山西省定襄县定襄中学校2025-2026学年高一下学期6月阶段检测数学试题A

5.在·ABC中，BC=2,AC=1+√3，AB=√6，则A=() 报 高一 数学试卷(A卷) A.45° B.60 C.120 D.13 满分150分，时问120分钟 6.在△ABC中，角A.B,C所对边长分别为a,b,G,若a+F=2C,则cosC的最小值 注意事项 1,答题前，考生务必将自己的败名，准考证号填写在答是卡上 2、不随意在答您卡上涂敛、乱画。使用黑色中性笔，认宾提范答题，不得使用涂或液、修正带、透明胶等方法致错， B号 c D.-克 3、考试结束后，试巷本人留存将答题卡交回.。 7.如图，某校数学兴趣小组对古塔AB进行测量，AB与地面垂直，从地面C点看塔项A的仰角B为60，沿直 块 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一 项是符合题目要求的。 线BC前行2C米到点D此时看塔顶A的仰角a为0，根据以上数据可得古塔AB的高为州) 1.在复平面内，1+06-对应的点位于孔升) A.10V B.26 A第一象限 B.第二象限 C,第三象限 D.第四象限 C.10 D.10N2 2已知四边形ABCD是平行四边形，花=，办，AC=1.办则A而() D A(-1,-) B.1. C.240 D.3.) 8.已知矩形ABCD,AB=I,BC=2,将4ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折的过程中 3.设m,n是两条不同的直线，a,是两个不同的平面，敷) () A.若m⊥n,na,则m⊥a B.若m⊥a,/a,则m⊥n A.存在某个位置，使得直线AB和直线CD垂直 B.存在某个位置，使得直线AC和直线BD垂直 龄 C.若m1a,a⊥B,则mlB D.若m⊥n,n⊥B.则/B C.存在某个位置，使得直线AD和直线BC垂直 D.无论折到什么位凰，以上三组直线均不垂直 4.如图，在正方体ABCD-A,B,C,D中，异面直线AC与AB所成的角为州) 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中， 有多项是符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的 A.90 B.6 得0分。 C.45 D.0 试卷第1页（共3页） a“"1%。 回只 四、解答题：本题共5个小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或者 9.己知向量脑=亿.-2弘.6=1.办，则下列结论正确的则) 演算步骤。 15.(本小题13分) Aa-B=0.-) B.a+6=5 设复数z=1-aiaE,复数z,=3+i. C.向量a与的夹角州 D.若五低上的投影响量--引 (1)若2+z,∈R.求实数a的值： 10.在ABC中，己知a=5.b=7.c=8财) (2)若号是纯虚数，求z A.·ABC为锐角三角形 B.+ABC的面积为10W5 C.=克 D8-9 16.(本小恩15分) 1L.如图，在棱长为I的正方体ABCD-ABCD中) 已知向量益=6，x功，3=(-1.2办 AAC与BD,的夹角为60 (1)若a16.求x B.二面角D-AC-D,的平面角的正切值为√2 (2)若a%,求x C.AB,与平面ACD,所成角的正切值V② (3)若数一1，求a与的夹角. D.点D平面ACD,的距离为号 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 17.(本小题15分) 12若复数！-26+)是纯数，则实数a的值为 如图.在△ABC中，D是BC上的点，AB-3√3.BD=4,C=AD=V7. (1)求角B的大小 13.在·ABC冲，AB=√6.A=7乃，B=5,则AC=一 (2)求△ACD的面积. 14.在正四枚台ABCD-A,BCD中，AB=2,A,B,=1,AM,=√2.则该棱台的体积为一· 试卷第2项（共3页） a^“”1…%。口 18.(本小思17分) 19.(木小题17分) 螺 (九章算术)中有这样一段话：“斜解立方，得两堵，斜解堵，其一为阳马，一为鉴”，这里所谓 如图，在三棱柱ABC一AB,C中，侧棱垂直于底面，AC⊥BC,AC=BC=CC,E,F分别为A,B,BC的 的“阳马”，就是底面是矩形且一条侧枝垂直于底面的四核锥如图，四枝锥P一ABCD为阳马，PA⊥底面 中点 ABCD.AB=√2.PA=AD=L,E,F分别为ABPC的中点. (1)求证：AC⊥CF (1)证明：EF/平面PAD: (2)求证：BE∥平面ACF 中p 封 (3)在棱CC,上是否存在一点G,使得平面B,EG⊥平面AC,F?说明理由， (2)证明：EF⊥平面PCD: (3)求直线BF与平面ABCD所成角的大小 内 答 希 试卷第3页（共3页） a化“"%o口高一数学答案 1.A 2.A 3.B 4.B5.A 6.C7.A8.A 9.AD 10.AB 11.BCD 12.-213.214.2 15.解：(1)'z1=1-ai(a∈)，z2=3+4i, ∴21+22=4+(4-a)i, 由z1+z2∈R,得4-a=0,即a=4: (2)岭==88号=岩-2尝兰是纯虚数， 25 8a+48 即a=是 “l=1-利=√12+(-2=是 16.解：(1)由16，则a.b=-3+2x=0,解得x= (2)由/乃，则3×2=-x,解得x=-6: (3)当x=-1时，a=(3,-1),b=(-1,2), 则cosd,i)=a6 a9-号 -3-2 因为（位，）∈[0，，所以与的夹角为孤 17.解：(1)由于AB=3V3,BD=4,AD=V7, 在△ABD中，cosB=4B2+BD2-A02=7167=号 2ABXBD 2x3V3×4=2 又B∈(0，π)， 可得B= (2)由(1)可知B=君C=子所以LBAC=2 又AB=3V3,所以AC=3,BC=6, 由BD=4,可知DC=2, 所以SacD=AC.DC.sinc=×3×2x9=32 18.解：(1)证明：作PD的中点M,连接AM,MF, 第1页，共9页 a^“6"1.%。a M. D E B 由M.F得分别为PD.PC的中点， 所以MP//DC且MF=DC, 又因为AE/ DC且AE=2DC, 所以MF/AE且MF=AE, 所以四边形AMFE为平行四边形，所以EF//AM, 因为AMc平面PAD,EFE平面PAD, 所以EF//平面PAD (2)证明：因为AD=PA,所以AM⊥PD, 因为PA⊥底面ABCD,而CDC底面ABCD,所以PA⊥CD, 又因为CD⊥AD,PA,ADC平面PAD,且PAn AD=A, 所以CD⊥平面PAD,而AMc平面PAD,所以CD⊥AM, 因为EF//AM,AM⊥PD, 所以CD⊥EF,EF⊥PD, 又因为PDnCD=D,PD,CDc平面PCD, 所以EF⊥平面PCD: (3)连接AC,BD交于点0，连接0F, M 因为点O,F分别为AC,PC的中点，所以OF/IPA, 所以OF⊥平面ABCD, 所以BO为BF在平面ABCD中的射彩， 所以BF与平面ABCD所成角为∠FBO, 由己知得80=BD=VAB+AD=罗，0F=折以tan-FB0=号 第2页，共9页 可 a^“"1.%。a 因为LFB0为锐角，所以LPB0=哥， 所以BF与平面ABCD所成角为、 19.【解析】 (1)在三棱柱ABC-A1B1C1中， 因为侧棱垂直于底面，所以CC1⊥平面ABC, 又ACc平面ABC,所以CC1⊥AC. 因为AC⊥BC,CC1nBC=C,CC1,BCc平面BCC1B1, 所以AC⊥平面BCC1B1· 因为C1Fc平面BCC1B1,所以AC⊥C1F. (2)如图，取A1C1的中点H,连接EH,FH, 则EH/B1C1,且EH=B1C1. 又BF/B1C1,且BF=2B1C1, 所以EH/IBF,且EH=BF, 所以四边形BEHF为平行四边形， 所以BE/IFH. 又BE平面A1C1F,FHC平面A1C1F, 所以BE//平面A1C1F. (3)在棱CC1上存在点G,且G为CC1的中点，使得平面B1EG⊥平面A1C1F,理由如下： 如图，连接EG,GB1. 在正方形BB1C1C中， 因为F为BC的中点，所以△B1C1G兰△C1CF, 所以∠CC1F+∠B1GC1=90°，所以B1G⊥C1F. 由(1)可得AC1平面BB1C1C 因为AC//A1C1,所以A1C1⊥平面BB1C1C 因为B1Gc平面BB1C1C,所以A1C11B1G. 因为A1C1nC1F=C1,A1C1,C1Fc平面A1C1F, 所以B1G1平面A1C1F 第3页，共9页 a^“6"1.%。a 因为B1Gc平面B1EG,所以平面B1EG⊥平面A1C1F. B H E B 【解析】 1.【分析】 本题考查复数的乘法运算，复数的代数表示及其几何意义，属于基础题. 直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案， 【解答】 解：(1+3)(3-)=3-i+9i+3=6+8i, 则在复平面内，(1+3)(3-)对应的点的坐标为(6,8)，位于第一象限. 故选：A. 2.【分析】 本题主要考查向量的坐标运算，平面向量的加减运算，属于基础题. 根据愿意有CD=-AB=(-2,一4)，利用向量的坐标运算及向量加减运算法则即可求解. 【解答】 解：~四边形ABCD为平行四边形， 4CD=-A丽=(-2，-4)， 又：AC=(1,3), ÷AD=AC+CD=(-1,-1). 故选A. 3.【分析】 本题考查空间中线线、线面、面面的位置关系，属于基础题。 根据愿意，对各选项逐项判断，即可求出结果。 第4页，共9页 al“"1%o¤ 【解答】 解：对于A,当m为a内与n垂直的直线时，显然m⊥n,mca,故A错误： 对于B,因为n//a,所以经过n作平面y,使yna=l,可得n//儿， 又因为m⊥a,lca,所以m⊥l,结合n//l得m⊥n,故B正确： 对于C,若m⊥a,a⊥B,则m//B或mcB,故C错误： 对于D,若m⊥n,n⊥B,则m//B或mcB,故D错误. 故选B. 4.【分析】 本题考查异面直线所成角，属于基础题 连接CD1,AD1,则异面直线AC与A1B所成的角为∠D1CA,再根据△AD1C为等边三角形，即可求出结果， 【解答】 解：连接CD1,AD1,如图所示： D C B A D B A1D1//BC,AD1=BC, 四边形A1D1CB为平行四边形，÷A1B/D1C, 异面直线AC与A1B所成的角为∠D1CA, △AD1C为等边三角形，·∠D1CA=60°， “异面直线AC与A1B所成的角为60. 故选：B 5.由杂定理得csA=C_盟2-制=受又Ae0小所0A=导 2AC-AB 2x(1+3)x√6 6.分折：因为a2+=22,所以由余弦定理可，知c2=2 2abcosC,所以cosC=品-×≥× 瑞=故选C 7.【分析】 本题考查解三角形的实际应用，属于基础题. 由题意可得出AC的长度，然后由三角函数定义易得AB. 第5页，共9页 al“"1%o¤ 【解答】 解：由题意可得LCAD=30°，可得AC=CD=20, 在△ABC中AB=ACsinB=20sin60°=20×号=10√3. 故选A. 8.如图：作CF⊥BD于F,AE⊥BD于E,翻折前AC=V5,易知存在一个状态使AC=√3，满足AC2+ AB2=BC2·AC⊥AB,AB⊥AD,六AB⊥平面ACD,CD∈平面ACD·AB⊥CD,故A正确，D错误：若 AC和BD垂直，~BD⊥CF·BD⊥平面ACF,AF∈平面ACF,·BD⊥AF,不成立，故B错误：若AD和BC 垂直，BC⊥CD,故BC⊥平面ACD,AC∈平面ACD,·AC⊥BC,因为AB<BC,故AC⊥BC不成立，故C 错误：故选A. (2) 9.解：因为a=(1,-2),b=(1,3),所以a-b=(1,-2)-(1,3)=(0,-5),故A正确： 由已知可得a+万=(1，-2)+(1,3)=(2,1)，a+=√22+12=√5，故B错误： 因为心s位列===-号又0≤包副≤，所以低)=票故C错误： 1-6 6=可(1,3)=(-引，故D正确 a在6上的投影向量为a56=,-5 故选：AD. 10.解：对于A,因为a=5,b=7,c=8,则角C最大， 由余弦定理可得co5C=24-e=2594=>0, 2ab 2×5×7 即角C为锐角，所以△ABC为锐角三角形，故A正确： 对于B,由A可得cosC=京则sinC=√1-(（)= 则S.Aac=2 absinC=×5×7×4号=10/3，故B正确： 7 对于G,由余弦定理可得c0sA-+=%5=盟=是故C错误！ 2bc 2×7×8 对王。由忘弦定理可得短=c,即snB=8=2，放D错误， 故选：AB. 第6页，共9页 6 al“"1…%oa 11.【分析】 本题考查直线和平面所成的角，二面角，异面直线所成的角，点到平面的距离，属于中档题. 通过线面垂直的判定即可得出A选项错误，再逐一验证其他选项即可. 【解答】 解：连接BD,交AC于O,则AC⊥BD,且AC⊥DD1, 又BD n DD1=D,BD,DD1C平面BDD1 所以AC⊥平面BDD1,又BD1C平面BDD1,所以AC⊥BD1,所以AC与BD1的夹角为90°，故A错误： 因为D0⊥AC,D10⊥AC,所以∠DOD1为二面角D-AC-D1的平面角， 在直角三角形D1D0中，tanzD0D1==√2，故B正确： DO 易证B1D⊥平面ACD1,所以AB1与平面ACD1所成角8是AB1与B1D所成角的余角， tn-ABD=铝=号所以tam0=VZ,故C正确： 点B1到面ACD,的距离为AB1sm8=V2×=2, 3 所以点D到平面ACD,的距离为号，故D正确， 故选：BCD 12.略 13,由正弦定理，得品=品所以，5 AB in45=sin180-(75+45万 x咖5=置×竖-2 即AC=AB 2 14.【分析】 本题考查棱台体积公式的应用，是基础题 先根据题意求出正四棱台的高，再代入棱台的体积公式即可求解. 【解答】 解：如图，设正四棱台ABCD-A1B1C1D1的上下底面中心分别为M,N, 过A1作A1H⊥AC,垂足点为H, 第7页，共9页 al“"1…%o¤ D B DL 'H A B 在正四棱台ABCD-A1B1C1D1中， A1B1=1, AM=49-号 2 又A1H⊥AC,MN⊥AC, 易知四边形A1HNM是平行四边形， HN=AM=号AH=MN, 又AN=√Z, dAH=AN-HN=竖 又AA1=V2, ÷在Rt△A1AH中， A H=A A2-AHZ 该四棱台的体积为号×(1+4+V1×④)×罗=7西， 6 故答案为：76 6 15.本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，考查复数模的求法. (1)由己知利用复数代数形式的加减化简，再由虚部为0求得a值： (2)利用复数代数形式的乘除运算化简，由实部为0且虚部不为0求得α值，再由复数模的计算公式求 Izl. 16.详细解答和解析过程见【答案】 17.本题主要考查了余弦定理，三角形内角和定理，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了 计算能力和转化思想，属于基础题. 第8项，共9页 回 a^“"1.%。a (I)由已知在△ABD中，利用余弦定理可求cosB的值，结合B∈(0，π)，可得B的值. (2)由(1)及三角形内角和定理可得LBAC=究进而可求AC,DC的值，根据三角形的面积公式即可求解。 18.本题考查直线与平面所成的角，线面垂直的判定，线面平行的判定，属于中档题. 19.略 第9页，共9页 a^”"1.%oa