(普查练习)第15课 三角函数的图像与性质-2023版新高考数学一轮【提分宝典】全考点普查随堂课后练

第15课 三角函数的图像与性质 普查与练习15　　　　三角函数的图像与性质 1．三角函数的周期性 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (1)(多选)(2021海南模拟，5分)下列函数中，以4π为周期的函数有(　AD　) A．y＝tan B．y＝sin C．y＝sin|x| D．y＝cos|x| 解析：对于A：函数y＝tan的最小正周期为4π，故A正确； 对于B：函数y＝sin的最小正周期为8π，故B不正确； 对于C：根据图像可知函数y＝sin|x|不是周期函数，故C不正确； 对于D：y＝cos|x|＝cosx，最小正周期为2π， 所以4π也是它的一个周期，故D正确．故选AD. (2023改编，5分)在函数y＝，y＝2sin2x·，y＝，y＝|sinx＋cosx|＋|sinx－cosx|中，最小正周期为π的函数个数是(　B　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：①画出函数y＝的图像，如图所示，则函数的最小正周期为T＝2π. ②函数的定义域为{x|x≠＋kπ，k∈Z}, y＝2sin2x·＝2sin2x·＝2sin2x·cos2x＝sin4x，画出函数图像，如图所示，由图可知函数的最小正周期为T＝π. ③由已知得y＝＝＝sinxcosx＝sin2x，则函数的最小正周期为T＝＝π. ④根据诱导公式，易得 |sin＋cos|＋|sin－cos| ＝|cosx－sinx|＋|cosx＋sinx|＝|sinx＋cosx|＋|sinx－cosx|， 所以函数的一个周期为，所以函数y＝|sinx＋cosx|＋|sinx－cosx|的最小正周期一定小于π.故选B. (2)(2023汇编，25分)已知函数f(x)＝cos·cos(ω>0)． ①若函数f(x)的最小正周期为π，则ω＝(　B　) A．2 B．1 C. D．π ②若x1＝－，x2＝是函数f(x)的两个相邻的极值点，则ω＝(　C　) A．2 B. C．1 D. ③若函数f(x)的图像上相邻两对称轴之间的距离为，则ω＝(　A　) A. B. C. D．1 ④若函数f(x)有相邻的两个零点和，则ω＝(　C　) A．1 B. C．2 D．3 ⑤若f＝f，则ω的最小值是(　D　) A. B．1 C．2 D．3 解析：①∵ωx＋－＝， ∴ωx＋＝＋， ∴f(x)＝coscos＝－sincos＝－sin. ∵f(x)的最小正周期是π， ∴＝π，∴ω＝1.故选B. ②由题意可知，函数f(x)＝－sin的最小正周期为T＝2×＝π＝，∴ω＝1.故选C. ③函数f(x)的图像上相邻两条对称轴之间的距离为， 则T＝2×＝＝，得ω＝.故选A. ④∵f(x)有相邻的两个零点和，∴函数的最小正周期为T＝2×＝，得ω＝2.故选C. ⑤根据题意，可知函数f(x)的图像关于直线x＝对称，即2ω×－＝kπ＋，k∈Z，得ω＝k＋3，k∈Z. 要使得ω取最小值，则k＝0，此时ω取得最小值3.故选D. 2．三角函数的奇偶性 (3)(2023汇编，15分)已知函数f(x)的最小正周期为4π，f(φ)＝1，f(ωx－φ)＝2sin(ω＞0，0＜φ＜π)． ①函数f(x)是__偶__函数；(填“奇”“偶”或“非奇非偶”) ②函数g(x)＝是__非奇非偶__函数；(填“奇”“偶”或“非奇非偶”) ③若函数f(x－m)(m>0)是奇函数，则实数m的最小值是__π__． 解析：①由题意，令ωx－φ＝t，可得x＝，则f(t)＝2sin， 可得f(x)的解析式为f(x)＝2sin. ∵函数f(x)的最小正周期为4π，∴ω＝4. 又f(φ)＝1，∴＝sin. ∵0<φ<π，∴φ＝， ∴f(x)＝2sin＝2cosx. ∵f(x)的定义域为R，且f(－x)＝2cos＝2cosx＝f(x)，∴函数f(x)为偶函数． ②f(x－π)＝2cos＝2sin， g(x)＝． 令1＋2sin≠0，得x≠4kπ＋且x≠4kπ＋，k∈Z，∴函数g(x)的定义域为{x|x≠4kπ＋，且x≠4kπ＋}(k∈Z)． ∵函数的定义域不关于原点对称，∴函数为非奇非偶函数． ③∵f(x)＝2cosx，∴f(x－m)＝2cos. 又∵f(x－m)为奇函数，∴－＝kπ＋，k∈Z， ∴m＝－2kπ－π，k∈Z. 又∵m>0，∴当k＝－1时，m取得最小值π. 故答案是π. 3．三角函数的对称性 (4)(2023汇编，20分)已知函数f(x)＝sin－1(ω>0)的最小正周期为. ①下列选项正确的是(　C　) A．函数f(x)的图像关于直线x＝－对称 B．函数f(x)的图像关于点对称 C．函数f(x)的图像关于直线x＝对称 D．函数f(x)的图像关于点对称 ②(多选)若函数g(x)＝f(x＋φ)，且函数