云南省2025-2026学年高一下学期数学期末自编模拟考试卷（六）

**基本信息** 以高一数学核心内容为载体，通过统计案例分析、立体几何证明、创新仿射坐标系应用及函数性质探究，考查数学眼光观察现实、数学思维推理及数学语言表达能力，适配期末综合测评需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单项选择|8/40|集合、复数、统计、不等式、向量|基础概念辨析，如第3题百分位数计算| |多项选择|3/18|立体几何、向量、函数性质|多维度思维考查，如第9题线面平行条件判断| |填空题|3/15|三角函数周期、基本不等式、函数恒成立|简洁性与综合性结合，如第13题最值求解| |解答题|5/77|统计分析、立体几何证明、仿射坐标系、三角函数、创新函数|分层设计，如15题统计数据应用体现数据观念，17题仿射坐标系考查创新意识，19题逻辑推理能力|

2025-2026学年云南省高一期末模拟考试卷（六） 数学 考试范围：必修一、必修二到9.3统计；考试时间：120分钟； 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1．已知集合，，则中元素个数为（   ） A．0 B．3 C．5 D．8 【答案】C 【知识点】补集的概念及运算 【分析】根据补集的定义即可求出． 【详解】因为，所以， 中的元素个数为， 故选：C． 2．已知复数，则复平面内，复数z的共轭复数对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【知识点】共轭复数的概念及计算、判断复数对应的点所在的象限、在各象限内点对应复数的特征、复数的除法运算 【分析】先通过复数的除法运算化简复数，再求出其共轭复数，结合复数的几何意义判断对应点所在象限. 【详解】由， 得，故对应的点为， 由其横、纵坐标均为负可知该点位于第三象限. 3．已知一组数据：4，6，，10，12，14的平均数为9，则这组数据的第60百分位数为（    ） A．8 B．9 C．10 D．12 【答案】C 【知识点】根据平均数求参数、总体百分位数的估计 【分析】根据平均数求得，结合百分位数的定义得到结果． 【详解】由题知，解得， 所以这组数据为，，，，，. 又因为，所以这组数据的第百分位数为第四个数. 4．已知，则下列不等式不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】由不等式的性质比较数（式）大小、作差法比较代数式的大小、由已知条件判断所给不等式是否正确 【详解】因为， 对于A，，则，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，，则，故C正确； 对于D，，则，所以，故D正确． 5．若平面向量模长相等，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】向量夹角的计算、已知模求数量积、数量积的运算律 【分析】将给定向量等式变形后两边平方，结合三个向量模长相等的条件，利用向量数量积运算及夹角公式求解余弦值． 【详解】设。 由， 等式两边同时平方，， 等式两边同时除以，． 6．已知函数的定义域为，，为偶函数，且，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【知识点】函数奇偶性的应用、函数周期性的应用 【分析】根据已知条件及为偶函数，结合周期函数的定义，可得函数是周期为4的周期函数，利用周期性及求解即可. 【详解】因为函数为偶函数，所以，则， 又因为，所以，则， 所以函数是周期为4的周期函数， 由中，令，得到， 所以，， 故. 7．在锐角中，内角的对边分别为，已知，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】正弦定理边角互化的应用、求三角形中的边长或周长的最值或范围、正弦定理解三角形 【分析】利用正弦定理将边化为角，转化为角B的三角函数的值域问题，结合锐角三角形条件确定角B的取值范围，从而得到三角函数的值域，求出的取值范围. 【详解】由已知得：，即， 所以，又，所以， 由正弦定理得：， 所以， 所以 又 所以由是锐角三角形得：， ，即的取值范围是． 8．设点，，分别为的三边，，的中点，将，，分别沿直线，，向上折起，使得，，重合于同一点．若，，则三棱锥的外接球表面积的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】基本不等式求和的最小值、球的表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】设，，由题设．将放在棱长为x，y，z的长方体中，可得的关系式，三棱锥的外接球就是长方体的外接球，利用基本不等式结合球的表面积公式求解. 【详解】设，，由题设. 三棱锥中，，，， 将放在棱长为x，y，z的长方体中，如图， 则有， 三棱锥的外接球就是长方体的外接球， 所以， 由基本不等式，当且仅当时等号成立， 所以外接球表面积. 2、 多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9．已知，，是不同的平面，，是不同的直线，则的一个充分条件有（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】AC 【知识点】判断线面是否垂直、面面垂直证线面垂直 【分析】根据空间中线面垂直、面面垂直的判定与性质，结合充分条件的定义逐一分析每个选项. 【详解】在A选项中，已知，，根据线面垂直的性质可得： ，又已知，因此可得，可以推出结论，是充分条件, 在B选项中，，时，和可以平行，也可以相交， 若与相交，无法推出，不是充分条件， 在C选项中，已知，，， 根据面面垂直的性质定理：这里和相交于，且都垂直于， 因此可直接推出，是充分条件, 在D选项中，，，， 当在平面内时，可以推出， 但题目条件并未限定在平面内（例如也可能在平面内），故无法保证结论成立，不是充分条件. 10．已知向量，，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若且，则 C．的最大值为 D．若在上的投影向量为，则向量与的夹角为 【答案】ABD 【知识点】由向量共线（平行）求参数、向量夹角的计算、垂直关系的向量表示、求投影向量 【分析】对于A，利用向量垂直的坐标表示化简即可判断；对于B，利用向量平行的坐标表示化简即可判断；对于C，利用代入向量的数量积计算即可求解；对于D，利用投影向量公式化简即可求解. 【详解】已知，，，. 选项A：若，则，得，A正确. 选项B：若，则，得，又 ，所以 ，B正确. 选项C：，最大值为，C错误. 选项D：在上的投影向量为，得，，，D正确. 11．下列关于函数的说法中，正确的有（   ） A．的定义域为 B．是偶函数 C．在区间上单调递增 D．的值域为 【答案】AD 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、函数奇偶性的定义与判断、具体函数的定义域、对勾函数求最值 【分析】根据函数的奇偶性得出函数为奇函数，再利用单调性的定义，得到函数在上单调递增，结合基本不等式和对称性，即可求解. 【详解】因为函数， 可知，所以函数的定义域为，故A正确； 且，所以为奇函数，故B错误； 任取，且， 则， 因为，则且，可得， 所以在上单调递减，故C错误； 当时，，当且仅当时，等号成立， 又由结合为奇函数，可得的值域为，故D正确. 3、 填空题（本题共3个小题，每小题5分，共15分） 12．函数的最小正周期为___________ . 【答案】/ 【知识点】求正切（型）函数的周期 【详解】函数的最小正周期为. 13．已知，且，则的最小值为_____________． 【答案】/ 【知识点】基本不等式求和的最小值、基本不等式“1”的妙用求最值 【详解】因为， 即①， 当且仅当，即时取等号，结合解得，， 又，等量替换不等式①中的，得， 解不等式得，或， 已知，，则， 故的最小值为． 14．已知函数，若不等式对任意均成立，则m的取值范围为______． 【答案】 【知识点】函数奇偶性的应用、函数不等式恒成立问题、根据解析式直接判断函数的单调性 【分析】根据函数的奇偶性、单调性的性质，结合对数型函数的单调性、换元法进行求解即可. 【详解】函数的定义域为R， 因为， 所以函数是奇函数， 由复合函数的单调性可知在上单调递增，而在上也单调递增，且函数是奇函数，， 所以函数在R上单调递增，所以， 即， 所以，即， 所以，令，则， 求解在上的最小值， 因为该二次函数对称轴为， 所以在上单调递增，所以，故， 即m的取值范围为． 故答案为：． 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15．在某中学举办的“校园好声音”歌手决赛中，由8名专业人士和8名观众代表各组成一个评委小组，给参赛选手打分，下面是两组评委对同一名选手的打分： 小组：86    86    87    90    91    93    93    94 小组：69    84    90    91    92    93    94    99 (1)分别求两组评委打分的平均分； (2)判断小组A和小组B中哪一个更像是由专业人士组成，根据所学的统计知识，说明理由. 【答案】(1)90，89； (2)组更像，理由见解析 【知识点】计算几个数的平均数、计算几个数据的极差、方差、标准差、用方差、标准差说明数据的波动程度 【分析】（1）根据平均数的定义计算即可求解； （2）分别求出两组的方差，比较大小，结合方差的表示意义即可下结论. 【详解】（1）记小组的数据依次为，小组的数据依次为，， 由题意可得：每组的平均数分别为：，. （2）组更像是由专业人士组成，理由如下： 两组的方差分别为：，. 由于专业人士给分更符合专业规则，相似程度更高，，， 因而，根据方差越大数据波动越大，因此组更像是由专业人士组成的． 16．在三棱柱中，四边形为正方形，平面平面，，M，N分别为，的中点． (1)求证：平面； (2)若，求证平面平面． 【答案】(1)如图，取的中点为，连接，， 因为为的中点，所以，， 由三棱柱可得四边形为平行四边形， 又为的中点，所以，， 所以，， 所以四边形是平行四边形，所以， 又平面，平面， 故平面. (2)因为平面平面，平面平面， 又四边形为正方形，所以， 所以平面， 所以. 又因为，，所以， 又，平面，所以平面， 又平面，所以平面平面. 【知识点】证明线面平行、证明面面垂直、面面垂直证线面垂直 【分析】（1）取的中点为，连接，，利用三角形的中位线定理结合棱柱的性质可证得四边形是平行四边形，则，然后利用线面平行的判定定理可证得结论； （2）根据四边形为正方形，平面平面，得出，再结合（1）中的平行关系得出，从而得出平面，根据平面与平面垂直的判定定理得出平面平面． 【详解】（1）略 （2）略 17．如图，设Ox、Oy是平面内相交成的两条射线，、分别为Ox、Oy同向的单位向量，定义平面坐标系xOy为-仿射坐标系，在-仿射坐标系中，若，则记． (1)-仿射坐标系中，，，以下两个结论①若，则；②若，则是否一定成立？（不必说明理由） (2)在-仿射坐标系中，若，，且与的夹角恰为，求； (3)如图所示，在-仿射坐标系中，B、C分别在x轴、y轴正半轴上，，，E、F分别为BD、BC中点，求的最大值． 【答案】(1)①成立，②不成立． (2) (3)． 【知识点】向量新定义、数量积的运算律 【分析】（1）根据向量坐标运算法则以及仿射坐标系定义利用共线定理和数量积坐标运算，即可判断①成立，②不成立； （2）由－仿射坐标系中向量坐标表示以及数量积的运算律计算可得结果； （3）设，以为基底将表示出来，得出数量积的表达式，再由正弦定理以及辅助角公式计算即可得出最大值. 【详解】（1）①成立，②不成立． 若，则存在非零实数满足， 因此可得，即，所以①成立， 若，可得则，因此不成立，即②不成立 （2）由，，得，，且， 所以，， 则， 故， 因为与的夹角为，则， 解得，或（舍去） （3）依题意设、，且，，， 因为F为BC的中点，则， 因为E为BD中点，同理可得， 所以 由题意可知，，， 则 在中，由余弦定理得，所以， 代入上式得 在中，由正弦定理得， 设，则，且， 所以，， 因为，则， 故当时，取最大值， 则的最大值为． 18．已知． (1)求函数的单调减区间； (2)求函数在区间上的最大值和最小值； (3)说明函数的图象由图象怎么变换而来． 【答案】(1)， (2)最大值为，最小值为 (3)方法一：先将图象向左平移个单位长度，得到的图象， 再将图象上所有点的纵坐标伸长到原来的倍，横坐标不变，得到的图象． 方法二：先将图象上所有点的纵坐标伸长到原来的倍，横坐标不变，得到的图象， 再将图象左平移个单位长度，得到的图象． 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、求sinx型三角函数的单调性、描述正（余）弦型函数图象的变换过程、二倍角的正弦公式、辅助角公式 【分析】（1）先根据正弦的二倍角公式，及辅助角公式将化简为正弦型函数，进而结合正弦函数的单调区间求解即可； （2）结合（1），及正弦函数的闭区间最值求解即可； （3）根据三角函数图象的变换规则即可说明． 【详解】（1）由， 令，，解得，， 所以函数的单调递减区间为，． （2）结合（1）有， 由，得，则， 所以， 所以的最大值为，最小值为． （3）方法一：先将图象向左平移个单位长度，得到的图象， 再将图象上所有点的纵坐标伸长到原来的倍，横坐标不变， 得到的图象． 方法二：先将图象上所有点的纵坐标伸长到原来的倍，横坐标不变， 得到的图象， 再将图象左平移个单位长度，得到的图象． 19．对于定义域为R的函数，若存在正常数，使得是以为周期的函数，则称为余弦周期函数，且称为其余弦周期．已知是以为余弦周期的余弦周期函数，其值域为R，设为R上的严格增函数，，． (1)证明是以为余弦周期的余弦周期函数； (2)设，证明对任意 ，存在，使得 ； (3)证明：“为方程在上的解”的充要条件是“为方程在上的解”，并证明对任意都有． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【知识点】由余弦（型）函数的周期性求值、函数新定义、定义法判断或证明函数的单调性、函数周期性的应用 【分析】（1）根据余弦周期函数的定义，利用正弦函数周期性和余弦函数周期性证明结论； （2）利用严格增函数和值域为的条件，通过上确界证明在任意闭区间上具有介值性质． （3）先由余弦周期的定义证明解集平移对应，再利用第（2）问的介值结论和严格单调性，先证明，再比较方程在与上的解的顺序，得到． 【详解】（1）， ， 存在正常数使得对一切成立， 故是以为余弦周期的余弦周期函数． （2）若或，分别取或即可． 下设． 构造集合 因为，所以非空；又，所以有上界． 设 下面证明． 若，由于的值域为，存在，使得 由严格增性可知． 又因为，所以，这与是的上确界矛盾． 若，由于的值域为，存在，使得 由严格增性可知． 根据上确界的定义，在内存在． 于是，从而，这与矛盾． 因此只能有，命题得证． （3）先证明充要条件．若为方程在上的解，则，且 由于是以为周期的函数，所以 又，所以为方程在上的解． 反过来，若为方程在上的解，则 由周期性得且，所以为方程在上的解．充要条件得证． 下面证明． 由第（2）问可知，在上能取遍中的所有值． 又严格递增，所以方程在上的解恰好对应， 因此它在上有且只有个解． 由上面已证的充要条件，方程在上也有且只有个解． 因为且，所以存在整数，使得 又由第（2）问可知，在上能取遍中的所有值． 于是方程在上的解对应，共有个． 因此，即，所以 任取，令 设方程在上的全部解依次为 由于严格递增，正好是在区间内满足的所有值，并且按从小到大排列． 由周期性可知，是方程在上的全部解，且仍按从小到大排列． 又因为在上严格递增且取遍， 所以该方程在上的全部解对应的函数值应为 于是对每个，都有 由于是上述某个，所以 故对任意，都有 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年云南省高一期末模拟考试卷（六） 数学 考试范围：必修一、必修二到9.3统计；考试时间：120分钟； 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1．已知集合，，则中元素个数为（   ） A．0 B．3 C．5 D．8 2．已知复数，则复平面内，复数z的共轭复数对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．已知一组数据：4，6，，10，12，14的平均数为9，则这组数据的第60百分位数为（    ） A．8 B．9 C．10 D．12 4．已知，则下列不等式不成立的是（    ） A． B． C． D． 5．若平面向量模长相等，且，则（    ） A． B． C． D． 6．已知函数的定义域为，，为偶函数，且，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．在锐角中，内角的对边分别为，已知，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．设点，，分别为的三边，，的中点，将，，分别沿直线，，向上折起，使得，，重合于同一点．若，，则三棱锥的外接球表面积的最小值为（   ） A． B． C． D． 2、 多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9．已知，，是不同的平面，，是不同的直线，则的一个充分条件有（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 10．已知向量，，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若且，则 C．的最大值为 D．若在上的投影向量为，则向量与的夹角为 11．下列关于函数的说法中，正确的有（   ） A．的定义域为 B．是偶函数 C．在区间上单调递增 D．的值域为 3、 填空题（本题共3个小题，每小题5分，共15分） 12．函数的最小正周期为___________ . 13．已知，且，则的最小值为_____________． 14．已知函数，若不等式对任意均成立，则m的取值范围为______． 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15．在某中学举办的“校园好声音”歌手决赛中，由8名专业人士和8名观众代表各组成一个评委小组，给参赛选手打分，下面是两组评委对同一名选手的打分： 小组：86    86    87    90    91    93    93    94 小组：69    84    90    91    92    93    94    99 (1)分别求两组评委打分的平均分； (2)判断小组A和小组B中哪一个更像是由专业人士组成，根据所学的统计知识，说明理由. 16．在三棱柱中，四边形为正方形，平面平面，，M，N分别为，的中点． (1)求证：平面； (2)若，求证平面平面． 17．如图，设Ox、Oy是平面内相交成的两条射线，、分别为Ox、Oy同向的单位向量，定义平面坐标系xOy为-仿射坐标系，在-仿射坐标系中，若，则记． (1)-仿射坐标系中，，，以下两个结论①若，则；②若，则是否一定成立？（不必说明理由） (2)在-仿射坐标系中，若，，且与的夹角恰为，求； (3)如图所示，在-仿射坐标系中，B、C分别在x轴、y轴正半轴上，，，E、F分别为BD、BC中点，求的最大值． 18．已知． (1)求函数的单调减区间； (2)求函数在区间上的最大值和最小值； (3)说明函数的图象由图象怎么变换而来． 19．对于定义域为R的函数，若存在正常数，使得是以为周期的函数，则称为余弦周期函数，且称为其余弦周期．已知是以为余弦周期的余弦周期函数，其值域为R，设为R上的严格增函数，，． (1)证明是以为余弦周期的余弦周期函数； (2)设，证明对任意 ，存在，使得 ； (3)证明：“为方程在上的解”的充要条件是“为方程在上的解”，并证明对任意都有． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $