10.1.3 古典概型 课件-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

该高中数学课件聚焦古典概型，通过“实验估计概率耗时且近似，能否用数学模型直接计算”的问题导入，衔接前期实验概率知识，构建“观察实例—抽象特征—形成概念”的学习支架，系统呈现古典概型的有限性、等可能性特征及概率计算公式。 其亮点在于以具体实例（如彩票摇号、掷骰子）引导学生用数学眼光抽象古典概型本质，通过辨析题（如不均匀硬币）培养数学思维的严谨性，用表格、符号规范数学语言表达样本空间。例8中骰子标记与否的对比分析，帮助学生深化对等可能性的理解，既利于学生提升抽象与推理能力，也为教师提供系统的例题与训练资源，提高教学效率。

第十章 概率 10.1.3 古典概型 情景导入书235 我们知道，通过实验和观察的方法可以得到一些事件概率的估计。但这种方法耗时多，而且得到的仅是概率的近似值。能否通过建立适当的数学模型，直接计算随机事件的概率呢? 研究随机现象，最重要的是知道随机事件发生的可能性大小。对随机事件发生可能性大小的度量(数值)称为事件的概率，事件A的概率用P(A)表示. 概率的定义 思考：在10.1.1节，我们讨论过彩票摇号实验，抛掷一枚均匀硬币试验 及抛掷一枚质地均匀骰子实验。他们的共同特征有哪些？ 新知探究书235 1、彩票摇号 2、抛掷一枚均匀硬币 3、掷一枚质地均匀骰子 观察它们的样本点及样本空间，它们的共同特征有哪些? Ω={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} Ω＝{正面朝上，反面朝上}. Ω＝{1, 2, 3, 4, 5, 6}. (1)有限性：样本空间的样本点只有有限个； (2)等可能性：每个样本点发生的可能性相等. 我们将具有以上两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概型模型，简称古典概型. 例1 下列概率模型是古典概型吗？为什么？ (1)从区间[1，10]内任意取出一个实数，求取到实数2的概率； (2)向上抛掷一枚不均匀的旧硬币，求正面朝上的概率； (3)从1，2，3，…，100这100个整数中任意取出一个整数，求取到偶数的概率． 返回导航 4 跟踪训练1　下列试验中是古典概型的是(　　) A．在适宜的条件下，种下一粒种子，观察它是否发芽 B．口袋里有2个白球和2个黑球，这4个球除颜色外完全相同，从中任取一球 C．向一个圆面内随机地投一个点，观察该点落在圆内的位置 D．射击运动员向一靶心进行射击，试验结果为命中10环，命中9环，…，命中0环 答案：B 解析：由古典概型的两个特征易知B正确．故选B. 返回导航 5 解析：(1)不是古典概型，因为区间[1，10]中有无限多个实数，取出的实数有无限多种结果，与古典概型定义中“所有可能结果只有有限个”矛盾． (2)不是古典概型，因为硬币不均匀导致“正面朝上”与“反面朝上”的概率不相等，与古典概型定义中“每一个试验结果出现的可能性相同”矛盾． (3)是古典概型，因为在试验中所有可能出现的结果是有限的，而且每个整数被抽到的可能性相等． 返回导航 6 学霸笔记 判断试验是不是古典概型，关键看是否符合两大特征：有限性和等可能性． 返回导航 7 新知探究书236 思考2：考虑下面两个随机试验，如何度量事件发生的可能性大小? (1) 一个班级中有18名男生，22名女生.采用抽签的方式，从中随机选择一名学生，事件A=“抽到男生”； (2)抛掷一枚质地均匀的硬币3次，事件B=“恰好一次正面朝上”. 新知探究书236 思考2：考虑下面两个随机试验，如何度量事件发生的可能性大小? (1) 一个班级中有18名男生，22名女生.采用抽签的方式，从中随机选择一名学生，事件A=“抽到男生 对于问题（1）班级中共有40名学生，从中选择一名学生，因为是随机选取的，所以选到每个学生的可能性都相等，这是一个古典概型。 抽到男生的可能性大小，取决于男生数在班级学生数中所占比例的大小。因此可以用男生数与班级学生数的比值来度量。显然这个随机实验的样本空间中有40个样本点。 而时间A=“抽到男生”包含18个样本点。因此，事件A发生的可能性大小为 （1）是一个古典概型，事件发生的可能性大小为 . 新知探究书236 思考2：考虑下面两个随机试验，如何度量事件发生的可能性大小? (2)抛掷一枚质地均匀的硬币3次，事件B=“恰好一次正面朝上”. （2）对于问题（2）我们用1→正面朝上，0→反面朝上， 样本空间Ω={(1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 1), (1, 0, 0), (0, 1, 1), (0, 1, 0), (0, 0, 1), (0, 0, 0)}, 共有8个样本点，且每个样本点是等可能发生的，这是一个古典概型. 事件B发生的可能性大小，取决于这个事件包含的样本点在样本空间包含的样本点中所占比例的大小。因此，可以用事件包含的样本点数与样本空间的样本点数的比值来度量 因为B= ，所以事件B发生的可能性大小为 新知讲授 古典概型的概率计算公式 一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点， 事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率 其中，n(A): 事件A包含的样本点个数. n(Ω): 样本空间Ω包含的样本点个数. 学习目标二　古典概型概率的计算 例2 一个口袋内装有大小相同的1个白球和已编有不同号码的3个黑球，从中摸出2个球．求： (1)样本空间的样本点的总数n； (2)事件“摸出2个黑球”包含的样本点的个数； (3)摸出2个黑球的概率． 返回导航 12 解析：由于4个球的大小相同，摸出每个球的可能性是均等的，所以是古典概型． (1)将黑球编号为黑1，黑2，黑3，从装有4个球的口袋内摸出2个球，样本空间Ω＝{(黑1，黑2)，(黑1，黑3)，(黑1，白)，(黑2，黑3)，(黑2，白)，(黑3，白)}，共有6个样本点，所以n＝6. (2)事件“摸出2个黑球”＝{(黑1，黑2)，(黑2，黑3)，(黑1，黑3)}，共有3个样本点． (3)样本点总数n＝6，事件“摸出2个黑球”包含的样本点个数m＝3，故P＝，即摸出2个黑球的概率为. 返回导航 13 学霸笔记：求解古典概型问题的一般步骤： (1)明确试验的条件及要观察的结果，用适当的符号(字母、数字、数组等)表示试验的可能结果(借助图表可以帮助我们不重不漏地列出所有的可能结果)； (2)根据实际问题情境判断样本点的等可能性； (3)计算样本点总个数及事件A包含的样本点个数，求出事件A的概率． 返回导航 14 跟踪训练2　抛掷两枚质地均匀的骰子，则向上的数字之和是5的倍数的概率为(　　) A．　　　　　B． C． D． 答案：B 返回导航 15 解析：由题设，两次向上的数字如下表(列表示第一次，行表示第二次)，所以抛掷两次的基本事件有36种，其中向上的数字之和是5的倍数的有7种，分别为(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)，(5，5)，(6，4)，(4，6)，所以向上的数字之和是5的倍数的概率为.故选B.   1 2 3 4 5 6 1 (1，1) (1，2) (1，3) (1，4) (1，5) (1，6) 2 (2，1) (2，2) (2，3) (2，4) (2，5) (2，6) 3 (3，1) (3，2) (3，3) (3，4) (3，5) (3，6) 4 (4，1) (4，2) (4，3) (4，4) (4，5) (4，6) 5 (5，1) (5，2) (5，3) (5，4) (5，5) (5，6) 6 (6，1) (6，2) (6，3) (6，4) (6，5) (6，6) 返回导航 16 例7 单选题是标准化考试的常用题型，一般是从A、B、C、D四个选项中选择一个正确答案. 若考生掌握了考察的内容，就能选择唯一正确的答案. 假设考生不会做，他随机的选择一个答案，问他答对的概率是多少？ 典例分析书237 解: 试验有选A、选B、选C、选D共4种可能结果 试验的样本空间表示为Ω={A，B，C，D}，则n(Ω)=4 考生随机选择一个答案，表明每个样本点发生的可能性相等， 这是一个古典概型． 设事件M=“选中正确答案”， 因为单选题的正确答案是唯一的，则n(M)=1 所以，考生随机选择一个答案，答对的概率 书237思考 在标准化的考试中也有多选题，多选题是从A、B、C、D四个选项中选出所有正确答案（四个选项中至少有两个选项是正确的），你认为单选题和多选题哪种更难选对？为什么？ 典例分析 解：多选题更难. 理由如下： 试验的样本空间为 Ω={}. 所以多选题一共有11种可能的结果，多选题正确的概率为. 而单选题正确的概率为，因此多选题更难. 例8 抛掷两枚质地均匀的骰子(标记为Ⅰ号和Ⅱ号),观察两枚骰子 分别可能出现的基本结果. (1)写出此试验的样本空间，并判断这个试验是否为古典概型； 典例分析 解：（1）抛掷一枚骰子有6种等可能结果。号骰子的每个结果都可以和号骰子的任意一个结果配对，组成掷两枚骰子实验的一个结果。用数字表示号骰子出现的点数是，数字表示号骰子出现的点数是，则数组表示这个试验的一个样本点. 因此该试验的样本空间，其中 抛掷一枚骰子有6种等可能的结果，共有6×6=36个样本点. 由于骰子的质地均匀，所以各个样本点出现的可能性相等， 因此这个试验是古典概型. 例8 (2) 求下列事件的概率：A=“两个点数之和是5”； B=“两个点数相等”；C=“Ⅰ号骰子的点数大于Ⅱ号骰子的点数”. 典例分析 解：(2) ∵A={(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)}，∴ n(A)=4. ∵B={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)}，∴n(B)=6. 例8 (2) 求下列事件的概率：A=“两个点数之和是5”； B=“两个点数相等”；C=“Ⅰ号骰子的点数大于Ⅱ号骰子的点数”. 典例分析 解：(2) ∵C={(2,1),(3,2),(3,1),(4,3),(4,2),(4,1),(5,4),(5,3),(5,2),(5,1), (6,5),(6,4),(6,3),(6,2),(6,1)}， ∴n(C)=15. 书283思考 ：在例8中，为什么要把两枚骰子标上记号？如果不给两枚骰子标记号，会出现什么情况?你能解释其中的原因吗? 典例分析 分析：如果不标上记号，类似于(1,2)和(2,1)的结果将没有区别. 此时样本点共有21种结果，和是5的结果有2个,它们是(1,4)和(2,3)， 则A={(1,4),(2,3)}，∴n(A)=2. 思考：同一事件的概率，为什么会出现两个不同的结果呢？ 36个结果都是等可能的；而合并为21个可能结果时，(1,1)和(1,2)发生的可能性大小不等，这不符合古典概型特征，所以不能用古典概型公式计算概率. m n 1 2 3 4 5 6 1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) 2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) 3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) 4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) 5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) 6 (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6) 归纳（书238） 求古典概型问题的一般思路： （1）明确试验的条件及要观察的结果，用适当的符号（字母、数字，数组等）表示试验的可能结果（借助图表可以帮助我们不重不漏地列出所有的可能结果）； （2）根据实际问题情境判断样本点的可能性； （3）计算样本点总个数及事件A包含的样本点个数，求出事件A的概率。 书238例9 袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球、3个黄球， 从中不放回地依次随机摸出2个球，求下列事件的概率: (1)A = “第一次摸到红球”；(2)B= “第二次摸到红球”； (3)AB = “两次都摸到红球”. 典例分析 解：将2个红球编号为1, 2，三个黄球编号为3, 4, 5. 第一次摸球时有5种等可能的结果，第二次摸球时有4种等可能的结果. 将两次摸球的结果配对，组成20种等可能的结果,如下表: 第一次 第二次 1 2 3 4 5 1 × (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) 2 (2,1) × (2,3) (2,4) (2,5) 3 (3,1) (3,2) × (3,4) (3,5) 4 (4,1) (4,2) (4,3) × (4,5) 5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) × (1)A = “第一次摸到红球”；(2)B= “第二次摸到红球”； (3)AB = “两次都摸到红球”. 典例分析 第一次 第二次 1 2 3 4 5 1 × (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) 2 (2,1) × (2,3) (2,4) (2,5) 3 (3,1) (3,2) × (3,4) (3,5) 4 (4,1) (4,2) (4,3) × (4,5) 5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) × ， 解： ， ， 思考 在上例中，若把不放回依次随机摸出2个球改为同时摸出2个球，那么摸到的2个球都是红球的概率是多少? 典例分析 解：同时摸出2个球的所有可能结果为： (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (2,3) (2,4) (2,5) (3,4) (3,5) (4,5)，共10个. 摸到的2个球都是红球的结果为(1,2)， 结论：依次摸出2个球跟顺序有关，一次性摸出2个球与顺序无关， 但相同事件的概率相等. 所以摸到的2个球都是红球的概率为 导思·拓展教材——关键能力 突出应用性 学习目标三　“有放回”与“不放回”的古典概型计算 例3 一个盒子里装有标号为1，2，4，8的4张标签． (1)从盒中不放回地随机取两张标签，求取出的标签上的数字之和不大于5的概率． (2)从盒中有放回地随机取两张标签，求第一次取出的标签上的数字小于第二次取出的标签上的数字的概率． 返回导航 27 解析：(1)从盒中不放回地随机取两张标签，不考虑取出的两数的顺序，样本空间为Ω＝{(1，2)，(1，4)，(1，8)，(2，4)，(2，8)，(4，8)}，共6个样本点，这6个样本点出现的可能性是相等的． 取出的标签上的数字之和不大于5包含的样本点有(1，2)，(1，4)，共2个． 由古典概型的概率计算公式知，取出的标签上的数字之和不大于5的概率为. 返回导航 28 (2)从盒中有放回地随机取两张标签，样本空间为Ω＝{(1，2)，(1，4)，(1，8)，(2，4)，(2，8)，(4，8)，(2，1)，(4，1)，(8，1)，(4，2)，(8，2)，(8，4)，(1，1)，(2，2)，(4，4)，(8，8)}，共16个样本点，这16个样本点出现的可能性是相等的． 第一次取出的标签上的数字小于第二次取出的标签上的数字包含的样本点有(1，2)，(1，4)，(1，8)，(2，4)，(2，8)，(4，8)，共6个． 由古典概型的概率计算公式知，第一次取出的标签上的数字小于第二次取出的标签上的数字的概率为. 返回导航 29 题后师说 解决有序型和无序型问题的注意点 (1)关于不放回抽取，计算样本点的个数时，既可以看作是有顺序的，也可以看作是无顺序的，其最后结果是一致的．但无论选择哪一种方式，观察的角度必须一致，否则会产生错误． (2)关于有放回抽取，应注意在连续取出两次的过程中，因为先后顺序不同，所以(a，b)，(b，a)不是同一个样本点． 解题的关键是要清楚无论是“不放回抽取”，还是“有放回抽取”，每一个物品被取出的机会都是均等的． 返回导航 30 跟踪训练3　从两名男生和两名女生中任意抽取两人，分别采取有放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样，在以上两种抽样方式下，抽到的两人是一男一女的概率分别为(　　) A．　　　 B． C． D． 答案：D 返回导航 31 解析：从两名男生(记为a和b)、两名女生(记为1和2)中任意抽取两人，记事件A＝“抽到的两人是一男生一女生”，在有放回简单随机抽样方式下的样本空间为Ω1＝{(a，b)，(b，a)，(a，1)，(1，a)，(a，2)，(2，a)，(b，1)，(1，b)，(b，2)，(2，b)，(1，2)，(2，1)，(a，a)，(b，b)，(1，1)，(2，2)}，共16个样本点，其中A＝{(a，1)，(1，a)，(a，2)，(2，a)，(b，1)，(1，b)，(b，2)，(2，b)}，有8个样本点，所以P(A)＝.在无放回简单随机抽样方式下的样本空间为Ω2＝{(a，b)，(b，a)，(a，1)，(1，a)，(a，2)，(2，a)，(b，1)，(1，b)，(b，2)，(2，b)，(1，2)，(2，1)}，共12个样本点，其中A＝{(a，1)，(1，a)，(a，2)，(2，a)，(b，1)，(1，b)，(b，2)，(2，b)}有8个样本点，所以P(A)＝.故选D. 返回导航 32 例10 从两名男生(记为B1和B2)、两名女生(记为G1和G2)中任意抽2人. （1）分别写出有放回简单随机抽样、不放回简单随机抽样、按性别等比例分层抽样的样本空间. （2）在三种抽样方式下,分别计算抽到的两人都是男生的概率. 典例分析 解: (1) 设第一次抽取的人记为x1, 第二次抽取的人记为x2, 则可用数组(x1, x2) 表示样本点. ①有放回简单随机抽样的样本空间：Ω1={(B1,B1),(B1,B2),(B1,G1),(B1,G2),(B2,B1),(B2,B2),(B2,G1),(B2,G2),(G1,B1), (G1,B2), (G1,G1),(G1,G2),(G2,B1),(G2,B2),(G2,G1),(G2,G2)}. ②不放回简单随机抽样的样本空间：Ω2={(B1,B2),(B1,G1),(B1,G2),(B2,B1),(B2,G1),(B2,G2),(G1,B1),(G1,B2),(G1,G2), (G2,B1),(G2,B2),(G2,G1)}. ③按性别等比例分层抽样(先抽1名男生,再抽1名女生)的样本空间： Ω3={(B1,G1),(B1,G2),(B2,G1),(B2,G2)}. 例10 从两名男生(记为B1和B2)、两名女生(记为G1和G2)中任意抽2人. （1）分别写出有放回简单随机抽样、不放回简单随机抽样、按性别等比例分层抽样的样本空间. （2）在三种抽样方式下,分别计算抽到的两人都是男生的概率. 典例分析 解：(2)设事件A=“抽到两名男生”， 对于有放回简单随机抽样: A={(B1,B1),(B1,B2),(B2,B1),(B2,B2)}， 对于不放回简单随机抽样: A={(B1,B2),(B2,B1)}， 按性别等比例分层抽样: A=，∴P(A)=0. 上例表明，同一个事件A=“抽到两名男生”发生的概率，在按性别等比例分层样时最小，在不放回简单随机抽样时次之，在有放回简单随机抽样时最大. 因此，抽样方法不同，则样本空间不同，某个事件发生的概率也可能不同. 上一章我们研究过通过抽样调查估计树人中学高一学生平均身高的问题.我们知道，简单随机抽样使总体中每一个个体都有相等的机会被抽中，但因为抽样的随机性，有可能会出现全是男生的“极端”样本，这就可能高估总体的平均身高. 上例的计算表明，在总体的男女生人数相同的情况下，用有放回简单随机抽样进行抽样，出现全是男生的概率为0.25；用不放回简单随机抽样进行抽样，出现全是男生的概率约为0.167，可以有效地降低出现“极端”样本的概率. 特别是，在按性别等比例分层抽样中，全是男生样本出现的概率为0，真正避免了这类极端样本的出现. 所以，改进抽样方法对于提高样本的代表性很重要. 典例分析 导练·随堂检测——举一反三 强化实战性 1．下列是古典概型的是(　　) A．任意抛掷两枚骰子，所得点数之和作为样本点 B．求任意的一个正整数平方的个位数字是1的概率，将取出的正整数作为样本点 C．在甲、乙、丙、丁4名志愿者中，任选一名志愿者去参加跳高项目，求甲被选中的概率 D．抛掷一枚质地均匀的硬币至首次出现正面为止，抛掷的次数作为样本点 答案：C 返回导航 36 解析：A项中由于点数的和出现的可能性不相等，故A不是古典概型；B项中的样本点的个数是无限的，故B不是古典概型；C项中满足古典概型的有限性和等可能性，故C是古典概型；D项中样本点既不是有限个也不具有等可能性，故D不是．故选C. 返回导航 37 2．(2025·河南新乡期末)从1～5这5个整数中随机选择两个不重复的数字，则这两个数字之积大于8的概率为(　　) A． B． C． D． 答案：D 返回导航 38 解析：这个试验的样本空间Ω＝{(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，(4，5)}，包含10个样本点．设事件A＝“这两个数字之积大于8”，则A＝{(2，5)，(3，4)，(3，5)，(4，5)}，包含4个样本点，所以P(A)＝.故选D. 返回导航 39 3．从3个白球和1个黑球中任意取两球，分别采用有放回简单随机抽样、不放回简单随机抽样，抽到的两球都是白球的概率分别是(　　) A． B． C． D． 答案：A 解析：采用有放回简单随机抽样抽到的两球都是白球的概率是；采用不放回简单随机抽样，抽到的两球都是白球的概率是.故选A. 返回导航 40 4．(2025·安徽滁州期末)柜子中有两双不同的鞋，从中随机取出两只，则事件“取出的鞋不是同一双鞋”的概率为________．   解析：4只鞋，分别设为a，b，c，d，其中a，b为一双，c，d为一双，从中随机取出两只，有6种情况，分别为{a，b}，{a，c}，{a，d}，{b，c}，{b，d}，{c，d}，其中“取出的鞋不是同一双鞋”的情况为{a，c}，{a，d}，{b，c}，{b，d}，有4种情况，故“取出的鞋不是同一双鞋”的概率为. 返回导航 41 教材P241 学以致用 1. 判断下面的解答是否正确，并说明理由. 某运动员连续进行两次飞碟射击练习，观察命中目标的情况，用y表示命中，用n表示没有命中，那么试验的样本空间为Ω={yy, ym, ny, nn}， 因此事件“两次射击都命中”的概率为0.25 . 解：不正确. 理由如下： 样本空间所包含的样本点个数为4，但每一个样本点的可能性不一定相等. 所以这不一定是古典概型. 故不能用P=1/4=0.25来计算 . 教材P241 学以致用 2. 从52张扑克牌(不含大小王)中随机地抽一张牌，计算下列事件的概率: (1) 抽到的牌是7； (2) 抽到的牌不是7； (3) 抽到的牌是方片； (4) 抽到J或Q或K； (5) 抽到的牌既是红心又是草花； (6) 抽到的牌比6大比9小； (7) 抽到的牌是红花色； (8) 抽到的牌是红花色或黑花色. 教材P241 学以致用 3. 从0~9这10个数中随机选择一个数，求下列事件的概率: (1) 这个数平方的个位数字为1; (2) 这个数的四次方的个位数字为1. 解：从0~9 这10个数中随机选择一个数的样本空间为Ω={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}， 所包含的样本点的个数为10. (1)设事件A=“这个数平方的个位数字为1”, 则事件A的样本点为1,9，共有2个样本点，所以 设事件B=“这个数的四次方的个位数字为1”， 则事件B的样本点为1,3,7,9，共有4个样本点，所以 课堂小结 古典概型及其特点 古典概型概率公式 古典概型 有限性、等可能性 $