云南省2025-2026学年高一下学期数学期末自编模拟考试卷（一）

**基本信息** 2025-2026学年云南省高一期末模拟数学卷，覆盖必修一及必修二至统计内容，通过函数奇偶性、立体几何翻折、沙稻产量统计等问题，考查数学眼光、思维与语言，注重基础与创新应用结合。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|中位数、向量共线、函数性质|基础概念辨析，如第3题函数奇偶性与最值判断| |多选|3/18|幂函数性质、正方体线面关系|第11题结合空间距离考查空间观念| |填空|3/15|向量数量积、基本不等式、函数最值|第13题用基本不等式求最值，体现运算能力| |解答|5/77|函数零点、统计应用、立体几何翻折、向量新定义|16题沙稻产量统计分析数据观念，19题新定义向量运算考查创新意识|

2025-2026学年云南省高一期末模拟考试卷（一） 数学 考试范围：必修一、必修二到9.3统计；考试时间：120分钟； 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1．样本数据的中位数为（     ） A．5 B．6 C．8 D．9 【答案】B 【分析】结合中位数定义可得. 【详解】将已知数据从小到大排序为，则中位数为. 2．已知平面向量，不共线，且，则（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】由平面向量基本定理可得. 【详解】由题意可知平面向量不共线，且， 则. 3．函数是（   ） A．非奇非偶函数 B．仅有最小值的奇函数 C．仅有最大值的偶函数 D．既有最大值又有最小值的偶函数 【答案】D 【详解】∵，定义域为，又， ∴是偶函数，且不是奇函数， 又，又因为， 所以当时，取得最大值2；当时，取得最小值. 4．若函数则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为， 所以，. 5．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，得，解得， 所以， 由，得，所以， 所以， 所以. 6．已知非零实数，满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过举反例排除A、B、D三个错误选项，再利用重要不等式或柯西不等式证明选项C恒成立. 【详解】排除选项A：取，满足，此时，故A错误； 排除选项B：取，满足，此时，故B错误； 排除选项D：取，满足，此时，故D错误； 证明选项C：方法一：因为，所以， 即，又，当且仅当时等号成立， 所以， 所以， 方法二：由柯西不等式得： ， 化简得，即， 因为，所以，故C正确. 7．已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用对数函数的单调性，对同时取对数比较其大小. 【详解】已知，同时取对数得： ，， 又，且函数在区间单调递增，因此， 可得：，即，故. 8．在三棱锥中，，，，则D到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】因为是对棱相等的棱锥，所以将三棱锥放在长方体更容易求解. 【详解】 令长方体长、宽、高分别为由图的 由图可得：, 令平面法向量， 所以：所以， 点D到平面的距离即在投影向量的模长， ， 所以点D到平面的距离为. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9．设，则（     ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】对于A选项，复数的共轭复数，因此，A选项正确. 对于B选项，复数的模，因此，B选项错误. 对于C选项，∵ ， ∴ ，该选项正确. 对于D选项， ∵ 分子，分母， ∴ ，是实数，故，该选项正确. 10．已知点在幂函数的图象上，则下列叙述正确的是（    ） A．函数是奇函数 B．函数是偶函数 C． D．函数在定义域内是减函数 【答案】AC 【分析】根据幂函数的定义和性质判断即可. 【详解】因为点在幂函数的图象上，所以，解得. 所以. 由于，所以是奇函数，A正确B错误； 易知，所以C正确； 根据幂函数的性质可知，分别在上单调递减，但是定义域内不是单调函数，所以D错误. 11．如图，正方体中，顶点在平面内，其余顶点在的同侧，顶点，，到的距离分别为，，，则（    ） A．平面 B．平面平面 C．直线与所成角比直线与所成角大 D．正方体的棱长为 【答案】ABD 【分析】A选项，根据点到面的距离证明；B选项，结合面面垂直的判定定理和面面相交的性质进行判断；C选项，通过线面角的正弦值比较大小；D选项，利用射影，构造直角三角形求解. 【详解】设，显然是、的中点， 因为平面，到平面的距离为，所以到平面的距离为， 又到平面的距离为，且点在的同侧，则，即，即A正确； 设平面，则，因为是正方形，所以， 又因为平面，平面，所以， 因为平面，所以平面，则平面， 而，所以平面平面，即B正确； 设到平面的距离为， 因为平面，是正方形，点，B到的距离分别为， 所以有，得， 设正方体的棱长为， 设直线与平面所成角为，所以， 设直线与平面所成角为，所以， 因为，则得，因,则得，故C错误； 因为平面平面，平面平面， 所以在平面的射影与共线， 显然，如图所示： 由， ， 由（负值舍去）， 故D正确， 三、填空题（本题共3个小题，每小题5分，共15分） 12．已知向量，满足，，．则______． 【答案】 【详解】因为，所以 ， 所以. 13．已知正实数，满足，则的最大值是__________． 【答案】4 【详解】因为为正实数，由基本不等式可得，当且仅当时等号成立； 正实数满足，得，代入上述不等式可得：， 令，由得，不等式转化为：，整理得，即， 因为，所以，因此，即，故， 得，当且仅当时等号成立，因此的最大值为4. 14．已知函数在上有最小值，则的取值范围是_______. 【答案】 【分析】先求出函数在上的最小值，再分和两种情况讨论，求出在时的最小值即可. 【详解】因为在上都是增函数， 所以函数在上是增函数， 所以当时，， 当时，， 若，则时，， 要使在上有最小值，则； 若，则时，，而 此时在上有最小值，符合题意， 综上所述的取值范围是. 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15．已知函数是偶函数． (1)求实数的值； (2)若函数在上只有一个零点，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）通过偶函数的性质代入化简，求出实数的值，再检验实数是否使为偶函数； （2）对函数表达式进行化简为 ，再使用换元法设，把问题转化为二次函数零点问题求解. 【详解】（1）由于是偶函数， 所以即， 即 化简，得 所以， 要使等式恒成立，则， 经检验，当时，函数 是偶函数. （2）由于 所以， ， 设，则 因为函数在上只有一个零点，那么 由可得 即 上只有一个零点 所以，关于的方程在上只有一个实根，那么 ， 由函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，；当时，；当时， 根据函数图象可知，要使关于的方程在上只有一个实根， 则或，即或 故实数的取值范围为. 16．某沙稻研究中心在沙漠试验田种植甲、乙两种水稻，随机各抽取5块试验田，其亩产量数据（单位：10kg） 如下： 甲水稻亩产量 47 51 49 50 53 乙水稻亩产量 41 48 57 55 49 (1)分别求出甲、乙两种水稻亩产量的平均数与方差； (2)若要大面积种植这两种水稻中的一种，根据（1）中计算结果，分析哪个品种更适合推广，并说明理由． 【答案】(1)甲种水稻亩产量的平均数为，方差为， 乙种水稻亩产量的平均数为，方差为， (2) 甲品种水稻更适合推广．理由如下： 由可知，甲、乙两种水稻亩产量的平均数相同， 由可知，甲品种的产量比较稳定，所以甲品种水稻更适合推广． 【详解】（1）甲品种亩产量的平均数， 甲品种亩产量的方差， 乙品种亩产量的平均数， 乙品种亩产量的方差， （2）略 17．如图，梯形中，，，，，将沿翻折至，使得平面平面. (1)证明：直线平面； (2)设线段中点为，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)由已知，在梯形中，，，所以， 又，所以， 取的中点，连接，易知四边形为正方形， 因为，可知， 所以，所以， 又因为翻折前，所以翻折后， 又因为平面平面，平面平面，平面，，所以平面， 又因为平面，所以， 又，，且平面，所以直线平面. (2). 【分析】（1）根据面面垂直的性质，可证得，再根据线面垂直的判定定理，即可证明； （2）法一：运用等体积法，可求得点到平面的距离，进而可求得点到平面的距离，根据勾股定理，可求得，进而可求得直线与平面所成角的正弦值； 法二：运用直接法，在中过作，垂足为，根据几何关系，可求得点到平面的距离，根据勾股定理，可求得，进而可求得直线与平面所成角的正弦值. 【详解】（1）略 （2）法一：设点到平面的距离为， 由（1）可知直线平面，所以点到平面的距离为， 因为翻折后，所以， 因为直线平面，所以，所以， 由（1）可知平面，所以，所以， 由，解得， 设点到平面的距离为，则由，解得， 又，所以， 设直线与平面所成角为，则， 直线与平面所成角的正弦值为. 法二设点到平面的距离为， 在中过作，垂足为，下证平面． 由（1）可知平面，面，所以， 又，，平面 由（1）可知直线平面，所以， 在中，，， 设点到平面的距离为，则由，解得， 又，所以， 设直线与平面所成角为，则， 直线与平面所成角的正弦值为. 18．如图，在中，，，点在线段上．    (1)若，求的长； (2)若，的面积为，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理将边转化为对应角的正弦，化简求解的值，进而得到的值，再结合正弦定理即可求解的长度； （2）结合已知的面积、长度和，求解的长度，再根据得到、的长度，进而分别在和中使用正弦定理，结合与互补、正弦值相等的性质求解正弦比值. 【详解】（1）因为， 由正弦定理可得：， 即， 因为，则，故，则为锐角， 所以， 因为，则， 在中，由正弦定理得， 所以，解得． （2），则 由，得，. 由余弦定理可得： . 在中，由正弦定理可得， 故， 在中，由正弦定理可得， 故， 因为， 所以． 19．在平面直角坐标系中，为坐标原点，对任意两个向量，，作，．当，不共线时，记以，为邻边的平行四边形的面积为；当，共线时，规定 ． (1)分别根据下列已知条件求： ①，； ②，； (2)若向量（，，）， 证明： (3)若，，是以为圆心的单位圆上不同的点，记，，．当时，求的最大值． 【答案】(1)5；0 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）由题意，根据新定义即可求解； （2）由新定义可证得，，即可证明； （3）作图并设，由推得，进而，设，代入坐标，联立推得，根据题意将化成，利用基本不等式即可求得其最大值. 【详解】（1）因为，，因为， 故不共线，又， 所以 ； 又，，所以，故共线， 所以 ； （2）当，不共线时，； 当，共线时， ， 因为向量，共线，所以， 所以，共线时，关系依然成立， 因为向量，且向量， 则， 所以， ， 所以； （3）    如图，在平面直角坐标系中作出单位圆，设，， 则， 由可得，则. 设，（，，），即得 ，则得， 由可得，即， 由（2）可得 , 因，由可得， 即，当且仅当时等号成立， 的最大值为. 【点睛】方法点睛：学生在理解相关新概念、新法则(公式)之后，运用学过的知识，结合已掌握的技能，通过推理、运算等解决问题.在新环境下研究“旧”性质.主要是将新性质应用在“旧”性质上，创造性地证明更新的性质，落脚点仍然是平面向量的数量积的坐标表示. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年云南省高一期末模拟考试卷（一） 数学 考试范围：必修一、必修二到9.3统计；考试时间：120分钟； 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1．样本数据的中位数为（     ） A．5 B．6 C．8 D．9 2．已知平面向量，不共线，且，则（     ） A．， B．， C．， D．， 3．函数是（   ） A．非奇非偶函数 B．仅有最小值的奇函数 C．仅有最大值的偶函数 D．既有最大值又有最小值的偶函数 4．若函数则（    ） A． B． C． D． 5．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 6．已知非零实数，满足，则（   ） A． B． C． D． 7．已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 8．在三棱锥中，，，，则D到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9．设，则（     ） A． B． C． D． 10．已知点在幂函数的图象上，则下列叙述正确的是（    ） A．函数是奇函数 B．函数是偶函数 C． D．函数在定义域内是减函数 11．如图，正方体中，顶点在平面内，其余顶点在的同侧，顶点，，到的距离分别为，，，则（    ） A．平面 B．平面平面 C．直线与所成角比直线与所成角大 D．正方体的棱长为 三、填空题（本题共3个小题，每小题5分，共15分） 12．已知向量，满足，，．则______． 13．已知正实数，满足，则的最大值是__________． 14．已知函数在上有最小值，则的取值范围是_______. 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15．已知函数是偶函数． (1)求实数的值； (2)若函数在上只有一个零点，求实数的取值范围． 16．某沙稻研究中心在沙漠试验田种植甲、乙两种水稻，随机各抽取5块试验田，其亩产量数据（单位：10kg） 如下： 甲水稻亩产量 47 51 49 50 53 乙水稻亩产量 41 48 57 55 49 (1)分别求出甲、乙两种水稻亩产量的平均数与方差； (2)若要大面积种植这两种水稻中的一种，根据（1）中计算结果，分析哪个品种更适合推广，并说明理由． 17．如图，梯形中，，，，，将沿翻折至，使得平面平面. (1)证明：直线平面； (2)设线段中点为，求直线与平面所成角的正弦值. 18．如图，在中，，，点在线段上．    (1)若，求的长； (2)若，的面积为，求的值． 19．在平面直角坐标系中，为坐标原点，对任意两个向量，，作，．当，不共线时，记以，为邻边的平行四边形的面积为；当，共线时，规定 ． (1)分别根据下列已知条件求： ①，； ②，； (2)若向量（，，）， 证明： (3)若，，是以为圆心的单位圆上不同的点，记，，．当时，求的最大值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $