1.1反比例函数的概念（教学课件） 2026--2027学年苏科版九年级数学上册

这是一份初中数学反比例函数概念的同步教学课件，共39页。以温故知新（正比例函数回顾）为起点，通过矩形面积等情境导入，结合生活实例（行程、购物问题）抽象出反比例关系，再系统讲解定义、表达形式及判断方法，配套即时判断、概念辨析、例题练习、易错警示和课后测评，构建完整学习支架。 资料特色突出核心素养培养，通过类比正比例函数发展推理能力，用工程问题等实例渗透数学建模思想，易错警示（如比例系数k≠0）强化概念理解，帮助学生形成从数学角度观察现实世界的习惯，也为教师提供层次分明、实例丰富的同步教学资源，提升教学效率与学生学习效果。

第一章 反比例函数 1.1 反比例函数的概念 学习目标 过程与方法 知识与技能 理解反比例关系的概念，能判断两个变量是否成反比例关系 掌握反比例函数的定义及三种表达形式，能确定自变量的取值范围 能根据实际问题列出反比例函数表达式，判断一个函数是否为反比例函数 经历从实际问题抽象出反比例函数模型的过程，体会数学建模思想 通过对比正比例函数，培养类比、归纳和辨析能力 02 01 课前自主·知识预习奠基 温故知新・正比例函数回顾 定义： 形如 y=kx（k 为常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数 本质特征： 自变量取值范围： 图象与性质： 两个变量的比值为定值（=k） 全体实数 过原点的直线；k>0 时，y 随 x 增大而增大；k<0 时，y 随 x 增大而减小 思考：如果两个变量的乘积为定值，它们之间是什么关系？对应的函数又是什么？ 情境导入1 问题：在平面直角坐标系中，有一组面积为 24 的矩形，一个顶点与原点重合，另两个顶点分别在 x 轴、y 轴正半轴上，第四个顶点在第一象限格点上。 1、设矩形落在 x 轴、y 轴上的边长分别为 x、y，填写下表： x 1 2 3 4 ... 24 y 24 ... 2、观察表格：当 x 变为原来的 2 倍时，y 如何变化？变为原来的 时呢？ 写出 x 与 y 的关系式： xy = 24 观察变化规律：当一边 x 变大时，邻边 y 变小；当 x 变小时，y 变大 结论：无论边长如何改变，两边长的乘积始终为定值 24 x 1 2 3 4 ... 24 y 24 12 8 6 ... 1 反比例关系的定义 一般地，如果两个变量 x 和 y 满足 xy=k（k 为常数，k≠0），那么就说这两个变量具有反比例关系。 1、两个变量的乘积为非零定值 2、k≠0，若 k=0，则 xy=0，至少一个变量恒为 0，无变化规律 3、变量具有依存性：一个变量变化，另一个变量随之反向变化 生活中的反比例关系 行程问题：南京到上海全程约 300km，匀速行驶时，时间 t(h) 与速度 v(km/h) 的关系：vt=300 购物问题：用 80 元买单价为 x 元/千克的苹果，购买质量 y(kg) 与单价的关系：xy=80 工程问题：修一条 500km 的高速公路，完成天数 y 与平均工作效率 x(km/天) 的关系：xy=500 物理问题：压力不变时，压强 p(Pa) 与受力面积 S(m2) 的关系：pS=F（F 为定值） 即时判断 1 判断下列问题中的两个变量是否具有反比例关系，并用一个变量表示另一个变量： 1、计划修建一条长为 500km 的高速公路，完成天数 y 与平均工作效率 x(km/天) 2、向容积为 2500m3 的水池注水，注满时间 t(h) 与注水速度 v(m3/h) 3、两个实数 m 与 n 的乘积为 -200，m 与 n 是， 是， 是， 即时判断 2 判断下列两个变量是否成反比例关系，说明理由： 1、长方形的周长为 20cm，它的长 x 与宽 y 2、圆柱的体积为 100cm3，它的底面积 S 与高 h 3、小明从家到学校，已走的路程 s1 与剩下的路程 s2 4、总价一定时，单价 a 与数量 n 否（x+y=10，和为定值） 是（Sh=100，积为定值） 否（s1+s2= 定值，和为定值） 是（an= 总价，积为定值） 小组讨论・反比例关系的共同特征 问题：上述所有反比例关系的表达式，都可以写成什么形式？它们有哪些共同特征？ 结论： 1、都可以写成 y = （k 为非零常数）的形式 2、每一个 x(x≠0) 的值，都有唯一的 y 值与之对应 3、y 随 x 的变化而变化，且变化趋势相反 满足上述特征的 y 与 x，我们称 y 是 x 的反比例函数 反比例函数的定义 一般地，形如 （k 为常数，k≠0）的函数，叫做反比例函数(inverse proportional function)，其中 x 是自变量，y 是 x 的函数 . 1、k 为不等于 0 的常数，叫做比例系数 2、变形形式：xy=k（k≠0），y=kx−1（k≠0） 3、变量具有依存性：一个变量变化，另一个变量随之反向变化 4、自变量 x 的取值范围是不等于 0 的一切实数 概念辨析 1・教材经典例题 问题：用函数表达式表示下列问题中两个变量的关系，并判断是否为反比例函数 1、体积为 100cm3 的圆锥，高 h(cm) 随底面面积 S(cm2) 的变化而变化 2、体积为 100cm3 的圆锥，高 h(cm) 随底面半径 r(cm) 的变化而变化 答案： 1、由 Sh=100 得 h = ，是反比例函数（k=300） 2、由 πr2h=100 得 h = ，不是反比例函数（分母是 r2，自变量次数为 2） 概念辨析 2・基础判断 下列函数中，哪些是反比例函数？若是，指出 k 的值。 1. y= 2. y=−3x−1 3. xy=5 4. y= 5. y= 6. y= 是，k=2 是，k=−3 是，k=5 否（正比例函数） 否（自变量次数为 2） 否（分母是 x+1，不是 x） 概念辨析 3・易错强化 1. 若 是反比例函数，求 m 的值 2. 若 中，当 x = 2 时，y = 3，求 k 的值 解析：需满足，解得 解析：，解得 易错提醒：反比例函数需同时满足 “自变量次数为 - 1” 和 “比例系数不为 0” 两个条件 例题 1・教材练习 用函数表达式表示下列问题中两个变量的关系，并判断是否为反比例函数： 1. 三角形的一边长为 5，该三角形的面积 y 随这条边上的高 x 的变化而变化 2. 某村有耕地 200hm2，人均耕地面积 y(hm2) 随人口数 x（人）的变化而变化 3. 一个物体重 120N，该物体对地面的压强 p(Pa) 随接触面积 S(m2) 的变化而变化 1. 三角形面积公式：不是反比例函数（是正比例函数，） 2. 人均耕地面积 = 总耕地面积 ÷人口数：是反比例函数， 3. 压强公式：是反比例函数， 例题 2・教材练习 下列等式中的 y 是 x 的反比例函数吗？如果是，把它写成的形式，并指出 k 的值。 1. 2. 变形得 ，不是反比例函数，是正比例函数 变形得 ，是反比例函数， 例题 3・教材练习 将一定体积的面团做成粗细均匀的拉面，拉面的总长度 y(cm) 是横截面面积 x(cm2) 的反比例函数，部分对应数值如下表： 总长度 y/cm ... 12000 6000 4000 3000 ... 横截面面积 x/cm2 ... 0.01 0.02 0.03 ? ... 求 y 关于 x 的函数表达式，并补全表格。 例题 3・分步解析 总长度 y/cm ... 12000 6000 4000 3000 ... 横截面面积 x/cm2 ... 0.01 0.02 0.03 ? ... 步骤 1：设反比例函数表达式为 (k ≠ 0) 步骤 2：代入一组已知值（如 x = 0.01，y = 12000） 12000 = ，解得 k = 120 步骤 3：写出函数表达式：y = 步骤 4：补全表格：当 y = 3000 时，3000 = ，解得 x = 0.04 课堂探究·能力合作提升 基础过关练 1 1、下列关系中，成反比例关系的是（ ） A. 正方形的周长与边长 B. 圆的面积与半径 C. 路程一定时，速度与时间 D. 单价一定时，总价与数量 2、函数 y = 的比例系数 k 是 。 3、若 y 与 x 成反比例，且当 x = −1 时，y = 2，则 y 关于 x 的函数表达式为 。 C 基础过关练 2 用函数表达式表示下列问题中的变量关系，并判断是否为反比例函数： 1. 一个长方体的体积为 10，高 h 随底面积 S 的变化而变化 2. 甲、乙两地相距 300km，从甲地到乙地所需时间 t(h) 随平均速度 v(km/h) 的变化而变化 3. 小明每天做 5 道数学题，完成作业的总题数 y 随天数 x 的变化而变化。 ，是反比例函数 ，是反比例函数 ，不是反比例函数（正比例函数） 能力提升练 1 已知 y 与 x − 1 成反比例，且当 x = 3 时，y = 4 1. 求 y 关于 x 的函数表达式； 2. 当 x = −2 时，求 y 的值； 3. 当 y = 10 时，求 x 的值。 3. 当 时， ， 解得 1. 设 带入得， 解得 2. 当 时， 能力提升练 2 已知一个长方形花圃的面积为120 m2，它的长为 x m，宽为 y m 1. 求 y 关于 x 的函数表达式； 2. 当花圃的长为 20 m时，求宽 y 的值； 3. 受场地限制，花圃的长不能超过 15 m，那么宽至少为多少米？ 3. 由题意 ，即又，两边同乘 y 得y，解得.宽至少为 8 m 1. 由长方形面积公式xy=120，变形得 2. 当 时，代入得 易错警示 1・忽略比例系数 k≠0 典型错题：若 是反比例函数，求 m 的值 错误解法：由 m2 − 5 = −1 得 m = ±2 正确解法：需同时满足 ，解得 m = 2 提醒：反比例函数的定义中，k ≠ 0 是隐含条件，必须满足 易错警示 2・混淆反比例关系与反比例函数 典型错题：判断 “ 中，y 与 r 成反比例关系” 是否正确 错误结论：正确 正确结论：错误 解析：y 与 r2 成反比例关系，但 y 与 r 的乘积不是定值，因此 y 与 r 不成反比例关系，也不是反比例函数 易错警示 3・实际问题中自变量取值范围错误 典型错题：矩形面积为 24，一边长为 x，另一边长为 y，则 的自变量取值范围是 x ≠ 0 错误原因：忽略实际意义，矩形边长必须为正数 正确取值范围：x > 0 提醒：解决实际问题时，自变量的取值范围必须同时满足 “分母不为 0” 和 “实际意义” 课后测评·学业效果巩固 1. 下列函数中，反比例函数是（ ） A. y = x+1 B. y = C. xy = 1 D. y = 2. 反比例函数 y = − 的比例系数是 。 3. 若 是反比例函数，则 m = 。 4. 已知 y 与 x 成反比例，当 x = 3 时，y = 4，则当 x = 6 时，y = 。 5. 一个圆柱的体积为 200cm3，它的高 h(cm) 与底面积 S(cm2) 的函数表达式为 。 C − 5 − 3 2 6. 写出下列问题中两个变量的函数表达式，并判断是否为反比例函数。 （1）总运费为 3000 元，每吨货物的运费 y (元)与运输货物的质量 x (吨)的关系； （2）正方形的周长 y (cm)与边长 x (cm)的关系。​ (1) ，是反比例函数 (2) ，不是反比例函数（是正比例函数） 7. 某工厂生产一批零件，每天生产的数量 x (个)与完成所需天数 y (天)成反比例关系。若每天生产40个，需要15天完成。如果每天生产50个，需要多少天完成？​ 解：设函数表达式为 代入 x = 40, y = 15 得 k = 600 ，即 y = 。 当 x = 50 时， y = = 12 。 答：需要12天完成。 8. 已知函数 是反比例函数，求 m 的值。​ 解：根据反比例函数定义，需同时满足： 由 化简得 ，解得 由 得 ，即 综上， 9. 已知 y 与 x 成反比例，z 与 y 成正比例。当 x = 2 时，y = 6；当 y = 3 时，z = 9。求 z 关于 x 的函数表达式，并判断 z 是 x 的什么函数。​ 答案：z = ，z 是 x 的反比例函数 解析：设 y = 、z = k2y，分别代入条件求得 k1=12、k2=3，消去 y 得 z = 10. 某工程队承接总长1200米的管道铺设工程，原计划每天铺设 x 米，刚好按期完工。 （1）求工期 y（天）与每天铺设长度 x（米）的函数表达式； （2）实际施工时，每天比原计划多铺20米，结果提前3天完成任务，求原计划每天铺设多少米。​ （1）y = ； （2）根据“原工期 - 实际工期 = 3”列方程：，解得正根 x = 80 拓展探究・正比例函数 vs 反比例函数 对比维度 正比例函数 反比例函数 表达式 本质特征 比值为定值 乘积为定值 自变量次数 1 -1 自变量取值范围 全体实数 思考：当 k>0 时，正比例函数和反比例函数中，y 随 x 的变化趋势相同吗？ 趣味数学・反比例函数的生活应用 1. 杠杆原理：阿基米德 “给我一个支点，我就能撬动地球”，动力 × 动力臂 = 阻力 × 阻力臂，动力与动力臂成反比例关系 2. 照相机光圈：光圈越大，进光量越多，快门速度越快（快门速度与光圈大小成反比例关系） 3. 刹车距离：汽车速度一定时，刹车距离与地面摩擦系数成反比例关系 课堂小结 反比例关系（xy = k，k ≠ 0） ↓ 反比例函数 ├ 定义：（k 为常数，k ≠ 0） ├ 表达形式：、xy = k、y = kx⁻¹ ├ 自变量取值范围：x ≠ 0（实际问题需结合意义） └ 判断方法： 1. 看形式是否符合三种表达式 2. 看两个变量的乘积是否为非零定值 1. 数学建模思想： 从实际问题中抽象出反比例函数模型 2. 类比思想： 对比正比例函数，学习反比例函数的定义和特征 3. 分类讨论思想： 实际问题中自变量取值范围的讨论 4. 数形结合思想： 下节课将通过图象研究反比例函数的性质 结束语 数学来源于生活，又服务于生活。 反比例函数是刻画现实世界中 “乘积为定值” 现象的重要模型，希望同学们课后多观察、多思考，发现更多数学之美！ 第一章 反比例函数 1.1 反比例函数的概念 $