广西壮族自治区柳州市来宾实验高级中学2025-2026学年高一下学期数学自主练习（6）

2028届高一（下）数学自主练习(6) 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的， 1.设一组数据x,x2,,xn的方差为1，则数据3x1+2,3x2+2,,3x+2的方差为 A3 B.5 C.9 D.13 2.某学校高一年级有男生480人，女生660人，现按性别采用分层随机抽样的方法从中选出 19人，则男生比女生少选 A.1人 B.2人 C.3人 D.4人 3。已知复数：与在复平面内对应的点关于短轴对称，则： B.号号 c. D. 4.如图，在平行四边形ABCD中，M为AB的中点，AC与DM交于点O,则OM= A.丽0B.西而 D 3 3 c.西而D.西-而 2 B 5.已知1，m是两条不重合的直线，α，B是两个不重合的平面，则下列结论正确的是 A.若l/1,111a,则m/1a B.若a/1B,1ca,mcB,则l11m C.若l⊥m,1⊥a,则m/1a D.若lLa,LB,a⊥B,则1Lm 6.钝角三角形ADC的面积是号，AB-1BC-反则4C A.5 B.5 C.2 D.1 7.已知向量a,b满足同=1，=2，且对eR,5+d≥5-d,则a-b= A.-2 B.-1 C.1 D.2 8.已知△ABC为边长为3的等边三角形，设点M为AB边的中点，点P在边BC上（包括端点）， 则M亚.cP的最小值等于 A.-81 55 64 B.-55 64 C. D.8 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 试卷第1页，共4页 9.已知向量a=(1,0),b=(1,1),c=(-1)a+b(2∈R),则 A.a与b的夹角为45° B.当a⊥c时，=0 c当2-时，与a=(1)方向相反 D.当2=3时，c与d=(-1,1)组成平面内的一组基底 10.2024年广西新高考实行3十1+2模式，即语文、数学、外语必选，物理、历史二选一」 政治、地理、化学、生物四选二，共有12种选课模式.某同学已选了物理，记事件A=“他 选择政治和地理”，事件B=“他选择化学和生物”，事件C=“他选择其中一门课程是化学”， 则 A.n(C)=3 B.B与C对立 ePa+e-月 D.() 11.若图G的关联结点（加黑的粗点）构成的点集记为V,V可划分为两个子集？和V,且 V∩V=0,UV=V,图中的每一条边的一个关联结点在？中，另一个关联结点必在中， 则将图G称为二部图.现有下列六个图，若从这六个图中任选两个，则 ☑口风☆W☐N (1) (2) 3】 A.这两个图都是二部图的概率为} B,这两个图至少有一个是二部图的概率为4 15 C.这两个图不都是二部图的概幸为号 D.这两个图怡有一个是二部图的概率为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.3-61=. 13.已知某圆锥的轴截面为正三角形，且该圆锥的体积为9√3π，若该圆锥的顶点和底面圆周上 所有的点均在同一个球体的表面上，则该球体的表面积为 试卷第2页，共4页 14.已知四边形ABCD是圆O的内接四边形，且AB=AD=2,BC,CD的长是方程x2-2W6.x+4=0 的两根，记四边形A8CD的面积为，圆O的面积为，则是 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.(13分)不透明的袋子中装有4个红球，个绿球，这些球除颜色外其他完全相同，每 次从袋子中有放回地随机取出1个球，且每次绿球被取出的概率为· (1)求袋子中绿球的个数： (2)若进行2次取球，求这2次取出的球的颜色不同的概率， 16.(15分)如图所示，已知AB是圆O的直径，C为圆上一点（异于A,B),PA=AB=2,AC=√2， P为圆O所在平面外一点，且PA垂直于圆O所在平面. (I)求证：平面PAC⊥平面PBC; (2)求直线AC与平面PBC所成角的正弦值. 17.（15分)本学期初，某校对全校高二学生进行数学测试（满分100)，并从中随机抽取了 100名学生的成绩，以此为样本，分成[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，得到如图所 示频率分布直方图. 个频率 组距 (1)估计该校高二学生数学成绩的平均数和85%分 0.035 位数： 0.025 0.020 (2)为进一步了解学困生的学习情况，从数学成绩 a 低于70分的学生中，分层抽样6人，再从6人中任 05060708090100成绩 取2人，求此2人分数都在[60,70)的概率. 试卷第3页，共4页 18.(17分)在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知4为锐角，且3a=25c,osC=5 4 (1)求A: (2)若b=1,求△ABC的面积： 3)求 19.（17分)如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是边长为4的菱形，∠BAD=60°，△PAD 为等边三角形，PB=2√6，E,F分别是棱AB,AD的中点. (I)求四棱锥P-ABCD的体积 (②在棱PC上是否存在点G,使得平面PB/平面BDG?若点G存在，求出瓷的值；若不存 在，请说明理由 (3)若H是棱PC的中点，求二面角P-BD-H的正弦值， 试卷第4页，共4页 《2028届高一（下）数学自主练习(6)》参考答案 题号1 2 3 45 6 7 8 9 10 11 答案C CB AD IAC BC 1.C【详解】数据，x2,,x,的方差为1，数据3x+2,3x+2,,3xn+2的方差为32×1=9 2.C【详解】由题可知，选出的男生有480 ×19=8人，则选出的女生有11人， 480+660 所以男生比女生少选3人.故选：C 38【群深1台-8-司-8-9做为：与在复平面内测隐们关千安年。 2+i 所以：=一号子放遮：B 4.A【详解】因为ABCD为平行四边形，故AB/ICD,故△AOM~ACOD,又因为M为AB的中点，所以 0C-2,故成证+)-而+。-}五， OM AM 3 5.D【详解】若l/1m,l1/a,则m/1a或mC&,A不正确.若a/IB,lca,mCB,则11/或1与 异面，B不正确.若l⊥m,1⊥，则/1a或mc,C不正确.若l⊥，m⊥P,a⊥B,则1⊥m, D正确.故选：D 6.B【详解】由面积公式得：×V5mB=},解得m8-怎，所以8=45或B=135,当8-45时，由 余弦定理得：AC2=1+2-2V2cos45=1,所以AC=1,又因为AB=1,BC-√2，所以此时△4BC为等 腰直角三角形，不合题意，舍去；所以B=135°，由余弦定理得：AC2=1+2-2V2cos135°=5，所以AC=√5 7.c【详解】因为万+a≥5-a,所以万+ā万-āP, 所以P2+2a.b+2a6-|aP≥0，因为对VeR,5+d≥5-d, 所以△=(2a.b)2-4aP(2a.i-a)≤0，所以2a.b-4(2a.b-1)≤0，所以a.b=1. 8.A【详解】取BC的中点O,连接OA,建立如图所示的平面直角坐标系，因为等边△ABC的边长为3， 4从9 9 33上单 2'8 调递减 在引上*网速地：所以=合)各合名-器 ai1√2 9AD【样解1对A设a与6的陕角为8(0<9s18).则os0同名方是，故0=45， 故A正确：对B,c=(元-1)(1,0)+2(1,1)=(2元-1，元)，则当a⊥c时，a.c=0,即2元-1=0，解 得=分故B错碳：对c当时，-（行）#时=(-=3E,则6-（←方 向相同，故C错；对D,当1=3时，c=（5,3),C与d=(-1,1)不共线，故能组成平面内的一组基底. 答案第1页，共4页 10.AC【详解】依题意该同学的四选二选科可能为：政治和地理，政治和化学，政治和生物，化学和地理， 生物和地理，化学和生物共6种结果，则事件C包含政治和化学，化学和地理，化学和生物共3种结果， 所以(C)=3,故A正确；C包含政治和地理，政治和生物，生物和地理共3种结果，所以B与C互 乐不对立，板B指武：肉为BcC,所以P(B+C)-PC)-言令改c正：包含放治和化 学，化学和地理，化学和生物共3种结果，所以P(@C)=3-,故D错误， 62 11.BC【详解】对于图(1)，图中出现了△ABC,则该三角形必然有一条边的两个顶点分在一个子集内， 这显然不符合二部图的定义，图(4)也是如此，所以图(1)与图(4)不是二部图.除了这两个图， 其他四个图都是二部图，例如，对于图(3)，当Y={E,H,K,J},V={F,G,1,L}时，图中的每一条边的 一个关联结点在中，另一个关联结点必在中；对于图(5)，当={W,X},”=T,U,}时，图中的 每一条边的一个关联结点在了中，另一个关联结点必在'中.从这 六个图中任选两个，所有的选择为 {1),(2)},{(①)，(3)}，{)，(4)}，{①)，(5)}，{)，(6)}， {(2),(3)},{(2),(4)},{(2),(5)},{(2),(⑥}，{(3)，(4}， {(3),(5)},{(3),(6)},{(4),(⑤)}，{(4)，(6)}，{(5)，(6)}，共15种. (1) (3) (5) 这两个图都是二部图的选择共有6种，这两个图至少有一个是二部图的选择共有14种，这两个图不都 是二部图的选择共有9种，这两个图恰有一个是二部图的选择共有8种，故这两个图都是二部图的概率 为，ξ=名，故A错误：这两个图至少有一个是三部图的概率为5，故B正确：这两个图不都是部 的概率为9=3 5,,故C正确：这两个图恰有一个是二部图的概率为8，故D错误故选：BG 12.35【详解】3-61=√32+(-6)2=3W5.故答案为：35 13.48π【详解】设该圆锥的底面半径为r.因为该圆锥的轴截面为正三角形，所以该圆锥的高为√3， 则该圆锥的体积V=心=9√Bm,解得73.画出圆锥及其外接球的轴截面如图所示 R 设该球体的半径为R,则R2=3W3-R)+32,解得R=2√3，则该球体的表面积为 R 4πR2=48r.故答案为：48π 3V3-R 14.5【详解】解方程X-26x+4=0,可得=6+V5,名=V6-V5,不妨令 2元 BC=√6+√互，CD=√6-√2.因为四边形ABCD是圆O的内接四边形，所以∠BAD+∠BCD=π，则 在△ABD与△BCD中，由余弦定理可得 BD2=AB2+AD2-2AB·ADcos.∠BAD=BC2+CD2-2BC.CDcos.∠BCD, 整理得8-8C0s∠BAD=16-8c0s∠BCD=16+8cOs∠BAD,则coS∠BAD=-1, ,则∠BAD=2 ∠BCD-号BD=25.设圆0的半径为R,则R= BD =2,则S2=R2=4π， sin∠BAD 8=SAD+8D=AB:AD sin BAD+号BC.CDsin∠BCD=25,则S-5 1 2 S22π 15.(1)袋子中装有4个红球，个绿球，从中有放回地随机取出1个球， 则绿球被取出的概率为，业 4+m 由题可知，”=}，解得=2， 4+3 故袋子中绿球的个数为2. .1 《2)由题可知，每次绿球被取出的概率为·则每次红球被取出的概率为， 且2次取出的球的颜色相互独立 答案第2页，共4页 第一次取出红球，第二次取出绿球的概率为2×_2 339 第一次取出绿球，第二次取出红球的概率为×号)： 1.22 故2次取出的球的演色不同的概率为弓+号)， 16.(I)PAL平面ABC,BCc平面ABC,.PA⊥BC. :AB是圆O的直径，C为圆上一点，BC⊥AC 又PA∩AC=A,且PA,ACC平面PAC,.BC⊥平面PAC. :BCC平面PBC,∴.平面PAC⊥平面PBC (2)如图所示，过点A作AD⊥PC于点D, :BC⊥平面PAC,ADc平面PAC,BC⊥AD, 又PCOBC=C,PC,BCC平面PBC,AD⊥平面PBC. .∠ACD即为直线AC与平面PBC所成角. D :PA=AB=2,AC=√2，可得PC=V6 sm∠ACD-g6 PC 3 即直线AC与平面PBC所成角的正弦值为 3 17.(1)由(a+0.02+0.035+0.025+a)×10=1,解得a=0.01 该校高三学生期初数学成绩的平均数为55×0.1+65×0.2+75×0.35+85×0.25+95×0.1=75.5. 前3组的频率和为0.1+0.2+0.35=0.65，所以859%分位数为80+0.85065×10=88 0.25 (2)分层抽样抽取的6人中，[50,60)的有6×。0.1 =2人，记为1,2 0.1+0.2 [60,70)的有6-2=4人，记为3,4,5,6， 从6人中任取2人，基本事件有12,13,14,15,16,23,24,25,26,34,35,36,45,46,56，共15种， 其中2人分数都在[60,70)的有34,35,36,45,46,56共6种， 所以从6人中任取2人，分数都在[60,70)的概率为 62 155 181)因为sc年，所以mC= 4 又因为30=2c,所以in4=2V5si 等2mc25x35 342 因为A为锐角，所以A=亚 3 ()(1 sinB-sin(+C)=sin dcosC+sinccos=+3 8 由正弦定理得c=bsinc、6 sinB√21+3' 所以，lesin-x6955, 2√21+32 8 (3)由余弦定理得a2=b2+c2-2 bc cosA=b2+c2-bc= 23c24c 3 整理得3b2-3bc-c2=0, 答案第3页，共4页 所以3°_31=0. 因为2>0，所以b_3+2回 6 19.(1)连接BF. 因为四边形ABCD是边长为4的菱形，∠BAD=60°， 所以△ABD为边长为4的等边三角形. 因为F是线段AD的中点，所以BF⊥AD,所以BF=2√3. 因为△PAD是边长为4的等边三角形，且F是线段AD的中点，所以PF⊥AD,且PF=2√3 因为BF=PF=2√3，PB=2√6，所以PF2+BF2=PB2,所以PF⊥BF 因为ADC平面ABCD,BFc平面ABCD,且AD∩BF=F,所以PF⊥平面ABCD, 则四棱锥P-ABCD的体积为号x4x2V5x25=16. 公存在满足条竹的点c,此时发号 D 理由如下：连接AC,记AC∩BD=O,AC∩EF=K,连接PK,OG,BG,DG 因为E,F分别是棱AB,AD的中点，所以EFIBD. 因为EF本平面BDG,BDC平面BDG,所以EFI∥平面BDG 因为四边形ABCD是菱形，所以O是AC的中点，所以OC=OA. 因为BFBD,且E是棱AB的中点，所以OK=OA,所以OK= CK3 若平面PEFI∥平面BDG,平面PEF与平面BDG与平面PAC分别相交于直线PK,OG 成K0G,m以得祭是-号 所以在棱PC上存在点G使得平面PBFM平面BDG,且PC=} PC3 (3)连接CF.在△CDF中，由余弦定理可得CF=√DF2+CD-2DF.CDcos∠CDF=27. 由(I)可知PF⊥平面ABCD,且BCc平面ABCD,所以PF⊥BC. 因为BC∥AD,所以BC⊥BF. 因为BFC平面PBF,PFC平面PBF,且BF∩PF=F, 所以BC⊥平面PBF. 因为PBc平面PBF,所以BC1PB,则M-C-PB+Bc-而 2 因为PD=CD=4,PC=2N10,且H为棱PC的中点， =√6 因为DH=√6，BH=V10,BD=4,所以DH+BH=BD,所以BH⊥DH. 作ML BD,垂足为M则BD.M=DH.BH,解得mM= 2 设点H到平面PBD的距离为d 因为aD=gw=emn=Bm,即？S0d-=Saco×PF， 3 2 期geeo径四jd分eoCn: 所以×x2w6x4-（6可xd=×x42w5x5,解得a-2 32 32 5 设二面角P-BD-H的大小为0，则sim0=d=4, HM5' 即二面角P-BD-H的正弦值为 答案第4页，共4页