可求解. 【详解】， ， 故选：C． 6. 2025年春节期间，有《封神第二部：战火西岐》《哪吒之魔童闹海》《唐探1900》《熊出没•重启未来》和《射雕英雄传：侠之大者》五部电影上映，小罗准备和另外3名同学去随机观看这五部电影中的某一部电影，则小罗看《哪吒之魔童闹海》，且4人中恰有两人看同一部电影的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先求出基本事件总数，再求出满足小罗看《哪吒之魔童闹海》，且4人中恰有两人看同一部电影的方案数，最后根据古典概型的概率公式计算可得. 【详解】依题意每位同学均有种选择，则四位同学一共有种方案， 若小罗看《哪吒之魔童闹海》，且4人中恰有两人看同一部电影， 有两人看《哪吒之魔童闹海》，则有种方案，有一人看《哪吒之魔童闹海》电影，则有种方案， 即满足小罗看《哪吒之魔童闹海》，且4人中恰有两人看同一部电影一共有种方案， 所以所求概率. 故选：C. 7. 已知圆，过点的直线，，…，被该圆M截得的弦长依次为，，…，，若，，…，是公差为的等差数列，则n的最大值是（ ） A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 【答案】D 【解析】 【分析】求出弦长的最小和最大值，根据等差数列的关系即可求出n的最大值 【详解】解：由题意 在圆中 ∴圆心，半径为3， 过点的直线，，…，被该圆M截得的弦长依次为，，…， 过圆心作弦的垂线，交圆于两点，如下图所示： 由几何知识得，当时， 为最短弦长；为最长弦长，为6. 此时， 直线的解析式为： 直线的解析式为： 圆心到弦BC所在直线的距离： 连接, 由勾股定理得， ∴， ∴最短弦长， ∵，，…，是公差为的等差数列 ∴设 ∵最长弦长为6 ∴ 解得： 故选：D. 8. 已知函数，若关于的方程有且仅有4个不同的实数根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用导数研究的单调性，结合函数值的符号和单调性画出示意图，由题意或共有4个不同的实根，由知与的图象仅有一个交点，从而的图象与直线有3个交点，数形结合即可求解. 【详解】由得， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 当时，，，当时，，画出其大致图象如图. 方程 即，所以或. 因为的极大值为，而， 由图可知与的图象仅有一个交点. 要使原方程有4个不同的实数根，需的图象与直线有3个交点， 由图可知此时的取值范围为. 故选：B 二、多选题（共18分） 9. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若样本数据的方差为2，则数据的方差为17 B. 一组数据8，9，10，11，12的第80百分位数是11.5 C. 用决定系数比较两个模型的拟合效果时，若越大，则相应模型的拟合效果越好 D. 以模型 去拟合一组数据时，为了求出经验回归方程，设，求得线性回归方程为，则c，k的值分别是和2 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据方差的性质即可判断A；根据百分位数计算公式即可判断B；根据决定系数的概念即可判断C；根据非线性回归方程的求法并结合对数运算性质即可判断D. 【详解】对A：若样本数据的方差为2，则数据的方差为，故A错误； 对B：，则其第80百分位数是，故B正确； 对C，根据决定系数的含义知越大，则相应模型的拟合效果越好，故C正确； 对D，以模型去拟合一组数据时，为了求出经验回归方程，设， 则，由题线性回归方程为，则，故的值分别是和2，故D正确. 故选：BCD. 10. 函数的部分图象如图所示，则（ ） A. 的图象关于直线对称 B. 的图象向左平移个单位长度后得到函数 C. 的单调递增区间为 D. 若方程在上有且只有6个根，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】先根据函数图象即得代入两点坐标，求得的值，即得函数解析式，再根据各选项的要求逐一分析，计算，结合正弦函数的图象性质即可判断. 【详解】由图可知，且经过，故可得， 由①，结合，则得，代入②，化简得，即， 由图知，原函数的最小正周期满足，解得，故，即. 对于A，当时，因，故直线是的一条对称轴，故A正确； 对于B，将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数，故B错误； 对于C，因， 由，可得， 即的单调递增区间为，故C正确； 对于D，由可得，设，因，则， 依题意函数与在上必有6个交点，作出函数的图象如下： 由图知，需使，解得，故D正确. 故选：ACD. 11. 如图，椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点． 已知椭圆 其左、右焦点分别是，，P为椭圆C上任意一点，直线l与椭圆 C相切于点 P，过点 P与l垂直的直线与椭圆的长轴交于点 M，点，若| 的最大值为7，则（ ） A. 椭圆C的离心率为 B. 若的内切圆半径为 则 C. 若 则 D. 若 垂足为，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】对A，结合椭圆定义及三角形不等式即可求解；对B，应用等积法及向量数量积即可求解； 对C，应用角平分线的性质及余弦定理即可求解；对D，延长交于点，应用对称性及圆的定义即可求解. 【详解】由， 当且仅当三点共线时取得等号， 解得，则椭圆方程为，则，A错误； 对B，的内切圆半径为 ， 则， 解得，根据对称性不妨设在第一象限， 由，解得，则， 则，即，B正确； 由椭圆的光学性质，得点 P与l垂直的直线为角的角平分线， 则， 则，则， 则， 则， 则, ,解得或， 当时，，M与O重合，不合题意， 所以，即，C正确； 对D，如图，延长交于点， 则在中，， 则且为中点， 在中，， 则点在以原点为圆心，2为半径的圆上，即，D正确. 故选：BCD 三、填空题（共15分） 12. 若二项式展开式的所有项系数之和为，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据展开式所有项系数的求法，通过赋值，即可求得. 【详解】令得，二项式展开式的所有项系数之和为，解得. 故答案为： 13. 已知函数的图像在点处的切线与直线垂直，若数列的前项和为，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用导数的几何意义求a，然后通过数列{}的通项公式，利用裂项法进行求和即可求出． 【详解】由题意知，则，，故，，故 ，. 故答案为 【点睛】本题考查数列求和，切线的应用，熟记求和基本方法，准确计算是关键，是基础题 14. 如图，已知，是双曲线的右支上的两点（点在第一象限），点关于坐标原点对称的点为，且，若直线的斜率为，则该双曲线的离心率为__________． 【答案】 【解析】 【分析】作图，取的中点并连接，得到，，从而求出直线的斜率，设，，利用点差法得到的值，再根据离心率的公式计算即可得结果. 【详解】如图，设直线与轴交于点，取的中点，连接， 由双曲线的对称性可知为线段的中点，则，所以．由直线的斜率，得， 则直线的斜率． 设，，则两式相减，得，化简得，即， 所以该双曲线的离心率． 故答案为： 【点睛】方法点睛：本题主要用到了点差法，即利用直线和圆锥曲线的两个交点，并把交点代入圆锥曲线的方程，并作差。求出两交点的中点坐标和直线斜率的关系，然后再结合题中的相应条件建立等式便可解决问题. 四、解答题（共77分） 15. 设的内角、、的对边分别为、、，已知． （1）求角的大小； （2）若，且，求边上中线的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理结合两角和的正弦公式化简得出的值，结合角的取值范围可得出角的值； （2）利用正弦定理可得出的值，利用余弦定理得出的值，利用中线向量可得出，利用平面向量数量积的运算性质可求出的值，即为所求. 【小问1详解】 在中，由及正弦定理得 ， 即， 因为、，则，即，可得，故. 【小问2详解】 由正弦定理可得， 所以， 在中，由余弦定理可得， 所以，， 因为为边上的中线，所以， 所以 ，故， 因此，边上的中线的长为. 16. 如图，在四棱锥中，底面，． （1）设分别为的中点，为的重心，证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1） 因为分别为的中点，则． 又在平面外，则平面． 连接，延长交于，连接．因为为的重心，则 为的中点，从而． 又在平面外，则平面． 因为是平面内的两条相交直线，则平面平面． 因为平面，所以平面． （2） 【解析】 【分析】（1）只需证明平面及平面进而证得平面平面，根据面面平行的性质，证得结果； （2）建立空间直角坐标系，求出及平面的法向量，利用向量公式即可得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为底面，以为原点， 如图所示建立空间直角坐标系． 由已知可得，点． 则． 设为平面的法向量，则，即． 取，则，所以． 设直线与平面所成的角为， 则． 所以直线与平面所成角的正弦值为． 17. 2025年春晚舞台上，机器人扭秧歌表演成为一大亮点.参与表演的机器人Unitree A1由中国某科技企业制造，其具备出色的负载能力和环境适应能力，可应用于巡检与监控､物流运输､安防与救援等场景.现统计出机器人Unitree A1在某地区2024年2月至6月的销售量，数据如下表： 月份 2 3 4 5 6 销售量 45 55 70 110 用最小二乘法得到Unitree A1的销售量关于月份的回归直线方程为，且相关系数，销售量的方差. （1）求的值（结果精确到0.1）； （2）（i）求的值； （ii）现从这5个月份中随机有放回地抽取3次，每次抽取1个月份，设抽取到销售量大于60的月份次数为，求的分布列和方差. 附：回归系数，相关系数. 【答案】（1） （2）（i）；（ii）的分布列为 0 1 2 3 ，【解析】 【分析】（1）只需求出即可； （2）（i）由回归直线必定过样本中心点即可求解；（ii）由题意，由此可求出分布列，进一步由二项分布的均、方差公式求解方差. 【小问1详解】 由表得，. 由，得. ， ， . 【小问2详解】 （i）回归直线过样本中心点，且，. 即，解得. （ii）这5个月中销量大于60的月份有3个， 每次抽取到销量大于60的月份的概率为， ， ， 的分布列为 0 1 2 3 根据二项分布的方差公式，. 18. 如图，已知抛物线，过点作斜率为，的直线，，分别交抛物线于点，与，． （1）若点是抛物线上位于第一象限内一点，且其到焦点的距离为2，求点的坐标； （2）若，证明：； （3）若直线过点，请判断直线是否过定点，若是，请求出此定点坐标；若不是，请说明理由． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）直线恒过点． 【解析】 【分析】（1）由焦半径公式即可求解； （2）先设直线方程代入抛物线联立方程组，结合根与系数的关系，应用，即可得到结论. （3）先设直线过点P得出,同理结合理过点Q得出,最后得出的直线得出定点. 【小问1详解】 由题意，解得， 所以，又， 所以，即点的坐标； 【小问2详解】 由题知，设，， ，代入抛物线可得， ， 又， ， 同理 . 【小问3详解】 因为， 所以，代入点得①， 设，同理， 过点② ， 结合①②可得 又因为 所以，整理得 所以直线过定点. 19. 已知函数， （1）若在定义域内单调递增，求实数的取值范围； （2）当时，若对任意，不等式恒成立，求实数的最小值； （3）若存在两个不同的极值点，，且，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）1 （3） 【解析】 【分析】（1）在定义域内单调递增等价于恒成立，分离参数转化为最值问题求解； （2）由，构造同构函数，利用的单调性求解； （3）由极值点得双变量之间关系，将通过变量代换转化为关于的函数，利用导数判断单调性求其最值情况即可求解. 【小问1详解】 由题的定义域为，在恒成立，且的解不连续， 则， 所以的取值范围是； 【小问2详解】 当时，不等式可化为，变形为， 令，求导得，所以在上是增函数， 故，即，即， 所以对任意，不等式恒成立，即对任意恒成立， 令，则， 所以当时，，则单调递增； 当时，，则单调递减， 所以，即满足不等式的实数的取值范围为， 所以的最小值为1； 【小问3详解】 因为存在两个不同的极值点， 所以由可得是方程的两根， 所以，且，， 所以，故， 又由可得， 而， 令， 则， ∵，∴，即， 则，所以在区间上单调递减， 所以有，即， 所以实数取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $