广西钦州市钦南区2024-2025学年下学期七年级期末数学试卷

**基本信息** 以“神舟十九号”“反诈防诈”等现实情境为载体，融合秦兵马俑黄金比、饮水机接水等跨学科问题，全面考查七年级数学核心知识，凸显数学眼光、思维与语言的素养导向。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|12/36|对顶角、无理数、不等式性质、坐标确定位置|结合“神舟十九号”情境考查坐标（第8题），体现应用意识| |填空题|4/12|象限坐标、命题改写、无理数几何意义、直角三角形动点|以面积7和9的正方形旋转考无理数（第15题），培养几何直观| |解答题|7/72|实数运算、方程组、统计分析、几何证明、综合实践|饮水机接水问题（第22题）构建方程模型，三角板平移旋转探究（第23题）发展推理能力|

广西钦州市钦南区2024-2025学年下学期七年级期末数学试卷 一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑） 1．（3分）下列各图中，∠1与∠2是对顶角的是（　　） A． B． C． D． 2．（3分）实数，0，，1.732中无理数是（　　） A． B．0 C． D．1.732 3．（3分）下列调查中，适合全面调查的是（　　） A．了解全国中学生的视力情况 B．检测飞机的零部件 C．检测某市空气质量 D．调查长江流域的水污染情况 4．（3分）若a＜b，则（　　） A．a+3＞b+3 B．a﹣2＞b﹣2 C．﹣a＜﹣b D．2a＜2b 5．（3分）满足x≤3的最大整数x是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 6．（3分）如图，在空气中平行的两条入射光线，在水中的两条折射光线也是平行的，若水面和杯底互相平行且∠1＝110°，则∠2的度数为（　　） A．60° B．70° C．80° D．100° 7．（3分）下列各组数中，不是二元一次方程2x+y＝4的解的是（　　） A． B． C． D． 8．（3分）2025年4月30日，“神舟十九号”成功着陆，标志着我国科技迈向新高度．某校为了激发青少年对科技的热爱，创建了“科技扬帆”社团．小亮将“科技扬帆”写在如图所示的方格纸中，若建立平面直角坐标系，使“扬”的坐标为（﹣2，0），则“技”的坐标为（　　） A．（0，0） B．（1，1） C．（﹣1，1） D．（1，2） 9．（3分）数轴上点A到原点的距离为，则点A所表示的数是（　　） A． B． C．或﹣ D． 10．（3分）我国明代数学家程大位编撰的《算法统宗》记载了“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托，折回索子来量竿，却比竿子短一托，问索、竿各长几何？”译文为：“有一根竿和一条绳，若用绳去量竿，则绳比竿长5尺；若将绳对折后再去量竿，则绳比竿短5尺，问绳和竿各有多长？”设绳长x尺，竿长y尺，根据题意得（　　）（注：“托”和“尺”为古代的长度单位，1托＝5尺） A． B． C． D． 11．（3分）不等式（a+1）x＞a+1的解集是x＜1，则a必满足（　　） A．a＜0 B．a＞﹣1 C．a＜﹣1 D．a≤1 12．（3分）秦兵马俑的发现被誉为“世界第八大奇迹”，兵马俑的眼睛到下巴的距离与头顶到下巴的距离之比约为，下列估算正确的是（　　） A．0＜＜ B．＜＜ C．＜＜1 D．＞1 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分.） 13．（3分）点A（﹣1，2）在第　 　 象限． 14．（3分）把“对顶角相等”改写成“如果…那么…”的形式是：　 　 ． 15．（3分）如图，将面积为7的正方形OABC和面积为9的正方形ODEF分别绕原点O顺时针旋转，使OA，OD落在数轴上，点A，D在数轴上对应的数字分别为a、b，则b﹣a＝　 　 ． 16．（3分）在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，AB＝5，点D是AB边上的动点（除A、B点外），则线段CD的取值范围是　 　 ． 三、解答题（本大题共7小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）（1）计算：； （2）解方程组：． 18．（8分）在数学活动课上，老师展示了如下问题，请同学们进行思考求解． 如图，已知点A，B，C在数轴上的对应值分别为，3（x﹣1），9﹣x． （1）由图可知，点A在点B左侧，据此可列出怎样的不等式？ （2）由图可知，点C在点B右侧，据此可列出怎样的不等式？ （3）请分别求出（1），（2）所列的两个不等式的解集； （4）综合（1），（2）中两个不等式的解集，x的取值范围是什么？并在数轴上表示该取值范围． 19．（10分）如图所示，△ABC的三个顶点坐标分别为：A（4，4），B（3，2），C（1，3）． （1）将△ABC向下平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到△A1B1C1，在图中画出△A1B1C1，并写出点A1，B1，C1的坐标； （2）点M（a，b）为△ABC内部一点，在（1）的条件下平移后对应点为M1，直接写出点M1的坐标； （3）直接写出线段AB与线段A1B1的位置关系和数量关系． 20．（10分）为了全力构建全民反诈防诈新格局，遏制电信网络诈骗违法犯罪多发高发势态，某校组织了七年级学生参加反诈防诈安全知识竞赛，为了解此次知识竞赛成绩的情况，随机抽取了部分参赛学生的成绩，整理并绘制出如下的统计表和统计图（不完整）： 组别 成绩x/分 频数 A组 40≤x＜55 3 B组 55≤x＜70 9 C组 70≤x＜85 m D组 85≤x＜100 27 请根据图表信息，解答以下问题： （1）一共抽取了　 　 个参赛学生的成绩，扇形统计图中“B”对应的圆心角度数为　 　 ； （2）请求出m的值，并且补全频数分布直方图； （3）若成绩在85分以上（包括85分）为“优秀”，请估计该校七年级将近1000名学生在本次竞赛中获得“优秀”的人数． 21．（10分）如图，D，E，F，G分别是三角形ABC边上的点，∠1+∠2＝180°，∠B＝∠3． （1）求证：DE∥BC； （2）若∠C＝76°，∠AED＝2∠B，求∠AEF的度数． 22．（10分）【综合与实践】 【背景】如图1是某品牌的饮水机，此饮水机有开水、温水两个按钮，图2为其信息图． 【主题】如何接到最佳温度的温水？ 【实践素材】一个容积为700mL的水杯． 【查阅资料】 物理知识：开水和温水混合时，在不考虑热量散失的情况下，开水减少的热量等于温水增加的热量．通常情况下，水的密度固定不变，因此也可以说：开水体积×开水降低的温度＝温水体积×温水升高的温度． 生活经验：饮水最佳温度35℃～38℃（包括35℃，38℃），这一温度最接近人体体温． 【实践操作】 先从饮水机接温水xs，再接开水，直至接满700mL的水杯为止．（备注：接水期间不计热损失，不考虑水溢出的情况．） 【问题解决】 （1）水杯接满水，接到温水的体积是　 　 mL，接到开水的体积是　 　 mL；（用含x的式子表示） （2）水杯接满水，若所接的温水的体积不少于开水体积的2倍，则至少应接温水多少秒？ （3）接水过程中，若当接水210mL时，水杯中水的温度为40℃，求接温水和开水的时间； （4）设水杯接满水后杯中温度为a℃．且根据以上物理知识可得a+2x＝100，若要使接满水后，杯中温度达到最佳水温，请求出x的取值范围． 23．（12分）老师让同学们借助两条平行线PQ、MN和一副直角三角板开展数学探究活动．直角三角板△ABC，△DEF中，∠ABC＝∠BAC＝45°，∠DFE＝30°，∠DEF＝60°． （1）若△ABC，△DEF如图1摆放时，则∠PDE的度数为 　 　 ； （2）若图1中△ABC固定，将△DEF沿着AC方向平移，边DF与直线PQ相交于点G，分别作∠FGQ和∠GFA的角平分线GH，FH相交于点H（如图2），求∠GHF的度数； （3）若图1中△DEF固定，（如图3）将△ABC绕点A以每秒6°的速度顺时针旋转，旋转时间为t秒，旋转至AC与直线AN首次重合的过程中，当线段BC与△DEF的一条边平行时，请直接写出t的值． 广西钦州市钦南区2024-2025学年下学期七年级期末数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑） 1．（3分）下列各图中，∠1与∠2是对顶角的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据对顶角的概念判断即可． 【解答】解：A、∠1与∠2不是对顶角，故此选项不符合题意； B、∠1与∠2不是对顶角，故此选项不符合题意； C、∠1与∠2是对顶角，故此选项符合题意； D、∠1与∠2不是对顶角，故此选项不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查的是对顶角的判断，有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角． 2．（3分）实数，0，，1.732中无理数是（　　） A． B．0 C． D．1.732 【分析】根据无理数、有理数的定义即可进行判断． 【解答】解：有理数：，0，1.732；无理数：， 故选：C． 【点评】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式． 3．（3分）下列调查中，适合全面调查的是（　　） A．了解全国中学生的视力情况 B．检测飞机的零部件 C．检测某市空气质量 D．调查长江流域的水污染情况 【分析】根据全面调查与抽样调查的特点，逐一判断即可解答． 【解答】解：A、适合抽样调查，故A不符合题意； B、适合全面调查，故B符合题意； C、适合抽样调查，故C不符合题意； D、适合抽样调查，故D不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查了全面调查与抽样调查，熟练掌握这些数学知识是解题的关键． 4．（3分）若a＜b，则（　　） A．a+3＞b+3 B．a﹣2＞b﹣2 C．﹣a＜﹣b D．2a＜2b 【分析】根据不等式的基本性质逐项判断即可得． 【解答】解：根据不等式的基本性质逐项判断可得： A．∵a＜b， ∴a+3＜b+3，错误，不符题意； B．∵a＜b， ∴a﹣2＜b﹣2，错误，不符题意； C．∵a＜b， ∴﹣a＞﹣b，错误，不符合题意； D．∵a＜b， ∴2a＜2b，正确，符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题关键． 5．（3分）满足x≤3的最大整数x是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】根据不等式x≤3得出选项即可． 【解答】解：满足x≤3的最大整数x是3， 故选：C． 【点评】本题考查了一元一次不等式的整数解和有理数的大小比较法则，能熟记有理数的大小比较法则是解此题的关键． 6．（3分）如图，在空气中平行的两条入射光线，在水中的两条折射光线也是平行的，若水面和杯底互相平行且∠1＝110°，则∠2的度数为（　　） A．60° B．70° C．80° D．100° 【分析】根据平行线的性质，得到∠1＝∠3，∠2+∠3＝180°，进行求解即可． 【解答】解：∵水中的两条折射光线是平行的， ∴∠1＝∠3＝110°， ∵水面和杯底互相平行， ∴∠2+∠3＝180°， ∴∠2＝180°﹣∠3＝180°﹣110°＝70°， 故选：B． 【点评】本题考查平行线的性质，熟记平行线的性质定理是解题的关键． 7．（3分）下列各组数中，不是二元一次方程2x+y＝4的解的是（　　） A． B． C． D． 【分析】把各项中的x，y代入方程检验即可． 【解答】解：A、将解代入方程得：左边＝2+2＝4＝右边，选项正确，不符合题意； B、将解代入方程得：左边＝4+0＝4＝右边，选项正确，不符合题意； C、将解代入方程得：左边＝1+3＝4＝右边，选项正确，不符合题意； D、将解代入方程得：左边＝﹣4+4＝0≠右边，选项错误，符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查了二元一次方程的解，熟练掌握该知识点是关键． 8．（3分）2025年4月30日，“神舟十九号”成功着陆，标志着我国科技迈向新高度．某校为了激发青少年对科技的热爱，创建了“科技扬帆”社团．小亮将“科技扬帆”写在如图所示的方格纸中，若建立平面直角坐标系，使“扬”的坐标为（﹣2，0），则“技”的坐标为（　　） A．（0，0） B．（1，1） C．（﹣1，1） D．（1，2） 【分析】根据题意可以画出相应的平面直角坐标系，然后即可写出“技”的坐标． 【解答】解：直角坐标系如下所示， ， 由上可得，“技”的坐标为（1，1）， 故选：B． 【点评】本题考查坐标确定位置，解答本题的关键是明确题意，画出相应的平面直角坐标系． 9．（3分）数轴上点A到原点的距离为，则点A所表示的数是（　　） A． B． C．或﹣ D． 【分析】根据到原点距离为的点在原点左右两边，然后解答即可． 【解答】解：∵表示的点到原点的距离为， ∴点A表示的数是， 故选：C． 【点评】本题主要考查了实数与数轴，解题关键是熟练掌握用数轴上的点表示实数． 10．（3分）我国明代数学家程大位编撰的《算法统宗》记载了“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托，折回索子来量竿，却比竿子短一托，问索、竿各长几何？”译文为：“有一根竿和一条绳，若用绳去量竿，则绳比竿长5尺；若将绳对折后再去量竿，则绳比竿短5尺，问绳和竿各有多长？”设绳长x尺，竿长y尺，根据题意得（　　）（注：“托”和“尺”为古代的长度单位，1托＝5尺） A． B． C． D． 【分析】根据“若用绳去量竿，则绳比竿长5尺；若将绳对折后再去量竿，则绳比竿短5尺”，即可列出关于x，y的二元一次方程组，此题得解． 【解答】解：∵若用绳去量竿，则绳比竿长5尺， ∴x﹣y＝5； ∵若将绳对折后再去量竿，则绳比竿短5尺， ∴y﹣x＝5． ∴根据题意得可列出方程组． 故选：A． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 11．（3分）不等式（a+1）x＞a+1的解集是x＜1，则a必满足（　　） A．a＜0 B．a＞﹣1 C．a＜﹣1 D．a≤1 【分析】由已知不等式的解集，利用不等式的基本性质判断即可确定出a的范围． 【解答】解：∵不等式（a+1）x＞a+1的解集是x＜1， ∴a+1＜0， 解得：a＜﹣1． 故选：C． 【点评】此题考查了不等式的解集，熟练掌握不等式的基本性质是解本题的关键． 12．（3分）秦兵马俑的发现被誉为“世界第八大奇迹”，兵马俑的眼睛到下巴的距离与头顶到下巴的距离之比约为，下列估算正确的是（　　） A．0＜＜ B．＜＜ C．＜＜1 D．＞1 【分析】先根据2＜3，推出1＜﹣1＜2，所以＜＜1，即可得出答案． 【解答】解：∵2＜3， ∴1＜﹣1＜2， ∴＜＜1， 故选C． 【点评】本题考查了黄金比，熟练利用二次根式的性质进行比较是解题的关键． 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分.） 13．（3分）点A（﹣1，2）在第　二　 象限． 【分析】根据第二象限点的坐标特征是：横坐标为负数，纵坐标为正数，进行判断即可． 【解答】解：∵第二象限点的坐标特征是：横坐标为负数，纵坐标为正数， ∴点A（﹣1，2）在第二象限， 故答案为：二． 【点评】本题有考查了点的坐标，解题关键是熟练掌握点的坐标特征． 14．（3分）把“对顶角相等”改写成“如果…那么…”的形式是：　如果两个角是对顶角，那么它们相等　 ． 【分析】先找到命题的题设和结论，再写成“如果…那么…”的形式． 【解答】解：∵原命题的条件是：“两个角是对顶角”，结论是：“它们相等”， ∴命题“对顶角相等”写成“如果…那么…”的形式为：“如果两个角是对顶角，那么它们相等”． 故答案为：如果两个角是对顶角，那么它们相等． 【点评】本题考查了命题的条件和结论的叙述，注意确定一个命题的条件与结论的方法是首先把这个命题写成：“如果…，那么…”的形式． 15．（3分）如图，将面积为7的正方形OABC和面积为9的正方形ODEF分别绕原点O顺时针旋转，使OA，OD落在数轴上，点A，D在数轴上对应的数字分别为a、b，则b﹣a＝　3﹣　 ． 【分析】利用正方形的面积求得OA＝，OD＝3，根据旋转的性质得出a＝OA＝，b＝OD＝3，从而求得b﹣a＝3﹣． 【解答】解：∵正方形OABC和正方形ODEF的面积分别为7和9， ∴OA＝，OD＝3， ∴a＝OA＝，b＝OD＝3， ∴b﹣a＝3﹣． 故答案为：3﹣． 【点评】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，数形结合是解题的关键． 16．（3分）在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，AB＝5，点D是AB边上的动点（除A、B点外），则线段CD的取值范围是　　 ． 【分析】根据垂线段最短可知，当CD⊥AB时，CD的长度最小，利用三角形的面积求出CD的最小值，再根据当点D与点A重合时，CD取的最大值为4，即可得出CD的取值范围． 【解答】解：由垂线段最短可知，当CD⊥AB时，CD的长度最小，如图： ∵∠ACB＝90° ∴， ∴， ∴， 当点D与点A重合时，CD取的最大值为4， ∴CD的取值范围为：． 故答案为：． 【点评】本题考查了垂线段最短，三角形的面积，正确进行计算是解题关键． 三、解答题（本大题共7小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）（1）计算：； （2）解方程组：． 【分析】（1）根据实数的性质，算术平方根定义，立方根定义计算即可； （2）利用加减消元法解方程组即可． 【解答】解：（1）原式＝ ＝； （2）， ①+②，得5x＝10， 解得：x＝2， 把x＝2代入①，得2×2+y＝6， 解得：y＝2， ∴方程组的解为． 【点评】本题考查了解二元一次方程组，实数的运算，掌握解二元一次方程组的方法，实数的性质，算术平方根定义，立方根定义是解题的关键． 18．（8分）在数学活动课上，老师展示了如下问题，请同学们进行思考求解． 如图，已知点A，B，C在数轴上的对应值分别为，3（x﹣1），9﹣x． （1）由图可知，点A在点B左侧，据此可列出怎样的不等式？ （2）由图可知，点C在点B右侧，据此可列出怎样的不等式？ （3）请分别求出（1），（2）所列的两个不等式的解集； （4）综合（1），（2）中两个不等式的解集，x的取值范围是什么？并在数轴上表示该取值范围． 【分析】（1）根据题意列得关于x的一元一次不等式即可； （2）根据题意列得关于x的一元一次不等式即可； （3）分别解两个不等式求得对应的解集即可； （4）求得所得解集的公共部分，并在数轴上表示出来即可． 【解答】解：（1）由图可知，点A在点B左侧， 则＜3（x﹣1）； （2）由图可知，点C在点B右侧， 则3（x﹣1）＜9﹣x； （3）解＜3（x﹣1）得x＞1， 解3（x﹣1）＜9﹣x得x＜3； （4）由（3）可得1＜x＜3，在数轴上表示出其解集如下图所示： ． 【点评】本题考查解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，由实际问题抽象出一元一次不等式，熟练掌握解不等式的方法是解题的关键． 19．（10分）如图所示，△ABC的三个顶点坐标分别为：A（4，4），B（3，2），C（1，3）． （1）将△ABC向下平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到△A1B1C1，在图中画出△A1B1C1，并写出点A1，B1，C1的坐标； （2）点M（a，b）为△ABC内部一点，在（1）的条件下平移后对应点为M1，直接写出点M1的坐标； （3）直接写出线段AB与线段A1B1的位置关系和数量关系． 【分析】（1）根据平移的性质可得点A1，B1，C1的坐标，再描点连线即可； （2）根据平移的性质可得答案； （3）由平移性质直接可得出． 【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求，A1（0，2），B1（﹣1，0），C1（﹣3，1）； （2）∵一个图形怎么平移，则这个图形上和图形内的点也是怎么平移的， ∴点M1的坐标为（a﹣4，b﹣2）． （3）由平移的性质可得：AB＝A1B1，AB∥A1B1． 【点评】本题主要考查平移的性质、三角形的平移特征等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 20．（10分）为了全力构建全民反诈防诈新格局，遏制电信网络诈骗违法犯罪多发高发势态，某校组织了七年级学生参加反诈防诈安全知识竞赛，为了解此次知识竞赛成绩的情况，随机抽取了部分参赛学生的成绩，整理并绘制出如下的统计表和统计图（不完整）： 组别 成绩x/分 频数 A组 40≤x＜55 3 B组 55≤x＜70 9 C组 70≤x＜85 m D组 85≤x＜100 27 请根据图表信息，解答以下问题： （1）一共抽取了　60　 个参赛学生的成绩，扇形统计图中“B”对应的圆心角度数为　54°　 ； （2）请求出m的值，并且补全频数分布直方图； （3）若成绩在85分以上（包括85分）为“优秀”，请估计该校七年级将近1000名学生在本次竞赛中获得“优秀”的人数． 【分析】（1）用D组的频数除以所占的百分比即可求得被调查的总人数，用360°乘以B组的人数所占的百分比即可求出“B”对应的圆心角度数； （2）由（1）可知m＝21，即可补全频数分布直方图； （3）用总人数乘以成绩在85分以上（包括85分）的人数所占的百分比即可求得答案． 【解答】解：（1）被抽取的人数：27÷45%＝60（人）， 扇形统计图中“B”对应的圆心角度数为360°×＝54°； 故答案为：60，54； （2）m＝60﹣3﹣9﹣27＝21， 补全频数分布直方图如下： （3）1000×45%＝450（名）， 答：估计该校七年级将近1000名学生在本次竞赛中获得“优秀”的人数有450名． 【点评】本题考查频数分布直方图、频数分布表、扇形统计图，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 21．（10分）如图，D，E，F，G分别是三角形ABC边上的点，∠1+∠2＝180°，∠B＝∠3． （1）求证：DE∥BC； （2）若∠C＝76°，∠AED＝2∠B，求∠AEF的度数． 【分析】（1）根据∠1+∠2＝180°，∠2＝∠4得∠1+∠4＝180°，进而得AB∥EF，则∠B＝∠EFC，再根据∠B＝∠3，得∠EFC＝∠3，据此可得出结论； （2）先由（1）的结论得∠AED＝∠C＝76°，进而得∠B＝∠3＝38°，由此可得∠AEF的度数． 【解答】（1）证明：∵∠1+∠2＝180°，∠2＝∠4， ∴∠1+∠4＝180°， ∴AB∥EF， ∴∠B＝∠EFC， ∵∠B＝∠3， ∴∠EFC＝∠3， ∴DE∥BC； （2）解：由（1）可知：DE∥BC， ∴∠AED＝∠C＝76°， 又∠AED＝2∠B， ∴2∠B＝76°， ∴∠B＝38°， ∴∠3＝∠B＝38°， ∴∠AEF＝∠AED+∠3＝76°+38°＝114°． 【点评】此题主要考查了平行线的判定和性质，准确识图，熟练掌握平行线的判定和性质是解决问题的关键． 22．（10分）【综合与实践】 【背景】如图1是某品牌的饮水机，此饮水机有开水、温水两个按钮，图2为其信息图． 【主题】如何接到最佳温度的温水？ 【实践素材】一个容积为700mL的水杯． 【查阅资料】 物理知识：开水和温水混合时，在不考虑热量散失的情况下，开水减少的热量等于温水增加的热量．通常情况下，水的密度固定不变，因此也可以说：开水体积×开水降低的温度＝温水体积×温水升高的温度． 生活经验：饮水最佳温度35℃～38℃（包括35℃，38℃），这一温度最接近人体体温． 【实践操作】 先从饮水机接温水xs，再接开水，直至接满700mL的水杯为止．（备注：接水期间不计热损失，不考虑水溢出的情况．） 【问题解决】 （1）水杯接满水，接到温水的体积是　20x mL，接到开水的体积是　（700﹣20x）　 mL；（用含x的式子表示） （2）水杯接满水，若所接的温水的体积不少于开水体积的2倍，则至少应接温水多少秒？ （3）接水过程中，若当接水210mL时，水杯中水的温度为40℃，求接温水和开水的时间； （4）设水杯接满水后杯中温度为a℃．且根据以上物理知识可得a+2x＝100，若要使接满水后，杯中温度达到最佳水温，请求出x的取值范围． 【分析】（1）利用接到温水的体积＝温水的流速×接温水的时间，可用含x的代数式表示出接到温水的体积，利用接到开水的体积＝700﹣接到温水的体积，即可用含x的代数式表示出接到开水的体积； （2）根据所接的温水的体积不少于开水体积的2倍，可列出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论； （3）设接温水的时间为m秒，开水的时间为n秒，根据“当接水210mL时，水杯中水的温度为40℃”，可列出关于m，n的二元一次方程组，解之即可得出结论； （4）由a+2x＝100，可得出a＝100﹣2x，根据要使接满水后杯中温度达到最佳水温，可列出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出结论． 【解答】解：（1）根据题意得：水杯接满水，接到温水的体积是20xmL，接到开水的体积是（700﹣20x）mL． 故答案为：20x，（700﹣20x）； （2）根据题意得：20x≥2（700﹣20x）， 解得：x≥， ∴x的最小值为． 答：至少应接温水秒； （3）设接温水的时间为m秒，开水的时间为n秒， 根据题意得：， 解得：． 答：接温水的时间为9秒，开水的时间为2秒； （4）∵a+2x＝100， ∴a＝100﹣2x． 根据题意得：， 解得：31≤x≤32.5． 答：x的取值范围为31≤x≤32.5． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用、列代数式以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，用含x的代数式表示出接到温水（开水）的体积；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式；（3）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（4）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． 23．（12分）老师让同学们借助两条平行线PQ、MN和一副直角三角板开展数学探究活动．直角三角板△ABC，△DEF中，∠ABC＝∠BAC＝45°，∠DFE＝30°，∠DEF＝60°． （1）若△ABC，△DEF如图1摆放时，则∠PDE的度数为 　15°　 ； （2）若图1中△ABC固定，将△DEF沿着AC方向平移，边DF与直线PQ相交于点G，分别作∠FGQ和∠GFA的角平分线GH，FH相交于点H（如图2），求∠GHF的度数； （3）若图1中△DEF固定，（如图3）将△ABC绕点A以每秒6°的速度顺时针旋转，旋转时间为t秒，旋转至AC与直线AN首次重合的过程中，当线段BC与△DEF的一条边平行时，请直接写出t的值． 【分析】（1）过点E作EK∥MN，利用平行线性质即可求得答案； （2）分别过点F，H作FL∥MN，HR∥PQ，利用平行线性质和角平分线定义即可得出答案； （3）设旋转时间为t秒，分三种情况：①当BC∥DE时，②当BC∥EF时，③当BC∥DF时，分别求出旋转角度后，列方程求解即可． 【解答】解：（1）如图，过点E作EK∥MN， ∵∠BAC＝45°， ∴∠KEA＝∠BAC＝45°， ∵PQ∥MN，EK∥MN， ∴PQ∥EK， ∴∠PDE＝∠DEK＝∠DEF﹣∠KEA， 又∵∠DEF＝60°． ∴∠PDE＝60°﹣45°＝15°， 故答案为：15°； （2）如图，分别过点F，H作FL∥MN，HR∥PQ， ∴∠LFA＝∠BAC＝45°，∠RHG＝∠QGH， ∵FL∥MN，HR∥PQ，PQ∥MN， ∴FL∥PQ∥HR， ∴∠QGF+∠GFL＝180°，∠RHF＝∠HFL＝∠HFA﹣∠LFA， ∵∠DFE＝30°， ∴∠GFA＝180°﹣∠DFE＝150°， ∵∠FGQ和∠GFA的角平分线GH、FH相交于点H， ∴∠QGH＝∠FGQ，∠HFA＝∠GFA＝75°， ∴∠RHF＝∠HFL＝∠HFA﹣∠LFA＝75°﹣45°＝30°， ∴∠GFL＝∠GFA﹣∠LFA＝150°﹣45°＝105°， ∴∠QGF＝180°﹣∠GFL＝75°， ∴∠RHG＝∠QGH＝∠FGQ＝37.5°， ∴∠GHF＝∠RHG+∠RHF＝37.5°+30°＝67.5°； （3）设旋转时间为t秒，由题意旋转速度为每秒转6°， 分三种情况： 当BC∥DE时，如图3， 此时AC∥DF， ∴∠CAE＝∠DFE＝30°，6t＝30， 解得：t＝5； ②当BC∥EF时，如图4， ∵BC∥EF， ∴∠BAE＝∠B＝45°， ∴∠BAM＝∠BAE+∠EAM＝45°+45°＝90°， ∴6t＝90， 解得：t＝15； ③当BC∥DF时，如图5， 延长BC交MN于K，延长DF交MN于R， ∵∠DRM＝∠EAM+∠DFE＝45°+30°＝75°， ∴∠BKA＝∠DRM＝75°， ∵∠ACK＝180°﹣∠ACB＝90°， ∴∠CAK＝90°﹣∠BKA＝15°， ∴∠CAE＝180﹣∠EAM﹣∠CAK＝180°﹣45°﹣15°＝120°， ∴6t＝120， 解得：t＝20， 综上所述，△ABC绕点A顺时针旋转的时间为5s或15s或20s时，线段BC与△DEF的一条边平行． 【点评】本题是三角形的综合题，主要考查了平行线性质及判定，角平分线定义，平移的性质等，添加辅助线，利用平行线性质是解题关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $