精品解析：山东潍坊市高密市滨北学校2025-2026学年八年级下学期数学第二次阶段性检测

八年级数学第二次阶段性检测 满分120分时间120分钟 一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分．） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 甲、乙两班举行电脑汉字输入速度比赛，参赛学生每分钟输入汉字的个数经收集整理后得表，某同学根据此表分析得出如下结论： 班级 参加人数 中位数 平均数 方差 甲 55 149 135 191 乙 55 151 135 110 ①甲、乙两班学生成绩的平均水平相同； ②乙班优秀的人数多于甲班优秀的人数；（每分钟输入汉字个为优秀） ③甲班成绩的波动情况比乙班小． 上述结论中正确的是（ ） A. ①②③ B. ①② C. ①③ D. ②③ 3. 对于一次函数，下列结论错误的是（ ） A. 函数的图象不经过第三象限 B. 函数的图象与轴的交点坐标是 C. 函数的图象向右平移2个单位向下平移4个单位长度得的图象 D. 函数值随自变量的增大而减小 4. 如图，在中，．将沿的方向平移，得到．若，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 5. 求一组数据方差的算式为: ．由算式提供的信息，下列说法错误的是（ ） A. 该组数据的众数是6 B. 该组数据的平均数是7 C. n的值是5 D. 若该组数据加入两个数7，7，则这组新数据的方差变小 6. 下列选项中，表示一次函数与正比例函数（，为常数，且）图像的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知点，，都在直线上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 8. 儿童乐园里的旋转飞椅，其支架结构可抽象为，当设备运行时，绕点顺时针旋转得到，已知，，连接、，下列说法错误的是（ ） A. B. C. 是等腰直角三角形 D. 9. 如图1所示，在箱线图中，位于最下面和最上面的实横线分别表示下边缘（最小值）和上边缘（最大值），箱体中部的“”表示平均值，箱体的顶端是上四分位数．异常值是明显偏离样本的个别值．已知一班和二班人数相等，在一次考试中两班成绩的箱线图如图2所示，则下列说法正确的是（   ） A. 一班成绩比二班成绩集中 B. 一班成绩的上四分位数是分 C. 一班有同学的成绩超过分 D. 一班的平均分高于二班的平均分 10. 如图所示，一次函数（k，b是常数，）与正比例函数（m是常数，）的图象相交于点，下列判断错误的是（ ） A. 关于x的方程的解是 B. 关于x的不等式的解集是 C. 当时，函数的值比函数的值大 D. 关于x，y的方程组的解是 11. 如图是本地区一种产品30天的销售图象，图①是产品日销售量y（单位：件）与时间t（单位：天）的函数关系，图②是一件产品的销售利润z（单位：元）与时间t（单位：天）的函数关系．已知日销售利润＝日销售量×一件产品的销售利润．下列结论错误的是（ ） A. 第24天的销售量为200件 B. 第10天销售一件产品的利润是15元 C. 第12天与第30天这两天的日销售利润相等 D. 第30天的日销售利润是750元 12. 如图，正方形的边长为，为正方形边上的动点，沿的路径匀速移动．设点经过的路径长为，的面积是，则下列图象能反映与之间的函数关系的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 13. 某校田径运动队共有名男运动员，小杰收集了这些运动员的鞋号信息（见表）， 鞋号 号 号 号 号 号 人数 那么这名男运动员鞋号的中位数是___________．众数是___________ 14. 将点沿轴向左平移个单位长度得到点，点关于x轴对称的点的坐标是___________ 15. 如图，直线与轴，轴分别交于、两点，，把绕点顺时针旋转后得到（点在轴正半轴上），则点的坐标是___________ 16. 如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点的坐标为．若直线把矩形的面积分成相等的两部分，则直线的函数表达式是___________ 17. 如图，在等边中，是上一点，连接，将绕点逆时针旋转，得，连接，若，，则下列说法：①；②；③是等边三角形；④的周长是9，其中正确的有_____________（只填序号） 18. 如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正方形绕点O顺时针旋转后得到正方形，依此方式，绕点O连续旋转2023次得到正方形，那么点的坐标是________． 三、解答题 19. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点均在正方形网格的格点上． （1）将沿轴方向向左平移3个单位后得到，画出．并写出顶点的坐标； （2）将绕顺时针旋转后得到，画出．并写出顶点的坐标； （3）在轴上作一点，使最小，并写出点的坐标． 20. 小刚与小慧两人相约周末登东舰峰，人距地面的高y（米）与登山时间x（分）之间函数图象如图所示，根据图象所提信息解答下列问题： （1）小刚登山上升的速度是每分钟 　 　米，小慧在A地距地面的高度b为 　 　米； （2）若小慧提速后，登山上升速度是小刚登山上升速度的3倍，请求出小慧登山全程中，距地面高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数关系式； （3）登山多长时间后，两人距地面的高度差为70米？ 21. 为备战校运动会，初二某班的体育委员将报名100米的同学分为A队和B队，每队8人，并进行了一次100米跑的队内测试，两队的成绩如下（单位：秒）： A队 13 14 15 13 15 13 14 15 B队 14 15 16 14 16 14 17 16 （1）小明通过计算平均数得______秒，秒；通过计算方差______，； （2）小颖利用四分位数、箱线图进行分析． ①A队队员成绩的______，B队队员成绩的______； ②A队队员成绩的中位数______B队队员成绩的中位数（填“>”，“=”或“<”），且______队选手间成绩差异较大； （3）请你结合小明和小颖的数据分析，从A，B两队中选择一个队伍参加运动会接力赛，并说明理由． 22. 某服装店购进甲、乙两种服装，两种服装的进价、售价如下表： 甲 乙 进价（元/件） 35 70 售价（元/件） 65 110 该店决定用不多于6300元购进这两种服装共100件． （1）求购进甲种服装最少多少件？ （2）该店购进甲种服装多少件时，全部销售后能获得最大利润，最大利润是多少元？ 23. 如图，点O为等边三角形ABC内一点，连接OA，OB，OC，将线段BO绕点B顺时针旋转60°到BM，连接CM，OM． （1）求证：AO＝CM； （2）若OA＝8，OC＝6，OB＝10，判断△OMC的形状并证明． 24. 如图，已知直线和直线相交于点，直线分别与轴和轴相交于点和点，直线与轴交于点． （1）分别求出这两个函数的解析式； （2）连接，求的面积； （3）根据图象，直接写出不等式组的解集． （4）在平面内找一点M，使以A、C、P、M为顶点的四边形是平行四边形，直接写出M点坐标 25. （1）一节数学课上，老师提出了这样一个问题：如图1，在中，，，点M，N在斜边上，，，，你能求出的长度吗？ 小清通过观察，分析，思考，形成了如下思路： 思路一：将绕点逆时针旋转，得到，显然，连接；求出的长度； 思路二：将绕点顺时针旋转，得到，显然，连接，求出的长度； 请参考小清的思路，任选一种写出完整解答过程． （2）【类比探究】如图2，在等边中，点、在边上，，，，求的长．（直接写出答案） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学第二次阶段性检测 满分120分时间120分钟 一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分．） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意． 2. 甲、乙两班举行电脑汉字输入速度比赛，参赛学生每分钟输入汉字的个数经收集整理后得表，某同学根据此表分析得出如下结论： 班级 参加人数 中位数 平均数 方差 甲 55 149 135 191 乙 55 151 135 110 ①甲、乙两班学生成绩的平均水平相同； ②乙班优秀的人数多于甲班优秀的人数；（每分钟输入汉字个为优秀） ③甲班成绩的波动情况比乙班小． 上述结论中正确的是（ ） A. ①②③ B. ①② C. ①③ D. ②③ 【答案】B 【解析】 【分析】平均数反映平均水平，中位数反映数据中间位置，方差衡量数据波动大小，据此逐一判断即可． 【详解】解∶∵甲，乙两班成绩的平均数相等，都是135， ∴甲，乙两班学生成绩的平均水平相同，结论①正确； ∵两班参赛人数均为55人，中位数为排序后第28个数据，甲班中位数为149，小于150，乙班中位数为151，大于150， ∴乙班每分钟输入汉字个的优秀人数多于甲班，结论②正确； ∵甲班方差为191，乙班方差为110，甲班方差大于乙班方差，方差越大，数据波动越大， ∴甲班成绩的波动比乙班大，结论③错误； 综上，正确结论为①②． 3. 对于一次函数，下列结论错误的是（ ） A. 函数的图象不经过第三象限 B. 函数的图象与轴的交点坐标是 C. 函数的图象向右平移2个单位向下平移4个单位长度得的图象 D. 函数值随自变量的增大而减小 【答案】C 【解析】 【分析】根据一次函数的性质，函数图象与坐标轴交点的求法，函数图象平移的法则，逐个判断选项即可得到错误结论． 【详解】解：对于一次函数，可得，． A选项：，，函数图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限，A结论正确． B选项：令，则，解得，函数图象与轴的交点坐标是，B结论正确． C选项：根据图象平移“左加右减自变量，上加下减常数项”的原则，函数向右平移2个单位，向下平移4个单位后，解析式为，化简得，不是，C结论错误． D选项：，函数值随自变量的增大而减小，D结论正确． 4. 如图，在中，．将沿的方向平移，得到．若，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平移，根据平移的性质得出，然后利用梯形面积公式求解即可． 【详解】解：∵平移， ∴，，， ∴，， ∴， 故选：C． 5. 求一组数据方差的算式为: ．由算式提供的信息，下列说法错误的是（ ） A. 该组数据的众数是6 B. 该组数据的平均数是7 C. n的值是5 D. 若该组数据加入两个数7，7，则这组新数据的方差变小 【答案】A 【解析】 【分析】根据方差算式，数据为6，8，8，6，7，计算平均数、众数、n值，并验证加入数据后的方差变化． 本题考查的是方差的计算，众数的含义，平均数的含义，掌握基本概念是解题关键． 【详解】∵ 算式中有五个平方项，对应数据点6，8，8，6，7， A、∵ 数据中6和8均出现2次，7出现1次， ∴ 众数为6和8，并非仅6，故选项A错误． B、∵ 数据总和为，， ∴ 平均数，选项B正确． C、，选项C正确． D、∵ 原始方差， 加入两个7后，数据为6，8，8，6，7，7，7，平均数仍为7， 新方差，， ∴ 方差变小，选项D正确． 故选：A． 6. 下列选项中，表示一次函数与正比例函数（，为常数，且）图像的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合正比例函数图象和一次函数图象判断即可． 【详解】解：图中过原点直线为正比例函数，不过原点直线为一次函数， ①当时，正比例函数过第一、三象限， ∴，同号，同正时， 一次函数过第一、二、三象限，同负时过第二、三、四象限； ②当时，正比例函数过第二、四象限， ∴，异号，则过第一、三、四象限或第一、二、四象限， 结合图象可知，其中选项，选项， 所以选项正确． 7. 已知点，，都在直线上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一次函数的增减性，先根据一次函数斜率的正负判断随的变化规律，再比较三个点横坐标的大小，即可得到y值的大小关系. 【详解】∵ 在直线 中，， ∴ 随 的增大而减小， ∵ 三个点的横坐标满足 ， ∴ ， 即 ． 8. 儿童乐园里的旋转飞椅，其支架结构可抽象为，当设备运行时，绕点顺时针旋转得到，已知，，连接、，下列说法错误的是（ ） A. B. C. 是等腰直角三角形 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据旋转的性质可得，，即可判断B选项，根据等腰直角三角形的定义得出是等腰直角三角形，即可判断C选项，根据勾股定理求出，即可判断D选项，根据等边三角形的判定和性质得出，即可判断A选项． 【详解】解：根据题意可得， ∴． ∵绕点顺时针旋转得到， ∴，故B选项说法正确，不符合题意； ∵在中，，， ∴是等腰直角三角形，故C选项说法正确，不符合题意； ∵在中，，， ∴，故D选项说法正确，不符合题意； ∵， ∴， ∵，， ∴是等边三角形， 故，故A选项说法错误，符合题意． 9. 如图1所示，在箱线图中，位于最下面和最上面的实横线分别表示下边缘（最小值）和上边缘（最大值），箱体中部的“”表示平均值，箱体的顶端是上四分位数．异常值是明显偏离样本的个别值．已知一班和二班人数相等，在一次考试中两班成绩的箱线图如图2所示，则下列说法正确的是（   ） A. 一班成绩比二班成绩集中 B. 一班成绩的上四分位数是分 C. 一班有同学的成绩超过分 D. 一班的平均分高于二班的平均分 【答案】C 【解析】 【分析】将一组数据按照从小到大的顺序排列，中位数把这组数据分成数量相等的两部分，前一半数据的中位数称为第一四分位数，后一半数据的中位数称为第三四分位数，它们与中位数一起叫作整组数据的四分位数，在箱线图中，上、下两条短横线分别表示整组数据的最大值和最小值，箱体的下边缘、中间横线和上边缘分别表示整组数据的第一四分位数、中位数和第三四分位数，箱体的高度越小，说明数据越集中，箱体的高度越大，说明数据越分散． 【详解】解：A、一班与二班的箱体高度相同，所以一班与二班的数据集中程度相同，该选项说法错误； B、一班成绩的上四分位数是分，该选项说法错误； C、一班存在一个异常值点在分刻度上方，说明一班有同学成绩超过分，该选项说法正确； D、一班的平均分低于二班的平均分，该选项说法错误． 10. 如图所示，一次函数（k，b是常数，）与正比例函数（m是常数，）的图象相交于点，下列判断错误的是（ ） A. 关于x的方程的解是 B. 关于x的不等式的解集是 C. 当时，函数的值比函数的值大 D. 关于x，y的方程组的解是 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程(组)，一次函数与一元一次不等式，一次函数的性质．方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标． 根据条件结合图象对各选项进行判断即可． 【详解】解：∵一次函数是常数与正比例函数是常数，的图象相交于点， A．关于的方程，的解是，选项A判断正确，不符合题意； B．关于的不等式的解集是，选项B判断错误，符合题意； C．当时，函数的值比函数的值大，选项C判断正确，不符合题意； D．关于的方程组的解是，选项D判断正确，不符合题意． 故选：B． 11. 如图是本地区一种产品30天的销售图象，图①是产品日销售量y（单位：件）与时间t（单位：天）的函数关系，图②是一件产品的销售利润z（单位：元）与时间t（单位：天）的函数关系．已知日销售利润＝日销售量×一件产品的销售利润．下列结论错误的是（ ） A. 第24天的销售量为200件 B. 第10天销售一件产品的利润是15元 C. 第12天与第30天这两天的日销售利润相等 D. 第30天的日销售利润是750元 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数的应用，利用待定系数法求解一次函数的解析式，从函数图象中获取信息.由图①的信息可判断A；再求解一件产品的销售利润z（单位：元）与时间t（单位：天）的函数关系式，计算当时，，可判断B；再求解当时，设产品日销售量y（单位：件）与时间t（单位：天）的函数关系式：分别计算第12天与第30天的销售量与当天一件产品的销售利润，从而可判断C和D． 【详解】解：由图①中的信息可得：第24天的销售量为200件，故A不符合题意； 设当时，一件产品的销售利润z（单位：元）与时间t（单位：天）的函数关系为： ， ， 解得：， ， 当时，， 所以第10天销售一件产品的利润是15元，故B不符合题意； 当时，设产品日销售量y（单位：件）与时间t（单位：天）的函数关系为： ， ， 解得：， ， 当时，，， 所以第12天的日销售利润为：元， 第30天的日销售利润为：元，而，故C符合题意； 由第30天的日销售利润为：元，故D不符合题意， 故选：C． 12. 如图，正方形的边长为，为正方形边上的动点，沿的路径匀速移动．设点经过的路径长为，的面积是，则下列图象能反映与之间的函数关系的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，当点P在上运动时， 不存在；再分别求出点P在上运动（不包含点D）、点P在上运动（不包含点C）、点P在上运动（不包含点B）时y与x的函数关系式即可得到答案． 【详解】解：当点P在上运动，即时，此时不存在； 当点P在上运动（不包含点D）时，即时，， 则； 当点P在上运动（不包含点C），即时， 则， 当点P在上运动（不包含点B），即时，， 则， ∴四个函数图象中，只有B选项中的函数图象符合题意． 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 13. 某校田径运动队共有名男运动员，小杰收集了这些运动员的鞋号信息（见表）， 鞋号 号 号 号 号 号 人数 那么这名男运动员鞋号的中位数是___________．众数是___________ 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查中位数与众数的概念，根据中位数和众数的定义求解即可，解题关键是掌握中位数和众数的计算方法．对于总个数为偶数的一组数据，中位数为排序后中间两个数据的平均数，众数是一组数据中出现次数最多的数据． 【详解】解：由题意可知，这组数据总个数为，是偶数． 将数据从小到大排列后，累计人数可得，第个和第个数据都是，因此中位数为． 观察表格可知，出现的次数最多，为次，因此众数为． 14. 将点沿轴向左平移个单位长度得到点，点关于x轴对称的点的坐标是___________ 【答案】 【解析】 【详解】解：∵将点沿轴向左平移个单位长度得到点， ∴点的坐标为，即， ∴点关于x轴对称的点的坐标是． 15. 如图，直线与轴，轴分别交于、两点，，把绕点顺时针旋转后得到（点在轴正半轴上），则点的坐标是___________ 【答案】 【解析】 【分析】先求出的长，再根据含度角的直角三角形性质及勾股定理求出的长，由旋转的性质得出的长及的度数，过点作轴的垂线，构造直角三角形求解即可． 【详解】解：令，则， ， ， 在中，，， ， ， 由勾股定理得，即， 解得， ， 由旋转的性质得：，， 点在轴正半轴上， 点在第一象限， 过点作轴于点， 在中，，， ， ， 由勾股定理得， ， 点的坐标是． 16. 如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点的坐标为．若直线把矩形的面积分成相等的两部分，则直线的函数表达式是___________ 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可知矩形的中心的坐标为，再由矩形的性质可得直线一定经过点，据此可得答案． 【详解】解：如图，连接、，设交点为D， ∵四边形是矩形，点B的坐标为，又， ∴矩形的中心D为的中点，则点D的坐标为， ∵直线把矩形的面积分成相等的两部分， ∴直线一定经过点， ∴， ∴， ∴． 17. 如图，在等边中，是上一点，连接，将绕点逆时针旋转，得，连接，若，，则下列说法：①；②；③是等边三角形；④的周长是9，其中正确的有_____________（只填序号） 【答案】①③④ 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质、等边三角形的判定与性质，由等边三角形的性质得出，，由旋转的性质得出，，推出，即可判断①；由旋转的性质得出，，即可判断③；求出即可判断②；利用，，求出的周长即可判断④，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴，， ∵将绕点逆时针旋转，得， ∴，， ∴， ∴，故①正确； ∵将绕点逆时针旋转，得， ∴，， ∴是等边三角形，故③正确； ∵在中，， ∴，即， ∴，故②错误； ∵，， ∴的周长，故④正确； 综上所述，正确的有①③④， 故答案为：①③④． 18. 如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正方形绕点O顺时针旋转后得到正方形，依此方式，绕点O连续旋转2023次得到正方形，那么点的坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】由正方形的性质和旋转的性质探究规律，利用规律解决问题即可． 【详解】解：如图， ∵四边形是正方形，且， ∴． ∵将正方形绕点O顺时针旋转后得到正方形， ∴，，，，，，，，…， 发现是8次一循环． ∵， ∴点的坐标与的坐标相同，即为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质、旋转的性质、坐标与图形的变化、规律型：点的坐标等知识，解题的关键是学会从特殊到一般的探究规律的方法，属于中考常考题型． 三、解答题 19. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点均在正方形网格的格点上． （1）将沿轴方向向左平移3个单位后得到，画出．并写出顶点的坐标； （2）将绕顺时针旋转后得到，画出．并写出顶点的坐标； （3）在轴上作一点，使最小，并写出点的坐标． 【答案】（1）图见解析， （2）图见解析， （3）图见解析， 【解析】 【分析】本题考查作图-旋转变换、作图-平移变换、轴对称-最短路线问题，熟练掌握旋转的性质、平移的性质、轴对称的性质是解答本题的关键． （1）根据平移的性质作图，即可得出答案． （2）根据旋转的性质作图，即可得出答案． （3）取点关于轴的对称点，连接交轴于点，连接，则点即为所求，即可得出答案． 【小问1详解】 解：如图，即为所求；由图可得，点的坐标为； 【小问2详解】 解：如图，即为所求；由图可得，点的坐标为； 【小问3详解】 解：如图，取点关于轴的对称点，连接交轴于点，连接，此时，为最小值，则点即为所求； 由图可得，点的坐标为． 20. 小刚与小慧两人相约周末登东舰峰，人距地面的高y（米）与登山时间x（分）之间函数图象如图所示，根据图象所提信息解答下列问题： （1）小刚登山上升的速度是每分钟 　 　米，小慧在A地距地面的高度b为 　 　米； （2）若小慧提速后，登山上升速度是小刚登山上升速度的3倍，请求出小慧登山全程中，距地面高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数关系式； （3）登山多长时间后，两人距地面的高度差为70米？ 【答案】（1）10；30 （2） （3）登山3分钟、10分钟或13分钟时，小刚、小慧两人距离地面的高度差为70米 【解析】 【分析】（1）根据速度计算公式计算即可； （2）当时，得到，当时，得到，即可得解； （3）设解析式为，把和代入解析式求解，在进行分类计算即可； 【小问1详解】 小刚登山上升的速度是（米/分钟）， ； 故答案是：10；30． 【小问2详解】 当时，得到； 当时，； ∴小慧登山全程中，距地面高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数关系式为； 【小问3详解】 小刚登山全程中，距地面高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数关系式， 把和代入解析式得：， 解得：， ∴小刚登山全程中，距地面高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数关系式为， 当时，解得； 当时，解得； 当时，解得； ∴登山3分钟、10分钟或13分钟时，小刚、小慧两人距离地面的高度差为70米． 【点睛】本题主要考查了一次函数一次函数的应用，准确分析和计算是解题的关键． 21. 为备战校运动会，初二某班的体育委员将报名100米的同学分为A队和B队，每队8人，并进行了一次100米跑的队内测试，两队的成绩如下（单位：秒）： A队 13 14 15 13 15 13 14 15 B队 14 15 16 14 16 14 17 16 （1）小明通过计算平均数得______秒，秒；通过计算方差______，； （2）小颖利用四分位数、箱线图进行分析． ①A队队员成绩的______，B队队员成绩的______； ②A队队员成绩的中位数______B队队员成绩的中位数（填“>”，“=”或“<”），且______队选手间成绩差异较大； （3）请你结合小明和小颖的数据分析，从A，B两队中选择一个队伍参加运动会接力赛，并说明理由． 【答案】（1）14，， （2）①13，16 ②，B （3）选择A队参加运动会接力赛，见解析 【解析】 【分析】（1）根据平均数和方差的定义求解即可； （2）根据四分位数的概念求解即可； （3）根据（1）（2）中的计算结果和结论即可得出结论． 【小问1详解】 解：（秒）； ； 【小问2详解】 解：①A队队员成绩排序为13，13，13，14，14，15，15，15， ∴A队队员成绩的， B队队员成绩排序为14，14，14，15，16，16，16，17， ∴B队队员成绩的； ②A队队员成绩的中位数是， B队队员成绩的中位数是， ∴A队队员成绩的中位数B队队员成绩的中位数， 由箱线图可知，B队选手间成绩差异较大； 【小问3详解】 解：选择A队参加运动会接力赛．A队的平均成绩为14秒，相较于B队速度更快，且A队整体的100米跑成绩更好，参赛更有可能取得优异成绩．（言之有理即可） 22. 某服装店购进甲、乙两种服装，两种服装的进价、售价如下表： 甲 乙 进价（元/件） 35 70 售价（元/件） 65 110 该店决定用不多于6300元购进这两种服装共100件． （1）求购进甲种服装最少多少件？ （2）该店购进甲种服装多少件时，全部销售后能获得最大利润，最大利润是多少元？ 【答案】（1）20件；（2）购进甲种服装20件时，获得的利润最大，最大利润为3800元 【解析】 【分析】（1）根据题意和表格中的数据可以列出相应的不等式，从而可以得到购进甲种服装最少多少件； （2）根据题意可以得到利润和甲种服装数量的函数关系式，然后根据一次函数的性质和不等式的性质，即可解答本题． 【详解】解：（1）设购进甲种服装件，根据题意，得 解这个不等式，得 所以购进甲种服装最少为20件； （2）设获得的利润为元，则 ∵-10＜0， ∴随的增大而减小， ∵x≥20， ∴当时，最大，最大值为（元） 所以购进甲种服装20件时，获得的利润最大，最大利润为3800元． 【点睛】本题考查一次函数的应用以及一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和不等式的性质进行分析解答． 23. 如图，点O为等边三角形ABC内一点，连接OA，OB，OC，将线段BO绕点B顺时针旋转60°到BM，连接CM，OM． （1）求证：AO＝CM； （2）若OA＝8，OC＝6，OB＝10，判断△OMC的形状并证明． 【答案】（1）见解析 （2）直角三角形，证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据“BO绕点B顺时针旋转60°到BM”可知∠OBM=60°，OB=OM，即可证明△AOB≌△CMB，从而得到答案； （2）由（1）可知AO=CM，根据OB=BM，∠OBM=60°，可知△OBM为等边三角形，从而得到OB=OM，根据勾股定理的逆定理即可得到答案. 【详解】（1）证明：∵BO绕点B顺时针旋转60°到BM ∴∠OBM＝60°，OB＝BM， ∵△ABC为等边三角形 ∴∠ABC＝60°，AB=CB ∴∠ABO+∠OBC=∠CBM+∠OBC=60° ∴∠ABO＝∠CBM， 在△AOB和△CMB中， ∴△AOB≌△CMB（SAS）， ∴AO＝CM． （2）△OMC是直角三角形；理由如下： ∵BO绕点B顺时针旋转60°到BM ∴∠OBM＝60°，OB＝BM， ∴△OBM为等边三角形 ∴OB=OM=10 由（1）可知OA=CM=8 在△OMC中，OM2＝100，OC2+CM2＝62+82＝100， ∴OM2＝OC2+CM2， ∴△OMC是直角三角形． 【点睛】本题考查的是旋转的性质、等边三角形的性质与判定，全等三角形的判定和勾股定理的逆定理，能够利用全等三角形的性质与判定得出对应边和用勾股定理逆定理判定三角形的形状是解题的关键. 24. 如图，已知直线和直线相交于点，直线分别与轴和轴相交于点和点，直线与轴交于点． （1）分别求出这两个函数的解析式； （2）连接，求的面积； （3）根据图象，直接写出不等式组的解集． （4）在平面内找一点M，使以A、C、P、M为顶点的四边形是平行四边形，直接写出M点坐标 【答案】（1）直线为，直线； （2）6； （3）； （4）M点坐标为或或． 【解析】 【分析】（1）先将点分别代入直线和直线，求出的值，再代入即可； （2）先求出直线和直线与轴和轴的交点，在根据三角形面积公式求解即可； （3）依据题意得，不等式组的解集是直线在直线的下方，且都在轴下方部分对应的自变量的取值范围，从而结合函数图象即可得解； （4）设M点坐标为，根据平行四边形的性质以及中点坐标公式求解即可． 【小问1详解】 解：∵直线和直线相交于点， ∴将代入直线中，得，即， 将代入直线中，得，即， ∴直线为，直线； 【小问2详解】 解：连接， ∵直线与轴相交于点， 当时，得，解得，即点，， 当时，得，即点，， ∵直线与轴相交于点， ∴当时，得，解得，即点，， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：依据题意得，不等式组的解集是直线在直线下方，且都在轴下方部分对应的自变量的取值范围， ∵，， ∴结合函数图象可得，； 【小问4详解】 解：设M点坐标为， ∵，，， 当为对角线时， ∴，， 解得，， ∴M点坐标为； 当为对角线时， ∴，， 解得，， ∴M点坐标为； 当为对角线时， ∴，， 解得，， ∴M点坐标为； 综上，M点坐标为或或． 25. （1）一节数学课上，老师提出了这样一个问题：如图1，在中，，，点M，N在斜边上，，，，你能求出的长度吗？ 小清通过观察，分析，思考，形成了如下思路： 思路一：将绕点逆时针旋转，得到，显然，连接；求出的长度； 思路二：将绕点顺时针旋转，得到，显然，连接，求出的长度； 请参考小清的思路，任选一种写出完整解答过程． （2）【类比探究】如图2，在等边中，点、在边上，，，，求的长．（直接写出答案） 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】（1）思路一：将绕点逆时针旋转，得到，易得为直角三角形，证明，得到，利用勾股定理求出的长即可；思路二：同思路一； （2）将绕点逆时针旋转，得到，同理得到，推出，作交的延长线于点，设，利用直角三角形的性质结合勾股定理即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 思路一：将绕点逆时针旋转，得到， ∴，连接， 则：，，，， ∴，， ∴， 又， ∴， ∴， 在中：； 思路二：将绕点顺时针旋转，得到， ∴，连接， 则：，，，， ∴，， ∴， 又， ∴， ∴， 在中：； （2）∵是等边三角形，， ∴， ∵， ∴， 将绕点C逆时针旋转，得到， ∴，连接， 则：，，，， ∴，， ∴， 又， ∴， ∴， 作交的延长线于点， ∵， ∴，， ∴，， 设，则，， ∴， 在中，由勾股定理得， 解得， ∴． 【点睛】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，等边三角形的性质，直角三角形的性质和勾股定理，解题的关键是通过旋转构造全等三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $