2025-2026学年上海市八年级下册数学 期末冲刺试卷(Ⅰ)

**基本信息** 以“减速带长度计算”“杆秤杠杆原理”等真实情境为载体，通过正五边形角度计算、特殊四边形性质探究等试题，考查几何直观、模型意识与推理能力，适配八年级下册期末综合测评需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|6/24|正五边形内角、平行四边形判定、对称点坐标|结合图形考查基础概念，如第1题正五边形角度计算体现空间观念| |填空题|12/48|多边形内角和、菱形矩形性质、反比例函数应用|第17题“瞎转圈”现象结合反比例函数，体现数学眼光观察现实| |解答题|7/78|一次函数建模（杆秤）、矩形折叠与函数综合|第24题杆秤项目学习，通过数据纠错、实际称重问题，考查模型意识与数学语言表达|

2025-2026学年上海市八年级下册数学 期末冲刺卷(I)答题卡 试卷类型：A 条码粘贴处 姓名： 班级： (正面朝上贴在此虚线框内) 缺考标记 注意事项 1、答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚 考生禁止填涂 2、请将准考证条码粘贴在右侧的[条码粘贴处]的方框内 缺考标记！只 3、选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写，字体工整 能由监考老师 4、请按题号顺序在各题的答题区内作答，超出范围的答案无效，在草纸、试卷上作答无效。 负责用黑色字 5、保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀。 迹的签字笔填 6、填涂样例正确■]错误【-][√][ 准考证号 一. 选择题（共6小题，满分24分，每小题4分）（请用2B铅笔 填涂) 1.[A][B][C][D] 3.[A]B][C][D] 5.[A][B][C][D] 2.[A][B][C][D] 4.[A]B][C][D] 6.[A][B]IC][D] 二.填空题（共12小题，满分48分，每小题4分）（请在各试题 的答题区内作答) 第1页共7页 7. 8 9. 10. y 13. 14. 15. 16. 18 三.解答题（共7小题，满分78分）（请在各试题的答题区内作 答) 第2页共7页 19.答： 20.答： 2 2 5=4-3=2-P 2.3.45 2 }小2 4 -- 第3页共7页 21.答： A D E B 22.答： A F D 23.答： 第4页共7页 D 2 G 0 B 第5页共7页 24.答： 个y/斤 8 7 6 绳纽 5 0 3 秤钩 ·秤砣 2 县 1 0 24 6 810 12x/厘米 图1 图2 25.答： 第6页共7页 y D y↑ D B A 0 0 图1 图2 图3 备用图 第7页共7页 2025-2026学年上海市八年级下册数学 期末冲刺卷(Ⅰ)答题卡 条 码 粘 贴 处 （正面朝上贴在此虚线框内） 试卷类型：A 姓名：______________班级：______________ 准考证号 缺考标记 考生禁止填涂缺考标记！只能由监考老师负责用黑色字迹的签字笔填涂。 注意事项 1、答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚。 2、请将准考证条码粘贴在右侧的[条码粘贴处]的方框内 3、选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写，字体工整 4、请按题号顺序在各题的答题区内作答，超出范围的答案无效，在草纸、试卷上作答无效。 5、保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀。 6、填涂样例 正确 [■] 错误 [--][√] [×] 一．选择题（共6小题，满分24分，每小题4分）（请用2B铅笔填涂） 1.[A][B][C][D] 2.[A][B][C][D] 3.[A][B][C][D] 4.[A][B][C][D] 5.[A][B][C][D] 6.[A][B][C][D] 二．填空题（共12小题，满分48分，每小题4分）（请在各试题的答题区内作答） 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 三．解答题（共7小题，满分78分）（请在各试题的答题区内作答） 19.答： 20.答： 21.答： 22.答： 23.答： 24.答： 25.答： 第1页 共2页 ◎ 第2页 共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 绝密★启用前 2025-2026学年上海市八年级下册数学 期末冲刺卷(Ⅰ) 难度系数：0.55；考试时间：100分钟；满分：150分 题号 一 二 三 总分 得分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上 第Ⅰ卷（选择题） 请点击修改第I卷的文字说明 评卷人 得 分 一．选择题（共6小题，满分24分，每小题4分） 1．（4分）如图，“箭头”形状的图案是由正五边形设计，A，B，C，D，E是正五边形的顶点，那么∠ABE等于（　　） A．30° B．36° C．54° D．60° 2．（4分）如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AD＝BC，下列条件能判定四边形ABCD是平行四边形的是（　　） A．AD∥BC B．AB∥DC C．OA＝OC D．OB＝OD 3．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为AC中点，作AC的垂直平分线DE，与AB交于点E，连接CE，点F为CE的中点，连接DF．若DF＝3，则AB的长为（　　） A．3 B．6 C．9 D．12 4．（4分）点A（3，2）关于y轴对称的点A'的坐标是（　　） A．（3，2） B．（﹣3，2） C．（3，﹣2） D．（﹣3，﹣2） 5．（4分）为保障交通安全，景区、居民区、学校等地的道路上通常横向安装减速带（如图所示），减速带由若干块形状、大小相同且完整的减速块和两端的封堵块拼接而成，一般情况下，减速带的长度L与减速块的数量n满足一次函数关系．当有3块减速块时，减速带的长度为360cm，当有4块减速块时，减速带的长度为460cm，则当有6块减速块时，减速带的长度为（　　） A．560cm B．660cm C．780cm D．870cm 6．（4分）若ab＞0，则函数y＝ax+b与函数在同一坐标系中的大致图象可能是（　　） A． B． C． D． 第Ⅱ卷（非选择题） 请点击修改第Ⅱ卷的文字说明 评卷人 得 分 二．填空题（共12小题，满分48分，每小题4分） 7．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，D，E分别是BC，AC的中点，连结DE，AD，过点E作EF∥DA交BA的延长线于点F，若EF＝5，BC＝6，则AF＝　 　 ． 8．（4分）多边形的每个内角的度数都等于135°，则这个多边形的边数为　 　 ． 9．（4分）如图，在正方形ABCD中，点E为正方形内一点，∠CEB＝90°且CE＞BE，，若BC＝13，则AE的长为　 　 ． 10．（4分）如图，菱形ABCD中，点O是BD的中点，AM⊥BC，垂足为M，AM交BD于点N，OM＝2，BD＝8，则AM的长为　 　 ． 11．（4分）如图，矩形ABCD的对角线交于点O，点E在边AD上，且EO⊥AC，若AB＝3，BC＝4，则△EDC的周长是　 　 ． 12．（4分）若点A（a，3），B（2，b）关于x轴对称，则a+b的值是　 　 ． 13．（4分）函数的自变量x的取值范围是　 　 ． 14．（4分）已知铁的密度ρ＝7.9g/cm3，铁块的质量m（单位：g）与它的体积V（单位：cm3）之间的函数关系式为m＝ρV，当m＝158g时，V＝　 　 cm3． 15．（4分）如图，一次函数y＝kx+2（k为常数且k≠0）和y＝3x+1的图象相交于点A，根据图象可知关于x的方程kx+2＝3x+1的解是 　 　 ． 16．（4分）一次函数y1＝kx+b与y2＝x+a的图象如图所示，则kx+b﹣（x+a）≤0的解集是　 　 ． 17．（4分）每个人都有一条腿迈出的步子比另一条腿迈出的步子长的特点，虽然主观上沿某一方向直线前进，但实际上走出的是一个大圆圈！这就是有趣的“瞎转圈”现象．某实践小组经过实验发现，组员走出的大圆圈半径y（米）与其两腿迈出的步长之差x（厘米）成反比例函数关系，当他蒙上眼睛走出的大圆圈的半径为2米时，两腿迈出的步长之差为7厘米，则当该组员走出的大圆圈的半径为5米时，他两腿迈出的步长之差为　 　 厘米． 18．（4分）在物理学中，“对于同种材料的均匀导体，其电阻R（单位：Ω）与长度L（单位：m）成正比，与它的横截面积S（单位：m2）成反比，即（ρ为电阻率，是一个定值，表示材料的导电性能）”．研究发现：当电阻丝被均匀拉伸到原来的n倍长时，其横截面积变为原来的，若某种电阻丝的横截面积不变，且当L＝0.2m时，R＝8Ω；现将长为0.3m的该电阻丝均匀拉伸到原来的2倍长，则此时电阻丝的电阻为　 　 Ω． 评卷人 得 分 三．解答题（共7小题，满分78分） 19．（10分）已知关于x的一元二次方程x2+2x+k﹣1＝0． （1）若该方程有一个根是﹣3，求x1+x2+x1x2的值． （2）若该方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围． 20．（10分）如图，根据函数y＝﹣2x+3的图象，回答下列问题： （1）y的值随x值的增大而　 　 （选填“增大”或“减小”）； （2）图象与x轴的交点坐标是　 　 ，图象与y轴的交点坐标是　 　 ； （3）当x　 　 时，y＜3． 21．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D，E分别是AB和AC的中点，点F在CB的延长线上，且CF＝3BF，连接BE，DE，DF． （1）求证：BE＝DF； （2）若AC＝10，AB＝8，求四边形BEDF的周长． 22．（10分）【阅读材料】 老师的问题：如图，在▱ABCD中，点E在BC上，连接AE，只用一把无刻度的直尺，求作四边形AECF，使得四边形AECF是平行四边形． 小明的作法： （1）连接AC，BD，相交于点O； （2）连接EO并延长，交AD于点F； （3）连接CF．四边形AECF即为所求． 【解答问题】 请根据材料中的信息，判断小明的作图方法是否正确．若正确，给出证明；若不正确，说明理由． 23．（12分）如图，矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O，点F是OB上的一点，BF＝2OF，延长AF至点G，使FG＝AF，AG交BC于点E，连接CF，CG，BG． （1）求证：四边形CFBG是平行四边形； （2）若CF⊥BD，AD＝4，求四边形CFBG的面积． 24．（12分）项目学习：认识杆秤 知识背景：我国古代人民利用杠杆原理制作出了杆秤（如图1），杆秤也是中华民族称重的基本量具之一． 材料：如图1，可以用秤砣到绳纽的水平距离，来得出秤钩上所挂物体的质量．称重时，若秤杆上秤砣到绳纽的水平距离为x（厘米）时，秤钩所挂物重为y（斤），则y是关于x的一次函数．下表为使用一个重1斤的秤砣时，若干次称重所记录的数据． x（厘米） 1 2 4 7 8 10 y（斤） 1.5 2 3 4 5 6 根据以上素材，解决下面问题： （1）表格中有一对数据记录错误．在图2中，通过描点的方法，观察判断哪一对是错误的，并求出正确的一次函数关系式； （2）当秤砣到绳纽的水平距离为12厘米时，求秤钩所挂物重是多少斤？ （3）由于使用磨损，原重1斤的秤砣变轻了，换用了一个重0.8斤的新秤砣，但商家没有重新标定刻度，仍然使用原来的刻度（即按 （1）中函数关系读数）．经检测发现：用新秤砣称重时，当秤钩上不挂物体，秤砣需要放在距离绳纽3厘米处才能平衡；当秤钩上挂2斤物体时，秤砣需要放在距离绳纽8厘米处．现用新秤砣称一个物体秤砣放在距离绳纽10厘米处时秤杆平衡．求这个物体的实际重量，以及按原来刻度读出的示数． 25．（14分）在平面直角坐标系中，若某函数的图象经过矩形ABCD对角线的两个端点，则定义该函数为矩形ABCD的“友好函数”．例如：如图1，矩形ABCD，经过点A（﹣1，1）和点C（3，3）的一次函数是矩形ABCD的“友好函数”． （1）如图2，矩形ABCD的顶点坐标分别为A（2，1），B（6，1），C（6，3），D（2，3），反比例函数经过点B，求反比例函数的解析式，并判断该函数是否为矩形ABCD的“友好函数”； （2）矩形ABCD在第一象限，AB∥x轴，AD∥y轴，且点A的坐标为（1，2），正比例函数y1＝ax经过点A，且是矩形ABCD的“友好函数”，反比例函数经过点B，且是矩形ABCD的“友好函数”． ①如图3，当OC＞OA时，将矩形ABCD沿AC折叠，点B的对应点为E，若点E落在y轴上，求k的值； ②设矩形ABCD的周长为L，求L关于k的函数解析式． ( …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ ) ( …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( 学校:___________姓名：________班级： ________ 考号： ________ ) ( …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) 第3页 共4页 ◎ 第4页 共4页 第1页 共2页 ◎ 第2页 共2页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 绝密★启用前 2025-2026学年上海市八年级下册数学 期末冲刺卷(Ⅰ) 难度系数：0.55；考试时间：100分钟；满分：150分 题号 一 二 三 总分 得分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上 第Ⅰ卷（选择题） 请点击修改第I卷的文字说明 评卷人 得 分 一．选择题（共6小题，满分24分，每小题4分） 1．（4分）如图，“箭头”形状的图案是由正五边形设计，A，B，C，D，E是正五边形的顶点，那么∠ABE等于（　　） A．30° B．36° C．54° D．60° 2．（4分）如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AD＝BC，下列条件能判定四边形ABCD是平行四边形的是（　　） A．AD∥BC B．AB∥DC C．OA＝OC D．OB＝OD 3．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为AC中点，作AC的垂直平分线DE，与AB交于点E，连接CE，点F为CE的中点，连接DF．若DF＝3，则AB的长为（　　） A．3 B．6 C．9 D．12 4．（4分）点A（3，2）关于y轴对称的点A'的坐标是（　　） A．（3，2） B．（﹣3，2） C．（3，﹣2） D．（﹣3，﹣2） 5．（4分）为保障交通安全，景区、居民区、学校等地的道路上通常横向安装减速带（如图所示），减速带由若干块形状、大小相同且完整的减速块和两端的封堵块拼接而成，一般情况下，减速带的长度L与减速块的数量n满足一次函数关系．当有3块减速块时，减速带的长度为360cm，当有4块减速块时，减速带的长度为460cm，则当有6块减速块时，减速带的长度为（　　） A．560cm B．660cm C．780cm D．870cm 6．（4分）若ab＞0，则函数y＝ax+b与函数在同一坐标系中的大致图象可能是（　　） A． B． C． D． 第Ⅱ卷（非选择题） 请点击修改第Ⅱ卷的文字说明 评卷人 得 分 二．填空题（共12小题，满分48分，每小题4分） 7．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，D，E分别是BC，AC的中点，连结DE，AD，过点E作EF∥DA交BA的延长线于点F，若EF＝5，BC＝6，则AF＝　 　 ． 8．（4分）多边形的每个内角的度数都等于135°，则这个多边形的边数为　 　 ． 9．（4分）如图，在正方形ABCD中，点E为正方形内一点，∠CEB＝90°且CE＞BE，，若BC＝13，则AE的长为　 　 ． 10．（4分）如图，菱形ABCD中，点O是BD的中点，AM⊥BC，垂足为M，AM交BD于点N，OM＝2，BD＝8，则AM的长为　 　 ． 11．（4分）如图，矩形ABCD的对角线交于点O，点E在边AD上，且EO⊥AC，若AB＝3，BC＝4，则△EDC的周长是　 　 ． 12．（4分）若点A（a，3），B（2，b）关于x轴对称，则a+b的值是　 　 ． 13．（4分）函数的自变量x的取值范围是　 　 ． 14．（4分）已知铁的密度ρ＝7.9g/cm3，铁块的质量m（单位：g）与它的体积V（单位：cm3）之间的函数关系式为m＝ρV，当m＝158g时，V＝　 　 cm3． 15．（4分）如图，一次函数y＝kx+2（k为常数且k≠0）和y＝3x+1的图象相交于点A，根据图象可知关于x的方程kx+2＝3x+1的解是 　 　 ． 16．（4分）一次函数y1＝kx+b与y2＝x+a的图象如图所示，则kx+b﹣（x+a）≤0的解集是　 　 ． 17．（4分）每个人都有一条腿迈出的步子比另一条腿迈出的步子长的特点，虽然主观上沿某一方向直线前进，但实际上走出的是一个大圆圈！这就是有趣的“瞎转圈”现象．某实践小组经过实验发现，组员走出的大圆圈半径y（米）与其两腿迈出的步长之差x（厘米）成反比例函数关系，当他蒙上眼睛走出的大圆圈的半径为2米时，两腿迈出的步长之差为7厘米，则当该组员走出的大圆圈的半径为5米时，他两腿迈出的步长之差为　 　 厘米． 18．（4分）在物理学中，“对于同种材料的均匀导体，其电阻R（单位：Ω）与长度L（单位：m）成正比，与它的横截面积S（单位：m2）成反比，即（ρ为电阻率，是一个定值，表示材料的导电性能）”．研究发现：当电阻丝被均匀拉伸到原来的n倍长时，其横截面积变为原来的，若某种电阻丝的横截面积不变，且当L＝0.2m时，R＝8Ω；现将长为0.3m的该电阻丝均匀拉伸到原来的2倍长，则此时电阻丝的电阻为　 　 Ω． 评卷人 得 分 三．解答题（共7小题，满分78分） 19．（10分）已知关于x的一元二次方程x2+2x+k﹣1＝0． （1）若该方程有一个根是﹣3，求x1+x2+x1x2的值． （2）若该方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围． 20．（10分）如图，根据函数y＝﹣2x+3的图象，回答下列问题： （1）y的值随x值的增大而　 　 （选填“增大”或“减小”）； （2）图象与x轴的交点坐标是　 　 ，图象与y轴的交点坐标是　 　 ； （3）当x　 　 时，y＜3． 21．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D，E分别是AB和AC的中点，点F在CB的延长线上，且CF＝3BF，连接BE，DE，DF． （1）求证：BE＝DF； （2）若AC＝10，AB＝8，求四边形BEDF的周长． 22．（10分）【阅读材料】 老师的问题：如图，在▱ABCD中，点E在BC上，连接AE，只用一把无刻度的直尺，求作四边形AECF，使得四边形AECF是平行四边形． 小明的作法： （1）连接AC，BD，相交于点O； （2）连接EO并延长，交AD于点F； （3）连接CF．四边形AECF即为所求． 【解答问题】 请根据材料中的信息，判断小明的作图方法是否正确．若正确，给出证明；若不正确，说明理由． 23．（12分）如图，矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O，点F是OB上的一点，BF＝2OF，延长AF至点G，使FG＝AF，AG交BC于点E，连接CF，CG，BG． （1）求证：四边形CFBG是平行四边形； （2）若CF⊥BD，AD＝4，求四边形CFBG的面积． 24．（12分）项目学习：认识杆秤 知识背景：我国古代人民利用杠杆原理制作出了杆秤（如图1），杆秤也是中华民族称重的基本量具之一． 材料：如图1，可以用秤砣到绳纽的水平距离，来得出秤钩上所挂物体的质量．称重时，若秤杆上秤砣到绳纽的水平距离为x（厘米）时，秤钩所挂物重为y（斤），则y是关于x的一次函数．下表为使用一个重1斤的秤砣时，若干次称重所记录的数据． x（厘米） 1 2 4 7 8 10 y（斤） 1.5 2 3 4 5 6 根据以上素材，解决下面问题： （1）表格中有一对数据记录错误．在图2中，通过描点的方法，观察判断哪一对是错误的，并求出正确的一次函数关系式； （2）当秤砣到绳纽的水平距离为12厘米时，求秤钩所挂物重是多少斤？ （3）由于使用磨损，原重1斤的秤砣变轻了，换用了一个重0.8斤的新秤砣，但商家没有重新标定刻度，仍然使用原来的刻度（即按 （1）中函数关系读数）．经检测发现：用新秤砣称重时，当秤钩上不挂物体，秤砣需要放在距离绳纽3厘米处才能平衡；当秤钩上挂2斤物体时，秤砣需要放在距离绳纽8厘米处．现用新秤砣称一个物体秤砣放在距离绳纽10厘米处时秤杆平衡．求这个物体的实际重量，以及按原来刻度读出的示数． 25．（14分）在平面直角坐标系中，若某函数的图象经过矩形ABCD对角线的两个端点，则定义该函数为矩形ABCD的“友好函数”．例如：如图1，矩形ABCD，经过点A（﹣1，1）和点C（3，3）的一次函数是矩形ABCD的“友好函数”． （1）如图2，矩形ABCD的顶点坐标分别为A（2，1），B（6，1），C（6，3），D（2，3），反比例函数经过点B，求反比例函数的解析式，并判断该函数是否为矩形ABCD的“友好函数”； （2）矩形ABCD在第一象限，AB∥x轴，AD∥y轴，且点A的坐标为（1，2），正比例函数y1＝ax经过点A，且是矩形ABCD的“友好函数”，反比例函数经过点B，且是矩形ABCD的“友好函数”． ①如图3，当OC＞OA时，将矩形ABCD沿AC折叠，点B的对应点为E，若点E落在y轴上，求k的值； ②设矩形ABCD的周长为L，求L关于k的函数解析式． （2）． ； 24．（1）作图如下： ； （2）7斤； （3）物体的实际重量为2.8斤，按原来刻度读出的示数为6斤． ； 25．（1）反比例函数的表达式为；该函数是矩形ABCD的“友好函数”； （2）①； ②． ； 1 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年上海市八年级下册数学 期末冲刺卷(Ⅰ) 参考答案与试题解析 一．选择题（共6小题） 题号 1 2 3 4 5 6 答案 B A D B B C 一．选择题（共6小题，满分24分，每小题4分） 1．（4分）如图，“箭头”形状的图案是由正五边形设计，A，B，C，D，E是正五边形的顶点，那么∠ABE等于（　　） A．30° B．36° C．54° D．60° 【答案】B 【分析】连接BC，DE，根据正多边形的每条边都相等，每个内角都相等以及内角和定理得出AB＝AE，∠A＝108°，再根据等边对等角以及三角形内角和定理即可求出∠ABE的度数． 【解答】解：如图，连接BC，DE． 由条件可知AB＝AE，， ∴． 故选：B． 【点评】本题考查了多边形的内角和外角，熟练掌握该知识点是关键． 2．（4分）如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AD＝BC，下列条件能判定四边形ABCD是平行四边形的是（　　） A．AD∥BC B．AB∥DC C．OA＝OC D．OB＝OD 【答案】A 【分析】根据平行四边形的判定逐项推理即可． 【解答】解：∵在四边形ABCD中，AD＝BC， ∴当AD∥BC时，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”可判定，故A符合题意． 当AB∥DC时，四边形ABCD可能是等腰梯形，故B不符合题意． 当OA＝OC或OB＝OD时，无法证明△AOD≌△COB，不能推出对角线互相平分，故C、D不符合题意． 故选：A． 【点评】本题考查平行四边形的判定，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 3．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为AC中点，作AC的垂直平分线DE，与AB交于点E，连接CE，点F为CE的中点，连接DF．若DF＝3，则AB的长为（　　） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】D 【分析】根据线段垂直平分线得出DE⊥AC，AE＝EC，进而利用三角形中位线定理解答即可． 【解答】解：∵AC的垂直平分线DE， ∴DE⊥AC，AE＝EC， ∵∠ACB＝90°， ∴DE∥BC， ∵点D为AC中点， ∴DE是△ACB的中位线， ∴AE＝EBAB， ∵点F为CE的中点，点D为AC中点， ∴DF是△ACE的中位线， ∴AE＝2DF＝6， ∴AB＝2AE＝12， 故选：D． 【点评】此题考查三角形中位线定理，关键是利用三角形中位线定理解答． 4．（4分）点A（3，2）关于y轴对称的点A'的坐标是（　　） A．（3，2） B．（﹣3，2） C．（3，﹣2） D．（﹣3，﹣2） 【答案】B 【分析】根据关于y轴对称的点的坐标特点解答即可． 【解答】解：点A（3，2）关于y轴对称的点A'的坐标是（﹣3，2）． 故选：B． 【点评】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标特征，熟练掌握关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变是解题的关键． 5．（4分）为保障交通安全，景区、居民区、学校等地的道路上通常横向安装减速带（如图所示），减速带由若干块形状、大小相同且完整的减速块和两端的封堵块拼接而成，一般情况下，减速带的长度L与减速块的数量n满足一次函数关系．当有3块减速块时，减速带的长度为360cm，当有4块减速块时，减速带的长度为460cm，则当有6块减速块时，减速带的长度为（　　） A．560cm B．660cm C．780cm D．870cm 【答案】B 【分析】根据题意求出L关于n的一次函数解析式，再代入n＝6即可求解． 【解答】解：设L关于n的一次函数解析式为：L＝kn+b（k≠0），由条件可知： ， 解得：， ∴L关于n的一次函数解析式为：L＝100n+60， ∴当n＝6时，L＝100×6+60＝660， 即当有6块减速块时，减速带的长度为660cm． 故选：B． 【点评】本题考查了一次函数的应用，理解题意，熟练掌握一次函数性质是关键． 6．（4分）若ab＞0，则函数y＝ax+b与函数在同一坐标系中的大致图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据ab＞0及一次函数与反比例函数图象的特点，可以从a＞0，b＜0和a＜0，b＞0两方面分类讨论得出答案． 【解答】解：∵ab＞0，∴分两种情况： （1）当a＞0，b＞0时，一次函数y＝ax+b数的图象过第一、二、三象限，反比例函数图象在第一三象限，选项C符合； （2）当a＜0，b＜0时，一次函数的图象过第二、三、四象限，反比例函数图象在第二、四象限，无符合选项． 故选：C． 【点评】本题主要考查了反比例函数的图象性质和正比例函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题． 二．填空题（共12小题，满分48分，每小题4分） 7．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，D，E分别是BC，AC的中点，连结DE，AD，过点E作EF∥DA交BA的延长线于点F，若EF＝5，BC＝6，则AF＝　2　 ． 【答案】2． 【分析】由题意易得DE是△ABC的中位线，，则有，然后可得四边形AFED是平行四边形，则AD＝EF＝5，DE＝AF，进而根据勾股定理可进行求解． 【解答】解：∵D，E分别是BC，AC的中点，BC＝6， ∴DE是△ABC的中位线，， ∴， ∵EF∥DA， ∴四边形AFED是平行四边形， ∴AD＝EF＝5，DE＝AF， ∴在Rt△ABD中，由勾股定理可得：， ∴． 故答案为：2． 【点评】本题主要考查了三角形中位线定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 8．（4分）多边形的每个内角的度数都等于135°，则这个多边形的边数为　8　 ． 【答案】8． 【分析】设这个多边形的边数为n，根据题意得（n﹣2）×180°＝135°n，即可求解． 【解答】解：设这个多边形的边数为n， 根据题意得（n﹣2）×180°＝135°n， 解得n＝8， 故答案为：8． 【点评】本题考查了多边形的内角与外角，熟练掌握多边形内角和定理是解题的关键． 9．（4分）如图，在正方形ABCD中，点E为正方形内一点，∠CEB＝90°且CE＞BE，，若BC＝13，则AE的长为　　 ． 【答案】． 【分析】过点A作BE的垂线，交BE的延长线于点F，证明△ABF≌△BCE（AAS），设BE＝4x，可得AF＝4x，先在Rt△AEF中，利用勾股定理求出EF，再在Rt△ABF中，利用勾股定理求出x即可． 【解答】解：在正方形ABCD中，点E为正方形内一点，∠CEB＝90°且CE＞BE，如图，过点A作BE的垂线，交BE的延长线于点F， ∵四边形ABCD为正方形， ∴AB＝BC，∠ABC＝90°， ∵∠CEB＝90°， ∴∠ABF+∠CBE＝∠BCE+∠CBE＝90°， ∴∠ABF＝∠BCE， 在△ABF和△BCE中，， ∴△ABF≌△BCE（AAS）， ∴AF＝BE， 设BE＝4x，则AF＝4x， ∴， 在Rt△AEF中，， ∴BF＝7x， 在Rt△ABF中，由勾股定理，得AF2+BF2＝AB2， ∴（4x）2+（7x）2＝132， 解得（负值已舍去）， ∴． 故答案为：． 【点评】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，正确进行计算是解题关键． 10．（4分）如图，菱形ABCD中，点O是BD的中点，AM⊥BC，垂足为M，AM交BD于点N，OM＝2，BD＝8，则AM的长为　　 ． 【答案】． 【分析】连接AC，由菱形的性质得到OB＝OD＝4，OA＝OC，进而由直角三角形斜边上的中线性质推出AC＝2OM＝4，则OC＝2，再由勾股定理求出BC的长，然后由菱形的面积求出AM的长即可． 【解答】解：如图，连接AC， ∵四边形ABCD是菱形，点O是BD的中点，BD＝8， ∴AC过BD的中点O，OB＝OD＝4，AC⊥BD， ∴OA＝OC， ∵AM⊥BC， ∴∠AMC＝90°， ∴AC＝2OM＝4， ∴OCAC＝2， 在Rt△OBC中，由勾股定理得：BC2， ∵菱形ABCD的面积＝BC•AMAC•BD， ∴2AM4×8， 解得：AM， 故答案为：． 【点评】本题考查了菱形的性质、直角三角形斜边上的中线性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质和勾股定理是解题的关键． 11．（4分）如图，矩形ABCD的对角线交于点O，点E在边AD上，且EO⊥AC，若AB＝3，BC＝4，则△EDC的周长是　7　 ． 【答案】7． 【分析】根据矩形性质得CD＝AB＝3，AD＝BC，∠ABC＝90°，OA＝OC，由BC＝4得AD＝BC＝4，证明EO是线段AC的垂直平分线得AE＝CE，则CE+DE＝AD＝4，由此即可得出△EDC的周长． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，且AB＝3，BC＝4， ∴CD＝AB＝3，AD＝BC，∠ABC＝90°，OA＝OC， ∴AD＝BC＝4， ∵OA＝OC，EO⊥AC， ∴EO是线段AC的垂直平分线， ∴AE＝CE， ∴CE+DE＝AE+DE＝AD＝4， ∴△EDC的周长为：CE+DE+CD＝4+3＝7． 故答案为：7． 【点评】此题主要考查了矩形的性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握矩形的性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理是解决问题的关键． 12．（4分）若点A（a，3），B（2，b）关于x轴对称，则a+b的值是　﹣1　 ． 【答案】﹣1． 【分析】根据关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，可得a、b的值，根据有理数的加法，可得答案． 【解答】解：由点A（a，3），B（2，b）关于x轴对称，得a＝2，b＝﹣3． a+b＝2+（﹣3）＝﹣1， 故答案为：﹣1． 【点评】本题考查了关于x轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数． 13．（4分）函数的自变量x的取值范围是x≥﹣4且x≠﹣2　 ． 【答案】x≥﹣4且x≠﹣2． 【分析】根据分式与二次根式有意义的条件即可列出不等式，求解即可． 【解答】解：自变量x应满足， ，解得x≥﹣4且x≠﹣2， ∴函数的自变量x的取值范围是x≥﹣4且x≠﹣2． 故答案为：x≥﹣4且x≠﹣2． 【点评】本题考查函数自变量的取值范围，分式、二次根式有意义的条件，熟练掌握以上知识点是关键． 14．（4分）已知铁的密度ρ＝7.9g/cm3，铁块的质量m（单位：g）与它的体积V（单位：cm3）之间的函数关系式为m＝ρV，当m＝158g时，V＝　20　 cm3． 【答案】20． 【分析】把m＝158，ρ＝7.9代入函数关系式为m＝ρV中即可求出V的值． 【解答】解：由m＝ρV得7.9V＝158， 解得V＝20， 故答案为：20． 【点评】本题考查了函数关系式，正确计算是解题的关键． 15．（4分）如图，一次函数y＝kx+2（k为常数且k≠0）和y＝3x+1的图象相交于点A，根据图象可知关于x的方程kx+2＝3x+1的解是 x＝1　 ． 【答案】x＝1． 【分析】利用A点坐标满足两函数解析式得到x＝1时，kx+2＝3x+1，从而得到关于x的方程kx+2＝3x+1的解． 【解答】解：∵一次函数y＝kx+2（k为常数且k≠0）和y＝3x+1的图象得交点A的坐标为（1，4）， 即x＝1时，kx+2＝3x+1＝4， ∴关于x的方程kx+2＝3x+1的解是x＝1． 故答案为：x＝1． 【点评】本题考查了一次函数与一元一次方程，正确连接一次函数图象上点的坐标特征是解决问题的关键． 16．（4分）一次函数y1＝kx+b与y2＝x+a的图象如图所示，则kx+b﹣（x+a）≤0的解集是x≥﹣1　 ． 【答案】x≥﹣1． 【分析】根据一次函数与一元一次不等式解答即可． 【解答】解：kx+b﹣（x+a）≤0的解集，即kx+b≤x+a的解集为x≥﹣1． 故答案为：x≥﹣1． 【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式，熟练掌握该知识点是关键． 17．（4分）每个人都有一条腿迈出的步子比另一条腿迈出的步子长的特点，虽然主观上沿某一方向直线前进，但实际上走出的是一个大圆圈！这就是有趣的“瞎转圈”现象．某实践小组经过实验发现，组员走出的大圆圈半径y（米）与其两腿迈出的步长之差x（厘米）成反比例函数关系，当他蒙上眼睛走出的大圆圈的半径为2米时，两腿迈出的步长之差为7厘米，则当该组员走出的大圆圈的半径为5米时，他两腿迈出的步长之差为　　 厘米． 【答案】． 【分析】设y与x之间的函数表达式为，利用待定系数法求出y与x之间的函数表达式为，把y＝5代入，求出x的值即可． 【解答】解：根据题意可设y与x之间的函数表达式为， ∵当他蒙上眼睛走出的大圆圈的半径为2米时，两腿迈出的步长之差为7厘米， ∴， 解得：k＝14， ∴y与x之间的函数表达式为， ∴当y＝5时，， 解得：， ∴当该组员走出的大圆圈的半径为5米时，他两腿迈出的步长之差为厘米． 故答案为：． 【点评】本题考查了反比例函数的应用，理解题意是关键． 18．（4分）在物理学中，“对于同种材料的均匀导体，其电阻R（单位：Ω）与长度L（单位：m）成正比，与它的横截面积S（单位：m2）成反比，即（ρ为电阻率，是一个定值，表示材料的导电性能）”．研究发现：当电阻丝被均匀拉伸到原来的n倍长时，其横截面积变为原来的，若某种电阻丝的横截面积不变，且当L＝0.2m时，R＝8Ω；现将长为0.3m的该电阻丝均匀拉伸到原来的2倍长，则此时电阻丝的电阻为　48　 Ω． 【答案】48． 【分析】依据题意，由，S不变，L1＝0.2m，R1＝8Ω，则，又原电阻丝参数原长L0＝0.3m，原横截面积S0，可得原电阻：，再根据拉伸2倍后参数拉长到原来n＝2倍，从而新长度L'＝2×0.3＝0.6m，新横截面积，进而计算可以得解． 【解答】解：由题意，∵，S不变，L1＝0.2m，R1＝8Ω， ∴． ∵原电阻丝参数原长L0＝0.3m，原横截面积S0， ∴原电阻：． ∵拉伸2倍后参数拉长到原来n＝2倍， ∴新长度L'＝2×0.3＝0.6m，新横截面积， ∴． ∴R'＝4×12＝48（Ω）． 故答案为：48． 【点评】本题主要考查了反比例函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用反比例函数的性质是关键． 三．解答题（共7小题，满分78分） 19．（10分）已知关于x的一元二次方程x2+2x+k﹣1＝0． （1）若该方程有一个根是﹣3，求x1+x2+x1x2的值． （2）若该方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围． 【答案】（1）﹣5； （2）k＜2． 【分析】（1）根据x1+x2＝﹣2，x1＝﹣3求出x2，在求出x1x2，计算即可； （2）根据Δ＞0计算即可． 【解答】解：（1）设x1＝﹣3， ∵x1+x2＝﹣2， ∴x2＝1， ∴x1x2＝﹣3， ∴x1+x2+x1x2＝﹣2﹣3＝﹣5； （2）根据题意可知，b2﹣4ac＞0， 即4﹣4（k﹣1）＞0， 解得k＜2． 【点评】本题考查了根与系数的关系，根的判别式，正确计算是解题的关键． 20．（10分）如图，根据函数y＝﹣2x+3的图象，回答下列问题： （1）y的值随x值的增大而　减小　 （选填“增大”或“减小”）； （2）图象与x轴的交点坐标是　　 ，图象与y轴的交点坐标是　（0，3）　 ； （3）当x　＞0　 时，y＜3． 【答案】（1）减小； （2）；（0，3）； （3）＞0． 【分析】（1）由一次函数图象求解即可； （2）由一次函数图象求解即可； （3）由一次函数图象求解即可． 【解答】解：（1）由一次函数的图象可得，y的值随x值的增大而减小， 故答案为：减小； （2）由一次函数的图象可得，函数图象与x轴的交点坐标是（1.5，0），函数图象与y轴的交点坐标是（0，3）， 故答案为：（1.5，0），（0，3）； （3）由图象得，当x＞0时，y＜3． 故答案为：＞0． 【点评】本题考查一次函数图象与性质，熟知一次函数的图象与系数的关系是解题的关键． 21．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D，E分别是AB和AC的中点，点F在CB的延长线上，且CF＝3BF，连接BE，DE，DF． （1）求证：BE＝DF； （2）若AC＝10，AB＝8，求四边形BEDF的周长． 【答案】（1）∵D，E分别是AB和AC的中点， ∴DE是△ABC的中位线， ∴DE∥BC，DEBC， ∵CF＝3BF， ∴BC＝2BF， ∴BF， ∴DE＝BF， ∴四边形BEDF是平行四边形， ∴BE＝DF； （2）四边形BEDF的周长＝2×（3+5）＝16． 【分析】（1）根据三角形中位线定理得到DE∥BC，DEBC，根据平行四边形的性质得到BE＝DF； （2）根据勾股定理得到BC6，求得DEBC＝3，BEAC＝5，于是得到四边形BEDF的周长＝2×（3+5）＝16． 【解答】（1）证明：∵D，E分别是AB和AC的中点， ∴DE是△ABC的中位线， ∴DE∥BC，DEBC， ∵CF＝3BF， ∴BC＝2BF， ∴BF， ∴DE＝BF， ∴四边形BEDF是平行四边形， ∴BE＝DF； （2）解：∵∠ABC＝90°，AC＝10，AB＝8， ∴BC6， ∵D，E分别是AB和AC的中点，DE是△ABC的中位线， ∴DEBC＝3，BEAC＝5， ∴四边形BEDF的周长＝2×（3+5）＝16． 【点评】本题考查了三角形中位线定理，平行四边形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握各知识点是解题的关键． 22．（10分）【阅读材料】 老师的问题：如图，在▱ABCD中，点E在BC上，连接AE，只用一把无刻度的直尺，求作四边形AECF，使得四边形AECF是平行四边形． 小明的作法： （1）连接AC，BD，相交于点O； （2）连接EO并延长，交AD于点F； （3）连接CF．四边形AECF即为所求． 【解答问题】 请根据材料中的信息，判断小明的作图方法是否正确．若正确，给出证明；若不正确，说明理由． 【答案】小明的作图方法正确，证明详见解答． 【分析】由平行四边形的性质可得OA＝OC，AF∥CE，得∠AFO＝∠CEO，进而证明△AOF≌△COE（AAS），得到OE＝OF，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可求证． 【解答】解：小明的作图方法正确， 理由：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC，AF∥CE， ∴∠AFO＝∠CEO， 在△AOF和△COE中， ， ∴△AOF≌△COE（AAS）， ∴OE＝OF， 又∵OA＝OC， ∴四边形ABCD为平行四边形． 【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握平行四边形的判定和性质． 23．（12分）如图，矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O，点F是OB上的一点，BF＝2OF，延长AF至点G，使FG＝AF，AG交BC于点E，连接CF，CG，BG． （1）求证：四边形CFBG是平行四边形； （2）若CF⊥BD，AD＝4，求四边形CFBG的面积． 【答案】（1）∵四边形ABCD是矩形， ∴OA＝OC． 又∵FG＝AF， ∴OF是△ACG的中位线， ∴OF∥CG，CG＝2OF， 又∵BF＝2OF， ∴BF∥CG，BF＝CG， ∴四边形CFBG是平行四边形； （2）． 【分析】（1）首先利用中位线的性质证明BF∥CG，然后再证明BF＝CG即可； （2）由条件可知四边形CFBG是矩形，因此只要求出BF，CF即可．首先由FG＝AF求出AE，进而由勾股定理求出AB，BD，然后结合矩形对角线的性质以及BF＝2OF求出BF，再利用勾股定理求出CF即可求解． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴OA＝OC． 又∵FG＝AF， ∴OF是△ACG的中位线， ∴OF∥CG，CG＝2OF， 又∵BF＝2OF， ∴BF∥CG，BF＝CG， ∴四边形CFBG是平行四边形； （2）解：∵四边形ABCD是矩形， ∴，AD＝BC＝4．∠ABC＝90°， ∵CF⊥BD， ∴平行四边形CFBG是矩形， ∴FG＝BC＝4，，， ∴AF＝FG＝4， ∴AE＝AF+EF＝6． ∴． ∴． ∴， 又BF＝2OF，BF+OF＝BO， ∴． ∴． ∴． 【点评】本题考查平行四边形的性质，矩形的性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 24．（12分）项目学习：认识杆秤 知识背景：我国古代人民利用杠杆原理制作出了杆秤（如图1），杆秤也是中华民族称重的基本量具之一． 材料：如图1，可以用秤砣到绳纽的水平距离，来得出秤钩上所挂物体的质量．称重时，若秤杆上秤砣到绳纽的水平距离为x（厘米）时，秤钩所挂物重为y（斤），则y是关于x的一次函数．下表为使用一个重1斤的秤砣时，若干次称重所记录的数据． x（厘米） 1 2 4 7 8 10 y（斤） 1.5 2 3 4 5 6 根据以上素材，解决下面问题： （1）表格中有一对数据记录错误．在图2中，通过描点的方法，观察判断哪一对是错误的，并求出正确的一次函数关系式； （2）当秤砣到绳纽的水平距离为12厘米时，求秤钩所挂物重是多少斤？ （3）由于使用磨损，原重1斤的秤砣变轻了，换用了一个重0.8斤的新秤砣，但商家没有重新标定刻度，仍然使用原来的刻度（即按 （1）中函数关系读数）．经检测发现：用新秤砣称重时，当秤钩上不挂物体，秤砣需要放在距离绳纽3厘米处才能平衡；当秤钩上挂2斤物体时，秤砣需要放在距离绳纽8厘米处．现用新秤砣称一个物体秤砣放在距离绳纽10厘米处时秤杆平衡．求这个物体的实际重量，以及按原来刻度读出的示数． 【答案】（1）作图如下： ； （2）7斤； （3）物体的实际重量为2.8斤，按原来刻度读出的示数为6斤． 【分析】（1）利用描点法画出图形即可判断错误的数据，设函数解析式为y＝kx+b（k≠0），使用待定系数法求解即可； （2）将x＝12代入函数关系式求解即可； （3）先建立新秤的实际重量与秤砣位置的函数关系式，再根据新的函数关系式求解即可． 【解答】解：（1）描点如图所示： 由图可知，x＝7，y＝4是错误的， 设函数关系式为y＝kx+b（k≠0），由条件可得： ，解得， ∴函数关系式为； （2）当x＝12，， 答：当秤砣到绳纽的水平距离为12厘米时，求秤钩所挂物重是7斤； （3）设物体实际重量为m斤，秤砣距离绳纽的水平位置为n， 当秤钩上不挂物体，秤砣需要放在距离绳纽3厘米处才能平衡， 即n＝3时，m＝0； 当秤钩上挂2斤物体时，秤砣需要放在距离绳纽8厘米处． 即n＝8时，m＝2， ∵实际重量与秤砣到3厘米的距离成正比，设关系式为m＝a（n﹣3）（a≠0）， 将n＝8，m＝2代入函数关系式可得，2＝a（8﹣3），解得， ∴， 当秤砣放在距离绳纽10厘米处时，即n＝10时， 则有斤； 由（1）得到的原函数关系式为，当x＝10时， 则有斤， 答：物体的实际重量为2.8斤，按原来刻度读出的示数为6斤． 【点评】本题考查了一次函数的应用，理解题意，熟练掌握反比例函数性质是关键． 25．（14分）在平面直角坐标系中，若某函数的图象经过矩形ABCD对角线的两个端点，则定义该函数为矩形ABCD的“友好函数”．例如：如图1，矩形ABCD，经过点A（﹣1，1）和点C（3，3）的一次函数是矩形ABCD的“友好函数”． （1）如图2，矩形ABCD的顶点坐标分别为A（2，1），B（6，1），C（6，3），D（2，3），反比例函数经过点B，求反比例函数的解析式，并判断该函数是否为矩形ABCD的“友好函数”； （2）矩形ABCD在第一象限，AB∥x轴，AD∥y轴，且点A的坐标为（1，2），正比例函数y1＝ax经过点A，且是矩形ABCD的“友好函数”，反比例函数经过点B，且是矩形ABCD的“友好函数”． ①如图3，当OC＞OA时，将矩形ABCD沿AC折叠，点B的对应点为E，若点E落在y轴上，求k的值； ②设矩形ABCD的周长为L，求L关于k的函数解析式． 【答案】（1）反比例函数的表达式为；该函数是矩形ABCD的“友好函数”； （2）①； ②． 【分析】（1）求出反比例函数解析式，并判断D在反比例函数图象上，根据“友好函数”的概念即可得出结论； （2）①求出正比例函数y＝2x，设点C（m，2m），则B（m，2），D（1，2m），则AB＝m﹣1，BC＝2m﹣2，根据折叠的性质得AE＝AB＝m﹣1，CE＝BC＝2m﹣2，∠BCO＝∠ECO，延长BA交y轴与F，根据矩形的性质和等腰三角形的性质和判定可得，AF＝1，EF＝2m﹣4，根据勾股定理列方程并求出m，求出B点坐标，即可求出k； ②分两种情况讨论，当OC＞OA时，即m＞1，当OC＜OA时，即0＜k＜2，再根据矩形周长公式求解即可． 【解答】解：（1）该函数为矩形ABCD的“友好函数”；理由如下： 反比例函数经过点B，将点B（6，1）代入得： 1， 解得：k＝6， ∴反比例函数的表达式为：， 当x＝2时，得：y3， ∴点D在反比例函数图象上， ∴该函数为矩形ABCD的“友好函数”； （2）①正比例函数y1＝ax经过点A，将点A（1，2）代入得：a＝2， ∴正比例函数表达式为y＝2x， ∵正比例函数是矩形ABCD的“友好函数”， ∴点C在直线y＝2x上， 设点C（m，2m），则B（m，2），D（1，2m）， ∴AB＝m﹣1，BC＝2m﹣2； ∵将矩形ABCD沿AC折叠，点B的对应点为E，点E落在y轴上， ∴AE＝AB＝m﹣1，CE＝BC＝2m﹣2，∠BCO＝∠ECO， 延长BA交y轴于F， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠DAB＝90°，BC∥AD， ∵AD∥y轴， ∴∠EFA＝∠DAB＝90°，BC∥y， ∴∠BCO＝∠EOC， ∵∠BCO＝∠ECO， ∴∠EOC＝∠ECO， ∴OE＝CE＝2m﹣2， ∵AB∥x轴， ∴F（0，2）， ∴AF＝1， ∴OF＝2， ∴EF＝OE﹣OF＝2m﹣2﹣2＝2m﹣4， 在Rt△AEF中，由勾股定理得：AF2+EF2＝AE2， ∴1+（2m﹣4）2＝（m﹣1）2， 解得：或m＝2， ∵AE＞AF， ∴m﹣1＞1， ∴m＞2， ∴m＝2不合题意，舍去， ∴， 当时，， 把代入反比例函数得： 2， 解得：； ②当OC＞OA时，即m＞1， 将点B（m，2）的坐标代入反比例函数表达式得k＝2m，即， ∵AB＝m﹣1，BC＝2m﹣2， ∴L＝2（AB+BC）＝6m﹣6＝3k﹣6， ∵m＞1， ∴k＞2， ∴当k＞2时，L＝3k﹣6， 当OC＜OA时，即0＜k＜2时，如图4， 设点C（m，2m），则B（m，2），D（1，2m）， ∴AB＝1﹣m，BC＝2﹣2m； 将点B（m，2）的坐标代入反比例函数表达式得k＝2m，即， ∴L＝2（AB+BC）＝6﹣6m＝6﹣3k， ∴当0＜k＜2时，L＝6﹣3k， 综上所述，． 【点评】本题属于反比例函数综合题，主要考查了矩形的性质，反比例函数，一次函数，等腰三角形的性质和判定，勾股定理，解一元二次方程，理解“友好函数”，综合运用以上知识求解，运用分类讨论思想是解题的关键． ( 第 2 页 共 24 页 ) ( 第 1 页 共 24 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $