云南省2025-2026学年高一下学期数学期末自编模拟考试卷（四）

**基本信息** 立足高一必修内容，以“数学文化”知识竞赛、学生身体情况等现实情境为载体，梯度设计考查数学抽象、逻辑推理与数据分析能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |解答题|5/77|统计综合（第16题）、立体几何（第17题）、函数奇偶性与恒成立（第18题）|结合数学文化与生活实际，考查数学建模与运算求解，如第16题通过频率分布直方图分析成绩，体现数据观念|

2025-2026学年云南省高一期末模拟考试卷（四） 数学 考试范围：必修一、必修二到9.3统计；考试时间：120分钟； 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1．某校有学生2000人，其中高三学生500人．为了解学生身体情况，采用按年级分层抽样的方法，从该校学生中抽取一个200人的样本，则样本中高三学生的人数为（    ） A．100 B．60 C．50 D．40 2．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 3．已知平面向量，，若，则（    ） A． B．4 C． D． 4．已知，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．已知，，为三条不同的直线，，为两个不同的平面，则以下选项正确的是（    ） A．若，，，，则 B．若，，则，是异面直线 C．若，，，则 D．若，，，则 6．若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 7．已知为第二象限角，且，则（     ） A． B． C． D． 8．函数的大致图象是（     ） A． B． C． D． 2、 多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9．已知实数，满足，则（   ） A． B． C． D． 10．如图，在正方体中，，点为线段上的动点，则下列结论正确的是（    ） A．连接，总有平面 B．点为线段上的中点时，二面角平面角的余弦值为 C．平面平面 D．的最小值为 11．声音是由物体振动产生的声波．纯音的数学模型是函数，我们日常听到的声音通常由多个纯音叠加而成，称为复合音，其数学模型为，记，则（     ） A．的最小正周期为 B．在区间上恰有3个零点 C．的图象关于点中心对称 D．的最大值为 3、 填空题（本题共3个小题，每小题5分，共15分） 12．复数的虚部为______． 13．若关于的方程有且只有一个根在区间上，则的值范围为______． 14．已知函数若函数恰有5个零点，则实数的取值范围为________． 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15．已知向量，． (1)求，的坐标； (2)求与夹角的余弦值； (3)求在上的投影向量． 16．为点燃同学们对数学的热爱，使其探寻数字背后的文化密码，某校高一年级举办“数学文化”知识竞赛．为了解参赛者的成绩情况，从所有参赛者中随机抽取100人的成绩（百分制）作为样本，并按分组，作出频率分布直方图如图所示． (1)求的值，并估计样本中成绩不低于60分的人数； (2)估计样本中成绩的上四分位数； (3)若规定成绩不低于80分为“良好”等级，已知样本中成绩在内的平均数为88，方差为7，成绩在内的平均数为96，方差为7，求样本中“良好”等级的成绩的平均数和方差． 17．如图，在正方体中，． (1)作出过与平行的平面，并证明； (2)求直线和平面所成的角． 18．已知奇函数的定义域为. (1)求实数a，b的值； (2)当时，恒成立，求实数m的取值范围. 19．在中，内角的对边分别是. (1)求的值； (2)若，求周长的最大值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年云南省高一期末模拟考试卷（四） 数学 考试范围：必修一、必修二到9.3统计；考试时间：120分钟； 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1．某校有学生2000人，其中高三学生500人．为了解学生身体情况，采用按年级分层抽样的方法，从该校学生中抽取一个200人的样本，则样本中高三学生的人数为（    ） A．100 B．60 C．50 D．40 【答案】C 【知识点】抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算 【详解】设样本中高三学生数为，根据分层抽样等比例性质知. 2．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】并集的概念及运算 【详解】集合， 则. 3．已知平面向量，，若，则（    ） A． B．4 C． D． 【答案】B 【知识点】由向量共线（平行）求参数 【详解】因为平面向量，，且， 所以 . 4．已知，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【知识点】充要条件的证明、判断指数函数的单调性、判断一般幂函数的单调性 【详解】记命题，命题. 幂函数在上单调递增，，所以， 指数函数在上单调递增，当时，必有，即， 所以； 指数函数在上单调递增，，所以， 幂函数在上单调递增，当时，必有，即， 所以； 所以是的充要条件. 5．已知，，为三条不同的直线，，为两个不同的平面，则以下选项正确的是（    ） A．若，，，，则 B．若，，则，是异面直线 C．若，，，则 D．若，，，则 【答案】C 【知识点】线面关系有关命题的判断、面面关系有关命题的判断 【分析】根据面面平行的判定定理、异面直线的定义，结合线面平行的性质、面面垂直的性质定理逐一判断即可. 【详解】A：只有当，相交时，才有，所以本选项说法不正确； B：当，时，，的位置关系为平行、相交、异面，所以本选项说法不正确； C：过作平面交于，则 ，过作平面交于，则，故， 又不在平面内，又平面，所以，而，故，故，故本选项说法正确； D：若， 如果或，则不能判断 ，故本选项说法不正确. 6．若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】基本不等式求和的最小值 【分析】先表示出，再化简，利用基本不等式可求最小值． 【详解】， ， ， ， ，， 当且仅当即时等号成立， 的最小值为． 7．已知为第二象限角，且，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系 【分析】根据条件，借助二倍角公式，求出，再根据同角三角函数关系式求出，代入即得答案. 【详解】由，得， 因为为第二象限角，所以， 所以，得， 因为为第二象限角，所以，， 所以，， 所以. 8．函数的大致图象是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】函数图像的识别、函数奇偶性的定义与判断、诱导公式五、六 【分析】利用诱导公式化简函数解析式，可得为奇函数，函数图象关于原点对称，可排除C；由时，可排除AD，由此可得结果. 【详解】函数，定义域为， ， 为奇函数，图象关于坐标原点对称，可排除C； 当时，，，所以，可排除AD. 2、 多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9．已知实数，满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】由条件可知，，则，故A正确；式子没有意义，故B错误； ，，所以，故C错误； 设，为增函+增函数减函数=增函数，所以为增函数， 因为，所以，即，即，故D正确. 10．如图，在正方体中，，点为线段上的动点，则下列结论正确的是（    ） A．连接，总有平面 B．点为线段上的中点时，二面角平面角的余弦值为 C．平面平面 D．的最小值为 【答案】ACD 【知识点】棱柱的展开图及最短距离问题、求二面角、证明线面平行、证明面面垂直 【分析】对于A，由面面平行的判定定理证明平面平面，再根据面面平行的性质定理即可判断；对于B，先求出和的各边，再结合勾股定理，及三角形的性质找出二面角的平面角，再结合勾股定理，及余弦定理即可求解，进而即可判断；对于C，由线面垂直的判定定理证明平面，进而即可得证平面平面；对于D，先将平面和平面沿着展开至同一平面，再根据两点之间的距离最短求解即可判断． 【详解】对于A，在正方体中， 由，且平面，平面，则平面， 又，且平面，平面，则平面， 又，且平面，所以平面平面， 因为平面，所以平面，故A正确； 对于B，连接，交于，则是的中点，过作于，则是的中点， 则，则， 又，， 则，即， 过作于，则，则， 则是的四等分点且靠近处，取的中点，连接， 又是等边三角形，则，则，则， 所以是二面角的平面角， 又，分别为，的中点，则， 所以在中，，故B错误； 对于C，在正方体中，由平面，且平面，所以， 又是正方形，所以， 又，且平面，所以平面， 又平面，所以平面平面，故C正确； 对于D，将和沿着展开至同一平面， 则当，，三点共线时，取得最小值， 由，，且，则，则， 又，则， 所以的最小值为，故D正确． 11．声音是由物体振动产生的声波．纯音的数学模型是函数，我们日常听到的声音通常由多个纯音叠加而成，称为复合音，其数学模型为，记，则（     ） A．的最小正周期为 B．在区间上恰有3个零点 C．的图象关于点中心对称 D．的最大值为 【答案】BC 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、求正弦（型）函数的最小正周期 【分析】A.利用周期的定义作判定； B.直接求解在区间的零点，从而得到零点的个数； C. 中心对称的充要条件是：对任意，有； D.举出反例，说明的最大值不是. 【详解】选项 A：， 因为， 所以不是的最小正周期，因此A 错误； 选项 B： ， 令，则：，或， 在上的解为， ，即，在上的解为（与上述解重合）， 因此零点为，共 3 个，B 正确。 选项 C： 因为 所以，图象关于点中心对称，C 正确； 选项 D：， 因为 所以的最大值不是，D 错误. 3、 填空题（本题共3个小题，每小题5分，共15分） 12．复数的虚部为______． 【答案】 【知识点】求复数的实部与虚部 【详解】因为，所以的虚部为. 13．若关于的方程有且只有一个根在区间上，则的值范围为______． 【答案】 【知识点】根据二次函数零点的分布求参数的范围、一元二次方程根的分布问题 【分析】根据判别式分和两种情况讨论，当时分别解得方程的根，再验证是否在所给区间内；当时，由题意可得，进而可得，再验证端点的值是否满足可得. 【详解】令， ①当两个根相等时，则，解得或， 当时，，解得，不合题意； 当时，，解得，满足题意． ②当两个根不相等时，则，即，解得或. 因为方程有且只有一个根在区间上， 所以，解得,满足，因此方程有两个不同的根； 当时，此时方程为，方程的根为或，，，满足题意． 当时，此时方程为，方程的根为或，，，不合题意； 所以实数的取值范围为． 14．已知函数若函数恰有5个零点，则实数的取值范围为________． 【答案】 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、函数与方程的综合应用、分段函数的性质及应用 【分析】依题意作出函数的图象和值域，结合函数图象，根据函数与方程的关系，分类讨论解的个数，即可求解. 【详解】当时，，由，当且仅当时，即时，等号成立， 且在上单调递减，在上单调递增， 当时，在上单调递增，且其值域为， 作出函数的示意图，由图知： 当时，有1个解；当时，有2个解； 当时，有3个解；当有2个解. 若恰有5个零点， 即与的解的总个数为5个， 因为值域为，所以可知， 情况一：有2个解，即或，且有3个解，则， 即或，解得； 情况二：有3个解，即，且有2个解，则或， 即或，解得. 综上可知，的取值范围为.    四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15．已知向量，． (1)求，的坐标； (2)求与夹角的余弦值； (3)求在上的投影向量． 【答案】(1)， (2) (3) 【知识点】向量夹角的坐标表示、求投影向量、平面向量线性运算的坐标表示、数量积的坐标表示 【分析】（1）根据向量线性运算的坐标规则，对应坐标分别运算； （2）根据平面向量夹角的坐标运算公式即可求解； （3）根据投影向量的计算公式即可求解． 【详解】（1）． ． （2）． （3）在上的投影向量为。 16．为点燃同学们对数学的热爱，使其探寻数字背后的文化密码，某校高一年级举办“数学文化”知识竞赛．为了解参赛者的成绩情况，从所有参赛者中随机抽取100人的成绩（百分制）作为样本，并按分组，作出频率分布直方图如图所示． (1)求的值，并估计样本中成绩不低于60分的人数； (2)估计样本中成绩的上四分位数； (3)若规定成绩不低于80分为“良好”等级，已知样本中成绩在内的平均数为88，方差为7，成绩在内的平均数为96，方差为7，求样本中“良好”等级的成绩的平均数和方差． 【答案】(1)，90 (2)86 (3)平均数为91，方差为22． 【知识点】由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量、计算几个数据的极差、方差、标准差、总体百分位数的估计 【分析】（1）根据频率分布直方图的特征求的值，再利用频率估计总体即可； （2）根据百分位数的求解方式求解即可； （3）根据分层抽样的方差公式求解． 【详解】（1）在频率分布直方图中，所有小矩形的面积之和为1， 则，解得， 估计样本中成绩不低于60分的人数为． （2）前四个小矩形的面积之和为， 前五个小矩形的面积之和为， 所以成绩的上四分位数落在内，设其为， 则，解得， 即估计样本中成绩的上四分位数为86． （3）样本中成绩在内占成绩在内的比例为， 样本中成绩在内占成绩在内的比例为． 设样本中“良好”等级的成绩的平均数和方差分别为， 由分层随机抽样的平均数公式可得， 由分层随机抽样的方差公式可得， 故样本中“良好”等级的成绩的平均数为91，方差为22． 17．如图，在正方体中，． (1)作出过与平行的平面，并证明； (2)求直线和平面所成的角． 【答案】(1)作法：连接，如图所示： 则平面即为过与平行的平面. 证明：在正方体中，由且， 所以四边形为平行四边形，所以， 又平面，平面，所以平面， 又平面，所以平面即为过与平行的平面. (2) 【知识点】证明线面平行、求线面角 【分析】（1）先根据题意作出平面，然后利用线面平行的判定定理证明即可； （2）先找出线面角，然后根据定义说明线面角，最后在直角三角形中结合已知条件求解即可. 【详解】（1）略 （2）设与交于点，连接，如图所示： 在正方体中，因为平面，平面， 所以，在正方形中，由，且， 所以平面，即平面，平面， 所以为斜线在平面内的射影， 所以为直线和平面所成的角， 又，则，， 在直角三角形中，， 又，所以，即直线和平面所成的角为. 18．已知奇函数的定义域为. (1)求实数a，b的值； (2)当时，恒成立，求实数m的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【知识点】函数不等式恒成立问题 【分析】（1）根据奇函数定义域关于原点对称，可以求得，再根据根据奇函数定义可知，化简整理，从而问题得到求解； （2）对问题时，恒成立进行转化，转化为当时，恒成立，通过构造函数，再利用函数的单调性求出实数m的取值范围. 【详解】（1）因为函数为定义域为的奇函数， 所以，即， 所以，整理得，解得， 因为函数的定义域为，则，解得. 所以，. （2）由（1）可知， 当时，即恒成立， 可得恒成立，即当时，恒成立， 所以，， 令，，则， 令，，根据对勾函数性质知在区间上单调递增， 所以，所以，则， 则实数m的取值范围为. 19．在中，内角的对边分别是. (1)求的值； (2)若，求周长的最大值. 【答案】(1) (2) 【知识点】余弦定理解三角形、基本不等式求积的最大值、正弦定理边角互化的应用、求三角形中的边长或周长的最值或范围 【分析】（1）利用正弦定理求解； （2）利用两角和差的正弦公式化简得到，从而求出，利用余弦定理和基本不等式求出的最大值，从而得到周长的最大值. 【详解】（1）因为，由正弦定理得，所以，所以； （2）因为， 所以， ， ， ， 解得， 因为，所以， 所以， 则， 因为， 所以， 所以，所以， 所以，当且仅当时，取等号， 所以周长的最大值为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $