21.3.2 菱形 课件 2025--2026学年人教版八年级数学下册

该初中数学课件聚焦菱形的定义、特殊性质（四条边相等，对角线垂直且平分一组对角，轴对称）、判定及面积公式，通过“思考”从平行四边形边的特殊化引入定义，“活动”让学生折叠菱形探究性质，构建从平行四边形到矩形再到菱形的知识支架。 其亮点在于融合动手实践与逻辑推理，折叠活动引导学生用数学眼光观察对称性和边、对角线关系，证明过程培养数学思维中的推理能力，例题（如菱形花坛计算）和练习（等宽纸条交叉叠放）强化数学语言表达。学生能提升探究与应用能力，教师可借助结构化资料高效教学。

特殊的平行四边形 八年级下册 RJ 初中数学 21.3.2 菱形 四条边都相等 两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角. 轴对称图形，有两条对称轴. 菱形的特殊性质有哪些？ 知识回顾 1.掌握菱形的判定及证明过程. 2.能熟练运用菱形的判定进行计算和证明. 学习目标 平行 四边形 矩形 前面我们学习了平行四边形和矩形，知道了矩形是由平行四边形角的变化得到，如果平行四边形有一个角是直角时,就成为了矩形. 有一个角是直角 【思考】如果从边的角度,将平行四边形特殊化,内角大小保持不变仅改变边的长度让它有一组邻边相等,这个特殊的平行四边形叫什么呢? 平行四边形 定义：有一组邻边相等的平行四边形. 菱形 邻边相等 菱形是特殊的平行四边形. 平行四边形不一定是菱形. 4 【活动】在自己剪出的菱形上画出两条折痕,折叠手中的图形(如图),并回答以下问题： 【猜想1】菱形的四条边都相等. 【猜想2】菱形的两条对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角. 【问题1】菱形是轴对称图形吗?如果是,指出它的对称轴. 是,两条对角线所在直线都是它的对称轴. 【问题2】根据上面折叠过程,猜想菱形的四边在数量上有什么关系?菱形的两对角线有什么关系? 5 已知：如图,在平行四边形ABCD中,AB=AD,对角线AC与BD相交于点O. 求证：(1)AB=BC=CD=AD； (2)AC⊥BD,∠DAC=∠BAC,∠DCA=∠BCA,∠ADB=∠CDB,∠ABD=∠CBD. 证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD,AD=BC. ∵AB=AD,∴AB=BC=CD=AD. A B C O D (2)∵AB=AD,∴△ABD是等腰三角形. ∵四边形ABCD是平行四边形,∴OB=OD. 在等腰三角形ABD中, ∵OB=OD.∴AO⊥BD,AO平分∠BAD. 即AC⊥BD,∠DAC=∠BAC. 同理可证：∠DCA=∠BCA,∠ADB=∠CDB,∠ABD=∠CBD. 6 猜想2：菱形的对角线互相垂直，且每一条对角线平分一组对角. 已知：如图，□ABCD 是菱形，对角线 AC，BD 相交于点 O. 求证：AC⊥BD，AC 平分 ∠DAB和 ∠DCB，BD平分 ∠ADC和 ∠ABC. 证明：∵四边形ABCD是菱形 , ∴ AB=BC=CD=AD，OA=OC，OB=OD. ∴ △ABO≌△ADO， ∴∠AOB=∠AOD. ∵ ∠AOB+∠AOD=180〫, ∴ ∠AOB=∠AOD=90〫，即AC⊥BD. ∵△ABD≌△CBD， ∴∠ABD=∠CBD， ∠ADB=∠CDB. ∵△BAC≌△DAC, ∴∠BAC=∠DAC， ∠BCA=∠DCA. 所以AC⊥BD，AC 平分 ∠DAB和 ∠DCB，BD平分 ∠ADC和 ∠ABC. 菱形是特殊的平行四边形，它除具有平行四边形的所有性质外，还有平行四边形所没有的特殊性质. 对称性：是轴对称图形. 边：四条边都相等. 对角线：互相垂直，且每 条对角线平分一组对角. 角：对角相等. 边：对边平行且相等. 对角线：相互平分. 菱形的特殊性质 平行四边形的性质 9 【例1-1】如图,在菱形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,BD=12cm,AC=6cm，求菱形的周长． 解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD,AO=0.5AC,BO=0.5BD. ∵AC=6cm,BD=12cm， ∴AO=3cm,BO=6cm. 在Rt△ABO中,由勾股定理得 ∴菱形的周长=4AB=4×3 =12 (cm)． B A D O C 10 菱形是特殊的平行四边形，它除了具有平行四边形的所有性质外还有平行四边形所没有的特殊性质. 平行四边形的性质 菱形的特殊性质 角：对角相等. 边：对边平行且相等. 对角线：互相平分. 轴对称：是轴对称图形，对称轴是每条对角线所在的直线. 边：四条边都相等. 对角线：互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角. 角：对角相等. 练 习 1.菱形不具有的性质是（ ） A.四条边都相等 B.对角线相等 C.是轴对称图形 D.对角线互相垂直 2.如图，BD是菱形ABCD的一条对角线，点E在BC的延长线上.若∠ADB=32°，则∠DCE的度数为_______. B 64° 探究新知 （2）∵AB = AD，∴△ABD是等腰三角形 又∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OB = OD （平行四边形的对角线互相平分） 在等腰三角形ABD中，∵OB = OD， ∴AO⊥BD，AO平分∠BAD，即AC⊥BD，∠DAC=∠BAC 同理可证∠DCA=∠BCA， ∠ADB=∠CDB，∠ABD=∠CBD A B C O D 归纳总结 菱形的性质：对边平行且相等；对角相等；对角线相互平分. 几何语言描述： ∵ 四边形 ABCD 是菱形， ∴ AB = BC = CD = AD，AC⊥BD， ∠DAC =∠BAC，∠DCA =∠BCA， ∠ADB =∠CDB，∠ABD =∠CBD. 菱形的四条边都相等 ； 菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角. A B C O D   A B D C O 拓展：对角线互相垂直的任意四边形的面积等于对角线长乘积的一半. 例2 如图，菱形花坛 ABCD 的边长为 20m，∠ABC= 60〫，沿着菱形的对角线修建了两条小路 AC 和 BD. 求两条小路的长（结果保留小数点后两位）和花坛的面积（结果保留小数点后一位）. A　 B　 C　 D　 O　     跟踪训练3　如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重合的四边形ABCD是一个菱形吗？为什么？ 解　四边形ABCD是菱形.理由如下： ∵AB∥CD，AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形. 过点A分别作BC，CD边上的高AE，AF，如图， 由题意得AE=AF. ∵S▱ABCD=BC·AE=CD·AF， ∴BC=CD， ∴四边形ABCD是菱形. 课堂小结 例3　如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB于点H，连接OH. 求证：∠DHO＝∠DCO. 证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴∠OHB＝∠OBH. ∴OD＝OB，∠COD＝90°. ∵DH⊥AB， 又∵AB∥CD， 在Rt△DHB中，∠DHO＋∠OHB＝90°， ∴∠DHO＝∠DCO. ∴∠OHB＝∠ODC. ∴∠OBH＝∠ODC， 在Rt△COD中，∠ODC＋∠DCO＝90°. 3．菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是(　 　) A．两组对边分别平行 B．两组对角分别相等 C．对角线互相平分 D．四条边相等 D 练习 4．如图，四边形ABCD是菱形，AC＝8，DB＝6，DH⊥AB于点H，则DH等于____． 练习6 如图， 中， ， 是 边上的中线，过点C作 ，过点B作 ， 与 交于点E.猜想四边形 的形状并说明理由. 解：四边形 是菱形，理由如下： ∵ ， ， 四边形 为平行四边形. 中， ， 为斜边 边上的中线. . 平行四边形 是菱形. 练习7 如图，菱形 的对角线 ， 相交于点O，E，F是 上的两点，且 .求证：四边形 是菱形. 解：∵四边形 是菱形，∴ ， ， ， ∵ ，∴ ， ∴ ，∴四边形 是平行四边形， 又∵ ，即 ， ∴四边形 是菱形. $