精品解析：陕西省西安中学2026届高三考前模拟考试数学试题

陕西省西安中学高2026届高三第八次模拟考试 数学试题 （时长：120分钟满分：150分 命题人：拓继雨） 第一部分（选择题共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知全集是小于12的素数，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出全集中的元素（素数（质数）），再利用概念以及补集的运算求解即可. 【详解】由题知全集是小于12的素数， 因为，所以. 故选：B. 2. 复数的共轭复数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 计算出即可. 【详解】因为 所以其共轭复数是 故选：A 【点睛】本题考查的是复数的计算及其概念，较简单. 3. 已知正方形的边长为2，若，则（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【分析】以为坐标原点建立平面直角坐标系，利用向量数量积的坐标运算可得结果. 【详解】以点为坐标原点建立平面直角坐标系，如下图所示：     由可得为的中点，所以， 易知，可得， 所以. 故选：B 4. 若命题“,”为真命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由命题“”为真命题，利用判别式，即可确定实数的取值范围． 【详解】由命题“”为真命题， ， 解得：， 5. 已知三条不同的直线，，和两个不同的平面，，下列四个命题中正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】B 【解析】 【详解】对于A，若，，则两直线可以平行，可以垂直，可以异面，因此A错误； 对于B，若，，则，因此B正确； 对于C，当时，若，可以满足，但不成立，即C错误； 对于D，若，，也可能满足，所以D错误. 6. 下列图像中，符合函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性及函数值验证选项即可得出答案. 【详解】由知， 是奇函数，选项B错误； ， ，所以选项C和选项D错误，选项A正确. 故选：A. 7. 定义数列前项的乘积，已知，对任意的，恒成立，则实数的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意，原不等式恒成立即为恒成立，由单调性求出的最小值即可得答案. 【详解】解：因为数列前项的乘积，， 所以恒成立，即恒成立， 所以， 因为，所以由对勾函数的单调性知，或时，， 所以，所以， 所以实数的范围是， 故选：C. 8. 已知函数，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据函数的单调性，得到满足题意的的范围，根据，得到与之间的关系，构造关于的函数，求该函数的值域即可. 【详解】根据题意，因为是单调递增函数，也是单调增函数， 且，故在整个定义域上都是单调增函数. 当且仅当时，满足题意， 否则不妨令，要满足题意，则有. 又因为，故可得， 解得， 故， 令， 则，令，解得， 故函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 故，没有最大值. 综上所述：故的取值范围为. 故选：A. 【点睛】本题考查利用导数求函数的值域，以及分段函数的单调性，属综合性中档题. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分，有选错或不选的得0分． 9. 在公比为整数的等比数列中，是数列的前项和，若，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 数列是等比数列 C. D. 数列是公差为2的等差数列 【答案】AC 【解析】 【分析】根据题意列方程求得公比，可判断A;求出，利用等比数列定义可判断B；利用，可判断C；求出，可得的通项公式，判断D. 【详解】根据题意，等比数列中，，即， 又由，可得 或, 又由公比q为整数，则当时,有 ，当时, ，不合题意； 对于A，，A正确； 对于B，又由 ，则 ，则， 则，该比值不是常数，故数列不是等比数列，B错误， 对于C， ，则 ，C正确， 对于D，， 为等比数列，则 ， 故 ，数列是公差为的等差数列，D错误； 故选： ． 10. 函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. B. 函数的图象与函数的图象只有2个交点 C. 函数在区间上有6个零点 D. 函数的图象可由函数的图象向右平移个单位长度得到 【答案】ABD 【解析】 【分析】选项A，结合图像和最小正周期公式求解；选项B，求出的表达式，在同一直角坐标系中画出和的图像，结合图像得解；选项C，求出在区间上的零点个数即可得解；选项D，利用平移知识求解即可得到结论. 【详解】选项A，，，，，， 故选项A正确； 选项B，过点，且该点是单调递增范围内的点， ，， ，，， 作出与函数的图象，如图所示， 当时，又，则，即， 通过图像可知函数和的图像只有2个交点，故选项B正确； 选项C，，， ，， ，，， ，，由5个值， 故函数在区间上有5个零点，故选项C错误； 选项D，的图象向右平移个单位长度得到 ，此函数的表达式与相同，故选项D正确. 11. 已知函数及其导函数的定义域均为，记．若，为偶函数，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】对进行变形可判断A，分析的对称性和周期性可判断B，由已知变形得到和的两个方程并联立可判断C，先计算得到的值，由的周期性及和的值计算可判断D. 【详解】对于A，由，可得， 两式相减可得，故A正确； 对于B，由为偶函数，可得， 即，所以的图象关于直线对称， 由，两边求导得，即， 所以是以4为周期的周期函数， 则有，无法推出，故B错误； 对于C，由，两边求导得， 即，令，可得， 又，令，可得， 并联立，解得，故C正确； 对于D，由，当时，，又，可得， 当时，可得， 由，即， 所以，令，可得， 所以，令，可得，，， 由A知的周期为4，则，所以， ，故D正确. 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 的展开式中的常数项为_____ 【答案】 【解析】 【分析】先出展开式的通项，令指数等于，求得的值，即可求解. 【详解】的展开式的通项为， 令可得， 所以常数项为， 故答案为：. 13. 如图，直三棱柱的侧棱长为2，，， ，分别为的中点，则到平面的距离为___________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，在三棱锥中，利用等体积法即可求解． 【详解】连接，，，则，，， 因为是直三棱柱，所以平面，则，又因为， 所以平面，所以在三棱锥中，点到平面的距离为， ，，， 则，， 的面积为，三棱锥的体积为． 设点到平面的距离为，在中，， 的面积为，由， 得，得，即点到平面的距离为． 14. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，以为圆心作与的渐近线相切的圆，该圆与的一个交点为，若为等腰三角形，则的离心率为______. 【答案】## 【解析】 【分析】利用点到直线的距离公式求出的长，再利用双曲线的定义结合等腰三角形列式计算即得. 【详解】双曲线的半焦距为c，渐近线方程为， 点到渐近线距离为，由双曲线定义得， 由为等腰三角形，得，即，因此， 则，所以的离心率为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某种农作物可以生长在滩涂和盐碱地，将海水稀释后对其进行灌溉．某实验基地为了研究海水浓度对亩产量的影响，通过在试验田的种植实验，测得了该农作物的亩产量与海水浓度的数据如下表． 海水浓度 3 4 5 6 7 亩产量 0.57 0.53 0.44 0.36 0.30 残差 0.02 0 绘制散点图发现，可以用一元线性回归模型拟合与的相关关系，用最小二乘法计算得关于的经验回归方程为． （1）求，，的值； （2）请计算该回归模型的决定系数（精确到0.01），并评价其拟合效果．（若，就认为拟合效果好；若，就认为拟合效果一般；若，就认为拟合效果差） 附：决定系数，其中． 【答案】（1），， （2）0.99，该模型拟合效果良好 【解析】 【分析】（1）先求出，再代入求得，得回归方程，利用回归方程求得； （2）根据公式计算出后比较可得. 【小问1详解】 ， ， 将 代入可得，即． 所以经验回归方程为 因，则 又因，则 【小问2详解】 所以决定系数，故该模型拟合效果良好. 16. 已知函数. （1）讨论函数的单调性； （2）若，函数在区间上恰有两个零点，求的取值范围. 【答案】（1）当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增；（2）. 【解析】 【分析】（1）先求出函数的定义域和导数，然后分和讨论导数的正负，从而可得其单调区间； （2）由（1）可知，在上单调递减，在上单调递增，得，所以要使在区间上恰有两个零点，只要满足，从而可求出的取值范围 【详解】解：（1）的定义域为， . ①时，，所以在上单调递增； ②时，由得，得. 即在上单调递减，在上单调递增. 综上：当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （2）当时，由（1）知在上单调递减，在上单调递增， 由题知，即时，在上单调递减，在上单调递增， . ∵在区间上恰有两个零点， ∴，∴. 综上，在区间上恰有两个零点时的取值范围是. 【点睛】此题考查导数的应用，考查利用导数求函数的单调区间和最值，考查转化思想和计算能力，属于中档题 17. 如图，在四边形中，． （1）求的长及四边形的面积； （2）若点为四边形所在平面上一点（，在异侧），，求四边形面积的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理求得，然后由三角形面积公式计算； （2）利用余弦定理结合基本不等式求得的最大值，从而求得四边形面积的最大值并能确定点位置. 【小问1详解】 设， 在中，由余弦定理，得． 同理在中，． 因为，所以， 即，解得． 所以， 又，所以， 所以； 【小问2详解】 要使四边形的面积最大，则点和点应在的两侧， 且使得的面积最大． 在中，， 所以， 当且仅当时，等号成立，即当时，． 又，所以， 所以四边形面积的最大值为，此时为等边三角形， 即且点与点分别位于的两侧． 18. 如图，在四棱锥中，底面为长方形，底面，，E为线段的中点，F为线段上的动点． （1）求证：平面平面； （2）当F为中点时，平面与平面所成二面角夹角的余弦值为． （i）求的长度； （ii）有系列“二分球族”其中为中点，为中点，……，为中点，平面截三棱锥的外接球的图形为，的面积为，其中，2，……，n，请问数列中是否存在3项成等差数列，请说明理由． 【答案】（1） 证明：平面 平面， ∴平面平面， 又∵平面平面，且， 平面， 又平面，故． 在中，，E为线段的中点，则． 因为平面，平面，，平面． 平面，∴平面平面． （2）（i）； （ii）如图，取中点，作于． 由，所以满足． 则为三棱锥的球心，其中，2，…，n． 因为，则，则平面， 则为三棱锥的外接球与相交的圆的圆心，为半径 由，则， 所以圆的面积， 假设存在m，n，且使得，，成等差数列，则． 即化简可得 因为，，所以为偶数，即（*）式不成立， 所以数列中不存在3项成等差数列． 【解析】 【分析】（1）由平面可以得到平面平面，再由线线垂直得到平面，再由线面垂直得到，由三角形的性质得到，再由线面垂直的判定定理证明平面，由面面垂直的判定定理即可证明. （2）（i）建立空间直角坐标系，求解平面与平面的法向量，代入求解即可. （ii）取中点，作于，证明平面，得到为三棱锥的外接球与相交的圆的圆心，求解圆的面积，假设存在m，n，且使得，，成等差数列，由等差数列的性质求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （i）易知，，两两垂直，以A为原点，分别以，，所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，令，则，，，， ，， 设为平面的一个法向量． 故即取， 取为平面的一个法向量． ，解得，故． （ii）略 19. 已知抛物线E：的焦点为F，点在抛物线E上，且的面积为（O为坐标原点）. （1）求抛物线E的方程； （2）过焦点F的直线l与抛物线E交于A､B两点，过A､B分别作垂直于l的直线AC､BD，分别交抛物线于C､D两点，求的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据面积及抛物线上的点可求解； （2）利用直线与抛物线的位置关系分别求得、，再通过导数求最值即可. 【小问1详解】 由题意可得解得p=2. 故抛物线E的方程为. 【小问2详解】 由题意直线l的斜率一定存在且不为0，设直线l的方程为，， 设，，， 由消去x得. 所以，. 由AC垂直于l，直线AC的方程为 由消去x得. 所以，. ∴ . 同理可得， 所以， 令，，则， 所以当时，，单调递减；当时，，单调递增. 所以当x=2时，取得最小值，即当时，最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 陕西省西安中学高2026届高三第八次模拟考试 数学试题 （时长：120分钟满分：150分 命题人：拓继雨） 第一部分（选择题共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知全集是小于12的素数，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 复数的共轭复数是（ ） A. B. C. D. 3. 已知正方形的边长为2，若，则（ ） A. 2 B. C. 4 D. 4. 若命题“,”为真命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 已知三条不同的直线，，和两个不同的平面，，下列四个命题中正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 6. 下列图像中，符合函数的是（ ） A. B. C. D. 7. 定义数列前项的乘积，已知，对任意的，恒成立，则实数的范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分，有选错或不选的得0分． 9. 在公比为整数的等比数列中，是数列的前项和，若，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 数列是等比数列 C. D. 数列是公差为2的等差数列 10. 函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. B. 函数的图象与函数的图象只有2个交点 C. 函数在区间上有6个零点 D. 函数的图象可由函数的图象向右平移个单位长度得到 11. 已知函数及其导函数的定义域均为，记．若，为偶函数，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 的展开式中的常数项为_____ 13. 如图，直三棱柱的侧棱长为2，，， ，分别为的中点，则到平面的距离为___________． 14. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，以为圆心作与的渐近线相切的圆，该圆与的一个交点为，若为等腰三角形，则的离心率为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某种农作物可以生长在滩涂和盐碱地，将海水稀释后对其进行灌溉．某实验基地为了研究海水浓度对亩产量的影响，通过在试验田的种植实验，测得了该农作物的亩产量与海水浓度的数据如下表． 海水浓度 3 4 5 6 7 亩产量 0.57 0.53 0.44 0.36 0.30 残差 0.02 0 绘制散点图发现，可以用一元线性回归模型拟合与的相关关系，用最小二乘法计算得关于的经验回归方程为． （1）求，，的值； （2）请计算该回归模型的决定系数（精确到0.01），并评价其拟合效果．（若，就认为拟合效果好；若，就认为拟合效果一般；若，就认为拟合效果差） 附：决定系数，其中． 16. 已知函数. （1）讨论函数的单调性； （2）若，函数在区间上恰有两个零点，求的取值范围. 17. 如图，在四边形中，． （1）求的长及四边形的面积； （2）若点为四边形所在平面上一点（，在异侧），，求四边形面积的最大值． 18. 如图，在四棱锥中，底面为长方形，底面，，E为线段的中点，F为线段上的动点． （1）求证：平面平面； （2）当F为中点时，平面与平面所成二面角夹角的余弦值为． （i）求的长度； （ii）有系列“二分球族”其中为中点，为中点，……，为中点，平面截三棱锥的外接球的图形为，的面积为，其中，2，……，n，请问数列中是否存在3项成等差数列，请说明理由． 19. 已知抛物线E：的焦点为F，点在抛物线E上，且的面积为（O为坐标原点）. （1）求抛物线E的方程； （2）过焦点F的直线l与抛物线E交于A､B两点，过A､B分别作垂直于l的直线AC､BD，分别交抛物线于C､D两点，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $