21.3.3 正方形 课件 2025--2026学年人教版八年级数学下册

该初中数学课件聚焦正方形的判定及应用，课堂导入先回顾正方形定义、性质及矩形、菱形判定方法，再通过“手帕是否为正方形”的生活情境提问，搭建从旧知到新知的学习支架，引导学生逐步探索正方形的判定条件。 其亮点在于以生活情境激发探究兴趣，培养学生用数学眼光观察现实世界，通过合作探究矩形添加对角线垂直等证明过程发展推理能力（数学思维），利用符号语言归纳判定定理强化数学语言表达。采用归纳总结与典例精析结合的教学方法，帮助学生系统掌握知识，提升应用意识，也为教师提供结构化教学流程和丰富例题，提高教学效率。

第二十一章　四边形　 21.3.3　正方形 初中数学人教版（2024）八年级下册 学习目标 1.探索并证明正方形的判定.(重点) 2.会运用正方形的判定条件进行有关的论证和计算.(难点) 课堂引入 1.什么是正方形？正方形有哪些性质？ 2.矩形、菱形的判定方法有哪些？ 阳阳在商场看中了一块手帕，但不知是否是正方形，只见售货员阿姨拉起手帕的一组对角，另一组对角能完全重合，看阳阳还在犹豫，又拉起 手帕的另一组对角，剩下的那组 对角也能完全重合.阿姨认为这样 就能证明手帕是正方形，那么你 认为这块手帕一定是正方形吗？ 课堂导入 思考1 矩形的对角线具有什么性质？正方形的对角线具有什么样的性质？ 矩形：对角线相等且互相平分 正方形：对角线相等且互相垂直平分 矩形添加对角线互相垂直能否得到正方形？ 知识点：正方形的判定 新知探究 已知：在矩形ABCD中，AC⊥BD. 求证：四边形ABCD是正方形. 证明： ∵四边形ABCD是矩形, A B D C O ∴OA=OB=OC=OD，∠BAD=90〫. ∵AC⊥BD, ∴AC是线段BD的垂直平分线. ∴AB=BC=CD=DA, ∴四边形ABCD是正方形. 同理：BD是线段AC的垂直平分线, 正方形的四条边都相等，说明正方形是特殊的菱形． 合 作 探 究 矩形 菱形 正方形 平行四边形 有一个角是直角 有一个角是直角 有一组邻边相等 有一组邻边相等 有一个角是直角且有一组邻边相等 合 作 探 究 归纳总结 有一个直角 一组邻边相等 矩形 有一组邻边相等 有一个角是直角 正方形 菱形 平行四边形 归纳总结 定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形. 数学语言： ∵平行四边形ABCD中， AB=BC，∠A=90〫， ∴四边形ABCD是正方形. A B D C 已知：如图，四边形ABCD是正方形. 求证：正方形ABCD四边都相等，四个角都是直角. A B C D 证明：∵四边形ABCD是正方形. ∴∠A=90°, AB=BC (正方形的定义). 又∵正方形是平行四边形. ∴正方形是矩形(矩形的定义), 正方形是菱形(菱形的定义). ∴∠A=∠B =∠C =∠D = 90°, AB= BC=CD=AD. 已知：如图，四边形ABCD是正方形.对角线AC、BD相交于点O. 求证：AO=BO=CO=DO，AC⊥BD. A B C D O 证明：∵正方形ABCD是矩形， ∴AO=BO=CO=DO. ∵正方形ABCD是菱形. ∴AC⊥BD. 证明：（2）∵∠ADO＝∠EAD＋∠AED，∠DAC＝∠EAD＋∠AED， ∴∠ADO＝∠DAC，∴AO＝DO． ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC＝2AO，BD＝2DO， ∴AC＝BD，∴四边形ABCD是正方形． 例2 如图，已知在□ ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E是BD的延长线上的点，且EA＝EC． （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）若∠DAC＝∠EAD＋∠AED，求证：四边形ABCD是正方形． 典 例 精 析 1．如图，在直角三角形中，∠C＝90〫，∠CAB，∠ABC的平分线交于点D，DE⊥AC，DF⊥CB． 求证：四边形CEDF 为正方形． A B C E F D G 证明：过点D作DG⊥AB，垂足为G． ∴∠DEC＝∠DFC＝90〫． ∵∠C＝90〫， ∴四边形CEDF为矩形． ∵DE⊥AC，DF⊥CB， 探究新知 已知：在菱形 ABCD 中，对角线 AC = DB. 求证：四边形 ABCD 是正方形. 证明：∵四边形 ABCD 是菱形， ∴OA=OC，OB=OD，AC⊥BD． ∵AC=BD，∴OA=OB=OC=OD． ∴△AOB，△BOC 是等腰直角三角形． ∴∠ABO=∠CBO=45°，∴∠ABC=90°． ∴菱形 ABCD 是正方形． 4.对角线相等的菱形是正方形. A D C B O 有一个角是直角的菱形是正方形 归纳总结 正方形的判定定理 对角线相等的菱形是正方形. 符号语言：在菱形ABCD中， ∵ AC=BD， ∴四边形ABCD是正方形. A D C B O 当堂检测 2.一个正方形的对角线长为2cm，则它的面积是 （　　） A.2cm2 B.4cm2 C.6cm2 D.8cm2 A 1.平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的是（　） A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直 C．对角线相等 D．对角线互相垂直且相等 A 3.如图，四边形ABCD中，∠ABC=∠BCD= ∠CDA=90°，请添加一个条件____________________，可得出该四边形是正方形． AB=BC(答案不唯一) A B C D O 4.已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC⊥BD四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，其中错误的是____________（只填写序号）． ②③或①④ 例题练习 证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=DA. 又AE=BF=CG=DH，∴EB=FC=GD=HA. ∵∠A=∠B=∠C=∠D=90° ，∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG. ∴HE=EF=FG=GH. ∴四边形EFGH是菱形. ∵△AEH≌△BFE，∴∠2=∠3. 又∠1+∠2=90°，∴∠1+∠3=90°. ∴∠HEF=180° - (∠1+∠3)=90°. ∴ 四边形EFGH是正方形. C 当堂检测 ∠ACB＝90°(答案不唯一) 当堂检测 AB＝AC (答案不唯一) 9. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB = 90°，CD ⊥ AB，垂足为 D， ∠ACD = 3∠BCD，E 是边 AB 的中点. ∠ECD 是多少度？为什么？ 解：∠ECD = 45°. 理由： ∵∠ACB = 90°，∴∠BCD + ∠ACD = 90°. ∵∠ACD = 3∠BCD， ∴∠BCD + 3∠BCD = 90°， ∴∠BCD = 22.5°，∠ACD = 67.5°. ∵CD ⊥ AB，∴∠A + ∠ACD = 90°. ∴∠A = 22.5°. 在Rt△ABC中，E 是斜边 AB 的中点， ∴CE = AB = AE . ∴∠ACE = ∠A = 22.5°. ∴∠ECD =∠ACD－∠ACE = 67.5°－22.5°= 45°. 【选自教材第80页 习题21.3 第9题】 10. 如图，四边形 ABCD 是菱形，点 M，N 分别在 AB，AD 上，且 BM = DN，MG∥AD，NF∥AB；点 F，G 分别在 BC，CD 上，MG 与 NF 相交于点 E. 求证：四边形 AMEN，EFCG 都是菱形. 证明：∵四边形 ABCD 是菱形， ∴AB = DA = BC = CD，AB∥CD，AD∥BC. ∵MG∥AD，NF∥AB， ∴AB∥NF∥CD，AD∥BC∥MG. ∴四边形 AMEN，BCGM，CDNF，EFCG 都是平行四边形. ∴BM = CG，DN = CF. ∵BM = DN，∴CG = CF，AB－BM = DA－DN，即AM = AN. ∴ □ AMEN， □ EFCG 都是菱形. 【选自教材第80页 习题21.3 第10题】 练习1 一个四边形顺次添加下列中的三个条件便得到正方形： a.两组对边分别相等，b.一组对边平行且相等 c.一组邻边相等，d.一个角是直角 顺次添加的条件：①a→c→d；②b→d→c；③a→b→c，则正确的是：( ) A.仅① B.仅③ C.①② D.②③ 4.如图，在中，，点D，E分别是边AB，AC的中点， 延长DE到点F，使，得到四边形ADCF.若使四边形ADCF是正方形，则应在中再添加一个条件为____________. 解析：添加条件，则四边形ADCF是正方形.理由如下： 点E是AC的中点，. 四边形ADCF是平行四边形. . 四边形ADCF是矩形. 点D，E分别是边AB，AC的中点，，四边形ADCF是正方形.故答案为(答案不唯一). 5.如图，在中，，点D，E，F分别是边，，的中点，要使四边形为正方形，不添加辅助线，可以添加的条件是__________(添加一个条件即可) 解析：点D，E，F分别是边，，的中点， ，且，，且， ， 四边形是平行四边形， ，四边形是矩形， 当时，四边形是正方形， 添加的条件可以是，故答案为：.（答案不唯一） $