陕西省西安铁一中滨河高级中学2026届高三考前模拟考数学试卷

**基本信息** 聚焦数学核心素养，融合生态环保等现实情境与创新应用，梯度覆盖函数、几何、概率等高中数学主干知识，适配高三模拟预测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|复数、集合、排列组合|基础巩固，如第3题分步计数原理| |多选题|3/18|圆锥、抛物线、概率|能力提升，如第10题抛物线焦点弦性质| |填空题|3/15|正四棱锥体积、圆面积|空间想象与计算，如第13题圆面积最值| |解答题|5/77|三角、概率统计、立体几何、导数、双曲线|创新应用，如第16题环保产品利润建模，第19题双曲线切线定义探究|

保密★启用前 西安铁一中滨河高级中学2026届高三五模数学试题 一、单选题（共40分） 1．（本题5分）在复平面内，点对应的复数为，则实数（   ） A． B． C．1 D．2 2．（本题5分）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 3．（本题5分）5人排一个5天的值日表，每天排一人值日，每人可以排多天或不排，但相邻两天不能排同一人，值日表排法的总数为（    ） A．120 B．324 C．720 D．1280 4．（本题5分）若是奇函数，则（    ） A． B． C． D． 5．（本题5分）已知，分别为椭圆的左、右焦点，P为椭圆上一动点，关于直线的对称点为M，关于直线的对称点为N，当最大时，则的面积为（    ） A． B． C． D． 6．（本题5分）在中，为边上一点，，且的面积为，则（    ） A． B． C． D． 7．（本题5分）函数是（    ） A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的偶函数 C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数 8．（本题5分）若正项等比数列的前n项和为，且，则的最小值为（    ） A．10 B．15 C．20 D．25 二、多选题（共18分） 9．（本题6分）已知圆锥的顶点为，为底面直径，是面积为1的直角三角形，则（    ） A．该圆锥的母线长为 B．该圆锥的体积为 C．该圆锥的侧面积为 D．该圆锥的侧面展开图的圆心角为 10．（本题6分）已知抛物线的焦点为，准线为，过点的直线与抛物线交于两点，点在上的射影为，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．以为直径的圆与准线相交 C．设，则 D．过点与抛物线有且仅有一个公共点的直线有3条 11．（本题6分）甲、乙两个口袋各装有1个红球和2个白球，这些球除颜色外完全相同．把从甲、乙两个口袋中各任取一个球放入对方口袋中称为一次操作，重复n次操作后，甲口袋中恰有0个红球，1个红球，2个红球分别记为事件，，，则（    ） A． B．     C． D． 三、填空题（共15分） 12．（本题5分）已知正四棱锥底面边长为，高与斜高夹角为，则它的体积为__________． 13．（本题5分）已知圆，过点作不过圆心的直线交圆于两点，则面积的最大值是__________. 14．（本题5分）已知函数的图象向右平移个单位长度得到的图象，若为的一条对称轴，则__________． 四、解答题（共77分） 15．（本题13分）在中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且. (1)求角C的大小； (2)若的平分线交AB于点D，且，，求的面积. 16．（本题15分）《中共中央国务院关于深入打好污染防治攻坚战的意见》提出“构建智慧高效的生态环境管理信息化体系”，下一步，需加快推进5G、物联网、大数据、云计算等新信息技术在生态环境保护领域的建设与应用，实现生态环境管理信息化、数字化、智能化．某科技公司开发出一款生态环保产品，已知该环保产品每售出1件预计利润为0.4万元，当月未售出的环保产品，每件亏损0.2万元．根据市场调研，该环保产品的市场月需求量在内取值，将月需求量区间平均分成5组，画出频率分布直方图如下． (1)请根据频率分布直方图，估计该环保产品的市场月需求量的平均值和方差． (2)若该环保产品的月产量为185件，x（单位：件，，）表示该产品一个月内的市场需求量，y（单位：万元）表示该公司生产该环保产品的月利润． ①将y表示为x的函数； ②以频率估计概率，标准差s精确到1，根据频率分布直方图估计且y不少于68万元的概率． 17．（本题15分）如图，在四棱柱中，已知底面是菱形，是侧棱上一点. (1)若，证明：平面； (2)若，求二面角的正弦值. 18．（本题17分）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若函数有极大值，试确定的取值范围； (3)若存在使得成立，求的值. 19．（本题17分）双曲线的一个顶点在直线上，且其离心率为． (1)求双曲线的标准方程； (2)若一条直线与双曲线恰有一个公共点，且该直线与双曲线的渐近线不平行，则定义该直线为双曲线的切线，定义该公共点为切线的切点，已知点在直线上，且过点恰好可作双曲线E的两条切线，设这两条切线的切点分别为和． （i）设点的横坐标为，求的取值范围； （ii）设直线和直线分别与直线交于点和点，证明：直线和直线交点在定直线上． （附：双曲线以点为切点的切线方程为） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《西安铁一中滨河高级中学2026届高三五模数学试题》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B D A D A C C ABD ACD 题号 11 答案 ABD 1．C 【分析】先利用复数的几何意义求出复数，再利用复数的乘法法则及复数相等列式求解即可. 【详解】在复平面内，点对应的复数为，又， 所以，解得. 故选：C. 2．B 【分析】先求出集合，再由交集的定义可求出答案. 【详解】因为，所以，所以 ， 所以. 故选：B. 3．D 【分析】利用分步乘法计数原理计算即可. 【详解】第一天可以排5个人中的任意一个，有5种排法； 第二天可以排另外4个人中任意一个，有4种排法； 第三天同上，有4种排法； 第四天同上，有4种排法； 第五天同上，有4种排法． 根据分步乘法计数原理得所有的排法总数为． 故选:D． 4．A 【分析】根据奇函数的定义结合对数运算求解. 【详解】若是奇函数，可得， 则 ， 可得，解得，所以. 故选：A. 5．D 【分析】确定，，，当M，N，P三点共线时的值最大，计算，根据余弦定理得到，计算面积即可. 【详解】由椭圆的方程可得，，连接PM，PN， 则，所以当M，N，P三点共线时的值最大， 此时，， 所以， 在中，由余弦定理可得， 即，可得， 所以， 故选：D 6．A 【分析】由面积公式求出，即可得到为等腰三角形，则，在中由正弦定理求出，即可求出，最后由利用两角差的正弦公式计算可得. 【详解】因为，解得， 所以为等腰三角形，则， 在中由正弦定理可得，即，解得， 因为，所以为锐角，所以， 所以 . 故选：A 7．C 【分析】利用三角函数恒等变换公式对函数化简，然后再求其最小正周期，根据定义判断函数的奇偶性即可. 【详解】因为 所以 ， 所以函数的最小正周期， 设， 因为函数的定义域为，定义域关于原点对称， ，故， 所以函数为奇函数， 即函数为奇函数， 故选：C. 8．C 【分析】根据是等比数列，由，即，可得，，也是等比数列，结合基本不等式的性质即可求出的最小值. 【详解】因为是正项等比数列，，即， 所以，，也是等比数列，且， 所以， 则， 当且仅当，即取等号，所以的最小值为，故C正确. 故选：C. 9．ABD 【分析】根据圆锥轴截面的形状以及面积可得A正确，求出母线长以及底面半径可计算出B正确，C错误，由侧面展开图计算即可求出D正确. 【详解】设该圆锥的母线长为，如下图所示： 因为轴截面是面积为1的直角三角形，即为直角； 所以，解得，A正确； 设该圆锥的底面圆心为，在中，，所以， 则圆锥的高，所以该圆锥的体积， 侧面积为，B正确、C错误； 设该圆锥的侧面展开图的圆心角为，则， 所以，D正确． 故选：ABD． 10．ACD 【分析】根据焦点弦公式即可判断A；求出线段的中点坐标及圆的半径，从而可判断B；根据抛物线的定义可得，即可判断C；分直线斜率存在和不存在两种情况讨论，结合根的判别式即可判断D. 【详解】抛物线焦点，准线， 由题意，故A正确； 因为，则以为直径的圆的半径， 线段的中点坐标为，则线段的中点到准线的距离为， 所以以为直径的圆与准线相切，故B错误； 抛物线的焦点为，， 当且仅当三点共线时，取等号，所以，故C正确； 对于D，当直线斜率不存在时，直线方程为，与抛物线只有一个公共点， 当直线斜率存在时，设直线方程为，联立，消得， 当时，方程的解为，此时直线与抛物线只有一个交点， 当时，则，解得， 综上所述，过点与抛物线有且仅有一个公共点的直线有3条，故D正确． 故选：ACD． 11．ABD 【分析】对于A项，重复一次操作，甲袋中有1红的情况有两种，运用互斥事件的概率加法公式计算即得；对于B项，运用条件概率公式，分别算出和代入公式计算即得；对于C项，运用独立事件的概率乘法公式计算即得；对于D项，运用相容事件的并的概率公式计算即得. 【详解】因在操作前，甲袋中：1红2白，乙袋中：1红2白． 对于A项，重复1次操作，甲口袋中有1红的概率，故A项正确； 对于B项，，，，故，故B项正确； 对于C项，因事件与相互独立，则，，故C项错误； 对于D项，，故D项正确． 故选：ABD． 【点睛】关键点点睛：对所求事件所包含的情况的判断，求若干事件的并的概率，需要判断互斥还是相容，对于条件概率题，要么用样本空间中基本事件数计算，要么用概率公式计算，对于积事件的概率应先判断两事件的独立性，再用公式求. 12． 【分析】取的中点为，连接，得到，在直角中，求得，结合锥体的体积公式，即可求解. 【详解】如图所示，设正四棱锥的高为，斜高为， 因为正四棱锥的底面边长为，取的中点为，连接，则， 又因为高与斜高夹角为，即， 在直角中，可得，解得， 所以正四棱锥的体积为. 故答案为：. 13． 【分析】依题设出直线方程，计算中边上的高，利用直线过定点求出的范围，列出的面积表达式，利用二次函数的图象特点求出在 的范围上的面积最大值. 【详解】    如图，过点的直线不过圆心，所以该直线的斜率存在，设直线方程为，即， 所以圆心到该直线的距离为易得当时，，当直线经过圆心时，，故， 又因，故. 因时，可知函数单调递增，故. 即面积的最大值是. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查直线与圆的位置关系产生的面积的最值问题,属于较难题. 解题的关键是在求得圆心到直线的距离表达式后，对距离的范围的界定，这需要看出含参的直线经过的定点，以及经过圆内定点的直线与圆产生的最短，最长弦情况的理解，借此求得参数范围，将面积转化为求二次函数在给定区间上的最值问题. 14． 【分析】直接利用三角函数关系式的恒等变换和平移变换得，，再利用三角函数对称性列方程求解即可． 【详解】设，则，， ，则，， ∴，即， ∴，， 又是的一条对称轴， ∴ ，即. 故答案为 【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，函数图象的平移变换问题的应用，正弦型函数的对称性． 15．(1) (2) 【分析】（1）根据两角和的正余弦公式变形可求出结果； （2）根据角平分线定理得，法一：在中，根据余弦定理得，在中，根据余弦定理求出，再根据面积公式可求出面积；法二：根据求解即可. 【详解】（1）由已知可得， , 整理得，， 因为，所以， 所以， 即， 因为，所以. （2）由题意得，,即，所以. 法一： 在中，， 所以.在中，， 所以， 即， 将代入整理得，解得或. 若，则，，,， 所以在中，得, 同理可得,即和都为钝角，不符合题意，排除. 所以，， . 法二： 因为， 所以，所以. 因为，所以， 所以. 16．(1)；. (2)①；②. 【分析】（1）用每组的中点值乘以该组的频率再相加可得，用每组的中点值减去的平方和再除以组数可得； （2）①分类讨论需求量与产量的大小关系，可求出关于的函数关系式；②根据、、y不少于68万元，求出的范围，再根据直方图可求出概率. 【详解】（1）， , （2）①当，且时，万元； 当，且时，万元， 所以， ②，，，所以， 当时，万元， 当时，由得， 故当万元时，， 综上所述：， 所以. 所以估计且y不少于68万元的概率为. 17．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由平面得，进而证明，再结合已知和判定定理即可证明； （2）过作，垂足为，进而证明平面，再以为坐标原点，，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，利用坐标法求解即可. 【详解】（1）证明：如图，设，交于点，连接，， 因为四边形是菱形，，， 所以，. 因为，，平面，， 所以平面， 因为平面，所以， 连接，，所以， 因为，所以， 所以. 因为，所以，所以. 因为，平面，， 所以平面. （2）解：过作，垂足为， 因为平面，平面，所以， 又，，平面，，所以平面. 如图，以为坐标原点，，所在直线分别为x，y轴建立空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，， 因为，所以， 则，所以. 易知平面的一个法向量为，设平面的法向量为， 则，即， 令，则，，所以. 设二面角的大小为， 所以， 所以，即二面角的正弦值为. 18．(1) (2) (3) 【分析】（1）利用导数的几何意义，求曲线的切线方程； （2）首先求函数的导数，，再讨论，判断函数的单调性，讨论函数的极值； （3）不等式转化为，利用两点间的距离的几何意义，转化为点到直线的距离，求的值. 【详解】（1）当时，， 依题意，，可得，又， 所以曲线在点处的切线方程为. （2）函数的定义域为， ①当时，，所以在上单调递增，此时无极大值； ②当时，令，解得或，令，解得， 所以在和上单调递增，在上单调递减， 此时在处取得极大值，符合题意； ③当时，令，解得或，令，解得， 所以在和上单调递增，在上单调递减， 此时在处取得极大值，符合题意； ④当时，令，解得，令，解得， 所以在上单调递增，在上单调递减，此时无极大值； 综上，实数的取值范围为. （3） 可以看作是动点与动点之间距离的平方， 动点在函数的图象上，在直线的图象上， 问题转化为求直线上的动点到曲线的最小距离， 由得，，解得， 所以曲线上点到直线的距离最小，最小距离， 则， 根据题意，要使， 则，此时恰好为垂足， 由,可得， 所以. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的性质的综合应用的问题，本题的关键是第三问，不等式变形转化为，再转化为直线和函数的图象上点的距离问题. 19．(1) (2)（i）； （ii）设． 直线和方程分别为和． 联立得点．又点在直线上，代入整理得： ．① 在直线方程中，令，则，得点． ，故直线方程为：． 设直线与直线交点为，联立两直线方程：．解得：． 设直线与直线交点为，同理可得：． 由①式，作差的分子有 ， 作差的分母有 . 则可得和表达式的分子分母分别相等．故，两点重合， 所以直线与的交点在定直线上． 【分析】（1）求出，再根据离心率得到，则得到其双曲线方程； （2）（i）首先排除切线斜率不存在的情况，再采用设线法，并联立双曲线方程，根据判别式得到的范围； （ii）设，根据切线结论得到直线和方程，再联立求出的坐标，再求出的坐标，得到直线方程，再分别设直线与直线交点为，直线与直线交点为，证明两点重合即可. 【详解】（1）直线方程中，令，则， 则直线与轴交于，所以．离心率， 所以，故． 所以双曲线的标准方程为． （2）（i）经检验，当一条切线斜率不存在时， 若，显然另一条切线方程斜率存在，设切线方程为， 联立双曲线方程得， 则， 解得，而双曲线渐近线方程为，则此时不符合题意， 当时，此时只有一条切线，显然不合题意， 则两条切线斜率均存在，设切线斜率为，切线方程为， 与双曲线方程联立得：， 令． 整理得：，由于，所以且． 上式整理得：． 由题意，有两个相异实根，所以， 且． 整理得：，解得：． 综上所述，的取值范围是． （ii）略 【点睛】关键点点睛：本题第二问第二小问的关键是采用证明两交点重合的方程得到定直线方程. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $