河北张家口市桥东区2024-2025学年下学期七年级期中数学试卷

**基本信息** 聚焦核心素养，以整式运算、几何推理为主体，通过基础巩固、能力提升、创新应用三级梯度设计，覆盖七年级下册期中核心知识，体现数学眼光、思维与语言的融合。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|12/36|幂运算、平行线、科学记数法等|第2题量角器测圆心角（对顶角应用，几何直观）；第11题图形验证完全平方公式（数形结合）| |填空题|4/12|余角、幂的化简、动态平行线等|第15题转动木条判平行（空间观念）；第16题三角形面积与全等综合（推理意识）| |解答题|8/52|计算、概率、几何证明、综合探究|23题代数思想解决图形问题（模型意识）；24题三角形全等从特殊到一般探究（创新意识）|

河北省张家口市桥东区2024-2025学年下学期七年级期中数学试卷 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分；共36分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．（3分）若a3□a2＝a，则“□”内应填的运算符号为（　　） A．+ B．﹣ C．× D．÷ 2．（3分）如图，有一个破损的扇形零件，利用图中的量角器可以量出这个零件的圆心角的度数，依据是（　　） A．同位角相等 B．内错角相等 C．对顶角相等 D．同旁内角互补 3．（3分）地球上水的总储量为1.39×1018m3，但目前能被人们利用的水仅占总储量的0.77%，即约为0.0107×1018，关于数据“0.0107×1018”，下列说法正确的是（　　） A．用科学记数可以表示为1.07×1016 B．用科学记数可以表示为1.07×1018 C．该数是一个18位数 D．该数是一个19位数 4．（3分）现有5张卡片，分别写若数字1，2，3，4，5．若从中随机抽取1张卡片，则该卡片上的数字“恰好是奇数”的概率为（　　） A． B． C． D． 5．（3分）如图，△ABC的边AB上的高是（　　） A．DB B．CF C．AF D．BE 6．（3分）下面运算正确的是（　　） A．x2+x2＝x4 B．（m+n）（﹣m﹣n）＝n2﹣m2 C．（xy3﹣x2y+xy）÷xy＝y2﹣x D．（﹣bc）4÷（﹣bc）2＝b2c2 7．（3分）两根木棒的长度分别为3cm，6cm，取第三根木棒，使它们首尾顺次相接组成一个三角形，则第三根木棒的长度可以是（　　） A．2cm B．3cm C．4cm D．9cm 8．（3分）如图，△ABC≌△ADE，∠A＝50°，∠B＝30°，则∠BOD的度数为（　　） A．100° B．110° C．120° D．130° 9．（3分）若a，b是正整数，且满足2a×2a×2a×2a＝4b+4b+4b+4b，则下列a与b关系正确的是（　　） A．a+b＝3 B．a﹣b＝2 C．2a+b＝1 D．2a﹣b＝1 10．（3分）如图，直线l1∥l2，一副三角板放置在l1和l2之间，其中一个三角板的直角边在l1上，另一个直角三角板的直角顶点在l2上，两个三角板的斜边在同一直线上，则∠α的度数为（　　） A．80° B．78° C．75° D．65° 11．（3分）我们在学习许多代数公式时，可以用几何图形来推理验证，这体现了数形结合的数学思想，观察下列图形，将图中的阴影部分面积用两种不同的方式来表示，则可验证的式子是（　　） A．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 B．（a+b）2＝a2+2ab+b2 C．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 D．（a﹣b）2+2ab＝a2+b2 12．（3分）如图，已知△ABC的六个元素，而在图甲、乙、丙中，仅已知甲、乙、丙三个三角形中某些元素，则与△ABC一定全等的三角形是（　　） A．甲和乙 B．乙和丙 C．只有乙 D．只有丙 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分；共12分） 13．（3分）一个角的补角是130°，则这个角的余角为　 　 °． 14．（3分）x+2y＝0，则3x•9y＝　 　 ． 15．（3分）如图，木条a，b与木条c钉在一起，∠1＝70°，转动木条a，当∠2＝ 　 　 °时，木条a与b平行． 16．（3分）如图，在△ABC中，BD⊥AC，垂足为D，E为△ABC外一点，连接BE，CE，且∠A+∠E＝180°，BC平分∠ACE．若CD＝4，AD＝1，BD＝2，则△BCE的面积为　 　 ． 三、解答题（共8个小题，共52分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（4分）计算：． 18．（6分）已知：[（xy+2）（xy﹣2）﹣2x2y2+4]÷▇＝xy． （1）求▇所表示的代数式； （2）求当x＝10，时▇所表示的代数式的值． 19．（6分）下面是张老师给同学们出的两道题，要求用乘法公式进行简便运算： （1）计算：1982； （2）计算：20252﹣2026×2024． 任务一：第（1）题采用　 　 公式，第（2）题采用　 　 公式（填“平方差或完全平方”）； 任务二：任意选择一题进行解答． 20．（6分）在一个不透明的盒子里装有除颜色外完全相同的红、白、黑三种颜色的球．其中红球3个，白球5个，黑球若干个，若从中任意摸出一个白球的概率是． （1）求任意摸出一个球是黑球的概率； （2）能否通过只改变盒子中白球的数量，使得任意摸出一个球是红球的概率，若能，请写出如何调整白球数量；若不能，请说明理由． 21．（6分）命题：三角形的三个内角的和等于180°已知：如图1，在△ABC中求证：∠A+∠B+∠C＝180°证明：如图2延长BA到D，过点A且向点A右侧用尺规作AE∥BC∵AE∥BC①∴… （1）请你帮她完成尺规作图（只保留作图痕迹，不写作法）； （2）从①开始写出完整的证明过程． 下面是嘉琪同学要借助无刻度的直尺和圆规作图，来证明三角形内角和等于180°这一命题，请你帮她补充完整． 22．（7分）把1，3，5，7，9…这一组数按如下规律排放在表格1中，任意选定如图所示方框中4个数，进行交叉相乘再相减的运算，即bc﹣ad．例如：9×17﹣7×19＝20．完成下列各题： （1）计算：3×11﹣1×13＝　 　 ； （2）猜想：bc﹣ad＝　 　 ； （3）验证，请你利用整式的运算对以上的规律加以证明； （4）拓展；如表2，把1，3，5，7，9…这一组数重新排放在有n列的表格中，则bc﹣ad＝　 　 ．（用含n的式子表示） 23．（8分）根据以下素材，探索完成任务 探索“用代数思想解决图形问题” 素材1 我们知道，图形是一种重要的数学语言，它直观形象，能有效地表现一些代数中的数量关系，而运用代数思想也能巧妙地解决一些图形问题 素材2 琪琪用如图①所示的大小不同的正方形与长方形纸片拼成了一个如图②所示的正方形 问题解决 数学思考 用不同的代数式表示图②中阴影部分的面积和，写出你能得到的等式，并用乘法公式说明这个等式成立； 解决问题 琪琪想到利用“数学思考”中得到的等式可以完成下面这道题目：如果x满足（6﹣x）（x﹣2）＝3，求（6﹣x）2+（x﹣2）2的值． 琪琪想：如果设6﹣x＝m，x﹣2＝n，那么要求的式子就可以写成m2+n2了，请你按照琪琪的思路完成这道题目； 拓展应用 如图③，在长方形ABCD中，AB＝10，BC＝6，E、F是BC，CD上的点，且BE＝DF＝y，分别以FC，CE为边在长方形ABCD外侧作正方形，两个正方形的面积分别为S1和S2，且S1+S2＝50，直接写出图中阴影部分的面积． 24．（9分）（1）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形，如图1，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线l经过点A，BD⊥直线l，CE⊥直线l，垂足分别为点D、E．请猜想线段BD、CE、DE之间的数量关系为　 　 ． （2）组员嘉嘉想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线l上，并且∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意锐角或钝角，请问（1）中得到的结论是否仍然成立？并说明理由． （3）数学老师赞赏了她们的探索精神，并鼓励她们运用这个知识来解决问题：如图3，过△ABC的边AB、AC向外作正方形ABDE和正方形ACFG，AM是BC边上的高，延长MA交EG于点N，BM＝4，CM＝6，则AN＝　 　 ． 河北省张家口市桥东区2024-2025学年下学期七年级期中数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分；共36分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．（3分）若a3□a2＝a，则“□”内应填的运算符号为（　　） A．+ B．﹣ C．× D．÷ 【分析】根据同底数幂相除，底数不变，指数相减解答即可． 【解答】解：∵a3÷a2＝a， ∴“□”内应填的运算符号为÷， 故选：D． 【点评】本题考查了同底数幂的除法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 2．（3分）如图，有一个破损的扇形零件，利用图中的量角器可以量出这个零件的圆心角的度数，依据是（　　） A．同位角相等 B．内错角相等 C．对顶角相等 D．同旁内角互补 【分析】根据对顶角相等进行判断即可． 【解答】解：图中的量角器可以量出这个零件的圆心角的度数，依据是对顶角相等， 故选：C． 【点评】本题考查对顶角，邻补角，理解对顶角的定义，掌握对顶角相等是正确解答的关键． 3．（3分）地球上水的总储量为1.39×1018m3，但目前能被人们利用的水仅占总储量的0.77%，即约为0.0107×1018，关于数据“0.0107×1018”，下列说法正确的是（　　） A．用科学记数可以表示为1.07×1016 B．用科学记数可以表示为1.07×1018 C．该数是一个18位数 D．该数是一个19位数 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，据此求解即可． 【解答】解：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同， ∴数据“0.0107×1018”用科学记数法可表示为1.07×1016，故A正确，B错误； 该数是一个17位数，故C，D错误． 故选：A． 【点评】此题考查了科学记数法，关键是理解运用科学记数法． 4．（3分）现有5张卡片，分别写若数字1，2，3，4，5．若从中随机抽取1张卡片，则该卡片上的数字“恰好是奇数”的概率为（　　） A． B． C． D． 【分析】直接根据概率公式求解即可． 【解答】解：从中随机抽取1张卡片，该卡片上的数字“恰好是奇数”的概率为， 故选：C． 【点评】本题主要考查概率公式，随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数． 5．（3分）如图，△ABC的边AB上的高是（　　） A．DB B．CF C．AF D．BE 【分析】根据三角形高的定义：从三角形的一个顶点向它的对边（或对边所在的直线）作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高． 【解答】解：在△ABC中，边AB为底边，从顶点C向AB所在直线作垂线，垂足为F，因此边AB上的高是线段CF． 故选：B． 【点评】本题考查了三角形的加平分线、中线和高，解决本题的关键是理解三角形高的定义． 6．（3分）下面运算正确的是（　　） A．x2+x2＝x4 B．（m+n）（﹣m﹣n）＝n2﹣m2 C．（xy3﹣x2y+xy）÷xy＝y2﹣x D．（﹣bc）4÷（﹣bc）2＝b2c2 【分析】计算出各个选项中式子的正确结果，即可判断哪个选项符合题意． 【解答】解：x2+x2＝2x2，故选项A错误，不符合题意； （m+n）（﹣m﹣n）＝﹣n2﹣2mn﹣m2，故选项B错误，不符合题意； （xy3﹣x2y+xy）÷xy＝y2﹣x+1，故选项C错误，不符合题意； （﹣bc）4÷（﹣bc）2＝b2c2，故选项D正确，符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 7．（3分）两根木棒的长度分别为3cm，6cm，取第三根木棒，使它们首尾顺次相接组成一个三角形，则第三根木棒的长度可以是（　　） A．2cm B．3cm C．4cm D．9cm 【分析】由三角形三边关系定理得到3＜x＜9，即可得到答案． 【解答】解：设第三根木棒的长度是xcm， 由三角形三边关系定理得到：6﹣3＜x＜6+3， ∴3＜x＜9， ∴第三根木棒的长度可以是4cm． 故选：C． 【点评】本题考查三角形三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理． 8．（3分）如图，△ABC≌△ADE，∠A＝50°，∠B＝30°，则∠BOD的度数为（　　） A．100° B．110° C．120° D．130° 【分析】由全等三角形的性质得到∠D＝∠B＝30°，由三角形的外角性质推出∠BOD＝∠A+∠B+∠D＝110°． 【解答】解：∵△ABC≌△ADE， ∴∠D＝∠B＝30°， ∵∠BOD＝∠OCD+∠D，∠OCD＝∠A+∠B， ∴∠BOD＝∠A+∠B+∠D＝50°+30°+30°＝110°． 故选：B． 【点评】本题考查全等三角形的性质，三角形的外角性质，关键是掌握全等三角形的对应角相等，三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． 9．（3分）若a，b是正整数，且满足2a×2a×2a×2a＝4b+4b+4b+4b，则下列a与b关系正确的是（　　） A．a+b＝3 B．a﹣b＝2 C．2a+b＝1 D．2a﹣b＝1 【分析】根据同底数幂的乘法运算法则，幂的乘方与积的乘方运算法则计算即可． 【解答】解：∵2a×2a×2a×2a＝4b+4b+4b+4b， ∴24a＝4×4b， ∴24a＝4b+1， ∴24a＝22b+2， ∴4a＝2b+2， ∴2a＝b+1，即2a﹣b＝1． 故选：D． 【点评】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，熟练掌握同底数幂的乘法运算法则，幂的乘方与积的乘方运算法则是解题的关键． 10．（3分）如图，直线l1∥l2，一副三角板放置在l1和l2之间，其中一个三角板的直角边在l1上，另一个直角三角板的直角顶点在l2上，两个三角板的斜边在同一直线上，则∠α的度数为（　　） A．80° B．78° C．75° D．65° 【分析】根据平行线的性质，三角形的外角性质即可解答． 【解答】解：如图， ∵直线l1∥l2， ∴∠1＝∠2＝30°， ∴∠α＝∠3+∠2＝45°+30°＝75°， 故选：C． 【点评】本题考查平行线的性质，三角形的外角性质，掌握平行线的性质是解题的关键． 11．（3分）我们在学习许多代数公式时，可以用几何图形来推理验证，这体现了数形结合的数学思想，观察下列图形，将图中的阴影部分面积用两种不同的方式来表示，则可验证的式子是（　　） A．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 B．（a+b）2＝a2+2ab+b2 C．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 D．（a﹣b）2+2ab＝a2+b2 【分析】方法一：阴影部分是边长为a﹣b的正方形，面积为（a﹣b）2．方法二：阴影部分面积 ＝ 大正方形面积﹣两个矩形面积+重叠小正方形面积，即a2﹣2ab+b2．两种方法表示同一面积，故（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，验证选项A． 【解答】解：阴影部分面积（方法一）：（a﹣b）2， 阴影部分面积（方法二）：a2﹣2ab+b2， 等式：（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2． 故选：A． 【点评】本题考查了平方差公式的几何背景、数学常识、完全平方公式的几何背景，解决本题的关键是通过两种方式表示阴影部分面积，建立等式验证． 12．（3分）如图，已知△ABC的六个元素，而在图甲、乙、丙中，仅已知甲、乙、丙三个三角形中某些元素，则与△ABC一定全等的三角形是（　　） A．甲和乙 B．乙和丙 C．只有乙 D．只有丙 【分析】分别利用全等三角形的判定方法逐个判断即可． 【解答】解：甲中b、c与△ABC的边对应相等，夹角是否相等不能确定，故甲与△ABC不一定全等， ∴乙中有两个角对应相等，夹边相等，满足ASA，故乙与△ABC一定全等， 在丙图中，由边长为a的对角相等，另一组角对应相等，满足AAS，故丙与△ABC一定全等， 故选：B． 【点评】本题主要考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分；共12分） 13．（3分）一个角的补角是130°，则这个角的余角为　40　 °． 【分析】根据补角的定义先求得这个角，再由余角的定义可求得此角的余角． 【解答】解：∵一个角和它的补角之和是180°， ∴一个角的补角为130°， ∴这个角为180°﹣130°＝50°， ∴这个角的余角为：90°﹣50°＝40°， 故答案为：40． 【点评】本题考查了余角与补角的计算，理解这两个概念是解题的关键． 14．（3分）x+2y＝0，则3x•9y＝　1　 ． 【分析】根据已知条件可得x＝﹣2y，再对原式进行变形，最后代入即可． 【解答】解：∵x+2y＝0， ∴x＝﹣2y， ∴原式＝3﹣2y•32y ＝3﹣2y+2y ＝30 ＝1． 故答案为：1． 【点评】本题主要考查幂的乘方与积的乘方、同底数幂的乘法，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 15．（3分）如图，木条a，b与木条c钉在一起，∠1＝70°，转动木条a，当∠2＝ 　70　 °时，木条a与b平行． 【分析】由同位角相等，两直线平行，即可求解． 【解答】解：当∠2＝70°时，a∥b， ∵∠3＝∠2＝70°，∠1＝70°， ∴∠3＝∠1， ∴a∥b， 故答案为：70． 【点评】本题考查平行线的判定，关键是掌握同位角相等，两直线平行． 16．（3分）如图，在△ABC中，BD⊥AC，垂足为D，E为△ABC外一点，连接BE，CE，且∠A+∠E＝180°，BC平分∠ACE．若CD＝4，AD＝1，BD＝2，则△BCE的面积为　3　 ． 【分析】过点B作BF垂直CE的延长线于点F，根据角平分线的性质，证明Rt△BDC≌Rt△BFE（HL），求出S△BFC＝4，证明△ABD≌△EBF（AAS），求出S△BEF＝1，即可解答． 【解答】解：如图，过点B作BF垂直CE的延长线于点F， ∵BC平分∠ACE，BD⊥AC，BF⊥CF， ∴BD＝EF＝2， ∴Rt△BDC≌Rt△BFE（HL）， ∴CD＝CF＝4， ∴S△BFC＝S△BDC＝×4×2＝4， ∵∠A+∠BEC＝180°，∠BEF+∠BEC＝180° ∴∠A＝∠BEF， ∵∠ADB＝∠BFE＝90°，BD＝BF， ∴△ABD≌△EBF（AAS）， ∴AD＝EF＝1， ∴S△BEF＝S△BAD＝×1×2＝1， ∴S△BEC＝S△BFC﹣S△BEF＝4﹣1＝3， 故答案为：3． 【点评】本题考查全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，三角形的面积，掌握以上知识点是解题的关键． 三、解答题（共8个小题，共52分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（4分）计算：． 【分析】先根据有理数的乘方、负整数指数幂的运算法则计算，再根据有理数的混合运算法则计算即可． 【解答】解： ＝﹣1+9×9 ＝﹣1+81 ＝80． 【点评】本题考查了负整数指数幂、有理数的加减法、有理数的乘方、有理数的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 18．（6分）已知：[（xy+2）（xy﹣2）﹣2x2y2+4]÷▇＝xy． （1）求▇所表示的代数式； （2）求当x＝10，时▇所表示的代数式的值． 【分析】（1）根据题意可得：▇所表示的代数式＝[（xy+2）（xy﹣2）﹣2x2y2+4]÷xy，然后进行计算即可解答； （2）利用（1）的结论进行计算，即可解答． 【解答】解：（1）由题意得：[（xy+2）（xy﹣2）﹣2x2y2+4]÷xy ＝（x2y2﹣4﹣2x2y2+4）÷xy ＝（﹣x2y2）÷xy ＝﹣xy， ∴▇所表示的代数式是﹣xy； （2）当x＝10，时，原式＝﹣10×（﹣）＝． 【点评】本题考查了整式的混合运算﹣化简求值，平方差公式，准确熟练地进行计算是解题的关键． 19．（6分）下面是张老师给同学们出的两道题，要求用乘法公式进行简便运算： （1）计算：1982； （2）计算：20252﹣2026×2024． 任务一：第（1）题采用　完全平方公式　 公式，第（2）题采用　平方差　 公式（填“平方差或完全平方”）； 任务二：任意选择一题进行解答． 【分析】任务一：观察所给算式，利用完全平方公式和平方差公式进行解答即可； 任务二：（1）先把198写成100﹣2，再利用完全平方公式进行计算即可； （2）把2026写成2025+1，2024写成2025﹣1，再利用平方差公式进行计算即可． 【解答】解：任务一：第（1）题采用完全平方公式，第（2）题平方差采用公式， 故答案为：完全平方公式，平方差公式； 任务二： （1）1982 ＝（200﹣2）2 ＝2002﹣2×200×2+22 ＝40000﹣800+4 ＝39204； （2）20252﹣2026×2024 ＝20252﹣（2025+1）（2025﹣1） ＝20252﹣（20252﹣1） ＝20252﹣20252+1 ＝1． 【点评】本题主要考查了完全平方公式和平方差公式，解题关键是熟练掌握灵活应用完全平方公式和平方差公式． 20．（6分）在一个不透明的盒子里装有除颜色外完全相同的红、白、黑三种颜色的球．其中红球3个，白球5个，黑球若干个，若从中任意摸出一个白球的概率是． （1）求任意摸出一个球是黑球的概率； （2）能否通过只改变盒子中白球的数量，使得任意摸出一个球是红球的概率，若能，请写出如何调整白球数量；若不能，请说明理由． 【分析】（1）直接利用概率公式计算得出盒子中黑球的个数，再利用概率公式计算即可； （2）利用概率公式计算得出符合题意的方法． 【解答】解：（1）∵红球3个，白球5个，黑球若干个，从中任意摸出一个白球的概率是， ∴盒子中球的总数为：5÷＝15（个）， 故盒子中黑球的个数为：15﹣3﹣5＝7（个）； ∴任意摸出一个球是黑球的概率为：； （2）∵任意摸出一个球是红球的概率为， ∴盒子中球的总量为：3÷＝12， ∴可以将盒子中的白球拿出3个． 【点评】此题主要考查了概率公式，正确掌握概率求法是解题关键． 21．（6分）命题：三角形的三个内角的和等于180°已知：如图1，在△ABC中求证：∠A+∠B+∠C＝180°证明：如图2延长BA到D，过点A且向点A右侧用尺规作AE∥BC∵AE∥BC①∴… （1）请你帮她完成尺规作图（只保留作图痕迹，不写作法）； （2）从①开始写出完整的证明过程． 下面是嘉琪同学要借助无刻度的直尺和圆规作图，来证明三角形内角和等于180°这一命题，请你帮她补充完整． 【分析】（1）利用基本作图，作∠DAE＝∠B，则根据平行线的判定方法得到AE∥BC； （2）先根据平行线的性质得到∠DAE＝∠B，∠CAE＝∠C，再根据平角的定义得到∠BAC+∠DAE+∠CAE＝180°，所以∠BAC+∠B+∠C＝180°． 【解答】（1）解：如图，AE为所作； （2）证明：∵AE∥BC， ∴∠DAE＝∠B，∠CAE＝∠C， ∵∠BAC+∠DAE+∠CAE＝180°， ∴∠BAC+∠B+∠C＝180°． 【点评】本题考查了作图﹣复杂作图，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行线的判定与性质、三角形内角和定理． 22．（7分）把1，3，5，7，9…这一组数按如下规律排放在表格1中，任意选定如图所示方框中4个数，进行交叉相乘再相减的运算，即bc﹣ad．例如：9×17﹣7×19＝20．完成下列各题： （1）计算：3×11﹣1×13＝　20　 ； （2）猜想：bc﹣ad＝　20　 ； （3）验证，请你利用整式的运算对以上的规律加以证明； （4）拓展；如表2，把1，3，5，7，9…这一组数重新排放在有n列的表格中，则bc﹣ad＝　4n ．（用含n的式子表示） 【分析】（1）先算乘法、再算减法即可； （2）根据题目中的结果和（1）中的结果可以写出相应的猜想； （3）根据表格中的数据，可以用含a的代数式表示出b、c、d，然后计算即可； （4）根据表2用含a的代数式表示出b、c、d，然后计算即可． 【解答】解：（1）3×11﹣1×13 ＝33﹣13 ＝20， 故答案为：20； （2）猜想：bc﹣ad＝20， 故答案为：20； （3）由图可得， b＝a+2，c＝a+10，d＝a+12， ∴bc﹣ad ＝（a+2）（a+10）﹣a（a+12） ＝a2+12a+20﹣a2﹣12a ＝20， ∴bc﹣ad＝20正确； （4）由表2可得， b＝a+2，c＝a+2n，d＝a+2n+2， ∴bc﹣ad ＝（a+2）（a+2n）﹣a（a+2n+2） ＝a2+（2+2n）a+4n﹣a2﹣（2n+2）a ＝4n， 故答案为：4n． 【点评】本题考查整式的混合运算、数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化规律． 23．（8分）根据以下素材，探索完成任务 探索“用代数思想解决图形问题” 素材1 我们知道，图形是一种重要的数学语言，它直观形象，能有效地表现一些代数中的数量关系，而运用代数思想也能巧妙地解决一些图形问题 素材2 琪琪用如图①所示的大小不同的正方形与长方形纸片拼成了一个如图②所示的正方形 问题解决 数学思考 用不同的代数式表示图②中阴影部分的面积和，写出你能得到的等式，并用乘法公式说明这个等式成立； 解决问题 琪琪想到利用“数学思考”中得到的等式可以完成下面这道题目：如果x满足（6﹣x）（x﹣2）＝3，求（6﹣x）2+（x﹣2）2的值． 琪琪想：如果设6﹣x＝m，x﹣2＝n，那么要求的式子就可以写成m2+n2了，请你按照琪琪的思路完成这道题目； 拓展应用 如图③，在长方形ABCD中，AB＝10，BC＝6，E、F是BC，CD上的点，且BE＝DF＝y，分别以FC，CE为边在长方形ABCD外侧作正方形，两个正方形的面积分别为S1和S2，且S1+S2＝50，直接写出图中阴影部分的面积． 【分析】数学思考：依据题意得，a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，结合乘法公式计算可以得解； 解决问题：依据题意，由6﹣x＝m，x﹣2＝n，则m+n＝6﹣x+x﹣2＝4，mn＝3，从而m2+n2＝（m+n）2﹣2mn＝42﹣2×3＝10，即可得解； 拓展应用：依据题意，由长方形ABCD中，AB＝10，BC＝6，则CD＝10，故CF＝10﹣y，CE＝6﹣y，又以FC，CE为边在长方形ABCD外侧作正方形，两个正方形的面积分别为S1和S2，且S1+S2＝50，则CF2+CE2＝（10﹣y）2+（6﹣y）2＝50，又[（10﹣y）﹣（6﹣y）]2＝（10﹣y）2﹣2（10﹣y）（6﹣y）+（6﹣y）2＝42＝16，从而阴影部分的面积＝CF•CE＝（10﹣y）（6﹣y）＝（50﹣16）÷2＝17，即可得解． 【解答】解：数学思考：由题意得，a2+b2＝（a+b）2﹣2ab． ∵右边＝（a+b）2﹣2ab＝a2+2ab+b2﹣2ab＝a2+b2＝左边， ∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab； 解决问题：由题意，∵6﹣x＝m，x﹣2＝n， ∴m+n＝6﹣x+x﹣2＝4，mn＝3． ∴m2+n2＝（m+n）2﹣2mn＝42﹣2×3＝10； 拓展应用：由题意，∵长方形ABCD中，AB＝10，BC＝6， ∴CD＝10， ∵BE＝DF＝y， ∴CF＝10﹣y，CE＝6﹣y， ∵以FC，CE为边在长方形ABCD外侧作正方形，两个正方形的面积分别为S1和S2，且S1+S2＝50， ∴CF2+CE2＝（10﹣y）2+（6﹣y）2＝50， ∵[（10﹣y）﹣（6﹣y）]2＝（10﹣y）2﹣2（10﹣y）（6﹣y）+（6﹣y）2＝42＝16， ∴阴影部分的面积＝CF•CE＝（10﹣y）（6﹣y）＝（50﹣16）÷2＝17． ∴阴影部分的面积为17． 【点评】本题主要考查了多项式乘多项式、完全平方公式的几何背景，解题时要熟练掌握并能根据题意列出关系式是关键． 24．（9分）（1）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形，如图1，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线l经过点A，BD⊥直线l，CE⊥直线l，垂足分别为点D、E．请猜想线段BD、CE、DE之间的数量关系为DE＝BD+CE ． （2）组员嘉嘉想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线l上，并且∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意锐角或钝角，请问（1）中得到的结论是否仍然成立？并说明理由． （3）数学老师赞赏了她们的探索精神，并鼓励她们运用这个知识来解决问题：如图3，过△ABC的边AB、AC向外作正方形ABDE和正方形ACFG，AM是BC边上的高，延长MA交EG于点N，BM＝4，CM＝6，则AN＝　5　 ． 【分析】（1）依题意得∠BDA＝∠AEC＝90°，则∠DBA+∠DAB＝90°，根据∠BAC＝90°得∠EAC+∠DAB＝90°，由此得∠DBA＝∠EAC，进而依据“AAS”判定△ADB和△CEA全等得BD＝AE，AD＝CE，由此即可得出线段DE，BD，CE之间的数量关系； （2）根据∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，得∠DBA+∠DAB＝180°﹣∠BDA＝180°﹣α，∠EAC+∠DAB＝180°﹣∠BAC＝180°﹣α，由此得∠DBA＝∠EAC，进而依据“AAS”判定△ADB和△CEA全等得BD＝AE，AD＝CE，继而得DE＝AE+AD＝BD+CE，由此即可得出答案； （3）分别过E、G作AN的垂线段，垂足分别为H、K，先证△ABM≌△EAH（AAS），△ACM≌△GAK（AAS），可得EH＝AM＝GK，AH＝BM＝4，AK＝CM＝6，可得HK＝2，再证△EHN≌△GKN（AAS），得KH＝HN＝1，据此即可得解． 【解答】解：（1）线段DE，BD，CE之间的数量关系是：DE＝BD+CE，理由如下： ∵BD⊥直线l，CE⊥直线l， ∴∠BDA＝∠AEC＝90°， ∴∠DBA+∠DAB＝90°， 在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC， ∴∠EAC+∠DAB＝90°， ∴∠DBA＝∠EAC， 在△ADB和△CEA中， ， ∴△ADB≌△CEA（AAS）， ∴BD＝AE，AD＝CE， ∴DE＝AE+AD＝BD+CE； 故答案为：DE＝BD+CE； （2）成立，理由如下： ∵∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α， 在△ABD中，∠DBA+∠DAB＝180°﹣∠BDA＝180°﹣α， 又∵∠EAC+∠DAB＝180°﹣∠BAC＝180°﹣α， ∴∠DBA＝∠EAC， 在△ADB和△CEA中， ， ∴△ADB≌△CEA（AAS）， ∴BD＝AE，AD＝CE， ∴DE＝AE+AD＝BD+CE； （3）如图，分别过E、G作AN的垂线段，垂足分别为H、K， 则∠EHN＝∠GKN＝90°， ∴∠BAM＝∠AEH＝90°﹣∠EAH， 在△ABM和△EAH中， ， ∴△ABM≌△EAH（AAS）， ∴AH＝BM＝4，AM＝EH， 同理可得△ACM≌△GAK（AAS）， ∴CM＝AK＝6，AM＝GK， ∴EH＝GK， 在△EHN和△GKN中， ， ∴△EHN≌△GKN（AAS）， ∴HN＝GN＝HK， ∵HK＝AK﹣AH＝6﹣4＝2， ∴HN＝GN＝HK＝1， ∴AN＝AH+HN＝4+1＝5； 故答案为：5． 【点评】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定理是解决问题的关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $