云南省2025-2026学年高一下学期数学期末自编模拟考试卷（三）

**基本信息** 该卷覆盖高一必修一、必修二至统计内容，通过统计应用（知识竞赛频率分布直方图）、立体几何（圆锥轴截面与内切球）、新定义双界函数等题，融合空间观念、数据观念、推理能力与创新意识，适配期末综合评估。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|集合运算、统计抽样、函数交点|基础概念辨析，如分层抽样计算| |多选|3/18|函数对称性、向量基底、圆锥几何|多维度能力考查，如异面直线成角判断| |填空|3/15|复数运算、函数最值、反函数单调性|简洁考查关键能力，如反函数单调区间| |解答|5/77|统计直方图（平均数/方差）、三角证明与面积、立体几何体积与二面角、新定义双界函数|综合应用，如统计题结合数据观念，新定义题体现创新意识|

2025-2026学年云南省高一期末模拟考试卷（三） 数学 考试范围：必修一、必修二到9.3统计；考试时间：120分钟； 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1．已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】并集的概念及运算 【详解】已知，， 所以. 2．某校有老师200人，男学生1200人，女学生1000人，现用比例分配的分层随机抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为的样本．已知从女生中抽取80人，则等于（    ） A．80 B．100 C．192 D．200 【答案】C 【知识点】抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算 【详解】因为，所以，所以． 3．设函数，，当时，曲线与恰有一个交点，则（   ） A． B． C． D．1 【答案】D 【知识点】由奇偶性求参数、根据函数零点的个数求参数范围 【分析】根据函数的奇偶性可先判断交点在轴上，根据可得，进而验证即可. 【详解】令，即，可得， 令 ， ， 故问题等价于当时，曲线与恰有一个交点， 注意到，均为偶函数，可知该交点只能在轴上，可得，即，解得. 若，令，可得； 因为，则，， 当且仅当时，等号成立， 可得，当且仅当时，等号成立， 则方程有且仅有一个实根0， 即曲线与恰有一个交点，所以符合题意， 4．若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】已知弦（切）求切（弦）、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、正、余弦齐次式的计算 【分析】借助同角三角函数基本关系将弦化为切后计算即可得. 【详解】. 5．已知向量，满足，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】已知模求数量积、数量积的运算律 【分析】由和两边分别平方，解方程组即得的值. 【详解】由，得，即，① 由，得，即，② 由①②得. 6．已知正数a，b，且，满足，则（     ） A．a的取值范围是 B．的最小值为2 C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】D 【知识点】基本不等式求积的最大值、条件等式求最值、基本不等式求和的最小值、基本（均值）不等式的应用 【分析】由得，利用基本不等式逐项验证即可求解. 【详解】由，所以，即， 又，所以，所以，即的取值范围为，故A错误； 由在单调递增，所以，所以无最小值，故B错误； 由， 当时，即时，等号成立，所以的最小值为，故C错误； 由，当，即时，等号成立， 所以的最小值为，故D正确. 7．下列说法正确的是（   ） A．两个面平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台 B．有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥 C．两个面平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱 D．平行于同一直线的两直线平行 【答案】D 【知识点】棱柱的结构特征和分类、棱台的结构特征和分类、线面关系有关命题的判断 【分析】由线线位置关系、棱台、棱锥以及棱柱的定义即可逐一判断. 【详解】对于A，棱台是由平行于棱锥底面的平面截棱锥得到的，它应该保证各侧棱延长后交于一点，故A错误； 对于B，棱锥有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，故B错误； 对于C，如图所示， 若下面是一个正四棱柱，上面是一个以正四棱柱上底面为下底面的斜四棱柱，但它们的组合体不是棱柱，故C错误； 对于D，由平行线的传递性可知D正确. 8．设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】比较指数幂的大小、比较对数式的大小、比较函数值的大小关系 【分析】利用对数、指数函数的单调性，分别和，比较大小即可. 【详解】对数函数在上单调递增，且， 因为，所以，即； 因为指数函数在上单调递增，且， 因为，所以，即； 又因为，因此大小关系为：. 2、 多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9．已知函数，则下列说法正确的有（   ） A．的图象关于点对称 B．的图象关于直线对称 C．在区间上的最大值为2 D．将的图象向左平移个单位长度，可得到的图象 【答案】ABD 【知识点】求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、求含sinx(型)函数的值域和最值、求图象变化前（后）的解析式 【分析】AB选项代入验证即可，C项根据所给范围求出的范围再求最值，D项，根据“左加右减”的规律化简即可 【详解】对于A，代入，得，即点在与轴交点上， 符合三角函数关于与轴交点中心对称，故A对； 对于B，代入，得，即时，取得最值， 符合三角函数关于过取得最值处点的横坐标且与轴平行的直线对称，故B对； 对于C，当时，，所以，故最大值为，不是，C错误； 对于D，向左平移个单位长度后，得到新函数为，故D正确. 10．下列各组向量中，可以作为基底的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】CD 【知识点】基底的概念及辨析、由坐标判断向量是否共线 【详解】基底向量由不共线的非零向量组成， 选项A：为零向量，A选项错误； 选项B：，共线，B选项错误； 选项C：，不共线，且不为零向量，C选项正确； 选项D：，不共线，且不为零向量，D选项正确. 11．如图，圆锥的轴截面为正三角形，底面圆的半径为，CD，EF为圆的两条直径，且，母线PC，PD与该圆锥的内切球O分别切于A，B两点，则（   ） A．圆锥的体积为 B．球O与圆锥的公共点的轨迹的周长为 C．异面直线BF与PA所成角为 D．平面AEF截球O的截面面积为 【答案】ACD 【知识点】球的截面的性质及计算、锥体体积的有关计算、求异面直线所成的角 【分析】根据题意，求得，且，结合体积公式，可判定A正确；得到公共点的轨迹是以AB为直径的圆，可判定B错误；连，证得平面，得到，可判定C正确；求得球半径为，结合等体积法，可判定D正确． 【详解】对于A，由已知得,所以，且， 所以圆锥的体积为，所以A正确； 对于B，由公共点的轨迹是以AB为直径的圆，因为为正三角形，所以为中点，，所以轨迹的周长为，所以B错误； 对于C，连，可得，且， 由，且，平面， 所以平面，因为平面，所以， 所以为等腰直角三角形，所以，所以C正确； 对于D，设球半径为，则 ，可得， 由，且， 可得到平面的距离为，所以截面圆的半径为， 所以平面AEF截球O的截面面积为，所以D正确． 3、 填空题（本题共3个小题，每小题5分，共15分） 12．已知，其中为虚数单位，则 ______. 【答案】 【知识点】根据相等条件求参数、复数的相等 【分析】根据复数相等得到的值，从而求出的值. 【详解】已知，其中，则，， 因此. 13．已知，则的最小值为_____． 【答案】 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值、基本（均值）不等式的应用、条件等式求最值、基本不等式求和的最小值、基本不等式求积的最大值 【详解】，则， 当且仅当时，即时取等号， 即的最小值为. 14．已知函数与函数（且）互为反函数，记.若在区间上是增函数，则实数的取值范围是____. 【答案】 【知识点】对数型复合函数的单调性、反函数的性质应用、由对数（型）的单调性求参数 【分析】先明确函数的解析式，分和，结合复合函数单调性进行讨论，进而求解实数的取值范围. 【详解】因为函数与函数（且）互为反函数， 所以（且）. 所以. 设，， 当时，在上单调递减，所以， 又在区间上是增函数， 所以在上单调递减， 所以. 又，所以. 结合，所以. 当时，在上单调递增，所以， 又在区间上是增函数， 所以在上单调递增， 所以， 又，所以， 因为，所以，则，与矛盾，故此种情况无解， 综上可知：. 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15．某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均不低于40分）分成六组：、、…、，得到如图所示的频率分布直方图.    (1)求频率分布直方图中的值； (2)试估计样本成绩的平均数（同一组数据用该组数据的中间值代替）和中位数； (3)已知落在的平均成绩是54，方差是7，落在的平均成绩为66，方差是4，求两组成绩合并后的平均数和方差. 【答案】(1) (2)平均数为74，中位数为75 (3)， 【知识点】补全频率分布直方图、由频率分布直方图估计平均数、由频率分布直方图估计中位数、计算频率分布直方图中的方差、标准差 【详解】（1）由题意得，解得． （2）平均数为 设中位数为； 因为成绩落在内的频率为， 落在内的频率为，所以， 则，解得，故中位数为75． （3）由题意得，成绩在有 人，成绩在有 人， 则这两组成绩的总平均数为， 总方差为． 16．已知锐角三角形中，角、、的对边分别为、、，且满足. (1)求证：； (2)若，求的取值范围； (3)若，求三角形面积的取值范围． 【答案】(1)证明见解析； (2) (3) 【知识点】正弦定理边角互化的应用、求三角形中的边长或周长的最值或范围、三角形面积公式及其应用、求三角形面积的最值或范围 【分析】（1）利用正弦定理将边的关系转化为角的关系，结合三角形内角和与三角恒等变换证明. （2）根据锐角三角形限制确定角的取值范围，通过正弦定理将转化为关于的三角函数，推导三倍角公式化简后，用单调性定义判断函数单调性，进而求得的取值范围. （3）将三角形面积转化为关于角的三角函数，用单调性定义判断单调性，进而求得面积的取值范围. 【详解】（1）∵ ，由正弦定理（为外接圆半径）， 得，， 代入得，即. ∵ 在中，，∴ ， ∴ 代入上式得， 整理得，即. ∵ 为锐角三角形，∴ ，，∴ ， ∴ 若， 则或 （后者得 ，不符合三角形内角要求，舍去）， ∴ ，得证. （2）为锐角三角形， ∴ ，解得. 由正弦定理，，得. ∵ ，∴ ，，， . ∴ ，，且， ∴ . ∵ ，代入得. 令，∵ ，∴ ，则. 任取， 则. ∵ ，∴ ，又，∴ ， ∴ ，即，∴ 在上单调递增. ∴ 当时，； 当时，， ∴ . （3）三角形面积，由正弦定理，，， ∴ ，又，， ∴ . 代入， ， ∴ . 令，由得，则， ∴ ，， 则. 令，，则， 该二次函数开口向上，对称轴为，故在上单调递增， 当； 当 ∴ ，又，故， 即三角形ABC面积的取值范围为. 17．如图，已知满足，，、、…是线段上的等分点，且满足. (1)当时，求的值； (2)当时，若为线段上的动点，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【知识点】用定义求向量的数量积、数量积的运算律、用基底表示向量、向量与几何最值 【分析】（1）根据数量积公式，可得，则为等边三角形，取BC中点O，连接AO，求出AO的长，根据向量线性运算法则，即可求得答案. （2）设，根据线性运算法则，可得，的表达式，根据数量积公式及运算律，整理化简，结合二次函数的性质，即可得答案. 【详解】（1）因为，所以， 解得，因为，所以，则为等边三角形， 取BC中点O，连接AO，则， 所以. （2）当时， ， 设，则， 又， 所以 ， 所以当时，有最小值. 18．如图，顶点为的圆锥的轴截面是等腰直角三角形，是底面圆周上的点，是底面圆内的点，为底面圆圆心，，垂足为，，垂足为，且，是的中点． (1)证明：平面； (2)当三棱锥的体积最大时，求的长； (3)是否存在一个点，满足点到点，，，，的距离均相等？若存在，求出二面角的余弦值的取值范围，若不存在，说明理由． 【答案】(1)由题意知，平面，因为平面，所以. 又，，平面，，所以平面. (2) (3)存在点满足条件，二面角的余弦值的取值范围为 【知识点】证明线面垂直、求二面角、锥体体积的有关计算 【分析】（1）根据线面垂直的性质及线面垂直的判定定理证明即可. （2）根据线面垂直的性质及线面垂直的判定定理得到平面，在中求得，结合等体积法可得到当三棱锥的体积最大时，在中求解即可. （3）根据线面垂直的性质得到，，进而得到，，，四点共圆，圆心为中点；取中点，连接，可得到平面，结合勾股定理即可判断点即为所求的点；作，交于点，连接，证明平面，则即为二面角的平面角，在中求解即可. 【详解】（1）略 （2）由（1）得，平面，因为，平面，所以，. 又，，平面，，所以平面. 因为，平面，所以，. 设过的一个轴截面交底面圆周于，点，则为等腰直角三角形， 所以，为等腰直角三角形，则， 又是的中点，所以，且. 因为，平面，，所以平面. 在中，. ， 当且仅当时，等号成立， 即当三棱锥的体积最大时，. 在中，，平面图如图： 在中，，，所以， 在中，. 故当三棱锥的体积最大时，的长为. （3）在四棱锥中， 由（2）得，平面，平面，所以，即. 又，即，所以，，，四点共圆，圆心为中点，记为. 取中点，连接，则， 由（2）得，平面，所以平面. 由，得， 故点即为所求的点. 作，交于点，连接， 因为平面，，平面，所以，. 又，平面，，所以平面. 因为平面，所以， 所以即为二面角的平面角，记为. 在等腰中，，所以为中点，又为中点，所以. 在中，， 而，则，所以，故. 所以存在点满足条件，二面角的余弦值的取值范围为. 19．设P，Q是两个非空数集，若定义在上的函数对任意当时，，则称为P到Q的双界函数. (1)设，，. （ⅰ）证明：当时，是P到Q的双界函数； （ⅱ）若是P到Q的双界函数，求实数k的取值范围. (2)若，，是P到Q的双界函数，当时，，求在上的最小值. (3)设集合其中，.若，是P到Q的双界函数，证明：是A到B的双界函数. 【答案】(1)（ⅰ）当时，，， 当，即时，则，即， 显然，因此， 所以当时，是P到Q的双界函数. （ⅱ） (2)2705 (3)依题意，时，， 令，则， 令，，则， 两式相加，得，即， 令，，则， 因此， 则 ，所以， 所以是A到B的双界函数. 【知识点】函数不等式恒成立问题、判断指数型复合函数的单调性、函数新定义、利用函数单调性求最值或值域 【分析】（1）（i）根据给定条件，利用双界函数的定义计算得证；（ii）根据给定的定义，由，恒成立求解即得. （2）由给定条件可得，利用函数单调性求出在上的最小值，再利用递推关系求出在上的最小值. （3）根据给定的定义，结合赋值法及迭代法推理得证. 【详解】（1）（ⅰ）略 （ⅱ），是P到Q的双界函数， 则当，即时，恒成立， 由，得恒成立，而，， 由恒成立，得；由恒成立，得，因此， 所以实数k的取值范围为. （2）依题意，当时，，则，即， 而函数在上单调递增，则当时，在上单调递增， 当时，， 当时，；当时，，， 又，因此函数在上的最小值为， ， 由，得，所以在上的最小值为2705. （3）略 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年云南省高一期末模拟考试卷（三） 数学 考试范围：必修一、必修二到9.3统计；考试时间：120分钟； 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1．已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 2．某校有老师200人，男学生1200人，女学生1000人，现用比例分配的分层随机抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为的样本．已知从女生中抽取80人，则等于（    ） A．80 B．100 C．192 D．200 3．设函数，，当时，曲线与恰有一个交点，则（   ） A． B． C． D．1 4．若，则（     ） A． B． C． D．. 5．已知向量，满足，，则（     ） A． B． C． D． 6．已知正数a，b，且，满足，则（     ） A．a的取值范围是 B．的最小值为2 C．的最大值为 D．的最小值为 7．下列说法正确的是（   ） A．两个面平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台 B．有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥 C．两个面平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱 D．平行于同一直线的两直线平行 8．设，则（    ） A． B． C． D． 2、 多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9．已知函数，则下列说法正确的有（   ） A．的图象关于点对称 B．的图象关于直线对称 C．在区间上的最大值为2 D．将的图象向左平移个单位长度，可得到的图象 10．下列各组向量中，可以作为基底的是（    ） A．， B．， C．， D．， 11．如图，圆锥的轴截面为正三角形，底面圆的半径为，CD，EF为圆的两条直径，且，母线PC，PD与该圆锥的内切球O分别切于A，B两点，则（   ） A．圆锥的体积为 B．球O与圆锥的公共点的轨迹的周长为 C．异面直线BF与PA所成角为 D．平面AEF截球O的截面面积为 3、 填空题（本题共3个小题，每小题5分，共15分） 12．已知，其中为虚数单位，则 ______. 13．已知，则的最小值为_____． 14．已知函数与函数（且）互为反函数，记.若在区间上是增函数，则实数的取值范围是____. 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15．某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均不低于40分）分成六组：、、…、，得到如图所示的频率分布直方图.    (1)求频率分布直方图中的值； (2)试估计样本成绩的平均数（同一组数据用该组数据的中间值代替）和中位数； (3)已知落在的平均成绩是54，方差是7，落在的平均成绩为66，方差是4，求两组成绩合并后的平均数和方差. 16．已知锐角三角形中，角、、的对边分别为、、，且满足. (1)求证：； (2)若，求的取值范围； (3)若，求三角形面积的取值范围． 17．如图，已知满足，，、、…是线段上的等分点，且满足. (1)当时，求的值； (2)当时，若为线段上的动点，求的最小值. 18．如图，顶点为的圆锥的轴截面是等腰直角三角形，是底面圆周上的点，是底面圆内的点，为底面圆圆心，，垂足为，，垂足为，且，是的中点． (1)证明：平面； (2)当三棱锥的体积最大时，求的长； (3)是否存在一个点，满足点到点，，，，的距离均相等？若存在，求出二面角的余弦值的取值范围，若不存在，说明理由． 19．设P，Q是两个非空数集，若定义在上的函数对任意当时，，则称为P到Q的双界函数. (1)设，，. （ⅰ）证明：当时，是P到Q的双界函数； （ⅱ）若是P到Q的双界函数，求实数k的取值范围. (2)若，，是P到Q的双界函数，当时，，求在上的最小值. (3)设集合其中，.若，是P到Q的双界函数，证明：是A到B的双界函数. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $