精品解析：陕西咸阳市乾县晨光中学2026年普通高等学校招生全国统一考试模拟检测数学试题

2026年普通高等学校招生全国统一考试 数学 本试卷共4页，19小题，满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡和试卷上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 使得式子有意义的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】考查二次根式有意义的条件 ，要使二次根式有意义，即 ，然后求解这个不等式即可得到的取值范围. 【详解】 ，即 ，解得. 2. 若，则的实部为（ ） A. B. C. D. 0 【答案】D 【解析】 【详解】由于 ， 所以 ， 故的实部为 3. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】，则，解得， ，． 4. 已知非零向量，满足，，与的夹角为120°，则（ ） A. B. C. 7 D. 10 【答案】D 【解析】 【分析】利用向量数量积的分配律展开表达式，结合数量积定义，将展开求解即可. 【详解】 . 5. 一个正四棱台的上、下底面边长分别为1，3，高为，若用一个平行于上下底面的平面截该棱台，且将棱台的高平分，则所截得的上下两个棱台的体积之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据正四棱锥的相似性质求得截面正方形边长，再利用棱台体积公式分别计算上下两部分棱台的体积，最终求比值即可. 【详解】首先将正四棱台补为正四棱锥，设补出的小棱锥高为， 由上下底面边长比为，且棱台的高为，由相似多边形的性质得，解得. 由于平面平分棱台的高，故截面与棱台上底面的距离为，截面所在棱锥的高为， 由相似比得截面边长，上下两部分棱台的高均为， 根据棱台体积公式， 上部分棱台：上底面积，下底面积，高， 则 下部分棱台：上底面积，下底面积，高， 则. 因此体积比为. 6. 已知，若，则=（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先通过同角三角函数的平方关系联立求解、的值，再代入三倍角公式计算 . 【详解】对已知等式两边平方，得：  解得. 由 ，可知 ，，且 ，故 ， 计算得：  即. 联立方程组，解得，. 代入三倍角公式 计算： . 7. 已知函数，，若是奇函数，则的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】根据是奇函数来推导的对称中心，利用三次函数的对称中心的横坐标满足得到，由，得到， 由得到， 用得代入得，从而得到所求. 【详解】因为 是奇函数，所以， 即， 整理得， 这说明函数的图象关于点对称， ， ， 三次函数的对称中心的横坐标满足， 即： ，， 因为，所以， 即：， 又因为，所以， 即： ， 用得代入得， 所以，，则， 8. 已知数列的前n项和为，且满足，，则使得不等式成立的实数k的最大值为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据和与的关系，结合等比数列性质，即可求解得到数列本身的通项，表示，代入到原不等式中，通过比较即可求解. 【详解】因为，，因此当时，， 所以两式相减得，，所以，， 当时，，满足递推关系，所以的递推公式为， 则为首项为，公比为的等比数列，通项公式为， 因此 ， 代入得，，化简得， 设，则上式等价于， 所以，， 当时， ， ，单调递增，当时， ，，单调递减， ，，当时，，所以，因此的最小值为， 即，因此的最大值为， 故选择B选项. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数，则（ ） A. 将的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数为偶函数 B. 对任意，都有 C. 在区间上先增后减 D. 若（），则的最小值为 【答案】BD 【解析】 【详解】选项A，将的图象向右平移个单位长度， 得到， 定义域为，且满足， 是奇函数，不是偶函数，故A错误. 选项B， ，故B正确. 选项C，当时，令，则， 在上单调递减，在上单调递增， 因此在上先减后增，故C错误. 选项D，令 ，则， 解得：，即：或， 故的最小值为，D正确. 10. 已知函数，则（ ） A. 存在a，使得有两个极值点 B. C. 当时，在上单调递增 D. 当时，有2个零点 【答案】BCD 【解析】 【分析】求导，分析函数的单调性，进而结合极值点的定义、最值、零点判断各选项即可. 【详解】对于A，由，，得， 令，得， 则时，，时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 则时，函数取得极小值，无极大值， 因此，不存在a，使得有两个极值点，故A错误； 对于B，由A知，函数在上单调递减，在上单调递增， 则时，，故B正确； 对于C，当时，，而函数在上单调递增， 则在上单调递增，故C正确； 对于D，当时，，， 由A知，函数在上单调递减，在上单调递增， 而时，，，时，， 根据零点存在性定理，可知有2个零点，故D正确. 11. 已知圆与抛物线（）交于A，B两点，与C的准线l交于M，N两点（点A，M均在x轴上方），过C的焦点F且斜率为的直线交C于另一点D，若，则（ ） A. B. C. 的面积是 D. 若C上一点满足，则 【答案】AB 【解析】 【分析】先利用抛物线定义与直线倾斜角求出参数，再逐一验证直线位置关系、三角形面积、动点坐标相关结论. 【详解】圆 的圆心为 ，半径 . 抛物线 的焦点为 ，准线为 . 设 ，由抛物线定义得 ，即 . 直线 斜率为 ，倾斜角为 ，可得 . 因此， ，解得 ，选项A正确. 时，抛物线方程为 ，焦点 ，准线 . 代入得 ，结合抛物线方程得 ，取 . 将 代入圆 的方程， ，解得 ， 即 ,, 因此，直线 平行于 轴，准线 垂直于 轴，故 ，选项B正确. 直线 的方程为 ，与抛物线联立得 ， 整理得 ，解得 或 ，即 . ，点 到直线 的距离为 ，则 . 因此，，选项C错误. 设 在抛物线上且满足 ， 由两点间距离公式得 ， 展开化简得 ，结合 ，解得. 因此，满足条件的点 存在两个不同横坐标，选项D错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则______． 【答案】或或 【解析】 【详解】因为，，所以、均为方程的根， 对于方程，两根，，，， 所以当时，因为，所以为等边三角形， 则此时或， 当时，，，所以由余弦定理， 则 ，则此时. 13. 已知直线与椭圆（）交于A，B两点，若在E上存在一点C使得是以为斜边的直角三角形，则E的离心率的最小值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】先转化为以AB为直径的圆与椭圆的交点找到点C的坐标，再利用椭圆上的点的坐标取值范围求解. 【详解】将直线 代入椭圆方程 ， ，因此， ， ， 因为是以为斜边的直角三角形，所以,即点C在以AB为直径的圆上， AB 的中点（圆心）是 ，故半径 圆的方程： 因为点 在椭圆上，联立 由椭圆方程解出 ，代入圆的方程：， 所以 ，即 ，因为是方程的一个解， 所以 ，解得（舍去），（对应点 C 的纵坐标）， 椭圆上点的纵坐标范围为 ，只需满足： ， 解得 ， 椭圆离心率 ， 由于 随 增大而增大，故当 时， 取得最小值：. 14. 在一个不透明的盒子中有分别标有数字1~6的6个小球，除标号外完全相同，若甲，乙，丙3人依次摸出一个小球，且摸出后不放回，记甲，乙，丙摸出的小球标号分别为，，，“事件A”为甲、乙摸出的小球标号不相邻，且，则______． 【答案】 【解析】 【分析】应用古典概型及排列数的计算，再结合对立事件的概率及丙、乙选球是公平的即可求出概率. 【详解】由题意得，甲、乙摸出的小球标号相邻有 种情况， 甲，乙，丙3人依次摸出一个小球共有种情况， 所以甲、乙摸出的小球标号不相邻的情况有种， 且丙、乙取球是公平的且球标号不相等，所以和有相同的可能， 所以“事件A”为甲、乙摸出的小球标号不相邻，且的情况有种， 所以. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 为了解某地区学生的体育锻炼时间情况，随机抽取了该地区100名学生进行调查，得到如下频率分布表： 锻炼时间（分钟/天） 频率 0.1 0.2 0.3 0.3 0.1 （1）求这100名学生锻炼时间的平均数和中位数（结果保留整数）； （2）若从锻炼时间在和的学生中随机抽取2人，求这2人来自不同组的概率． 【答案】（1）平均数为56，中位数约为57； （2） 【解析】 【小问1详解】 由题意可得这100名学生锻炼时间的平均数为： ； 前两组累计频率为，前三组累计频率为， 因此中位数落在区间内，根据中位数公式得中位数为， 综上，平均数为56，中位数为57； 【小问2详解】 内的人数：，内的人数：，共20人， 从20人中随机抽2人，总基本事件数为； 2人来自不同组的事件数为, 因此所求概率：. 16. 已知数列满足，且， （1）求的通项公式； （2）若数列满足，记的前n项和为，证明：． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意，化简求得，得到数列为等差数列，利用等差数列的通项公式，求得，进而求得数列的通项公式； （2）由（1）得到，利用乘公比错位相减法，求得，结合数列的单调性，即可证得. 【小问1详解】 解：因为，两边同时取倒数得，即， 又因为，可得，所以数列是以为首项，公差为的等差数列， 所以，所以， 所以数列的通项公式. 【小问2详解】 解：由（1）知：，可得， 则， 可得， 两式相减得 ， 所以， 因为，所以为递增数列， 则， 又因为，所以，所以. 17. 如图①，在等腰梯形中，，于点D，，，，将沿折起至的位置，形成如图②所示的四棱锥，F为中点． （1）证明：平面； （2）若，求二面角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据中位线定理以及线面平行的判定定理求解即可. （2）空间向量法求出二面角的余弦值，再根据同角三角函数关系求正弦即可. 【小问1详解】 取的中点，连接、. 因为为中点，所以是 的中位线，故，且. 由原等腰梯形性质得，， ， 因此 且，四边形是平行四边形，故. 又平面， 平面，因此平面. 【小问2详解】 由折叠性质知，，，又，因此平面. 已知，，，满足，故. 又，，因此平面. 以为原点，分别以、、所在直线为轴建立空间直角坐标系， 各点坐标为， ， ， . 设平面的法向量为，平面 的法向量为. ， ， 由，令，得 . ， 由​，令，得 . . 因此二面角的正弦值为. 18. 已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，右顶点为A，离心率为，且． （1）求C的方程； （2）已知N，M分别是第一、二象限内C上的动点． （i）若，求四边形面积的最小值； （ii）设直线的斜率为，作，交于D，作，交的延长线于E，证明：直线与的交点在C上． 【答案】（1） （2）（i）；（ii）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）根据已知条件求得，进而求得的方程. （2）（i）分斜率不存在与存在两种情况，结合梯形面积公式求最小值； （ii）设直线方程并联立双曲线，利用韦达定理化简直线方程，求解交点并验证在双曲线上. 【小问1详解】 右顶点，左焦点，右焦点， 依题意，， 解得， 所以的方程为. 【小问2详解】 （i）设，，其中在第二象限（）， 在第一象限（），满足，. 当、斜率不存在时，轴，轴，此时，. 代入双曲线方程，得，，由， 得，，即，. 四边形为矩形，，， 高，面积. 当、斜率存在且不为零时，设，斜率为， 则直线的方程为，直线的方程为. 将代入双曲线方程，得， 解得（时，，符合第二象限点）， 同理，将代入双曲线方程，得， 解得（时，，符合第一象限点）， 四边形为梯形，两底，， 两平行线间的距离，故面积. 令，则 ，故斜率存在时. 综上，四边形面积的最小值为. （ii）设直线的方程为，，，联立，消去得， 由韦达定理，，，且，. 已知，直线的斜率， 故直线的斜率，方程为. 由，直线的斜率为，方程为. 设交点为，联立两直线方程，将代入的方程， 整理得： 展开并代入，，，， 化简得： 因在第二象限，，故，代入得，即. 验证得，故在双曲线上，即直线与的交点在上. 19. 已知函数 （1）若曲线是中心对称图形，证明：； （2）若，证明：在存在极小值； （3）若，且在单调递增，求的取值集合． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）设对称中心，根据恒成立代入解析式化简得到，再化简证明即可. （2）令，，根据零点存在定理以及函数的单调性得到在单调递增且存在唯一的零点，进而得到在存在极小值； （3）将题意转化为恒成立，先得；再考虑时导函数非负的条件，通过分析三角函数与二次函数的大小关系，求解得到的取值集合. 【小问1详解】 若是中心对称图形，设对称中心为，则对任意恒有. 则 化简得等式对任意恒成立， 故各项系数必须为，即，. 【小问2详解】 当时，即时，令，则，其中， 设 ，则， 因为在为增函数，故在为增函数. 由于 ，且， 由零点定理知存在使. 令. 当，，从而. 所以在单调递增，进而在上单调递减，在上单调递增， 因此是的极小值点，即在存在极小值. 【小问3详解】 已知，则，导数为. 要使得在上单调递增，需对所有成立. 当时，，而，故不等式成立. 只需考虑，其中. 在处，，得，即. 先考虑区间. 若，则对任意，有，此时，故成立. 若，令，其中. 当时，，； 当时，设， 则，不等式化为， 记，需对恒成立. ，设， 则，因为，故， 故在上递增，，. 若，则在递增， 即时恒成立. 若，则 ，. 存在唯一使 ， 当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增，故 ， 故，整理得，解得， 而，故， 而即， 因为在为减函数，故 ， 故， 结合可得故即， 故， 综上， 结合的周期可得的取值集合为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年普通高等学校招生全国统一考试 数学 本试卷共4页，19小题，满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡和试卷上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 使得式子有意义的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 若，则的实部为（ ） A. B. C. D. 0 3. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知非零向量，满足，，与的夹角为120°，则 （ ） A. B. C. 7 D. 10 5. 一个正四棱台的上、下底面边长分别为1，3，高为，若用一个平行于上下底面的平面截该棱台，且将棱台的高平分，则所截得的上下两个棱台的体积之比为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，若，则=（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，，若是奇函数，则的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 8. 已知数列的前n项和为，且满足，，则使得不等式成立的实数k的最大值为（ ） A. B. C. 1 D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数，则（ ） A. 将的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数为偶函数 B. 对任意，都有 C. 在区间上先增后减 D. 若（），则的最小值为 10. 已知函数，则（ ） A. 存在a，使得有两个极值点 B. C. 当时，在上单调递增 D. 当时，有2个零点 11. 已知圆与抛物线（）交于A，B两点，与C的准线l交于M，N两点（点A，M均在x轴上方），过C的焦点F且斜率为的直线交C于另一点D，若，则（ ） A. B. C. 的面积是 D. 若C上一点满足，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则______． 13. 已知直线与椭圆（）交于A，B两点，若在E上存在一点C使得是以为斜边的直角三角形，则E的离心率的最小值为______． 14. 在一个不透明的盒子中有分别标有数字1~6的6个小球，除标号外完全相同，若甲，乙，丙3人依次摸出一个小球，且摸出后不放回，记甲，乙，丙摸出的小球标号分别为，，，“事件A”为甲、乙摸出的小球标号不相邻，且，则______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 为了解某地区学生的体育锻炼时间情况，随机抽取了该地区100名学生进行调查，得到如下频率分布表： 锻炼时间（分钟/天） 频率 0.1 0.2 0.3 0.3 0.1 （1）求这100名学生锻炼时间的平均数和中位数（结果保留整数）； （2）若从锻炼时间在和的学生中随机抽取2人，求这2人来自不同组的概率． 16. 已知数列满足，且， （1）求的通项公式； （2）若数列满足，记的前n项和为，证明：． 17. 如图①，在等腰梯形中，，于点D，，，，将沿折起至的位置，形成如图②所示的四棱锥，F为中点． （1）证明：平面； （2）若，求二面角的正弦值． 18. 已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，右顶点为A，离心率为，且． （1）求C的方程； （2）已知N，M分别是第一、二象限内C上的动点． （i）若，求四边形面积的最小值； （ii）设直线的斜率为，作，交于D，作，交的延长线于E，证明：直线与的交点在C上． 19. 已知函数 （1）若曲线是中心对称图形，证明：； （2）若，证明：在存在极小值； （3）若，且在单调递增，求的取值集合． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $