精品解析：上海市洋泾菊园实验学校2024-2025学年下学期八年级数学期末卷

2024学年度第二学期八年级数学期末作业调研 （满分100分，考试时间90分钟） 一、选择题：（本大题共6题，每题2分，满分12分，每题只有一个选项正确） 1. 下列四个函数中，一次函数（ ） A. B. C. D. 2. 已知一次函数，如果函数值y随x的增大而减小，那么m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 下列事件中，确定事件（ ） A. 上海明天太阳从西边升起 B. 任意两个非零实数，它们的积为正 C. 抛掷一枚质地均匀的硬币，落地后正面朝上 D. 两条直线被第三条直线所截，同位角相等 4. 下列方程中，有实数解的是（ ） A B. C. D. 5. 如图，在梯形中，，，E为中点，连接，下列向量中，不是的相反向量的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，用四根相同长度的木条制作成正方形，测得对角线长为，如果将此正方形变形为菱形，且，那么菱形对角线长为（ ） A. 10 B. C. D. 二、填空题：（本大题共12题，每题2分，满分24分） 7. 直线截距是_________． 8. 方程的解是_________． 9. 如果一次函数的图像经过点，那么m的值是_________． 10. 如果一次函数的图像与x轴的交点在轴的正半轴上，那么m的取值范围是_________． 11. 用换元法解分式方程时，如果设，那么原方程可化为关于y的整式方程是_________． 12. 如果一个多边形的每个内角都是，那么其内角和为_________． 13. 如图，矩形中，，对角线和相交于点O，且，过点D作的平行线，过点C作的平行线，两平行线交于点E，那么四边形的面积是_________． 14. 如图，正方形中，点E、F分别在边、上，，，如果，那么的周长是_________． 15. 如图，在中，、分别是边、的中点，、分别是、的中点，如果，那么______． 16. 如图，点、在平行四边形的对角线上，且．设，，，用，，表示：_________． 17. 如图，梯形中，，，，若该梯形的中位线长为3，则_________． 18. 如图，已知正方形的边长为4，点E、F分别在边和上，将该正方形沿着翻折，点A落在处，点B恰好落在边CD上的点处，如果四边形的面积为6，那么的面积是_________． 三、解答题：（本大题共7题，满分64分） 19. 解方程： 20. 解方程组： 21. 十二生肖是悠久的中国民俗文化符号，世界多国在春节期间发行生肖邮票，以此来表达对中国新年的祝福．甲同学购买了一套生肖邮票，他把其中的“虎”、“兔”、“龙”、“蛇”4张邮票背面朝上放在桌面上（邮票背面完全相同）． （1）如果乙同学从中随机抽取一张，摸出的邮票是“龙”的概率是_________； （2）如果乙同学从中随机抽取两张，利用树状图求抽取的两张邮票恰好是“虎”和“龙”的概率； （3）如果可以往桌面上放任意生肖邮票（不限一套邮票），请你设计一个概率为的游戏方案． 22. 某地区交通管理部门通过对道路流量的大数据分析可知，某高架路上车辆的平均速度y（千米/时）与高架路上每百米车的数量x（辆）的关系如图所示． （1）求y关于x的函数解析式（不必写x的取值范围）； （2）如果某时刻监测到这一高架路上车辆的平均速度为30千米/时． ①求该时刻高架路上每百米车的数量； ②如果车辆的平均速度小于20千米/时，将严重拥堵，需启动限流措施．而此刻开始这一高架路上每百米车辆数每4分钟增加1辆，为了避免严重拥堵，那么最晚几分钟需启动限流措施？ 23. 如图，在平行四边形中，E、F分别是边和的中点，连接、，平分． （1）求证：四边形是菱形； （2）作，与的延长线交于点G．求证：四边形是矩形． 24. 如图，已知，，点、在射线上（点、不与点重合且点在点的左侧），连接、，为的中点，过点作，交的延长线于点，连接． （1）求证：四边形是梯形； （2）如果，当为等腰三角形时，求的长． 25. 已知直线（其中），我们把直线称为直线的“轮换直线”．例如：直线的“轮换直线”是直线． 在平面直角坐标系中，已知直线：的“轮换直线”是直线，交轴于点，交轴于点，和相交于点． （1）如果直线经过点． ①求直线、的表达式和点的坐标； ②点是平面内一点，如果四边形是等腰梯形，且，求点的坐标． （2）将绕点顺时针旋转，点对应点落在与直线平行的直线上．小明说：“直线一定经过一个定点．”你认为他的说法是否正确？如果正确，请求这个定点；如果不正确，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024学年度第二学期八年级数学期末作业调研 （满分100分，考试时间90分钟） 一、选择题：（本大题共6题，每题2分，满分12分，每题只有一个选项正确） 1. 下列四个函数中，一次函数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】依据一次函数的定义进行解答即可，一次函数的定义：一般地，形如（，k、b是常数）的函数，叫做一次函数． 【详解】解：A、，自变量x的最高次数为2，不是一次函数，故该选项不符合题意； B、，是一次函数，故该选项符合题意； C、，不是一次函数，故该选项不符合题意； D、，不是一次函数，故该选项不符合题意． 2. 已知一次函数，如果函数值y随x增大而减小，那么m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一次函数的性质与系数的关系，先将函数整理为标准一次函数形式，再根据随增大而减小的性质列不等式求解即可． 【详解】首先整理一次函数得 一次函数随的增大而减小， 一次项系数， 解不等式得． 故选C． 3. 下列事件中，确定事件是（ ） A. 上海明天太阳从西边升起 B. 任意两个非零实数，它们的积为正 C. 抛掷一枚质地均匀的硬币，落地后正面朝上 D. 两条直线被第三条直线所截，同位角相等 【答案】A 【解析】 【分析】根据确定事件包括一定发生的必然事件和一定不发生的不可能事件，可能发生也可能不发生的是随机事件来判断各选项即可． 【详解】解：A、太阳一定从东方升起，不可能从西边升起，该事件一定不发生，故是确定事件，符合题意； B、两个非零实数相乘，同号得正异号得负，积可能为正也可能为负，故是随机事件，不符合题意； C、抛掷质地均匀的硬币，落地后可能正面朝上，也可能反面朝上，故是随机事件，不符合题意； D、只有两条平行直线被第三条直线所截时，同位角才相等，非平行直线被截时同位角不相等，故是随机事件，不符合题意． 4. 下列方程中，有实数解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据分式方程求解方法，平方的非负性，算术平方根的非负性和分式的性质，逐个判断即可得到结果． 【详解】解：A．， 去分母得，， 整理得， 解得， 检验：当时，， ∴原方程有实数解； B．变形得， ∵任意实数的平方满足，不可能等于， ∴该方程无实数解； C．方程， ∵分子，分母，分式的值不可能为， ∴该方程无实数解； D．方程变形得， ∵任意实数的算术平方根满足，不可能等于， ∴该方程无实数解． 5. 如图，在梯形中，，，E为中点，连接，下列向量中，不是相反向量的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意得到，然后根据相反向量，平行向量的定义一一判断即可． 【详解】解：与是相反的向量，故A选项不符合题意； ∵E为中点 ∴ ∵ ∴ ∵在梯形中，， ∴与是相反的向量，故B选项不符合题意； ∴与是平行向量，方向相同，不是相反向量，故C选项符合题意； ∴与是相反向量，故D选项不符合题意． 6. 如图，用四根相同长度的木条制作成正方形，测得对角线长为，如果将此正方形变形为菱形，且，那么菱形对角线长为（ ） A. 10 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据正方形的性质以及勾股定理可得，如图，连接交于点，根据菱形的性质结合可得，再利用勾股定理得到，进而求解即可． 【详解】解：∵四边形是正方形，对角线长为， ∴， ∴，即 ∴ 如图，连接交于点， ∵将正方形变形为菱形， ∴，，，， ∵ ∴为等边三角形， ∴，， ， ∴． 二、填空题：（本大题共12题，每题2分，满分24分） 7. 直线的截距是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一次函数截距的定义，截距是一次函数图象与轴交点的纵坐标，根据定义代入计算即可求解． 【详解】解：当时，代入得． 8. 方程的解是_________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据二次根式有意义的条件确定未知数的取值范围，再求解方程得到所有可能的根，舍去不满足题意的根，即可得到原方程的解． 【详解】解：根据二次根式有意义的条件，可得，， ∴， ， ∴或， ∴（舍去）或 解得． ∴方程的解是． 9. 如果一次函数的图像经过点，那么m的值是_________． 【答案】2 【解析】 【分析】把代入运算求解即可． 【详解】解：将代入得：， 解得：． 10. 如果一次函数的图像与x轴的交点在轴的正半轴上，那么m的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出一次函数与x轴交点的横坐标，再根据交点在正半轴列出不等式，解不等式即可得到的取值范围. 【详解】解：x轴上点的纵坐标为0，令，得， 解得， 因为一次函数的图象与x轴的交点在正半轴上， 所以， 根据不等式基本性质，不等式两边同乘正数2，不等号方向不变，得， 解得：． 11. 用换元法解分式方程时，如果设，那么原方程可化为关于y的整式方程是_________． 【答案】 【解析】 【分析】用表示出原方程的所有项，再去分母整理即可得到关于的整式方程． 【详解】解：设， 则， 原方程可化为， 方程两边同乘去分母，得， 整理得． ∴原方程可化为关于y的整式方程是． 12. 如果一个多边形的每个内角都是，那么其内角和为_________． 【答案】##1080度 【解析】 【分析】首先求出每个外角是，根据多边形的外角和是求出多边形的边数，然后求出内角和． 【详解】解：∵一个多边形的每个内角都是， ∴它的每个外角为：， ∴多边形的边数是：， ∴其内角和为． 13. 如图，矩形中，，对角线和相交于点O，且，过点D作的平行线，过点C作的平行线，两平行线交于点E，那么四边形的面积是_________． 【答案】 【解析】 【分析】证明出是等边三角形，得到，利用勾股定理求出，然后求出矩形的面积，得到，证明出四边形是平行四边形，进而求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形 ∴， ∵ ∴ ∴是等边三角形 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵， ∴四边形是平行四边形 ∴． 14. 如图，正方形中，点E、F分别在边、上，，，如果，那么的周长是_________． 【答案】## 【解析】 【分析】证明出四边形是平行四边形，得到，求出，利用勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形 ∴， ∵ ∴四边形是平行四边形 ∴ ∴ ∴ ∴的周长是． 15. 如图，在中，、分别是边、的中点，、分别是、的中点，如果，那么______． 【答案】#### 【解析】 【分析】本题考查了三角形的中位线及梯形的中位线，熟练掌握两个定理是解题的关键．根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出，再根据梯形的中位线平行于两底边并且等于两底和的一半求解即可． 【详解】解：在中，、分别是边、的中点， 是的中位线， ， ， 在梯形中，、分别是、的中点， 是梯形的中位线， ， 故答案为：． 16. 如图，点、在平行四边形的对角线上，且．设，，，用，，表示：_________． 【答案】 【解析】 【分析】利用求出，由得到，再用，求出后即可得到． 【详解】解：∵平行四边形为平行四边形， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 17. 如图，梯形中，，，，若该梯形的中位线长为3，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】过点作交的延长线于点，过点作于点，根据中位线的长得到，根据角的直角三角形得到，根据勾股定理进行计算即可． 【详解】解：过点作交的延长线于点， 四边形是平行四边形， ∴ 梯形的中位线长为3， ， ， ， 在梯形中，， ， 过点作于点， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 18. 如图，已知正方形的边长为4，点E、F分别在边和上，将该正方形沿着翻折，点A落在处，点B恰好落在边CD上的点处，如果四边形的面积为6，那么的面积是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查翻折的性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． 连接，则，过点F作于点H，易证，进而得到、，设，则，根据四边形的面积为6，列方程得到关于的表达式，在中，利用勾股定理求出的值，最后利用三角形面积公式计算即可． 【详解】解：连接，则，过点F作于点H， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， 、， 设，则， 四边形的面积为6， ， 即， 解得， ， ， 由翻折的性质得：， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得， 的面积为：． 三、解答题：（本大题共7题，满分64分） 19. 解方程： 【答案】 【解析】 【分析】先化为整式方程，再解一元二次方程，然后对所求的方程的解进行检验即可得． 【详解】解： 去分母得， 整理得， 或 解得或， 检验：将代入，符合题意； 将代入，不符合题意； ∴原方程的解为． 20. 解方程组： 【答案】； 【解析】 【分析】首先把第二个方程左边分解因式，即可转化为两个一次方程，分别与第一个方程组成方程组，即可求解． 【详解】解： 由②得 或 原方程组可化为； 解得； 所以原方程组的解是； 【点睛】本题考查高次方程组的解法，解题的基本思想是降次，掌握降次的方法是解高次方程的关键． 21. 十二生肖是悠久的中国民俗文化符号，世界多国在春节期间发行生肖邮票，以此来表达对中国新年的祝福．甲同学购买了一套生肖邮票，他把其中的“虎”、“兔”、“龙”、“蛇”4张邮票背面朝上放在桌面上（邮票背面完全相同）． （1）如果乙同学从中随机抽取一张，摸出的邮票是“龙”的概率是_________； （2）如果乙同学从中随机抽取两张，利用树状图求抽取的两张邮票恰好是“虎”和“龙”的概率； （3）如果可以往桌面上放任意生肖邮票（不限一套邮票），请你设计一个概率为的游戏方案． 【答案】（1） （2） （3）见解析 【解析】 【分析】（1）直接利用概率公式计算可得； （2）画树状图列举出所有可能的情况数和抽取的两张邮票恰好是“虎”和“龙”的情况数，然后利用概率公式即可求解； （3）根据概率公式设计即可． 【小问1详解】 解：∵共有4张邮票， ∴乙同学从中随机抽取一张，摸出的邮票是“龙”的概率是； 【小问2详解】 解：画树状图如下： 共有12种等可能的情况数，抽取的两张邮票恰好是“虎”和“龙”的情况有2种， ∴抽取的两张邮票恰好是“虎”和“龙”的概率为； 【小问3详解】 解：往原有4张邮票中添加1张"虎"邮票，使桌面上共有5张邮票， 从中随机抽取1张，抽到不是"虎"的概率为，答案不唯一． 22. 某地区交通管理部门通过对道路流量的大数据分析可知，某高架路上车辆的平均速度y（千米/时）与高架路上每百米车的数量x（辆）的关系如图所示． （1）求y关于x的函数解析式（不必写x的取值范围）； （2）如果某时刻监测到这一高架路上车辆的平均速度为30千米/时． ①求该时刻高架路上每百米车的数量； ②如果车辆的平均速度小于20千米/时，将严重拥堵，需启动限流措施．而此刻开始这一高架路上每百米车辆数每4分钟增加1辆，为了避免严重拥堵，那么最晚几分钟需启动限流措施？ 【答案】（1） （2）①25辆；②为了避免严重拥堵，那么最晚20分钟需启动限流措施． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）①根据（1）所求函数解析式，令函数值为30，求出x的值即可得到答案；②令函数值小于20求出x的取值范围，再根据每百米车辆数每4分钟增加1辆和现在每百米车的数量为25辆列式求解即可． 【小问1详解】 解：设y关于x的函数解析式为， 由题意得，， ∴， ∴y关于x的函数解析式为； 【小问2详解】 解：①在中，当时，则，解得， ∴该时刻高架路上每百米车的数量为25辆； ②当时，解得， 分钟， 答：为了避免严重拥堵，那么最晚20分钟需启动限流措施． 23. 如图，在平行四边形中，E、F分别是边和的中点，连接、，平分． （1）求证：四边形菱形； （2）作，与的延长线交于点G．求证：四边形是矩形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形对边平行且相等可得，由线段中点的定义可推出，则可证明四边形是平行四边形；再由平行线的性质和角平分线的定义证明，得到，据此可证明结论； （2）由菱形的性质得到，则由等边对等角和已知条件证明，得到；则可证明四边形是平行四边形；证明，进而可证明，则可证明平行四边形是矩形． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴； ∵E、F分别是边和的中点， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形； ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形； 【小问2详解】 证明：由（1）可得四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵四边形是平行四边形， ∴，即， ∴四边形是平行四边形； ∵E为的中点，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形是矩形． 24. 如图，已知，，点、在射线上（点、不与点重合且点在点的左侧），连接、，为的中点，过点作，交的延长线于点，连接． （1）求证：四边形是梯形； （2）如果，当为等腰三角形时，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）6或16 【解析】 【分析】（1）证明，进而证明四边形是平行四边形，得到，进而得到，根据，与相交，得到与不平行，即可证明四边形是梯形； （2）分，，，三种情况讨论即可． 【小问1详解】 证明：， ， 为的中点， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ，即， ，与相交， 与不平行， 四边形是梯形； 【小问2详解】 解：为等腰三角形， 如图，当时， 为的中点， ， ，， ； 如图，当时，过点F作，垂足为H， 由（1）知四边形是平行四边形， ，即， ，， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， ， ， ； 如图，当时， 是等边三角形， ， ， ， ， ， 此时，点与点B重合，不符合题意， 综上，当为等腰三角形时，的长为6或16． 【点睛】本题考查梯形的判定，平行四边形的判定与性质，三角形全等的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理，直角三角形的特征，灵活运用平行四边形的性质是解题的关键． 25. 已知直线（其中），我们把直线称为直线的“轮换直线”．例如：直线的“轮换直线”是直线． 在平面直角坐标系中，已知直线：的“轮换直线”是直线，交轴于点，交轴于点，和相交于点． （1）如果直线经过点． ①求直线、的表达式和点的坐标； ②点是平面内一点，如果四边形是等腰梯形，且，求点的坐标． （2）将绕点顺时针旋转，点的对应点落在与直线平行的直线上．小明说：“直线一定经过一个定点．”你认为他的说法是否正确？如果正确，请求这个定点；如果不正确，请说明理由． 【答案】（1）①；② （2）正确，直线过定点 【解析】 【分析】（1）①将点代入，求出m的值，进而得到直线的表达式，联立直线、的表达式，即可求出的坐标；②根据四边形是等腰梯形，且，得到点在平行于直线过点B的直线上，且，求出直线的解析式，设，根据，利用两点间距离公式建立方程求解即可； （2）根据题意得到直线的表达式为：，求出，联立直线、的表达式，求出，如图，过点作轴的垂线，垂足分别为，证明，得到，根据点落在与直线平行的直线上，求出直线的解析式为：，当时，，即可得出直线过定点． 【小问1详解】 解：①将点代入，则， ， 直线的表达式为：， 直线的表达式为：， 令，则， ， 联立直线、的表达式，则， 解得：，即， ②如图， 四边形等腰梯形，且， 点在平行于直线过点B的直线上，且， 设直线的解析式为， 将点代入得：， 解得：， 直线的解析式为， 设点， 由图形可得， ， ， 解得：或， 当时，，此时，， ， 四边形是平行四边形， ， 则四边形不是梯形，故舍去， 当，， 同理：，， ，与不平行， 四边形是等腰梯形， 故，则； 【小问2详解】 解：根据题意：直线的表达式为：， 令，则， ， 联立直线、的表达式，则， 解得：，即， 如图，过点作轴的垂线，垂足分别为， 则，， ， 由旋转的旋转得：，， ， ， ， ， ， 点落在与直线平行的直线上， 设直线的解析式为：，则， 解得：， 直线的解析式为：， 当时，， 直线过定点． 【点睛】本题考查的是一次函数综合题，旋转的性质，需要掌握待定系数法确定函数关系式,函数图象上点的坐标特征，全等三角形的判定与性质，两条直线平行及交点等相关知识，属新定义型题目． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $