圆有关切线的证明题 高频考点预测练 2026学年中考数学复习备考

**基本信息** 聚焦圆的切线证明高频考点，以“连半径证垂直”为核心，系统整合角度转换、全等相似、勾股定理等方法，构建“定理应用-辅助线构造-综合计算”的逻辑链条。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |角度转换证垂直|3题（如1、5、12）|连半径构造等腰三角形，利用等边对等角、角平分线实现角度等量代换|切线判定定理→等腰三角形性质→三角形内角和| |直径与圆周角|4题（如2、3、8、9）|直径所对圆周角为90°，结合余角、平行线性质证垂直|圆周角定理→直角三角形性质→平行性质| |全等/相似应用|3题（如6、7、10）|构造全等（AAS/SAS）或相似（AA）三角形，证明对应角为90°|全等/相似判定→对应角相等→垂直定义| |实际应用模型|3题（如11、13）|将现实情境（交通枢纽、动点问题）抽象为圆与切线模型，迁移核心证法|几何建模→切线判定→方程思想|

圆有关切线的证明题 高频考点预测练 2026学年初中数学中考复习备考 1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点O在AB上，以0为圆心，OA为半径作⊙0，交 AB于点D,交AC于点E,且LCEB=∠ADE, C B D (1)求证：BE是O0的切线： (②)若AE=8,coS∠A= ,求00的半径和BC的长。 4 2.如图，AB是⊙O的直径，△BCD内接于⊙O,连接AC,DA,并延长DA交CE于点E ,且∠E=90°，己知BC=CD. C B D (1)求证：CE是⊙0的切线； (2)若BC=5V6,CE=5,求OB的长. 3.如图，AB是⊙0的直径，C是OO上一点过点C作CD⊥AB于点E,交OO于点D,点 F是AB延长线上一点，连接CF,AD,∠FCD=2∠DAF. EB F (1)求证：CF是⊙0切线： (2②)若AF=10,sinF=2 求CD的长」 4.如图，ABC内接于⊙O,点D为BC的中点，连接AD、BD,BE平分∠ABC交AD于 点E,过点D作DF∥BC交AC的延长线于点F, E 0 D (1)求证：DF是O0的切线. (2)求证：BD=ED. (3)若DE=5,CF=4,求AB的长. 5.如图，⊙0是ABC的外接圆，AD是OO的直径，F是AD延长线上一点，连接CD, CF,且∠DCF=∠CAD D B (1)求证：CF是00的切线： a若4D=10,cos8-号求FD的长。 6.如图，∠B=∠D=90°，∠1=∠2，AB与CD交于点O,以O为圆心，OB长为半径作圆. A D (1)证明：AC是⊙0的切线； (2)己知BC=6,AB=8,求0C的长 7.如图，AB是O0的直径，点C在O0上，连接0C,作直线CE⊥OC,交直线AB于点 E,交∠BOC的角平分线于点D,连接BD. B (1)求证：BD是O0的切线： ②连接0交0C于点R者8,8D=7,求00的￥径 8.如图，AB是OO的直径，BC是OO的切线，切点是B,弦AD∥OC,连接CD, (1)求证：CD是O0的切线； ②若an∠0CB=,0=4,求0C的长」 9.如图，己知直线PA交⊙0于A、B两点，AE是O0的直径，点C为O0上一点，且AC 平分∠PAE,过C作CD⊥PA,垂足为D. B (I)求证：CD为O0的切线； (2)00的直径为20. ①当CD-AD=4时，求AB的长度， ②若∠AEC=30°，求图中阴影部分的面积. 10.如图，在ABC中，∠ACB=90°，点D和点E分别在AB和AC边上（不与端点重合）， 且AD=AE,延长DE和射线BC交于点F,作DG⊥DF,与BC边交于点G,作△FDG的 外接圆OO在BF上方的部分，连接OD. D E G (1)若∠0FD=30°，0D=2,求DG的长. (②)求证：AB是O0的切线 (3)若AC=3,BC=4,直接写出tan ZDFG的值. 11.综合实践：智慧城市交通规划中的几何建模 为推进国家智慧城市交通网建设与城市立体交通规划的实施，某城市规划院设计了圆形交通 枢纽模型：⊙0为城市核心交通圈（圆心为O),AC是⊙0的直径（代表枢纽主交通干线）， 规划的快速联络道PA是⊙O的切线（快速道沿切线方向接入交通圈），交通圈上的换乘节点 B在OO上，且快速道PA与联络道PB的规划长度相等(PA=PB).规划的综合廊道PC与 交通圈的核心联络弦AB交于换乘分流点E (I)规划师需验证：联络道PB是否也为⊙O的切线（即PB是⊙0的切线），请完成证明； (②)若规划中测得；∠APC=∠BPC(廊道规划的角度设计关系)，求PE:CE的比值. I2.如图，AB是OO的直径，点C在AB延长线上，点D在圆上，连接AD,BD,CD, ∠CDB=∠CAD. (1)求证：CD是O0的切线； (2若CB、1 AB3,求anA的值. 13.如图1，等边ABC内接于O0,D为BC中点，连接0D并延长交⊙0于点E,作 EMI∥BC. A A D B M E E 图1 图2 (I)求证：EM是O0的切线. (2)如图2，点F为射线EM上的动点，连接FB并延长与OO的优弧BAC交于点P(与点B, C不重合)，连接PA,PC. ①在点F运动过程中，请探究线段PA,PB,PC的数量关系并说明理由： ②连接CE,若AB=2V5,当点P到CE的距离最大时，请直接写出PH+BF的值. PB 参考答案 1.(1) 证明：如图，连接OE, E :0D=0E, B δ .∠OED=∠ADE, :∠CEB=LADE, .∠OED=LCEB, :AD是⊙0的直径， .∠AED=90°， .∠CED=180°-∠AED=90°，即∠BED+∠CEB=90°， .LBED+LOED=90°， .∠OEB=90°，即0E⊥BE, :OE是00的半径， .BE是OO的切线； (②)00的半径为5，BC=96 (1)连接OE,由等腰三角形的性质及己知可得LOED=LCEB,由圆周角定理得 ∠AED=90°，即得∠CED=90°，得到∠BED+∠CEB=90°，即得到LBED+∠OED=90°， 得∠0EB=90°，即可求证； (2)由锐角三角函数可得AD=10,即得O0的半径为5，DE=√AD2-AE2=6，设 AC=4a,则CE=4a-8,可得AB=5a,BC=VAB2-AC2=3a,再根据△ADEABEC 求出a的值即可求解， (1)略 (2)解：：∠AED=90°， c0s∠A=AE4 AD5’ AE=8, 84 AD5' .AD=10, 00的半径为5，DE=VAD-AE2=V102-82=6, 设AC=4a,则CE=4a-8, :∠C=90°， .c0s∠A= AC 4a 4 AB AB5 :AB=5a, :BC=VAB2-AC2=(5a)2-(4a)2=3a, :LAED=∠C=90°，∠ADE=∠CEB, .△ADE∽△BEC, DE AE CE BC 即名 解得a=32 BC=3a=96 2.(I)证明：连接CO并延长交BD于点T, B D :0C=0B .∠1=∠2 BC=CD :BC=CD :0C是半径 .CT⊥BD .∠2=∠4 aC=AC .∠1=∠3 ∠3=∠4 :AD∥CT :∠E=90° .∠TCE=180°-∠E=90° :0C是半径， CE是OO的切线； (2)3V5 (1)略 (2)解：AB是⊙0的直径， .∠ADB=90° LADB=∠E=∠ECT=90° :四边形ECTD是矩形， .DT=CE=5, :BC=CD,CT⊥BD ..BT=DT=5 CT=VBC2-B7=V56-5=55 设0B=0C=m,则0T=5√5-m 在Rta0BT中，由勾股定理得，OT2+BT2=OB2 (55-m+52=m 解得m=3V5 .0B=3V5. 3.(1) 证明：连接0C,OD,如图所示， A EBF:CD1AB,AB为⊙0的直径， .BC BD, LC0B=∠BOD, :∠B0D=2∠DAF, ∠C0B=2LDAF, ZFCD =2ZDAF, LCOB=∠FCD, :CD⊥AB, .∠C0B+L0CE=90°， ∠FCD+∠0CE=90°， 0C⊥CF, CF是⊙0切线， 呼 (1)略 (2)解：连接0C,如图所示， A EB F D 由(1)得，0C⊥CF, :CE⊥AB, ∠0CF=∠CEF=90°， LF=∠0CE. sin F= 2 3 CE OE 2 CF-OC-3 设0E=2x则0C=0A=3x, :在Rta0CE中，CE=V0C2-0E2=V9x2-4x2=V5x, ·CF=35x 2 12 :在Rt△CEF中，EF=VCF2-CE2 5x2= 5 -x. :AF=10, 5 ...AF=AO+OE+EF=3x+2x+x=10, 2 4 .x= 3 CE=5x-45 3 :CE⊥AB, CE=ED=CD C0=85 3 故答案为：85 3 4.(1) 证明：如图，连接0D, A :点D为BC的中点， .OD⊥BC, :DF∥BC, DF⊥OD,且OD是⊙0的半径， DF是OO的切线； (2) 证明：：点D为BC的中点， ∴.BD=CD .∠CBD=∠BAD, :BE平分∠ABC, ,∠ABE=∠CBE, :∠DEB=∠BAD+∠ABE,∠DBE=∠CBD+∠CBE, .∠DBE=∠DEB, :DB=DE; 848=号 (1)如图，连接OD,证明OD⊥BC,结合DF∥BC,可得DF⊥OD,从而可得结论： (2)证明∠CBD=∠BAD,LABE=∠CBE,结合∠DEB=∠BAD+∠ABE, ∠DBE=∠CBD+∠CBE,再进一步可得结论； 0iB,给合 (3)如图，连接CD,证明CD=BD=5,再证明FDCDAB,可得C-CD CF=4,从而可得答案； (1)略 （2)略 (3)解：如图，连接CD, DE=5,BD=DE, BD=5, :BD=CD .CD=BD=5, A E 0 ◇ :BC∥DF, .LACB=∠F,而LACB=LADB, .∠ADB=∠F, :四边形ABDC为OO的内接四边形， :LABD+∠ACD=I80°=∠ACD+∠DCF, .∠DCF=∠ABD, .△FDC∽aDAB, 品 ，而CF=4, 45 5 AB ·AB=2 ,经检验，符合题意， 本题考查的是圆周角定理的应用，切线的判定，相似三角形的判定与性质，圆的内接四边形 的性质，等腰三角形的判定与性质，作出合适的辅助线是解本题的关键 5.(1)证明见解析 9 本题考查切线的判定和性质，圆周角定理，解直角三角形及相似三角形的判定与性质，掌握 切线的判定方法，直角三角形的边角关系以及相似三角形的性质是正确解答的前提 (1)根据切线的判定，连接0C,证明出OC⊥FC即可，利用直径所得的圆周角为直角， 三角形的内角和以及等腰三角形的性质可得答案； )由c0sB根据欲角三角函数的意义和肉股定理可得cD:4C:4D=34:5,再根据 似三角形的性质可求出答案 (1)证明：连接0C,如图所示： F :AD是O0的直径， ∠ACD=90°， ,∠ADC+∠CAD=90°， 又：0C=0D, ·LADC=LOCD, 又：∠DCF=∠CAD. :∠DCF+∠0CD=90°，即OC⊥FC, ∴.FC是⊙O的切线： (2)解：：∠B=∠ADC,cosB= ADC 在Rt△ACD中，cos∠ADC=3=CD 5AD’4D=10, CD=4Dcs∠40c=10x-6,则4C=VaD-cD=8, :CD 3 AC =4’ 'LFCD=LFAC,∠F=∠F, △FCDm△FAC, CD-FC-FD 3 ACFA FC4' 设FD=3x,则FC=4x,AF=3x+10, :FC2=FD.FA,即(4x)2=3x(3x+10), 寻x=7或x=0（舍2 90 ..FD=3x= 7 6.(1)证明：过点O作0E⊥AC,垂足为点E, E 分 .L0EC=L0EA=90°， :∠B=90°， .LB=∠0EC=90°， [∠B=∠OEC 在△BOC和△EOC中， ∠1=∠2， OC=OC .△B0C≌△EOC(AAS), .0B=0E, :OB为半径， OE为半径， 又：OE⊥AC, .AC是⊙0的切线： (2)0C=35 (1)过O点作OE⊥AC,垂足为点E,证明△BOC≌△EOC(AAS),推出OB=OE,即可 证明： (2)设00的半径为”， 则 OA=AB-OB=8-r,，由△B0C≌△E0C(AAS)得 BC=CE=6,用勾股定理解Rt△OAE求出r,再用勾股定理解Rt△OBC即可求出OC的长， (1)略 (2)解：在Rt△ABC中，由勾股定理得AC2=BC2+AB2,BC=6,AB=8, AC=V62+82=10, 设⊙0的半径为r, ..OA=AB-OB=8-r, 由(1)得△B0C≌△E0CAAS), .BC=CE =6, .AE=AC-CE=10-6=4, 在Rt△0AE中，由勾股定理得OE2+AE2=OA, 即2+42=(8-)2， 解得：r=3, 在Rt△0BC中，由勾股定理得OC2=OB2+BC2, 即0C2=32+62=45, 0C=35. 7.(1)见解析： R36 本题主要考查了全等三角形的判定与性质、圆的切线的判定、相似三角形的判定与性质、特 殊角的三角函数值等知识点，灵活运用相似三角形的判定与性质成为解题的关键， (1)由角平分线的定义以及己知条件可证明△0CD≌△OBD可得∠OCD=∠0BD,进而得 到∠OBD=90°即可证明结论； (2)如图：连接AC,易证△AFC∽aDF0,△ACE∽aODE可得AC_CF、4C_AE_CE OD-OF、OD OE DE ,进而得到DE=2CE=2CD,易证△OCD≌△0BD可得BD=CD,则BD=CD=CE=7、 DE=14、BE=7√3，根据特殊角的三角函数值可得∠E=30°，则0E=20C,进而得到 BE=0E+0B=20C+0C=30C,然后求得0C即可解答. (1)证明：：0D平分∠B0C, :ZDOC ZDOB. :0C=0B,0D=0D, :△OCD≌△0BD. :ZOCD Z0BD :CE⊥OC,垂足是C, :.∠0CD=90°. ∠0BD=90°. 半径OB⊥BD. .BD是OO的切线. (2)解：如图：连接AC. D :∠BOC=2∠BOD=2∠BAC. ∠BOD=∠BAC, .AC∥OD. △AFC∽△DF0,△ACE∽△ODE. :.AC=CF,AC_AE CE OD OF'OD OE DE .CF 1 AC AE CE 1 OD OE DE-2· .DE 2CE 2CD. :△0CD≌△0BD, :BD=CD· BD=7, :BD=CD=CE=7. .DE=14. :sim∠E=BD-71 DE-14=2'BE=DE'-BD-1 .∠E=30°， .0E=20C, .BE=0E+0B=20C+0C=30C :00=号5，即00的半径为好5 8.(1)证明：如图，连接0D. :BC是⊙O的切线， LABC=90°. AD‖OC, ∠DAB=∠COB,∠COD=LODA. 0D=0A, .∠0AD=∠0DA. LC0D=∠C0B. :0D=0B,0C=0C, aCOD≌aC0B(SAS. L0DC=L0BC=90°， CD是O0的切线： (2)10 (1)由平行及等腰三角形的性质可得LC0D=∠C0B,然后证明△C0D≌△C0B即可完成： (2)连接OD,连接BD交OC于E,易得CO垂直平分BD,即E是BD中点，从而由三角 形中位线定理求得OE，再可得∠0CB=∠0BE,由an∠OCB=)求得BE,从而由勾股定 理求得OB,进而根据正切的定义求得BC,最后在RtaCBO中，由勾股定理即可求得结果， (1)略； (2)解：如图，连接OD,连接BD交OC于E, E :由(1)可得CD=CB,0D=0B,∠0BC=90°， ∴.CO垂直平分BD,即E是BD中点， C0E=)AD=2,L0EB=∠0BC=90° :∠0CB+∠C0B=90°，∠C0B+∠0BE=90°， .LOCB=∠OBE, :tan∠0CB=2' 1 :tan∠OCB=tan∠OBE=OE-1 BE2 .BE=20E=4. 在Rta0BE中，0B=√0E2+BE2=V22+42=2V5, OB 1 :tan∠OCB= BC2' BC=20B=4V5, 在RtaCBO中， 0C=v0B2+BC=25+45-10. 9.(1)证明：连接0C, E B :0A=0C, .ZOAC Z0CA, :AC平分∠PAE, ∠CAP=LEAC, LCAP=∠OCA, :OCIl AP, CD⊥PA, .CD⊥0C, 0C是半径， CD为O0的切线， (2)①12或16：②50 -25V5 (1)连接0C,先证明OC‖AP,由CD⊥PA,可得CD⊥0C,即可证明结论： (2)①连接0C,过点O作OG1AB于点G,先证明四边形0CDG是矩形，可得 DG=0C=10,0G=CD,设AD=x,则0G=CD=x+4,AG=DG-AD=10-x,在 RtAOGA中，利用勾股定理列出方程即可求解；②连接OC,过点O作OF⊥AC于点F,由 ∠AEC=30°，可得∠A0C=60°，则a0AC是等边三角形，再利用S阴影=S扇形O4c-S0AC,即可 求解. (1)略 (2)解：①如图，连接0C,过点O作0G⊥AB于点G,则AB=2AG, E (TH PD A :⊙0的直径为20， 0C=0A=10, 由(1)可知，CD⊥0C, :CD⊥PA,OG⊥AB, .四边形OCDG是矩形， DG=0C=10,0G=CD, CD-AD=4, 设AD=x,则0G=CD=x+4,AG=DG-AD=10-x, :OG⊥AB, 在Rta0GA中，AG2+OG2=OA2, .(10-x)2+x+4)2=102, 整理得，x2-6x+8=0, 解得x=2,x2=4, 当x=2时，AG=10-x=8,则AB=2AG=16, 当x=4时，AG=10-4=6,则AB=2AG=12, .AB的长度为12或16. ②如图，连接0C,过点0作0F⊥AC于点F, C B :∠AEC=30°， .∠A0C=60°， :0A=0C, △OAC是等边三角形， ⊙0的直径为20， .AC=0A=0C=10, :OF⊥AC, AF7AC=5,∠0F4=90 在Rta0FA中，0F=V0A2-AF2=V102-52=5V5, se号4c0F-x10x55=255, :S扇形0Ac= 60×π×10250 360 3， 50 ∴S影=S偏形0Ac-S04c= 2π-255」 3 10w号 (2)证明：：∠ACB=90°， :∠CFE+∠CEF=90°， AD=AE :∠AED=∠ADE, :∠AED=∠CEF, LCFE+∠ADE=90°， :0D=0F, LCFE=∠ODF, ∠0DF+∠ADE=90°=∠AD0, AD⊥OD, :0D是⊙0的半径， :AB是⊙O的切线 3号 (1)证明FG为直径，可得0F=0G=0D=2,证明∠D0G=60°，进一步可得答案： (2)首先，根据∠ACB=90°，得∠CFE+∠CEF=90°，再由AD=AE,∠AED=∠CEF, 得∠CFE+∠ADE=90°，根据OD=OF,得∠CFE=∠ODF,进而 ∠ODF+∠ADE=90°=∠AD0,得出结论： (3)先根据勾股定理求得AB=5,设00的半径为r,BG=x,再根据anB=4C-0D BC BD 得BD=,AD=AE=5-,CE=r-2,接着，证出：8FD:BDG,行5D8G, 4 BF BD 3 2 8 即+220，解得x六氵含去，可得C5=BFBC4,最后，得 9 3 出tan∠DFG=CE_1 CF 2 (1)解：DG⊥DF, .∠FDG=90°， FG为直径， 0D=2, .0F=0G=0D=2, :∠0FD=30°， .∠0FD=L0DF=30°， .∠D0G=30°+30°=60°， :DG的长为360 π×22=2元 60 3 (2)略 (3)解：：∠ACB=90°，AC=3,BC=4, :AB=AC2+BC2=5. 设O0的半径为r,BG=x, .BF=FG+BG=2r+x. tanB=4C_OD n3 r ，即 BC BD 4 BD 4 :BD =r, 3 4 :AD=AE AB-BD=5- 3 4 .CE=AC-AE=r-2 3 :0D=0F, .∠DFG=∠ODF. :DG⊥DF,AB是OO的切线， .∠FDG=∠0DB=90°， L0DF+L0DG=L0DG+∠BDG=90°， .∠DFG=∠ODF=∠BDG. :∠B=∠B, △BFD∽△BDG, BF BD BD BG =(2r+x)x, :.x2+2rx 16r2=0, 9 2 8 解得x=了6=一兮（舍）. 3 CF=BF-BC=2r+x-4=2r+2,-4= 3 34. 4 4r-21 :.tanLDFG=CE_3"- CF8—= 42 3 11.(1)见解析 (27-1 4 (1)证明△A0P≌△B0P(SSS),则∠0AP=∠0BP=90°，根据切线的判定即可证明结论； (2)连接CB,设OP交AB于点F,证明PB=CB=2OF,设PF=x,OF=m,则 PB=CB=2m,求出PF=i7- m,证明△PEF∽aCEB,根据相似三角形的性质即可求出 2 答案 (1)证明：连接0B、0P, PA与⊙0相切于点A, .PA⊥OA, .PA=PB,OA=0B,OP=OP, △A0P≌aB0P(SSS), .∠0AP=∠0BP=90°， :OB是O0的半径，且PB⊥OB, PB是⊙O的切线。 (2)解：连接CB,设OP交AB于点F, :PA、PB是OO的切线. PA=PB,∠0BP=90 .△PAB是等腰三角形， :0A=0B, PO垂直平分AB,垂足为点F, ∠OPA=∠OPB,∠BFP=90°，AF=BF, ∠APB=2∠0PB, .AO=BO, .OF是ABC的中位线， OF∥CB,OF==CB, 2 :∠APC=3∠BPC, :∠APB=3LBPC+∠BPC=4∠BPC, .2∠0PB=4∠BPC, ∠OPB=∠OPC+∠BPC=2∠BPC, ∠OPC=∠BPC, :AC是⊙0的直径， .AB⊥BC, :P0⊥AB, P0∥BC, :∠OPC=∠BCP, :ZBPC ZBCP, .PB=CB=20F, 设PF=x,OF=m,则PB=CB=2m, PF PB cos∠OPB= PB=PO:HPO=x+m,PB2=(2m)2=4m2, .PF.PO=PB2, :.x(x+m)=4m2, 2m，七=7-1 解得x7-1 m(不符合题意，舍去)， 2 .PF= √17-1 2n, .PF CB, .APEFACEB, 17-1 PEPF 2= m 7-1, CE CB 2m 4 的值为7-1 PE CE 4 12.(1)见解析 am4号 (1)连接OD,利用直径所对圆周角为直角、等边对等角和∠CDB=∠CAD,等量代换推 出OD⊥CD,从而证明CD是切线： (2)设CB=2a,AB=6a,先用勾股定理求出CD,再证CDB△CAD,最后利用相似比 结合三角函数定义求出tanA. (1)证明：如图，连接0D, :AB是O0的直径， :∠ADB=90°， 0D=0A, .∠0AD=∠0DA, :∠CDB=∠CAD, :∠CDB=∠ODA, .∠CDB+LODB=∠ODA+∠ODB=90°， 即∠0DC=90°， :0D是00的半径， .CD是00的切线. (2)解：CB1 AB=3 :设CB=2a,AB=6a,则AC=8a, 1 0D=0B=2AB=3a, :.OC =0B+CB=5a, 由(1)得，∠0DC=90°， :在Rt△0DC中，由勾股定理得(3a)2+CD2=(5a2, :CD 4a, :∠C=∠C,∠CDB=∠CAD, :△CDB∽△CAD, .BD CD 4a 1 DA CA 8a 2' BD 1 ∴.tanA= DA2 13.(I)证明：：D为BC中点，E在0D的延长线上， .OE⊥BC, :EM∥BC, .OE⊥EM, :OE是00的切线； (②)PC=PA+PB或PC=PB-PA,理由如下： 当点P在AB上时，如图，在PC上取点T使得，PT=PA D MF E :ABC是等边三角形， ∠ABC=∠ACB=60°，AB=AC, AC=AC' .∠APC=∠ABC=60°， .△APT是等边三角形， AT=AP,∠PTA=60°， .∠ATC=120°， :四边形APBC是OO的内接四边形， .∠APB+∠ACB=180°， .∠APB=120°， .∠APB=∠ATC, 又：AP=AP, .∠ABP=∠ACT, △ABP≌△ACT(AAS), .PB=TC, :PC=PT +TC=PA+PB PC=PA+PB, 当点P在AC上时，如图所示，在CP的延长线上取PS=PA, A B D MF E 同理可得∠APB=∠ACB=60°， :四边形APBC是⊙O的内接四边形， .∠APB+∠ACB=180°， .∠APB=120°， .∠APS=60°， ·△APS是等边三角形， .∠S=∠APB, 又：AB=AC,∠ABP=LACP, △SAC≌△PAB(AAS）, .PB=SC=PC+PS=PC+PA PC=PB-PA (1)根据垂径定理可得OE⊥BC,根据EM∥BC得出OE⊥EM,即可得证； (2)分情况讨论，当点P在AB上时，在PC上取点T使得，PT=PA,证明 △ABP≌△ACT(AAS),得出PB=TC,进而根据线段的和差关系，即可得出结论；当点P在 AC上时，如图所示，在CP的延长线上取PS=PA,证明△SAC≌△PAB(AAS),进而根据线 段的和差关系，即可得出结论； ②根据题意得出当点P到CE的距离最大时，PO⊥CE,设PO,CE的交点为M,连接OC, OB,解直角三角形，分别求得PA,BF,PB的长，再求比值，即可求解. (1)略 (2)①略 ②点P在优弧BAC上， .当点P到CE的距离最大时，PO⊥CE,如图所示，设PO,CE的交点为M,连接OC, OB, P M F E 图2 :ABC是等边三角形，AB=2√5， .BC=AB=2V3,∠BAC=60°， .∠B0C=2∠BAC=120°， :OE⊥BC, DC-BC=3ZE0C=B0C=60P 2 又0E=0C, :△OCE是等边三角形， .∠OCD=5∠OCE=30°， :0D=0c,Dc=0c-0D=500, .0D=1,则0C=2,EC=0C=2, OM⊥EC,CD⊥OE, .0M=CD=sin60°×2=√5， :CM=TEC=1, 2 .PM=0P+0M=2+V5, 在RtPCM申，PC=VPM2+CMF=-V2+5'+1=2+6, :∠B0C=120°，0B=0C, .∠0BC=0CB=30°， L0BC=LBCE=30°， OB∥EC, :P0⊥EC, .P0⊥OB, 又：0B=0P, .∠PB0=∠BP0=45°，PB=V2P0=2√2， 由(1)可得P在AB上，PC=PA+PB, PA=PC-PB=2+√6-2V2=√6-V2, 如图，过点P,B分别作BC,EF的垂线，垂足分别为G,H,则四边形BHED是矩形， BH=DE=0E-0D=2-1=1, A P G DM M FH E 图2 :∠BPC=∠BAC=60°，OP=OC, .∠0PC=∠BPC-∠BP0=60°-45°=15°， .∠PCE=90°-∠0PC=75°， .∠PCB=∠PCE-∠BCE=75°-30°=45°， :PG=PCsin∠PCB=2 ×PC=1+V5, 2 PG1+V3√2+√6 .sin∠PBG= PB 22 4 :BC∥ME, LBFH=∠PBG, BH BH 1 BF =√6- sin∠BFH sin∠PBG√2+V6 4 :PM+F.6-5+6-5-5-1. PB 2W2