精品解析：福建省福州第十八中学2025-2026学年第二学期九年级适应性练习数学试题

福州第十八中学2025—2026年第二学期九年级适应性练习 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分． 1. 的相反数是（    ） A. B. C. D. 2. 2025年7月1日，国家航天局发布了与地球距离超12000000千米的“天问二号”行星探测器在轨拍摄的地月影像图．将数据12000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 如图所示的几何体的左视图是（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列一元二次方程中没有实数根的是（ ） A. B. C. D. 6. “提升学生体质，建设健康学校”始终是学校的重要工作之一．为了解学生身体健康状况，某校体育组从全校800名学生的体质健康测试成绩登记表中，随机选取了100名学生的测试数据，并绘制成如图所示的条形统计图，则估计该校学生体质健康测试成绩为“优秀”的总人数为（ ） A. 30 B. 75 C. 240 D. 600 7. 某航天基地规划建设新型试验场，将部分原有测试平台改建为智能观测区．改建后，智能观测区与测试平台总面积共198亩，测试平台面积是智能观测区面积的．若设改建后智能观测区的面积为x亩，测试平台的面积为y亩，则根据条件可列方程组是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，正六边形的边长为，以顶点为圆心，的长为半径画弧，交正六边形于点，，则图中的长为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，切于点，连接交于点，过点作交于点，连接．若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 10. 已知二次函数的图象与x轴交于、两点，且．若点在该二次函数的图象上，则下列判断正确的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 二、填空题：本题共6小题，共24分． 11. 计算：_____． 12. 一个不透明袋子里有4个白球和若干个黑球，它们除了颜色外都相同，从中随机摸一个球，恰好摸到白球的概率为，则袋子中黑球的个数为_____． 13. 在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点坐标是，点关于轴的对称点的坐标是______． 14. 在物理学中，作用于同一点的两个力的合成符合“平行四边形法则”，即两个共点力合成时，以表示这两个力的线段为邻边作平行四边形，则这两个邻边之间的对角线就代表合力的大小和方向，如图．如果两个共点力、如图所示，若方格图中每个小正方形的边长都表示，则合力的大小为________． 15. 如图，A．B是双曲线上的两点，过A点作轴，交于D点，垂足为C．若的面积为3，D为的中点，则k的值为__． 16. 如图，等边的边长为a，点D，E分别在边AB，AC上，且，BE与CD相交于点F，则的值为______． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 如图，在中，，点D是边上一点，连接，将线段绕点A逆时针旋转到位置，且，连接．求证：． 20. 为深入了解福州中学生对本地非物质文化遗产（如福州软木画、寿山石雕、脱胎漆器等）的知晓情况，某校在“非遗文化进校园”活动中，随机抽取了名八年级学生进行问卷调查．问卷采用李克特五点量表（分完全不了解，分不太了解，分一般，分比较了解，分非常了解），调查结果统计如下： 得分 人数 （1）小明同学看了统计表后说：“这组数据的众数是______分，说明大多数同学对非遗的知晓程度不高．” （2）小红同学认为，仅凭众数得出的结论可能不够全面，于是她计算了这组数据的平均数（经计算，平均数为分）和中位数． ①这组数据的中位数是______分． ②结合平均数和中位数，请你对小明的结论进行评价． （3）学校计划将得分为分的学生中随机分成两组进行知识对抗．以提高他们知识分子认知．将这名学生分别记为甲、乙、丙、丁，用树状图或者列表法求甲和乙恰好分为一组的概率． 21. 如图，在中，，，，点为的中点，连接． （1）尺规作图：试确定一点，使得与关于直线对称；（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的前提下，求四边形的周长与面积． 22. 实验是培养学生的创新能力的重要途径之一．如图是小红同学安装的化学实验装置，安装要求为试管略向下倾斜，试管夹应固定在距试管口的三分之一处．已知试管，，试管倾斜角为10°．（参考数据：，） （1）求酒精灯与铁架台的水平距离的长度； （2）实验时，当导气管紧贴水槽，延长交的延长线于点F，且（点C，D，N，F在一条直线上），经测得：，，，求线段的长度． 23. 根据以下素材，探索完成任务． 如何确定木板分配方案？ 素材1 我校开展爱心义卖活动，小艺和同学们打算推销自己的手工制品．他们以每块15元的价格买了100张长方形木板，每块木板长和宽分别为80cm，40cm. 素材2 现将部分木板按图1虚线裁剪，剪去四个边长相同的小正方形（阴影）．把剩余五个矩形拼制成无盖长方体收纳盒，使其底面长与宽之比为3:1，其余木板按图2虚线裁剪出两块木板（阴影是余料），给部分盒子配上盖子． 素材3 义卖时的售价如标签所示： 问题解决 任务1 计算盒子高度 求出长方体收纳盒的高度． 任务2 确定分配方案1 若制成的有盖收纳盒个数大于无盖收纳盒，但不到无盖收纳盒个数的2倍，木板该如何分配？请给出分配方案． 任务3 确定分配方案2 为了提高利润，小艺打算把图2裁剪下来的余料（阴影部分）利用起来，一张矩形余料可以制成一把小木剑，并以5元/个的价格销售．请确定木板分配方案，使销售后获得最大利润． 24. 学习完一元二次方程的知识后，数学兴趣小组对关于x的一元二次方程开展探究． （1）当时，该方程的正根称为“黄金分割数”，求“黄金分割数”； （2）若实数a，b满足，，且，求的值； （3）若两个不相等的实数p，q满足，，求证：． 25. 如图，在中，过，，三点的交于点，连接． （1）求证：． （2）如图2，已知为的切线，连接并延长交于点． ①求证：； ②若，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 福州第十八中学2025—2026年第二学期九年级适应性练习 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分． 1. 的相反数是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，直接求解即可． 【详解】解：与只有符号不同的数为， 的相反数是． 2. 2025年7月1日，国家航天局发布了与地球距离超12000000千米的“天问二号”行星探测器在轨拍摄的地月影像图．将数据12000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】科学记数法的标准形式为，其中，n为整数，只需确定a和n的值即可求解． 【详解】∵12000000是大于10的数，将小数点向左移动7位，可得到满足的， ， 3. 如图所示的几何体的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：由图可知，左视图为： 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】需根据同底数幂的乘法、幂的乘方、同底数幂的除法、完全平方公式，分别计算各选项判断正误． 【详解】解：A、根据同底数幂乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，，故A错误； B、根据幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘，，故B正确； C、根据同底数幂除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，，故C错误； D、根据完全平方公式展开，，故D错误． 5. 下列一元二次方程中没有实数根的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对于一元二次方程，当时方程没有实数根，计算各选项的判别式即可判断． 【详解】解：A 选项，， ， 方程有两个不相等的实数根，不符合题意； B 选项，， ， 方程有两个相等的实数根，不符合题意； C 选项，， ， 方程没有实数根，符合题意； D 选项，， ， 方程有两个不相等的实数根，不符合题意． 6. “提升学生体质，建设健康学校”始终是学校的重要工作之一．为了解学生身体健康状况，某校体育组从全校800名学生的体质健康测试成绩登记表中，随机选取了100名学生的测试数据，并绘制成如图所示的条形统计图，则估计该校学生体质健康测试成绩为“优秀”的总人数为（ ） A. 30 B. 75 C. 240 D. 600 【答案】C 【解析】 【分析】用该校的总人数乘以成绩为 “优秀”的人数所占的百分比即可． 【详解】解：根据题意得：（人）， 故其中成绩为 “优秀”的总人数估计为240人． 7. 某航天基地规划建设新型试验场，将部分原有测试平台改建为智能观测区．改建后，智能观测区与测试平台总面积共198亩，测试平台面积是智能观测区面积的．若设改建后智能观测区的面积为x亩，测试平台的面积为y亩，则根据条件可列方程组是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】只需从题干中提取两个等量关系，依次列出方程即可． 【详解】解：∵设改建后智能观测区的面积为亩，测试平台的面积为亩， 根据“智能观测区与测试平台总面积共198亩”，可得第一个方程： 根据“测试平台面积是智能观测区面积的”，可得第二个方程： 因此可列方程组为． 8. 如图，正六边形的边长为，以顶点为圆心，的长为半径画弧，交正六边形于点，，则图中的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求正六边形的内角，再根据弧长公式求解即可． 【详解】解：正六边形的内角为， ， 正六边形的边长为， 的长为， 故选：C． 9. 如图，在中，切于点，连接交于点，过点作交于点，连接．若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是圆的切线性质、平行线的性质及圆周角定理的综合应用，灵活运用切线垂直于半径、两直线平行内错角相等及同弧所对圆周角是圆心角的一半等性质是解题的关键．首先根据切线的性质得出，在中求出的度数；再利用圆周角定理求得的度数；最后根据平行线的性质，由得出内错角与相等，从而求出的大小． 【详解】解：如图，连接， 与相切， ， ， 又， ， ， ， ． 故选：． 10. 已知二次函数的图象与x轴交于、两点，且．若点在该二次函数的图象上，则下列判断正确的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象性质，熟练掌握二次函数图象性质是解题的关键． 先根据二次项系数判断抛物线开口方向，再结合抛物线与x轴的交点位置，根据开口向上抛物线的函数值正负对应的自变量范围，判断选项的正确性． 【详解】解：∵ 对任意实数a，， ∴ ，即该二次函数抛物线开口向上， ∵ 抛物线与x轴交于、，且， ∴ 根据开口向上抛物线的性质，可得： 当时，；当时，或， ∵ 点在抛物线上，即， ∴ 当时，， 当时，或． 对于选项A：当时，，而不一定成立，故该选项错误，不符合题意； 对于选项B：当时，或，故该选项错误，不符合题意； 对于选项C：当时，或，故该选项错误，不符合题意； 对于选项D：当时，，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 二、填空题：本题共6小题，共24分． 11. 计算：_____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键． 根据的余弦值直接得出结果． 【详解】解：． 故答案为：． 12. 一个不透明袋子里有4个白球和若干个黑球，它们除了颜色外都相同，从中随机摸一个球，恰好摸到白球的概率为，则袋子中黑球的个数为_____． 【答案】6 【解析】 【分析】先求出袋子中球的总数，再减去白球的数量即可得出结果． 【详解】解：∵一个不透明袋子里有4个白球和若干个黑球，它们除了颜色外都相同，从中随机摸一个球，恰好摸到白球的概率为， ∴球的总数为， ∴袋子中黑球的个数为． 13. 在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点坐标是，点关于轴的对称点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【详解】解：根据关于轴对称的点的坐标特征：纵坐标不变，横坐标互为相反数，已知点关于轴的对称点坐标是，可得点的坐标为， 再根据关于轴对称的点的坐标特征：横坐标不变，纵坐标互为相反数，可得点关于轴的对称点的坐标为． 14. 在物理学中，作用于同一点的两个力的合成符合“平行四边形法则”，即两个共点力合成时，以表示这两个力的线段为邻边作平行四边形，则这两个邻边之间的对角线就代表合力的大小和方向，如图．如果两个共点力、如图所示，若方格图中每个小正方形的边长都表示，则合力的大小为________． 【答案】 【解析】 【分析】先在网格中取格点构造平行四边形，再通过勾股定理计算各边长度，验证四边形为平行四边形后，其对角线长度即为两个力的合力大小． 【详解】解：如图，取格点、、，连接、、， 由勾股定理得，， ， ∴四边形是平行四边形， ∴合力的大小为． 15. 如图，A．B是双曲线上的两点，过A点作轴，交于D点，垂足为C．若的面积为3，D为的中点，则k的值为__． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查反比例函数系数k的几何意义，相似三角形的判定和性质．过点B作轴于点E，根据相似三角形的判定和性质求得，设，则，，，再由的面积为3，求出k的值即可得出结论． 【详解】解：过点B作轴于点E， ∵轴， ∴， ∴， ∵D为的中点， ∴， ∴． 设，则，，， ∵的面积为3， ∴，即， 解得， 故答案是：8． 16. 如图，等边的边长为a，点D，E分别在边AB，AC上，且，BE与CD相交于点F，则的值为______． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】证明，得出，，再证明，即可得，等量代换求出，同理得到证明，得到，等量代换求出，进而求解即可． 【详解】解：∵等边的边长为， ∴，， ∵， ∴， ∴，， 又， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴ ∵， ∴， ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】先算算术平方根、负整数指数幂、绝对值化简，最后算加减即可. 【详解】解：原式 . 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】先根据平方差公式和分式的乘除化简原式，再代入即可求解． 【详解】解：原式 ． 当时，原式． 19. 如图，在中，，点D是边上一点，连接，将线段绕点A逆时针旋转到位置，且，连接．求证：． 【答案】 证明：， ， ， ，， ， ． 【解析】 【分析】首先得到，然后证明出，即可得到． 【详解】略 20. 为深入了解福州中学生对本地非物质文化遗产（如福州软木画、寿山石雕、脱胎漆器等）的知晓情况，某校在“非遗文化进校园”活动中，随机抽取了名八年级学生进行问卷调查．问卷采用李克特五点量表（分完全不了解，分不太了解，分一般，分比较了解，分非常了解），调查结果统计如下： 得分 人数 （1）小明同学看了统计表后说：“这组数据的众数是______分，说明大多数同学对非遗的知晓程度不高．” （2）小红同学认为，仅凭众数得出的结论可能不够全面，于是她计算了这组数据的平均数（经计算，平均数为分）和中位数． ①这组数据的中位数是______分． ②结合平均数和中位数，请你对小明的结论进行评价． （3）学校计划将得分为分的学生中随机分成两组进行知识对抗．以提高他们知识分子认知．将这名学生分别记为甲、乙、丙、丁，用树状图或者列表法求甲和乙恰好分为一组的概率． 【答案】（1） （2）①； ②小明的结论不够全面， 理由如下： 虽然这组数据的众数是分，但是平均数是分，中位数是分，都大于众数， 说明该校八年级学生整体对非遗的知晓程度比较了解，所以不能用众数进行评价； （3）解：将名学生甲、乙、丙、丁随机分成两组，每组人， 所有等可能的分组情况有种， 分别是：{甲，乙}和{丙，丁}； {甲，丙}和{乙，丁}； {甲，丁}和{乙，丙}。 其中甲和乙恰好分为一组的情况有种， 故所求概率为. 【解析】 【分析】（1）根据众数的计算方法求解即可； （2）根据中位数的计算方法求解，并进行评价即可； （3）列举出所有可能情况，求概率即可. 【小问1详解】 解：由表格数据可知：人数最多的分数是， ∴众数为：； 【小问2详解】 解：①由表格可知：分数从小到大排序，第个数是， ∴中位数是； ②略； 【小问3详解】 略 21. 如图，在中，，，，点为的中点，连接． （1）尺规作图：试确定一点，使得与关于直线对称；（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的前提下，求四边形的周长与面积． 【答案】（1）如图，点即为所求 （2）周长为，面积为， 【解析】 【分析】（1）以点为圆心，为半径画弧，再以点为圆心，为半径画弧，两弧的另一个交点即为所求的点； （2）由勾股定理可得，结合点为的中点可得，由（1）可得，因此，利用直角三角形的性质可得，结合，，即可得出四边形的周长． 【小问1详解】 解：如图，连接、，交于点， 由题意可知，，， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴，， ∴点与点关于直线对称， ∴与关于直线对称； 【小问2详解】 解：在中， ， ∵点为的中点， ∴， ∴， 由（1）可知，， ∴， ∴， ∵，， 又∵， ∴， ∴四边形的周长为． 22. 实验是培养学生的创新能力的重要途径之一．如图是小红同学安装的化学实验装置，安装要求为试管略向下倾斜，试管夹应固定在距试管口的三分之一处．已知试管，，试管倾斜角为10°．（参考数据：，） （1）求酒精灯与铁架台的水平距离的长度； （2）实验时，当导气管紧贴水槽，延长交的延长线于点F，且（点C，D，N，F在一条直线上），经测得：，，，求线段的长度． 【答案】（1）酒精灯与铁架台的水平距离的长度为 （2）线段的长度为 【解析】 【分析】（1）过点作于点，利用余弦求，即可得的长度； （2）过点作于点，于点，过点作于点，先求出和，再求出，利用得，即可求解． 【小问1详解】 解：如图，过点作于点， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 答：酒精灯与铁架台的水平距离的长度为． 【小问2详解】 解：如图，过点作于点，于点，过点作于点， 则， ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 答：线段的长度为． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是理解题意，作辅助线，构造出直角三角形． 23. 根据以下素材，探索完成任务． 如何确定木板分配方案？ 素材1 我校开展爱心义卖活动，小艺和同学们打算推销自己的手工制品．他们以每块15元的价格买了100张长方形木板，每块木板长和宽分别为80cm，40cm. 素材2 现将部分木板按图1虚线裁剪，剪去四个边长相同的小正方形（阴影）．把剩余五个矩形拼制成无盖长方体收纳盒，使其底面长与宽之比为3:1，其余木板按图2虚线裁剪出两块木板（阴影是余料），给部分盒子配上盖子． 素材3 义卖时的售价如标签所示： 问题解决 任务1 计算盒子高度 求出长方体收纳盒的高度． 任务2 确定分配方案1 若制成的有盖收纳盒个数大于无盖收纳盒，但不到无盖收纳盒个数的2倍，木板该如何分配？请给出分配方案． 任务3 确定分配方案2 为了提高利润，小艺打算把图2裁剪下来的余料（阴影部分）利用起来，一张矩形余料可以制成一把小木剑，并以5元/个的价格销售．请确定木板分配方案，使销售后获得最大利润． 【答案】任务1 10cm 任务2 有四种分配方案：76张木板制作无盖的收纳盒，24张制作盒盖，77张木板制作无盖的收纳盒，23张制作盒盖，78张木板制作无盖的收纳盒，22张制作盒盖，79张木板制作无盖的收纳盒，21张制作盒盖 任务3 76张木板制作无盖的收纳盒，24张制作盒盖，利润最大，最大值为1004元 【解析】 【分析】本题考查了方程组及不等式组的应用，找出相等关系或不等关系是解题的关键． 任务1：根据“底面长与宽之比为”列方程求解； 任务2：根据“制成的有盖收纳盒个数大于无盖收纳盒，但不到无盖收纳盒个数的2倍”列不等式组求解； 任务3：根据题意理出函数表达式，再根据函数的性质求解． 【详解】解：任务1：设长方体的高度为， 则：， 解得：， 答：长方体的高度为； 任务2：设张木板制作无盖的收纳盒， 则：， 解得：， 的整数解有：76，77，78，79， 共有4种方案：①76张木板制作无盖的收纳盒，24张制作盒盖； ②77张木板制作无盖的收纳盒，23张制作盒盖； ③78张木板制作无盖的收纳盒，22张制作盒盖； ④79张木板制作无盖的收纳盒，21张制作盒盖； 任务3：设：张木板制作无盖的收纳盒，则张制作盒盖，利润为元， 由题意得： 即：， 的整数解有：76，77，78，79， 当时，有最大值，为：， 答：76张木板制作无盖的收纳盒，23张制作盒盖，利润最大，最大值为1004元． 24. 学习完一元二次方程的知识后，数学兴趣小组对关于x的一元二次方程开展探究． （1）当时，该方程的正根称为“黄金分割数”，求“黄金分割数”； （2）若实数a，b满足，，且，求的值； （3）若两个不相等的实数p，q满足，，求证：． 【答案】（1） （2） （3） 证明： ∵①，②， ①②得：， 整理得：， ∵， ∴， 等式两边同时除以得：，即， ∴ 将代入①得：， 整理得：， 移项整理得：， 同理，将代入②，整理得， ∵， ∴，是一元二次方程的两个不相等的实数根， ∴. 【解析】 【分析】（1）代入，利用求根公式求出方程的正根即可； （2）将已知等式变形，得到和是原一元二次方程的两个不相等根，利用根与系数的关系求出的值； （3）对两个已知等式作差，结合得到的关系式，再推导出，是新一元二次方程的两个根，利用根与系数关系证明结论.  【小问1详解】 解：将代入，得， ∴， ∴， ∴， ∴“黄金分割数”为； 【小问2详解】 解：∵，， 将两边同时除以，得， ∵， ∴， ∴，是一元二次方程的两个不相等的实数根， ∴， ∴； 【小问3详解】 略 25. 如图，在中，过，，三点的交于点，连接． （1）求证：． （2）如图2，已知为的切线，连接并延长交于点． ①求证：； ②若，求的值． 【答案】（1）证明：∵四边形是圆内接四边形， ∴， 又∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴． （2）①证明：如图，连接，设， ∵为的切线， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， 由（1）可知，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ② 【解析】 【分析】（1）由圆内接四边形的性质可得，从而得到，结合平行四边形的性质可得，因此； （2）①连接，设，由切线的性质可得，则，利用平行四边形的性质可得，由（1）可知，则，从而得到．由可得，由圆周角定理可得，使用三角形内角和定理可得，因此； ②延长交于点，作于点，设，的半径为，由①可知，则，由垂径定理可得，．由平行可判定和，从而计算出，，则，，因此．在中，利用勾股定理构造方程解得，进而计算出，则，结合可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①略； ②如图，延长交于点，作于点，设，的半径为， 由①可知，，， ∴， ∴，即点是优弧的中点， 又∵过圆心， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得（负值已舍）， ∴，， 在中，， ∴， ∵， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $