精品解析：2026年江苏南京市鼓楼实验中学中考考前模拟数学试卷

2026南京鼓实三模数学试卷 一、选择题（共6小题，每小题2分，共12分） 1. 下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算中，计算错误的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列说法正确的是（　　） A. “没有水分，种子发芽”是随机事件 B. “在同一年出生的13名学生中，至少有2人出生在同一个月”是必然事件 C. “买一张电影票，座位号是奇数号”是确定事件 D. “抛掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数是6”是不可能事件 4. 实数在数轴上的对应点的位置如图所示，若实数满足，则的值可以是（ ） A. B. C. 0 D. 2 5. 如图，是直径，点C、D将分成相等的三段弧，点P在上．已知点Q在上且，则点Q所在的弧是（ ） A. B. C. D. 6. 下列关于函数的说法：①该函数的图象关于原点对称；②、两点在该函数图象上，若，则；③当时，；④该函数图象与反比例函数的图象没有交点．其中所有正确结论的序号是（ ） A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④ 二、填空题（共10小题，每小题2分，共20分） 7. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是________． 8. 比较大小：_____（填“>、<或=”）． 9. 我国科研团队成功研制出半导体电荷存储器“破晓”，“破晓”存储器擦写速度提升至400皮秒实现一次擦或者写．1皮秒仅相当于秒．则400皮秒用科学记数法表示为_____秒． 10. 分解因式：_________． 11. 用半径为4，圆心角为90°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径为_____． 12. 用反证法证明“在中，如果，那么”，第一步应假设_________． 13. 已知m，n是方程x2+2x﹣5=0的两个实数根，则m2﹣mn+3m+n=___________． 14. 下表记录了某市一周的日最高气温和日最低气温． 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日 最高气温/℃ 22 27 28 24 27 30 32 最低气温/℃ 18 15 14 14 16 19 18 这一周的日最高气温的方差为，日最低气温的方差为，则________．（填“>”“=”或“<”） 15. 如图，菱形的边长为，将该菱形绕顶点在平面内顺时针旋转得到菱形与交于点，则的长为_____． 16. 如图，在四边形中，（），，当边长取得最大值时，则的值为_________． 三．解答题（共10小题，共88分） 17. 解不等式组，并写出它的所有整数解． 18. 已知．求代数式的值． 19. 如图，在中，，分别为边，的中点，是对角线． （1）求证：当时，四边形是矩形； （2）当满足_____时，四边形是菱形． 20. 如图是某校停车场一处相邻的四个空闲车位，分别记为A，B，C，D．现王老师、李老师准备把车停到车位上．（每辆车只占一个车位，每个车位仅停一辆车） （1）若王老师先选择车位，则停在“A”车位是 事件．（填“随机”“必然”或“不可能”）； （2）若王老师、李老师各自随机选择一个车位停车，用画树状图或列表的方法，求两人停在相邻车位的概率． 21. 第十四届全国运动会将于2023年8月16日在陕西省举行，安徽省射击队要从甲、乙两名射击运动员中选拔一人参加比赛．两名射击运动员近五次选拔测试成绩复式条形统计图如图所示（单位：环）． 甲、乙五次选拔测试赛成绩统计表 年级 平均数 众数 方差 甲 a 8 c 乙 8 b 0.4 （1）已知甲成绩的众数是8环，乙成绩的平均数是8环，则 a＝ ，b＝ ，c＝ ．并请补全复式条形统计图； （2）若射击成绩超过8环的为优秀等级，请估计乙射击100次，获得优秀等级的次数； （3）现要从甲、乙中选拔一个成绩较为稳定的运动员参加比赛，应该选谁？请说明理由． 22. 建筑业有一个规定：房屋的窗户面积应小于房屋的地面面积．按采光标准，窗户面积与地面面积的比应不小于10%，并且这个比值越大，房屋的采光条件越好．同时增加相等的窗户面积和地面面积，房屋的采光条件是变好了还是变坏了？请说明理由． 23. 某建筑公司承建一段6000米的高速路，计划由甲、乙两个工程队同时施工，12天可完成总工程，已知甲工程队每天比乙工程队少施工100米． 根据以上信息，解答下列问题： （1）求甲、乙两个工程队计划每天各施工多少米？ （2）实际施工时，因为遭遇雨季，甲、乙两个工程队平均每天的施工量比计划都减少了m米，甲乙同时施工，完成总工程时，甲工程队施工总量是乙工程队施工总量的，求甲、乙两个工程队实际每天各施工多少米？ 24. 如图1，花洒一端的插口安装在固定高度的支撑杆上，握把长，握把可在竖直方向绕着点转动．图2是花洒喷水后的截面示意图，水流近似为射线状，设计要求水流方向和握把垂直，即，身高长的小军站在支撑杆的正前方的处．已知，，且，．设．（注：所有图形都在同一平面内）（参考数据：，，，，） （1）当时，花洒喷出的水刚好碰到小军的头顶，求小军身高的长约为多少（精确到）； （2）如图3，小军洗完澡后，将握把绕着插口顺时针转动一定的角度，以此调整水柱，确保在处冲到脚．此时的度数为_____．（精确到） 25. 如图，在菱形中，于，以为直径的分别交，于点，，连接． （1）求证： ①是的切线； ②； （2）若，，求． 26. 已知二次函数的图像经过两点． （1）求b的值． （2）当时，该函数的图像的顶点的纵坐标的最小值是________． （3）设是该函数的图像与x轴的一个公共点，当时，结合函数的图像，直接写出a的取值范围． 27. 综合探究 我们定义：在内有一点，连接、，，在所得的，，中，有且只有两个三角形相似，则称点为的内似点． 【概念理解】 （1）如图1，若P是的内似点且，则与存在怎样的数量关系，并给出证明． （2）在中，，P是的内似点．则________． 【深入探究】 （3）已知，点D是线段的中点，如图2，延长到点M，使得，延长到点N，使得，连接． ①证明： ②请你判断点N是否是的内似点，并说明理由． 【操作应用】 （4）如图3，已知四边形，在四边形内找一点P，使得，请你用无刻度直尺和圆规作出该点．（不写作法，保留作图痕迹） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026南京鼓实三模数学试卷 一、选择题（共6小题，每小题2分，共12分） 1. 下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行判断． 【详解】解：选项，是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意；  选项，是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；  选项，既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意；  选项，是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意． 2. 下列运算中，计算错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．同底数幂相除的法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减；幂的乘方法则：底数不变，指数相乘． 根据同底数幂的乘除法，积的乘方，幂的乘方的运算法则进行解答即可． 【详解】解：A．，故本选项错误； B．，故本选项正确； C．，故本选项正确； D．，故本选项正确． 故选A． 3. 下列说法正确的是（　　） A. “没有水分，种子发芽”是随机事件 B. “在同一年出生的13名学生中，至少有2人出生在同一个月”是必然事件 C. “买一张电影票，座位号是奇数号”是确定事件 D. “抛掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数是6”是不可能事件 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了不可能事件、随机事件和必然事件，根据事件发生的可能性大小判断即可求解，掌握不可能事件、随机事件和必然事件的定义是解题的关键． 【详解】解：∵ 一年有12个月，13名学生出生在同一年， ∴ 根据抽屉原理，至少有两名学生出生在同一个月，这是必然事件，故B正确； A中，没有水分，种子不可能发芽，是不可能事件，故A错误； C中，座位号可能是奇数或偶数，是随机事件，故C错误； D中，骰子点数是6可能发生，是随机事件，故D错误； 故选：B 4. 实数在数轴上的对应点的位置如图所示，若实数满足，则的值可以是（ ） A. B. C. 0 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】先根据数轴得出的取值范围，结合题意得出的取值范围，从答案中筛选即可． 【详解】解：根据数轴可知，， ， 将在数轴上表示出来如下： ， ∴b在a和之间． ∴选项中只有0符合条件． 5. 如图，是直径，点C、D将分成相等的三段弧，点P在上．已知点Q在上且，则点Q所在的弧是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据圆周角定理和弧角关系求解． 【详解】解：如图， ∵AB为⊙O的直径，P在上， ∴∠APB=90°， ∵∠APQ=115°，∠APQ=∠APB+∠BPQ， ∴∠BPQ=25°， ∴∠BOQ=2∠BPQ=50°， ∵点C、D将分成相等的三段弧， ∴， ∴∠BOD=， ∵∠BOQ<∠BOD， ∴Q在上， 故选D． 【点睛】本题考查圆的综合应用，熟练掌握圆周角定理、弧角关系及直径所对圆周角大小是解题关键． 6. 下列关于函数的说法：①该函数的图象关于原点对称；②、两点在该函数图象上，若，则；③当时，；④该函数图象与反比例函数的图象没有交点．其中所有正确结论的序号是（ ） A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④ 【答案】A 【解析】 【分析】本题根据点关于原点的对称性、增减性、函数值范围、交点的判定方法，逐个判断四个结论的正误即可得到答案． 【详解】解：函数的自变量取值范围为，关于原点对称； 对①：设是函数图象上任意一点，则满足， 关于原点的对称点为， 当时，， 表明关于原点的对称点也在函数的图象上，则此函数图象关于原点对称，①正确； 对②：若取，，满足， 此时，，，不满足，因此②错误； 对③：当时，则， 因此，即，③正确； 对④：联立两个函数解析式得， 整理得，该方程有解，说明两个函数图象有交点，因此④错误； 综上，正确结论为①③． 二、填空题（共10小题，每小题2分，共20分） 7. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件，被开方数必须大于或等于零，进一步求解即可． 【详解】解：∵ 在实数范围内有意义， ∴， 解得 ． 故答案为 ． 8. 比较大小：_____（填“>、<或=”）． 【答案】 【解析】 【分析】先估算的取值范围，判断两个数的正负性，根据有理数大小比较法则“负数小于正数”即可比较大小． 【详解】解：， ， ，， 可得， 根据负数小于正数，得． 9. 我国科研团队成功研制出半导体电荷存储器“破晓”，“破晓”存储器擦写速度提升至400皮秒实现一次擦或者写．1皮秒仅相当于秒．则400皮秒用科学记数法表示为_____秒． 【答案】 【解析】 【详解】解：皮秒秒秒秒． 10. 分解因式：_________． 【答案】 【解析】 【分析】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方式或平方差式，若是就考虑用公式法继续分解因式．因此，直接提取公因式x再应用完全平方公式继续分解即可． 【详解】解： 故答案为: ． 【点睛】本题主要考查了因式分解．能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数（或式）的平方和的形式，另一项是这两个数（或式）的积的2倍． 11. 用半径为4，圆心角为90°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径为_____． 【答案】1 【解析】 【分析】设这个圆锥的底面圆半径为r，利用弧长公式得到并解关于r的方程即可． 【详解】设这个圆锥的底面圆半径为r， 根据题意得2πr=， 解得r=1， 所以这个圆锥的底面圆半径为1． 故答案为1． 【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 12. 用反证法证明“在中，如果，那么”，第一步应假设_________． 【答案】 【解析】 【详解】解：用反证法证明命题时，第一步需假设结论不成立，原命题结论为，因此第一步应假设． 13. 已知m，n是方程x2+2x﹣5=0的两个实数根，则m2﹣mn+3m+n=___________． 【答案】8 【解析】 【分析】由题意知，，，，将转化为代值计算即可得出结论． 【详解】解：，是方程的两个实数根， ，，， ， ， 故答案为：8． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根，根与系数的关系，解题的关键是熟记根与系数的关系． 14. 下表记录了某市一周的日最高气温和日最低气温． 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日 最高气温/℃ 22 27 28 24 27 30 32 最低气温/℃ 18 15 14 14 16 19 18 这一周的日最高气温的方差为，日最低气温的方差为，则________．（填“>”“=”或“<”） 【答案】 【解析】 【分析】根据方差的计算公式，分别求出一周日最高气温的方差和日最低气温的方差，比较两个方差的大小即可得出结论. 【详解】解：由表格可知，日最高气温为，共个数据. ∴日最高气温的平均数， ∴， 由表格可知，日最低气温为，共个数据. ∴日最低气温的平均数， ∴， ∵， ∴. 15. 如图，菱形的边长为，将该菱形绕顶点在平面内顺时针旋转得到菱形与交于点，则的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】连接，先由菱形性质、旋转性质得到相关角度及线段，由，确定点在对角线上，进而得到，连接，由含的直角三角形性质及勾股定理求出，同理，在中，求出，最后由代入线段长度计算即可． 【详解】解：连接，如图所示： 在菱形中，，，则，， ， 将该菱形绕顶点在平面内顺时针旋转得到菱形， ，，， 即， 点在对角线上， ， 在中，，，则， 连接，如图所示： ，且， 在中，，，则， 由勾股定理可得，则， ， ， 在中，，则， ， 则． 16. 如图，在四边形中，（），，当边长取得最大值时，则的值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】作交于点，过点分别作的垂线交于点，证明四边形是等腰梯形，设，证明，求得，根据最大值，取得最大值，得出，即可求解． 【详解】解：如图，作交于点，过点分别作的垂线，垂足分别为点， ∵， ∴ ∴，， ∵ ∴四边形是等腰梯形， ∴， 设 ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 解得： ∴当时最大，则取得最大值， ∴当边长取得最大值时，则的值为． 三．解答题（共10小题，共88分） 17. 解不等式组，并写出它的所有整数解． 【答案】原不等式组的解集是，它的所有整数解是，，，， 【解析】 【分析】本题考查一元一次不等式组的整数解及解一元一次不等式组，根据解一元一次不等式组的步骤，求出不等式组的解集，并写出所有整数解即可．熟知解一元一次不等式组的步骤是解题的关键． 【详解】解：， 解不等式①，得： 解不等式②，得：， ∴不等式组的解集为， 则这个不等式组的所有整数解为，，，，． 18. 已知．求代数式的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，先化简题目中的式子，然后根据，可以得到，再代入化简后的式子即可． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴原式=． 19. 如图，在中，，分别为边，的中点，是对角线． （1）求证：当时，四边形是矩形； （2）当满足_____时，四边形是菱形． 【答案】（1）证明： 四边形是平行四边形，  ，  分别为边的中点 ，  ， ，   四边形是平行四边形 ， 当时 ， 是的中点 ， （等腰三角形三线合一） ，  ，  四边形是平行四边形，   四边形是矩形． （2）（或） 【解析】 【分析】（1）首先根据平行四边形的性质和中点的定义证明四边形是平行四边形．利用等腰三角形三线合一的性质证明，从而判定矩形． （2）根据菱形的判定定理，邻边相等的平行四边形是菱形，进而证明，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：当四边形是菱形时，  ，   ，  ， 在中，是边上的中线 ， ∴， ∴， 又∵， ∴， 是直角三角形，且，   当满足（或）时，四边形是菱形． 20. 如图是某校停车场一处相邻的四个空闲车位，分别记为A，B，C，D．现王老师、李老师准备把车停到车位上．（每辆车只占一个车位，每个车位仅停一辆车） （1）若王老师先选择车位，则停在“A”车位是 事件．（填“随机”“必然”或“不可能”）； （2）若王老师、李老师各自随机选择一个车位停车，用画树状图或列表的方法，求两人停在相邻车位的概率． 【答案】（1）随机 （2），见详解 【解析】 【分析】（1）直接根据事件的分类解答即可； （2）用树状图列举出所有等可能的结果数以及两人停放在相邻车位的结果数，再利用概率公式求解． 【小问1详解】 解： 王老师先选择车位时，可能选到A，B，C，D中的任意一个，所以他停在“A”车位是随机事件； 【小问2详解】 解：根据题意，画树状图如下： 由树状图可知，所有等可能的结果共有12种，其中两个车位相邻的有6种结果， 所以（两人停在相邻车位）=． 21. 第十四届全国运动会将于2023年8月16日在陕西省举行，安徽省射击队要从甲、乙两名射击运动员中选拔一人参加比赛．两名射击运动员近五次选拔测试成绩复式条形统计图如图所示（单位：环）． 甲、乙五次选拔测试赛成绩统计表 年级 平均数 众数 方差 甲 a 8 c 乙 8 b 0.4 （1）已知甲成绩的众数是8环，乙成绩的平均数是8环，则 a＝ ，b＝ ，c＝ ．并请补全复式条形统计图； （2）若射击成绩超过8环的为优秀等级，请估计乙射击100次，获得优秀等级的次数； （3）现要从甲、乙中选拔一个成绩较为稳定的运动员参加比赛，应该选谁？请说明理由． 【答案】（1）8；8；2.8；见解析 （2）20次 （3）选乙加比赛，见解析 【解析】 【分析】（1）根据加权平均数的公式可得a的值，根据众数的定义可得b的值，根据方差的公式可得c的值，根据题意分别求出甲和乙的第三次测试成绩，进而补全复式条形统计图； （2）用100乘乙近五次选拔测试成绩超过8环所占比例即可； （3）根据方差的意义解答即可． 【小问1详解】 解：由题意得，， 乙近五次选拔测试成绩中，8出现的次数最多，故众数， ， 由题意可知，甲第三次测试成绩为8，乙第三次测试成绩为：， 补全复式条形统计图如下： 故答案为：8；8；2.8； 【小问2详解】 解：（次）， 答：估计乙射击100次，获得优秀等级的次数大约为20次； 【小问3详解】 解：选乙加比赛，理由如下： 因为两人的平均数相同，但乙的方差比甲小，更稳定，所以选乙加比赛． 【点睛】本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差和平均数的定义与计算公式． 22. 建筑业有一个规定：房屋的窗户面积应小于房屋的地面面积．按采光标准，窗户面积与地面面积的比应不小于10%，并且这个比值越大，房屋的采光条件越好．同时增加相等的窗户面积和地面面积，房屋的采光条件是变好了还是变坏了？请说明理由． 【答案】变好了，理由如下： 设原来窗户面积为x，地面面积为y，其中，增加的面积为a， 因为， 所以， 所以房屋的采光条件变好了． 【解析】 【分析】设原来窗户面积为x，地面面积为y，增加的面积为a，计算两次窗户面积与地面面积的比的差可判断房屋的采光条件是变好了还是变坏了． 【详解】略 23. 某建筑公司承建一段6000米的高速路，计划由甲、乙两个工程队同时施工，12天可完成总工程，已知甲工程队每天比乙工程队少施工100米． 根据以上信息，解答下列问题： （1）求甲、乙两个工程队计划每天各施工多少米？ （2）实际施工时，因为遭遇雨季，甲、乙两个工程队平均每天的施工量比计划都减少了m米，甲乙同时施工，完成总工程时，甲工程队施工总量是乙工程队施工总量的，求甲、乙两个工程队实际每天各施工多少米？ 【答案】（1）甲工程队计划每天施工200米，乙工程队计划每天施工300米 （2）甲工程队实际每天施工100米，乙工程队实际每天施工200米 【解析】 【分析】本题考查一元一次方程，分式方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列出方程． （1）设甲工程队计划每天施工米，可得：，解方程即可得甲工程队计划每天施工200米，乙工程队计划每天施工300米； （2）求出甲工程队施工总量为，乙工程队施工总量为；可得，解得，从而可得答案． 【小问1详解】 设甲工程队计划每天施工米，则乙工程队计划每天施工米， 根据题意得：， 解得， ， 甲工程队计划每天施工200米，乙工程队计划每天施工300米； 【小问2详解】 完成总工程时，甲工程队施工总量是乙工程队施工总量的， 甲工程队施工总量为，乙工程队施工总量为； 根据题意得， 解得， 经检验，是原方程的解，符合题意， ，， 甲工程队实际每天施工100米，乙工程队实际每天施工200米． 24. 如图1，花洒一端的插口安装在固定高度的支撑杆上，握把长，握把可在竖直方向绕着点转动．图2是花洒喷水后的截面示意图，水流近似为射线状，设计要求水流方向和握把垂直，即，身高长的小军站在支撑杆的正前方的处．已知，，且，．设．（注：所有图形都在同一平面内）（参考数据：，，，，） （1）当时，花洒喷出的水刚好碰到小军的头顶，求小军身高的长约为多少（精确到）； （2）如图3，小军洗完澡后，将握把绕着插口顺时针转动一定的角度，以此调整水柱，确保在处冲到脚．此时的度数为_____．（精确到） 【答案】（1）小军身高的长约为； （2） 【解析】 【分析】（1）过点作支撑杆的垂线，交延长线于，构造矩形，把转化为；利用求出，再用求出； （2） 连，先在中求出及；由与重合得，在中求出；最后利用平角建立角度关系求出． 【小问1详解】 解：过点作于点，交延长线于点， ，，， 四边形为矩形， ，，． 在中，，， ，， ， ． ，， ． 在中，， ∴， 答：小军身高的长约为； 【小问2详解】 解：连接， 在中，，， ． ， ， ． 水流过点且， ． 在中，， 参考数据， ， ， ． 25. 如图，在菱形中，于，以为直径的分别交，于点，，连接． （1）求证： ①是的切线； ②； （2）若，，求． 【答案】（1） ①证明：四边形是菱形， ， ，则 又为的半径的外端点， 是的切线． ②证明：连接， ∵ ∴ 为直径， ， 而 ， 又 ． （2） 【解析】 【分析】（1）①根据菱形的性质得出，根据，可得，进而即可得证； ②连接，根据等弧所对的圆周角相等得出，根据直径所对的圆周角是直角得出，进而可得，结合，即可得证； （2）连接交于．根据菱形的性质以及勾股定理求得，进而根据等面积法求得，由得：，在中，即可求解． 【小问1详解】 ①略 ②略 【小问2详解】 解：连接交于． 菱形，， ，，， 在中，， ， ， ， 在中，， 由得：， ． 【点睛】本题考查了切线的判定，相似三角形的性质与判定，圆周角定理，菱形的性质，勾股定理，求角的正弦值，熟练掌握以上知识是解题的关键． 26. 已知二次函数的图像经过两点． （1）求b的值． （2）当时，该函数的图像的顶点的纵坐标的最小值是________． （3）设是该函数的图像与x轴的一个公共点，当时，结合函数的图像，直接写出a的取值范围． 【答案】（1）；（2）1；（3）或． 【解析】 【分析】（1）将点代入求解即可得； （2）先求出二次函数的顶点的纵坐标，再利用完全平方公式、不等式的性质求解即可得； （3）分和两种情况，再画出函数图象，结合图象建立不等式组，解不等式组即可得． 【详解】解：（1）将点代入得：， 两式相减得：， 解得； （2）由题意得：， 由（1）得：， 则此函数的顶点的纵坐标为， 将点代入得：， 解得， 则， 下面证明对于任意的两个正数，都有， ， （当且仅当时，等号成立）， 当时，， 则（当且仅当，即时，等号成立）， 即， 故当时，该函数的图像的顶点的纵坐标的最小值是1； （3）由得：， 则二次函数的解析式为， 由题意，分以下两种情况： ①如图，当时，则当时，；当时，， 即， 解得； ②如图，当时， 当时，， 当时，， 解得， 综上，的取值范围为或． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质等知识点，较难的是题（3），熟练掌握函数图象法是解题关键． 27. 综合探究 我们定义：在内有一点，连接、，，在所得的，，中，有且只有两个三角形相似，则称点为的内似点． 【概念理解】 （1）如图1，若P是的内似点且，则与存在怎样的数量关系，并给出证明． （2）在中，，P是的内似点．则________． 【深入探究】 （3）已知，点D是线段的中点，如图2，延长到点M，使得，延长到点N，使得，连接． ①证明： ②请你判断点N是否是的内似点，并说明理由． 【操作应用】 （4）如图3，已知四边形，在四边形内找一点P，使得，请你用无刻度直尺和圆规作出该点．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】（1）， 证明：如图， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴； （2）或或 （3）①证明：如图， ∵， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴； ②点N是否是的内似点，理由如下： ∵点为的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴点N是否是的内似点； （4）如图，点即为所求 【解析】 【分析】（1）由相似得到，，而，故，即可求解； （2）分三种情况讨论求解即可； （3）①根据两边对应成比例且夹角相等证明即可；②先证明，则，再通过，进行线段替换证明即可； （4）连接并延长交于点，连接，则，由作垂线可得，，故，故，同理可得，故． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：在中，， ∴， ∴ 当时，同理可得， ∴； 当时，同理可得，； 当时，同理可得，， ∴， 综上：或或； 【小问3详解】 略 【小问4详解】 解：过点作直线的垂线，作线段的垂直平分线，两直线交于点，以点为圆心，为半径作圆，过点作直线的垂线，作线段的垂直平分线，两直线交于点，以点为圆心，为半径作圆，两圆交点即为点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $