宁夏六盘山高级中学2025-2026学年高一第二学期第二次月考测试数学试题

**基本信息** 高一数学月考A、B卷，120分钟150分，覆盖复数、统计、概率、立体几何等，以高温预警概率模拟、知识竞赛数据分析等真实情境，通过基础运算到综合证明的分层设问，考查数学眼光（空间观念）、思维（推理能力）与语言（数据观念）。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|复数运算、分层抽样、分位数|基础概念应用，如分层抽样中男女生人数计算| |多选|4/20|统计图表分析、线面关系判定|多选项辨析，如结合扇形图判断选科人数| |填空|4/20|向量垂直、独立事件概率|简洁计算，如向量垂直求参数值| |解答题（A卷）|2/20|圆柱与三棱柱体积、频率分布直方图|几何体积公式应用与数据平均值估计| |解答题（B卷）|4/50|正方体面面垂直证明、抽奖概率、面试通过概率、四边形面积最值|综合应用，如正方体中平面与平面垂直证明、竞赛成绩前10%表彰判断|

宁夏六盘山高级中学 2025-2026学年第二学期高一第二次月考测试卷答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A A B D B D C AC ABC 题号 11 12 13 14 15 16 答案 ACD ABD       一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.复数(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解： 故选：． 2.某校高一年级有名学生，其中男生有名，女生有名，按比例分层随机抽样抽取一个容量为的样本，则抽取男生和女生的人数分别为(    ) A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A  【解析】根据分层随机抽样原理知，，，所以抽取男生人，女生人．故选A． 3.已知一组数据为：，，，，，，，则这组数据的分位数为(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】解：数据从小到大排列为：，，，，，，， 由于， 所以这组数据的分位数为第个数． 故选：． 根据百分位数的计算公式求解即可． 本题主要考查了百分位数的定义，属于基础题． 4.在中，，则(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】【分析】 本题考查正弦定理，属于基础题． 利用正弦定理将边化角，即可求出，从而得解． 【解答】 解：因为， 由正弦定理可得，即， 又，所以． 故选：． 5.已知中，，，则(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】【分析】 本题考查向量的数量积运算，考查空间向量的坐标运算，属于基础题． 以点为坐标原点，方向分别为轴，轴正方向建立平面直角坐标系，求出的坐标，再利用向量数量积运算即可求解． 【解答】 解：如图，以点为坐标原点，方向分别为轴，轴正方向建立平面直角坐标系， 则，，， 因为， 所以， 所以， 故选D． 6.进入月以后，某市持续高温，气象局一般会提前发布高温橙色预警信号高温橙色预警标准为内最高气温将升至以上，在接下来的天中，每一天最高气温在以上的概率是用计算机生成了组随机数，结果如下： 若用，，，，，表示发布高温橙色预警，用，，，表示不发布高温橙色预警，则接下来的天中恰有天发布高温橙色预警信号的概率估计是(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】由题意可知表示接下来的天中恰有天发布高温橙色预警信号的随机数有，，，，，，，，，，共个，故接下来的天中恰有天发布高温橙色预警信号的概率估计是故选B． 7.如图，下列正方体中，、、、分别是所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线和为异面直线的是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】解：对于，如图，，，，，四点共面，不是 对于，如图，，，，，四点共面，不是 对于，如图，，，，，四点共面，不是 对于，如图，平面，平面，平面，直线， 则与是异面直线，是． 故选：． 8.连掷两次骰子得到的点数分别为和，记向量与向量的夹角为，则的概率是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】【分析】 本题考查利用古典概型的概率公式计算事件的概率，利用向量数量积的坐标运算求向量的夹角，属于中等题． 由，得出，计算出所有可能的总数以及事件所包含的可能情况，然后利用古典概型的概率公式可计算出所求事件的概率． 【解答】 解：，即， 连掷两次骰子得到的点数分别为和，所有的可能情况有 种， 事件“”所包含的所有情况有：、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、，共个， 因此，事件“”的概率为． 故选：． 二、多选题：本题共4小题，共23分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.某学校对高一学生选科情况进行了统计，发现学生选科仅有物化生、政史地、物化地、物化政、生史地五种组合，其中选考物化地和物化政组合的人数相等，并绘制得到如下的扇形图和条形图，则(    ) A. 该校高一学生总数为 B. 该校高一学生中选考物化政组合的人数为 C. 该校高一学生中选考物理的人数比选考历史的人数多 D. 用比例分配的分层随机抽样方法从该校高一学生抽取人，则生史地组合抽取人 【答案】AC  【解析】【分析】 本题主要考查了统计图的应用，考查了学生的计算能力，属于基础题． 根据政史地人数和占比可判断；计算出物化生的人数后，可判断；分别计算选考历史和物理的人数，可判断；确定生史地组合人数占比后，根据分层抽样原则，可判断． 【解答】 解：对于，选科为政史地的人数为人，占比为， 该校高一学生共有人，A正确； 对于，选科为物化生的人数为人， 选科为物化政的人数为，B错误； 对于，选考历史的人数有人，选考物理的人数有人， 选考物理的人数比选考历史的人数多，C正确； 对于，选科为生史地的学生人数占比为， 采用分层抽样抽取人，生史地组合应抽取人，D错误． 故选：． 10.已知直线，，平面，，则下列说法错误的是(    ) A. ，，则 B. ，，，，则 C. ，，，则 D. ，，，，，则 【答案】ABC  【解析】解：选项A中，可能在内，也可能与平行，故A错误； 选项B中，与也可能相交，故B错误； 选项C中，与也可能相交，故C错误； 选项D中，依据面面平行的判定定理可知，故D正确． 故选：． 由线面平行，面面平行的判定可判断各选项的正误． 本题考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判定，考查空间想象能力与思维能力，是基础题． 11.在一个密闭的盒子中放有大小和形状都相同，编号分别为，，，的张卡牌，现从中依次不放回摸出两张卡牌，记事件“第一次摸出的卡牌的编号为奇数”，事件“摸出的两张卡牌的编号之和为”，事件“摸出的两张卡牌的编号之和为”，则(    ) A. 事件与事件为互斥事件 B. C. 事件与事件相互独立 D. 【答案】ACD  【解析】解：从中依次不放回摸出两张卡牌，样本空间为，共个样本点． 事件“第一次摸出的卡牌的编号为奇数”，样本点有，共个样本点； 事件“摸出的两张卡牌的编号之和为”，样本点有，共个样本点； 事件“摸出的两张卡牌的编号之和为”，样本点有，共个样本点． 对于，，所以事件与事件为互斥事件，故A正确； 对于，，故B错误； 对于，，， 包含的基本事件有，，所以， 因为，所以事件与事件相互独立，故C正确； 对于，，故D正确． 故选：． 求出从中依次不放回摸出两张卡牌样本空间，及求出事件、事件包含样本点可判断；求出可判断；检验、是否相等可判断；利用可判断． 本题考查相互独立事件的概率乘法公式、事件的加法公式等，属于基础题． 12.对非零向量，定义变换，得到一个新的向量，关于该变化，下列说法正确的是(    ) A. B. 若，则 C. 设，，为线段的中点，则 D. 设，为坐标原点，且点，，构成等腰三角形，则 【答案】ABD  【解析】解：对非零向量，定义变换， ，，故A正确； 若，记，由选项，， 若，则，故B正确； ，，为线段的中点， ，故C错误； ，，， ，，， ，，构成等腰三角形，只可能， 联立可解，故D正确． 故选：． 对于，根据定义的变换代入计算即可，对于，可设，在代入定义变换运算法则即可判断；对于，先求点，然后得出，代入定义变换直接计算即可；对于，先计算，再得，再利用点，，构成等腰三角形，列出方程再解方程即可． 本题考查平面向量运算法则、新定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13.已知向量，若，则          ． 【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，两个向量坐标形式的运算法则，属于基础题． 由题意，利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，两个向量坐标形式的运算法则，计算求得的值． 【解答】 解：向量，，， ， 则， 故答案为：． 14.已知一场足球比赛中，队员甲进球的概率为，队员乙进球的概率为，这两名队员是否进球相互独立，则同一场比赛中他们两人至少有一人进球的概率为          ． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查了相互独立事件的概率以及对立事件的概率，属于基础题． 由相互独立事件的概率求得甲、乙均没有进球的概率，然后利用对立事件概率公式即可求解． 【解答】 解：一场比赛中甲、乙均没有进球的概率为， 故至少有一人进球的概率为： ． 故答案为：． 15.在中，，，，则          ． 【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查三角形面积公式、余弦定理的应用，同角三角函数基本关系式，属于基础题． 通过及余弦定理，求出，再通过余弦定理求得，进而求出的值，进而余弦定理计算边． 【解答】 解：， ， 又根据余弦定理， ，即， ． 又，， 由余弦定理得． 故答案为． 16.在三棱锥中，，，，若该三棱锥的所有顶点均在球的表面上，则球的表面积为        ． 【答案】  【解析】解：在三棱锥中，， 点在平面上的射影为的外心，又，， 的外接圆的半径， 三棱锥的高为，设该三棱锥外接球的半径为， 则，， 球的表面积为． 故答案为：． 先根据正弦定理求出的外接圆的半径，从而可得三棱锥的高，再利用勾股定理求出三棱锥外接球的半径，在最后代入球的表面积公式，即可得解． 本题考查三棱锥的外接球问题，正弦定理的应用，属中档题． 四、解答题：本题共6小题，共82分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题分 如图，三棱柱内接于一个圆柱，且底面是正三角形，圆柱的体积是，底面直径与母线长相等． 求圆柱的底面半径 求三棱柱的体积． 【答案】解：设底面圆的直径为，由题可知，圆柱的体积， 解得，即圆柱的底面半径为 因为为正三角形，底面圆的半径为， 由正弦定理，边长， 所以三棱柱的体积．   【解析】详细解答和解析过程见【答案】 18.本小题分 某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取份作为样本，将个样本数据按，，，，分成组，并整理得到如图所示频率分布直方图． 求图中的值； 请通过频率分布直方图估计这份样本数据的平均值同一组中的数据用该组区间的中点值作代表； 该市决定表彰知识竞赛成绩排名前的市民，某市民知识竞赛的成绩是，请估计该市民能否得到表彰． 【答案】解：由频率分布直方图可得， 所以， 份样本数据的平均值为：分． 成绩低于分的频率为，成绩低于分的频率为， 则被表彰的最低成绩为第分位数：， 因为， 所以估计该市民能得到表彰．  【解析】根据频率分布直方图的性质列方程求即可． 根据平均数的计算公式，即可求得答案； 根据频率分布直方图计算样本的第 百分位数，与比较，即可得结论． 本题考查频率分布直方图的性质，平均数的求解，百分位数的求解，属中档题． 19.本小题分 正方体如图所示 求证：平面． 平面平面． 【答案】由题设得：，， 所以四边形为平行四边形， 所以， 又因为平面，平面， 所以平面  ，， 所以四边形为平行四边形， 所以， 又因为平面，平面， 所以平面，平面． 又因为，，平面， 所以平面平面  【解析】证明：由题设得：，， 所以四边形为平行四边形， 所以， 又因为平面，平面， 所以平面． ，， 所以四边形为平行四边形， 所以， 又因为平面，平面， 所以平面，平面， 又因为，，平面， 所以平面平面． 先证明平行四边形得出线线平行，再结合线面平行判定定理证明； 先证明线面平行，再应用面面平行判定定理证明． 本题考查空间线面位置关系的判定，考查逻辑推理能力，属于中档题． 20.本小题分 某商场做促销活动，顾客每购满元可抽奖一次在一个袋子中装有除颜色外其他完全相同的个小球，其中个红球、个黑球、个黄球某顾客购满元，可抽奖一次． 若从中依次不放回地取出个球，取出的球中有黄球，则送一件价值元的礼品，求这位顾客能获得一件价值元的礼品的概率． 若从袋子中连续取两次球，每次取出个球，记完颜色后放回搅匀，当取出的个球中没有红球时，送一件价值元的礼品，则这位顾客获得一件价值元的礼品的可能性会超过吗 【答案】【解析】个红球分别记为，，，个黑球记为，个黄球记为． 从袋子中依次不放回地取出个球，所包含的样本点为，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共个， 有黄球的样本点为，，，，，，，，共个，所以这位顾客能获得一件价值元的礼品的概率为． 从袋中连续取两次球，每次取出个球，记完颜色后放回搅匀，则该事件所包含的样本点为，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共个， 取出的个球中没有红球的样本点为，，，，共个， 所以这位顾客能获得一件价值元的礼品的概率为， 所以这位顾客获得一件价值元的礼品的可能性不会超过．   【解析】略 21.本小题分 甲、乙两位同学独立地参加某高校的入学面试，入学面试时共有道题目，答对道题则通过面试前道题都答对或都答错，第道题均不需要回答已知甲答对每道题目的概率均为，乙答对每道题目的概率依次为，，，且甲、乙两人对每道题能否答对相互独立． 求乙道题都回答且通过面试的概率； 求甲没有通过面试的概率； 求甲、乙两人恰有一人通过面试的概率． 【答案】解：根据题意只需满足前两道回答对一道且最后一道正确， 则乙道题都回答且通过面试的概率为； 甲没有通过面试，即分前两道回答对一道且最后一道错误或前两道均回答错误两种情况， 则甲没有通过面试的概率为； 由可得甲通过面试的概率为， 而由可得乙通过面试的概率为， 则甲、乙两人恰有一人通过面试的概率为．  【解析】根据题意只需满足前两道回答对一道且最后一道正确即可； 分前两道回答对一道且最后一道错误或前两道均回答错误即可； 分别计算甲、乙通过面试的概率，在结合相互独立事件概率公式即可． 本题考查相互独立事件的概率乘法公式，属于基础题． 22.本小题分 克罗狄斯托勒密是古希腊天文学家、地理学家、数学家，他在所著的天文集中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当对角互补时取等号如图，半圆的直径为，为直径延长线上的点，，为半圆上任意一点，且三角形为正三角形． 当时，求四边形的周长； 当多大时，四边形的面积最大，并求出面积的最大值； 若与相交于点，则当线段的长取最大值时，求的值． 【答案】；  ，；  ．  【解析】在中，由余弦定理， 得 ，所以， 所以四边形的周长为； 设， 在中，由余弦定理得， 四边形的面积为 ， 当，即时， 四边形的面积取到最大值为； 由题意，，且为正三角形， ，，，即的最大值为， 取等号时，，则， 不妨设，则，得， 即，故， 在中，由余弦定理得，故为的角平分线， 由角平分线性质可得，，故，， 由，，，四点共圆知，平分， 所以， 故． 于是 ． 下证角平分线性质： 已知中，是的角平分线，交于，求证：：：． 证明：在中，， 在中，， 因为是的角平分线，所以， 又，所以：：． 依题意由余弦定理求出的长，即可求得正三角形的边长，进一步可求得四边形的周长． 设，由余弦定理表示出，再表示出四边形的面积，由三角函数性质即可求解． 依题意求得的最大值及取最大值时的条件，再由余弦定理求得的长，即可求得，的大小，由角平分线性质求得，的长，由平分得，利用向量运算得，从而利用数量积的运算律求解即可． 本题考查平面向量与解三角形的综合应用，属难题． 第2页，共8页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宁夏六盘山高级中学 2025-2026学年第二学期高一第二次月考测试卷 试卷类型：A、B卷 学科：数学 测试时间：120分钟 满分：150分 命题教师： A卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1.复数(    ) A. B. C. D. 2.某校高一年级有名学生，其中男生有名，女生有名，按比例分层随机抽样抽取一个容量为的样本，则抽取男生和女生的人数分别为(    ) A. ， B. ， C. ， D. ， 3.已知一组数据为：，，，，，，，则这组数据的分位数为(    ) A. B. C. D. 4.在中，，则(    ) A. B. C. D. 5.已知中，，，则(    ) A. B. C. D. 6.进入月以后，某市持续高温，气象局一般会提前发布高温橙色预警信号高温橙色预警标准为内最高气温将升至以上，在接下来的天中，每一天最高气温在以上的概率是用计算机生成了组随机数，结果如下： 116 785 812 730 134 452 125 689 024 169 334 217 109 361 980 824 044 147 318 027 若用，，，，，表示发布高温橙色预警，用，，，表示不发布高温橙色预警，则接下来的天中恰有天发布高温橙色预警信号的概率估计是(    ) A. B. C. D. 7.如图，下列正方体中，、、、分别是所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线和为异面直线的是(    ) A. B. C. D. 8.连掷两次骰子得到的点数分别为和，记向量与向量的夹角为，则的概率是(    ) A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.某学校对高一学生选科情况进行了统计，发现学生选科仅有物化生、政史地、物化地、物化政、生史地五种组合，其中选考物化地和物化政组合的人数相等，并绘制得到如下的扇形图和条形图，则(    ) A. 该校高一学生总数为 B. 该校高一学生中选考物化政组合的人数为 C. 该校高一学生中选考物理的人数比选考历史的人数多 D. 用比例分配的分层随机抽样方法从该校高一学生抽取人，则生史地组合抽取人 10.已知直线，，平面，，则下列说法错误的是(    ) A. ，，则 B. ，，，，则 C. ，，，则 D. ，，，，，则 11.在一个密闭的盒子中放有大小和形状都相同，编号分别为，，，的张卡牌，现从中依次不放回摸出两张卡牌，记事件“第一次摸出的卡牌的编号为奇数”，事件“摸出的两张卡牌的编号之和为”，事件“摸出的两张卡牌的编号之和为”，则(    ) A. 事件与事件为互斥事件 B. C. 事件与事件相互独立 D. 12.对非零向量，定义变换，得到一个新的向量，关于该变化，下列说法正确的是(    ) A. B. 若，则 C. 设，，为线段的中点，则 D. 设，为坐标原点，且点，，构成等腰三角形，则 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13.已知向量，若，则          ． 14.已知一场足球比赛中，队员甲进球的概率为，队员乙进球的概率为，这两名队员是否进球相互独立，则同一场比赛中他们两人至少有一人进球的概率为          ． 15.在中，，，，则          ． 16.在三棱锥中，，，，若该三棱锥的所有顶点均在球的表面上，则球的表面积为        ． 四、解答题：本题共2小题，共20分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17.本小题分如图，三棱柱内接于一个圆柱，且底面是正三角形，圆柱的体积是，底面直径与母线长相等． 求圆柱的底面半径 求三棱柱的体积． 18.本小题分 某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取份作为样本，将个样本数据按，，，，分成组，并整理得到如图所示频率分布直方图． 求图中的值；请通过频率分布直方图估计这份样本数据的平均值同一组中的数据用该组区间的中点值作代表； 该市决定表彰知识竞赛成绩排名前的市民，某市民知识竞赛的成绩是，请估计该市民能否得到表彰． B卷 五、解答题：本题共4小题，共50分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19.本小题分 正方体如图所示 求证：平面． 平面平面． 20.本小题分 某商场做促销活动，顾客每购满元可抽奖一次在一个袋子中装有除颜色外其他完全相同的个小球，其中个红球、个黑球、个黄球某顾客购满元，可抽奖一次． 若从中依次不放回地取出个球，取出的球中有黄球，则送一件价值元的礼品，求这位顾客能获得一件价值元的礼品的概率． 若从袋子中连续取两次球，每次取出个球，记完颜色后放回搅匀，当取出的个球中没有红球时，送一件价值元的礼品，则这位顾客获得一件价值元的礼品的可能性会超过吗 21.本小题分 甲、乙两位同学独立地参加某高校的入学面试，入学面试时共有道题目，答对道题则通过面试前道题都答对或都答错，第道题均不需要回答已知甲答对每道题目的概率均为，乙答对每道题目的概率依次为，，，且甲、乙两人对每道题能否答对相互独立． 求乙道题都回答且通过面试的概率； 求甲没有通过面试的概率； 求甲、乙两人恰有一人通过面试的概率； 22.本小题分 克罗狄斯托勒密是古希腊天文学家、地理学家、数学家，他在所著的天文集中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当对角互补时取等号如图，半圆的直径为，为直径延长线上的点，，为半圆上任意一点，且三角形为正三角形． 当时，求四边形的周长； 当多大时，四边形的面积最大，并求出面积的最大值； 若与相交于点，则当线段的长取最大值时，求的值． 高一数学 第 1 页 共 2 页 学科网（北京）股份有限公司 $