精品解析： 福建省福州第十八中学2024-2025学年九年级下学期第一次适应性练习（开学考试）数学试卷

2024-2025学年九年级第一次适应性练习 九年级数学学科 满分：150分 完卷时间：120分钟 一、选择题（每小题4分，共40分） 1. 下列各数中，无理数是（ ） A. B. 1 C. 0 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查无理数的概念，常见的无理数有：开不尽方的数，消不掉的数，具有一定规律的无限不循环小数，这是解题的关键． 根据无理数的概念判定即可． 【详解】A． 是无理数，符合题意； B． 1是整数，属于有理数，不符合题意； C． 0是整数，属于有理数，不符合题意； D． 是整数，属于有理数，不符合题意； 故选：A． 2. 春节期间，来泉州旅游人数818.12万人次，用科学记数法可将此数据表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义． 科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：万， 故选B． 3. 第33届夏季奥运会在法国巴黎举行，中国取得金牌榜第一名的好成绩，如图所示巴黎奥运会项目图标中，既是轴对称又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的概念，根据如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，如果一个图形绕某一点旋转后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心，解答本题即可 【详解】解：A、该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； B、该图形不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； C、该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意； D、该图形既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，不符合题意； 故选：C． 4. 下列事件中是随机事件的是（ ） A. 明天太阳从东方升起 B. 经过有交通信号灯的路口时遇到红灯 C. 平面内不共线的三点确定一个圆 D. 任意画一个三角形，其内角和是 【答案】B 【解析】 【分析】根据随机事件的定义，逐项判断即可求解． 【详解】解：A．明天太阳从东方升起，是必然事件，故本选项不符合题意； B．经过有交通信号灯的路口时遇到红灯，是随机事件，故本选项符合题意； C．平面内不共线的三点确定一个圆，是必然事件，故本选项不符合题意； D．任意画一个三角形，其内角和是，是不可能事件，故本选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题主要考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念，熟练掌握必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件是解题的关键． 5. 用配方法解方程x2－4x＋3＝0，下列配方正确的是（ ） A. （x－2）2＝7 B. （x＋2）2＝7 C. （x＋2）2＝1 D. （x－2）2＝1 【答案】D 【解析】 【分析】方程移项后，两边加上4变形即可得到结果． 【详解】方程移项得：x2-4x＝−3， 配方得：x2-4x＋4＝-3+4，即（x-2）2＝1． 故选：D． 【点睛】此题考查了解一元二次方程−配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 6. 正十边形的中心角度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查正多边形和圆，根据正多边形的中心角的定义解决问题即可． 【详解】解：正十边形中心角的度数， 故选：A． 7. 已知的直径为，点P到圆心O的距离为，则点P和圆的位置关系（    ） A. 点在圆内 B. 点在圆外 C. 点在圆上 D. 无法判断 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查点与圆的位置关系，解题的关键是掌握点与圆位置关系的判断方法． 根据点P到圆心的距离和半径的关系得出点P与圆的位置关系． 【详解】解：∵的直径为， ∴的半径为， ∵点P到圆心O的距离为大于半径， ∴点P在圆外， 故选：B． 8. 已知反比例函数的图象经过点，则下列各点中也在该函数图象上的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先利用待定系数法求出的值，再分别计算出四个选项中的点的横纵坐标的积，等于的值的就在反比例函数图象上，反之则不在． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， A、，故此点不在此函数图象上； B、，故此点在此函数图象上； C、，故此点不在此函数图象上； D、，故此点不在此函数图象上． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，关键是掌握图象上的点的横纵坐标的积是定值，即． 9. 已知垂直于轴的直线与抛物线交于，两点，则的值（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，求出抛物线关于直线对称，即可作答． 【详解】∵， ∴抛物线关于对称， ∵垂直于轴的直线与抛物线交于，两点， ∴， 故选：C． 10. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，平行四边形ABCD的边AB在x轴上，顶点D在y轴的正半轴上，点C在第一象限，将△AOD沿y轴翻折，使点A落在x轴上的点E处、点B恰好为OE的中点．DE与BC交于点F．若y＝（k≠0）图象经过点C．且S△BEF＝1，则k的值为（ ） A. 18 B. 20 C. 24 D. 28 【答案】C 【解析】 【分析】连接OC，BD，根据折叠的性质得到OA＝OE，得到OE＝2OB，求得OA＝2OB，设OB＝BE＝x，则OA＝2x，根据平行四边形的性质得到CD＝AB＝3x，根据相似三角形的性质得到 ，即，求得S△BDF＝3，S△CDF＝9，即可求得S△CDO＝S△BDC＝12，于是得到结论． 【详解】解：如图，连接OC，BD， ∵将△AOD沿y轴翻折，使点A落在x轴上的点E处， ∴OA＝OE， ∵点B恰好为OE的中点， ∴OE＝2OB， ∴OA＝2OB， 设OB＝BE＝x，则OA＝2x， ∴AB＝3x， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴CD＝AB＝3x， ∵CDAB， ∴△CDF∽△BEF， ∴，即， ∵S△BEF＝1， ∴S△BDF＝3，S△CDF＝9， ∴S△BCD＝S△BDF+S△CDF＝3+9=12， ∴S△CDO＝S△BDC＝12， ∴｜k｜＝2S△CDO＝24， ∵反比例函数图像在第一象限， ∴k＞0， ∴k＝24． 故选择：C． 【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，折叠的性质，平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 二、填空题（每小题4分，共24分） 11. 点关于原点的对称点是，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称的点坐标的特征．熟练掌握关于原点对称的点坐标的横纵坐标均互为相反数是解题的关键． 根据关于原点对称的点坐标的横纵坐标均互为相反数求解作答即可． 【详解】解：由题意知，， 解得，， 故答案为：2． 12. 已知是一元二次方程的一个根，则的值为_______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程解的定义，一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此把代入原方程求出k的值即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个根， ∴， ∴， 故答案为：3． 13. 随机掷两枚质地均匀的普通硬币一次，两枚硬币都正面朝上的概率是__________． 【答案】 【解析】 【分析】先用树状图表示出所有情况，再找出两枚硬币都正面朝上的情况，根据概率公式即可求解． 【详解】画树状图为： 共有4种等可能的结果数，其中两枚硬币全部正面向上的结果数为1， 所以两枚硬币全部正面向上的概率=． 故答案为：． 【点睛】本题考查树状图求概率，掌握画树状图的方法是解题的关键． 14. 已知点，都在反比例函数的图象上，且，则k的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查反比例函数图象及性质，掌握反比例函数的增减性是解题的关键． 根据反比例函数图象上两个点的横坐标的大小关系和纵坐标的大小关系，确定图象的性质，根据图象的性质确定k的取值范围． 【详解】∵，， ∴第一象限内，函数图象从左到右下降， ∴， 解得：． 故答案为：． 15. 如图，四边形内接于，为的直径，平分．若，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据圆周角定理结合角平分线性质可推出是等腰直角三角形，先根据勾股定理求出的长，再根据锐角三角函数即可求出的长． 【详解】解：四边形内接于，为的直径， ， 平分， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， 在中，，， ， 在中， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆周角定理，角平分线性质，勾股定理，等腰三角形性质和判定，解直角三角形三角函数，解题的关键是熟练掌握并运用相关知识． 16. 已知抛物线经过点，，，，且，则m的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的性质，先求解抛物线的对称轴为直线，结合抛物线的开口方向可得距离抛物线的对称轴越远函数值越大，再建立不等式解题即可． 【详解】解：∵抛物线经过点，， ∴抛物线的对称轴为直线，抛物线的开口向上， ∴距离抛物线的对称轴越远函数值越大， ∵抛物线经过点，，， ∴， ∴， ∴， 解得：， 故答案为： 三、解答题（本题共8小题，共86分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查实数的运算，先根据零指数幂、二次根式的性质、绝对值的意义将原式化简，再进行加减运算即可．掌握相应的运算法则、性质及运算顺序是解题的关键． 【详解】解： ． 18. 如图，在正方形中，E为边上一点，F为延长线上一点，且．求证：． 【答案】 证明：∵ 四边形是正方形， ∴，． ． 在 和中， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，证明即可作答． 【详解】略 19. 解不等式，并把它的解集表示在数轴上． 【答案】，在数轴上表示为： 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式，熟知解一元一次不等式的基本步骤是解答此题的关键． 先去分母，再去括号，移项、合并同类项，把x的系数化为即可． 【详解】解：去分母得：， 去括号得， 移项得：， 合并得：， 系数化为得： 20. 如图，每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，绕点O顺时针旋转后得到（两个三角形的顶点都在格点上），点A，B，C分别对应点D，E，F． （1）在图中标出点O位置； （2）求点B所经过的路径长度（结果保留）． 【答案】（1） 点O的位置如图所示， （2）点B所经过的路径长度为 【解析】 【分析】本题考查作图-旋转变换，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）对应点连线的垂直平分线的交点即为旋转中心； （2）画出图形，利用弧长公式求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，， ∴点B所经过的路径长度． 21. 在学习《用频率估计概率》这一节课后，数学兴趣小组设计了摸球试验：在一个不透明的盒子里装有白球和红球共3个，这些球除了颜色以外没有任何其他区别．将球搅匀后从盒子中随机摸出一个球，记下颜色后放回，再重复进行下一次试验．下表是整理得到的试验数据： 摸球的次数 500 1000 2000 3000 4000 5000 6000 摸到红球的次数 372 613 1397 1961 2651 3337 3992 摸到红球的频率 0.74 0.61 0.70 0.65 0.66 0.67 0.67 （1）用频率估计概率，估计盒子中红球的个数为______； （2）小明认为，如果在原有的盒子中增加一个白球，则一次性摸出两个球恰好都是相同颜色的概率不变．你同意小明的意见吗？请说明理由． 【答案】（1）2； （2） 解：同意小明的意见，理由如下： 记“没有增加球前一次性摸出的两个球恰好都是相同颜色”为事件，画树状图如下： 总共有6种等可能出现的结果，其中一次性摸出两个球是相同颜色的有2种， 所以； 记“增加一个白球后一次性摸出的两个球恰好都是相同颜色”为事件，画树状图如下： 总共有12种等可能出现的结果，其中一次性摸出两个球是相同颜色的有4种， 所以； 所以， 所以增加一个白球后，则一次性摸出两个球恰好都是相同颜色的概率不变． 【解析】 【分析】此题考查了列表法或树状图法求概率以及利用频率估计概率的知识．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． （1）用总球数乘以摸到红球的概率即可得出答案； （2）首先根据题意列出表格，然后由表格求得所有等可能的结果与两次都摸到红球的情况，再利用概率公式求出概率，即可得出答案． 【小问1详解】 解：由表可得：当n很大时，摸到红球的频率将会接近0.67， ∴摸到红球的概率为0.67， ∴红球的个数：（个）； 【小问2详解】 略 22. 如图，是的直径，点在上，交于点，为的切线． （1）求证：； （2）若，求的值． 【答案】（1） 证明：如图，连接，   ∵为的切线， ∴， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质、圆周角定理、三角形相似的判定与性质、解直角三角形，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． （1）连接，由切线的性质和圆周角定理得出，，由平行线的性质得出，由此可得，再由等边对等角即可得出； （2）先证明，再证明得出的长，再根据余弦的定义求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）知，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴． 23. 已知实数a、b、c （1）若a、b、c分别是关于x的一元二次方程二次项系数，一次项系数和常数项，由公式法解得方程的根为，求证：； （2）若，，且，求c的最小值． 【答案】（1） 证明：一元二次方程解的求根公式为：一元二次方程的根为， ，，， ，，， 此方程的二项式系数，一次项系数，常数项分别为：1，2，， ； （2） 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的求根公式和根的判别式，求出a，b及c的值是解本题的关键． （1）先写出一元二次方程 的求根公式，然后根据公式，结合已知方程的根，列出关于的值，即可证明； （2）把上面两式化成一元一次函数图象和反比例函数图象，两个函数有交点，即转化为一元二次方程有解的问题，求，即可求出c的取值范围． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设，， 则，， 有解， ， ， ， ， ， 的最小值为： 24. 用各种盛水容器可以制作精致的家用流水景观（如图1）． 科学原理：如图2，始终盛满水的圆体水桶水面离地面的高度为H（单位：cm），如果在离水面竖直距离为h（单校：cm）的地方开大小合适的小孔，那么从小孔射出水的射程（水流落地点离小孔的水平距离）s（单位：cm）与h的关系为s2=4h（H—h）． 应用思考：现用高度为20cm的圆柱体塑料水瓶做相关研究，水瓶直立地面，通过连注水保证它始终盛满水，在离水面竖直距离h cm处开一个小孔． （1）写出s2与h的关系式；并求出当h为何值时，射程s有最大值，最大射程是多少? （2）在侧面开两个小孔，这两个小孔离水面的竖直距离分别为a，b，要使两孔射出水的射程相同，求a，b之间的关系式； （3）如果想通过垫高塑料水瓶，使射出水的最大射程增加16cm，求整高的高度及小孔离水面的竖直距离． 【答案】（1），当时，；（2）或；（3）垫高的高度为16cm，小孔离水面的竖直距离为18cm 【解析】 【分析】（1）将s2=4h(20-h)写成顶点式，按照二次函数的性质得出s2的最大值，再求s2的算术平方根即可； （2）设存在a，b，使两孔射出水的射程相同，则4a(20-a)=4b(20-b)，利用因式分解变形即可得出答案； （3）设垫高的高度为cm，写出此时s2关于h的函数关系式，根据二次函数的性质可得答案． 【详解】解：(1)∵s2=4h(H-h)， ∴当H=20时，s2=4h(20-h)=-4(h-10)2+400， ∴当h=10时，s2有最大值400， ∴当h=10时，s有最大值20cm． ∴当h为何值时，射程s有最大值，最大射程是20cm； 故答案为：最大射程是20cm. (2) ∵s2=4h(20-h)， 设存在a，b，使两孔射出水的射程相同，则有： 4a(20-a)=4b(20-b)， ∴20a-a2=20b-b2， ∴a2-b2=20a-20b， ∴(a+b)(a-b)=20(a-b)， ∴(a-b)(a+b-20)=0， ∴a-b=0或a+b-20=0， ∴a=b或a+b=20. 故答案为：a=b或a+b=20. (3)设垫高的高度为cm，则 ∴当时， ∴时，此时 ∴垫高的高度为16cm，小孔离水面的竖直距离为18cm． 故答案为：垫高的高度为16cm，小孔离水面的竖直距离为18cm. 【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，厘清题中的数量关系并明确二次函数的性质是解题的关键． 25. 如图，已知、是半径为1的的两条弦，且，连接、． （1）证明：； （2）试求的值； （3）记、、的面积分别为、、，若，求的长． 【答案】（1） 证明：在和中， ， ， ； （2）1 （3） 【解析】 【分析】（1）由定理证明，即可证得结论； （2）先证明，得到，代入即可求得答案； （2）依据，可设，即可得到，，再根据，即可得出方程，求得，再根据，，即可得到的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）知， ， ， ， ， ， ， 【小问3详解】 解：， 可设， ，， 又， ，即， ， 解得：，（不合题意）， 又，， ， 解得：． 【点睛】本题考查了圆的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解一元二次方程等知识，灵活运用所学知识并学会利用参数是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年九年级第一次适应性练习 九年级数学学科 满分：150分 完卷时间：120分钟 一、选择题（每小题4分，共40分） 1. 下列各数中，无理数是（ ） A. B. 1 C. 0 D. 2. 春节期间，来泉州旅游人数818.12万人次，用科学记数法可将此数据表示为（ ） A. B. C. D. 3. 第33届夏季奥运会在法国巴黎举行，中国取得金牌榜第一名的好成绩，如图所示巴黎奥运会项目图标中，既是轴对称又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列事件中是随机事件的是（ ） A. 明天太阳从东方升起 B. 经过有交通信号灯的路口时遇到红灯 C. 平面内不共线的三点确定一个圆 D. 任意画一个三角形，其内角和是 5. 用配方法解方程x2－4x＋3＝0，下列配方正确的是（ ） A. （x－2）2＝7 B. （x＋2）2＝7 C. （x＋2）2＝1 D. （x－2）2＝1 6. 正十边形的中心角度数为（　　） A. B. C. D. 7. 已知的直径为，点P到圆心O的距离为，则点P和圆的位置关系（    ） A. 点在圆内 B. 点在圆外 C. 点在圆上 D. 无法判断 8. 已知反比例函数的图象经过点，则下列各点中也在该函数图象上的是（ ） A. B. C. D. 9. 已知垂直于轴的直线与抛物线交于，两点，则的值（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，平行四边形ABCD的边AB在x轴上，顶点D在y轴的正半轴上，点C在第一象限，将△AOD沿y轴翻折，使点A落在x轴上的点E处、点B恰好为OE的中点．DE与BC交于点F．若y＝（k≠0）图象经过点C．且S△BEF＝1，则k的值为（ ） A. 18 B. 20 C. 24 D. 28 二、填空题（每小题4分，共24分） 11. 点关于原点的对称点是，则的值是______． 12. 已知是一元二次方程的一个根，则的值为_______． 13. 随机掷两枚质地均匀的普通硬币一次，两枚硬币都正面朝上的概率是__________． 14. 已知点，都在反比例函数的图象上，且，则k的取值范围是______． 15. 如图，四边形内接于，为的直径，平分．若，，则的长为______． 16. 已知抛物线经过点，，，，且，则m的取值范围是______． 三、解答题（本题共8小题，共86分） 17. 计算：． 18. 如图，在正方形中，E为边上一点，F为延长线上一点，且．求证：． 19. 解不等式，并把它的解集表示在数轴上． 20. 如图，每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，绕点O顺时针旋转后得到（两个三角形的顶点都在格点上），点A，B，C分别对应点D，E，F． （1）在图中标出点O位置； （2）求点B所经过的路径长度（结果保留）． 21. 在学习《用频率估计概率》这一节课后，数学兴趣小组设计了摸球试验：在一个不透明的盒子里装有白球和红球共3个，这些球除了颜色以外没有任何其他区别．将球搅匀后从盒子中随机摸出一个球，记下颜色后放回，再重复进行下一次试验．下表是整理得到的试验数据： 摸球的次数 500 1000 2000 3000 4000 5000 6000 摸到红球的次数 372 613 1397 1961 2651 3337 3992 摸到红球的频率 0.74 0.61 0.70 0.65 0.66 0.67 0.67 （1）用频率估计概率，估计盒子中红球的个数为______； （2）小明认为，如果在原有的盒子中增加一个白球，则一次性摸出两个球恰好都是相同颜色的概率不变．你同意小明的意见吗？请说明理由． 22. 如图，是的直径，点在上，交于点，为的切线． （1）求证：； （2）若，求的值． 23. 已知实数a、b、c （1）若a、b、c分别是关于x的一元二次方程二次项系数，一次项系数和常数项，由公式法解得方程的根为，求证：； （2）若，，且，求c的最小值． 24. 用各种盛水容器可以制作精致的家用流水景观（如图1）． 科学原理：如图2，始终盛满水的圆体水桶水面离地面的高度为H（单位：cm），如果在离水面竖直距离为h（单校：cm）的地方开大小合适的小孔，那么从小孔射出水的射程（水流落地点离小孔的水平距离）s（单位：cm）与h的关系为s2=4h（H—h）． 应用思考：现用高度为20cm的圆柱体塑料水瓶做相关研究，水瓶直立地面，通过连注水保证它始终盛满水，在离水面竖直距离h cm处开一个小孔． （1）写出s2与h的关系式；并求出当h为何值时，射程s有最大值，最大射程是多少? （2）在侧面开两个小孔，这两个小孔离水面的竖直距离分别为a，b，要使两孔射出水的射程相同，求a，b之间的关系式； （3）如果想通过垫高塑料水瓶，使射出水的最大射程增加16cm，求整高的高度及小孔离水面的竖直距离． 25. 如图，已知、是半径为1的的两条弦，且，连接、． （1）证明：； （2）试求的值； （3）记、、的面积分别为、、，若，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $