陕西省西安中学高2025届高三第二次模拟考试数学试题

第二次模拟考试数学试题 第 1页 共 4页 陕西省西安中学高 2025 届高三第二次模拟考试 数学试题 （时间：120分钟 满分：150分 命题人：陈晓曙、郑欣） 第一部分 (选择题 共 58 分) 一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的． 1．设 3, aia R z i    ，其中 i为虚数单位．则“ 1a  ”是“ | | 10z  ”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．在矩形 ABCD中， 2AB BC ，则以 A，B为焦点，且过C，D两点的椭圆的离心率为( ) A． 3 2 B． 3 1 2  C． 5 2 D． 5 1 2  3．若 ( ) sin 3 cosf x x x  在区间[  ， ] 上是增函数，则 tan 的最大值是( ) A． 3 3 B． 3 2 C．1 D． 3 4．已知圆 2 21 : 4C x y  ，圆 2 22 : 4 4 4 0C x y x y     ，两圆的公共弦所在直线方程是( ) A． 2 0x y   B． 2 0x y   C． 1 0x y   D． 1 0x y   5．若 5(1 2) 2(a b a   ，b为有理数），则 a ( ) A． 25 B．25 C．40 D．41 6．在研究变量 x与 y之间的关系时，进行实验后得到了一组样本数据 1(x ， 1)y ， 2(x ， 2 )y ，， 5(x ， 5 )y ， (6,28)， (0,28)，利用此样本数据求得的经验回归方程为 10 166ˆ 7 7 y x  ，现发现数 据 (6,28) 和 (0,28) 误差较大，剔除这两对数据后，求得的经验回归方程为 ˆ 4y x m  ，且 5 1 140i i y   ，则 m ( ) A．8 B．12 C．16 D．20 7．已知函数 ( 2)y f x  是 R 上的偶函数，对任意 1x ， 2 [2x  ， ) ，且 1 2x x ，都有 第二次模拟考试数学试题 第 2页 共 4页 1 2 1 2 ( ) ( ) 0f x f x x x    成立．若 3(log 18)a f ， 2 ( ) 2 eb f ln ， 10 2( ) ln c f e ，其中 e为自然对数的底数， 则 a，b， c的大小关系是( ) A．b a c  B． a b c  C． c b a  D．b c a  8．设 nS 为是首项为 1a ，公比为 q的等比数列{ }na 的前 n项和，且 2023 2025 2024S S S  ，则( ) A． 1 0a  B． 0q  C． 1| | | |nS a D． | | | |nS q 二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分．在每小题给出的四个选项中，有多项 符合题目要求．全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错或不选的得 0分． 9．如图 1，四边形 ABCD的斜二测画法的直观图为等腰梯形 A B C D   ，已知 4A B   ， 2C D   ， 则下列说法正确的是( ) A． 2 2A D   B． 4AB  C．四边形 ABCD的面积为 6 2 D．四边形 ABCD的周长为 266  10．若曲线 2( ) (xy x a e e  为自然对数的底数）有两条过坐标原点的切线，则 a值可以是( ) A． 3 B． 2 C．0 D．1 11．甲、乙两个口袋各装有 1个红球和 2个白球，这些球除颜色外完全相同．把从甲、乙 两个口袋中各任取一个球放入对方口袋中称为一次操作，重复 n次操作后，甲口袋中恰有 0 个红球，1个红球，2个红球分别记为事件 nA ， nB ， nC ，则( ) A． 1 5( ) 9 P B  B． 3 1 4( | ) 27 P C A  C． 1 2 2( ) 81 P BC  D． 1 2 55( ) 81 P A B  第二部分 (非选择题 共 92 分) 三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分． 12．双曲线 2 2 1 6 yx   的左，右焦点分别为 1F ， 2F ，点 P在双曲线右支上，若 1| | 4PF  ，则 1 2F PF  ． 图 1 第二次模拟考试数学试题 第 3页 共 4页 13．在棱长为 2的正方体 1 1 1 1ABCD A BC D 中，点 E是棱 1CC 的中点，则点 1B 到平面 BDE的距 离是 A到平面 BDE的距离的 倍． 14．把 1，2，3，4，5这五个数随机地排成一个数列，要求该数列恰好先递增后递减，则 这样的数列共有 个． 四、解答题：本题共 5小题，共 77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分 13分） 某同学用“五点法”画函数 ( ) sin( )( 0,| | ) 2 f x A x        在某一个周期内的图象 时，列表并填入了部分数据，如下表： x  0 2   3 2  2 x 29  5 9  sin( )A x  0 2 0 2 0 （1）请将上表数据补充完整，并直接写出函数 ( )f x 的解析式； （2）当 x R 时，求使 ( ) 1f x  成立的 x的取值集合． 16．（本小题满分 15分） 已知平面上动点  ,Q x y 到 (0,1)F 的距离比  ,Q x y 到直线 l： 2y   的距离小 1，记动点  ,Q x y 的轨迹为曲线 C． （1）求曲线 C的方程； （2）设点 P的坐标为 )1,0(  ，过点 P作曲线 C的切线，切点为 A（A在第一象限）， 若过点 P的直线 m与曲线 C交于 M，N两点，证明： AFNAFM  ． 17．（本小题满分 15分） 已知函数 xxxxf  ln)( ． （1）若 2)( emxxf  对任意的 ),0( x 恒成立，求实数 m的取值范围； （2）若 0x 是函数 2)()( xxfxh  的极值点，求证： 03)( 00  xxf ． 第二次模拟考试数学试题 第 4页 共 4页 18．（本小题满分 17分） 如图 2， ABC 是等边三角形， DAC 为等腰直角三角形， 2DA DC  ，将 DAC 沿 AC翻折到 PAC 的位置，且点 P不在平面 ABC内(如图 3)，点 F在线段 PB上(不含端点)． （1）证明： PBAC  ； （2）若直线 PC与 AB所成角的余弦值为 4 2 ． （ⅰ）当直线 PB与平面 ACF所成角为 60 时，求 PF； （ⅱ）设平面 ACF与平面 PBC的夹角为 ，求 cos 的取值范围． 19．（本小题满分 17分） 材料一：在伯努利试验中，记每次试验中事件 A发生的概率为 p，试验进行到事件 A 第 一 次 发 生 时 停 止 ， 此 时 所 进 行 的 试 验 次 数 为  ， 其 分 布 列 为 ，我们称 服从几何分布，记为 材料二：求无穷数列的所有项的和，如求 ，没有办法 把所有项真的加完，可以先求数列前 n项和 ，再求 n时 nS 的极 限： ． 根据以上材料，我们重复抛掷一颗均匀的骰子，直到第一次出现“6点”时停止．设停 止时抛掷骰子的次数为随机变量 X ． （1）证明： ； （2）求随机变量 X的数学期望 )(XE ； （3）求随机变量 X的方差 )(XD ． 图 2 图 3