圆中的切线证明问题、圆中的三角形相似问题专项训练-2026年中考数学二轮复习

**基本信息** 聚焦圆中切线证明与三角形相似两大高频考点，通过多地区模拟典例构建“性质应用-推理证明-计算应用”逻辑链条，强化几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |圆中的切线证明问题|3例+3变式|以“连半径证垂直”“作垂直证半径”为主，结合直径、弧中点等条件|基于圆的基本性质（如直径对直角），通过角的转化（如等腰三角形、角平分线）实现切线判定| |圆中的三角形相似问题|3例+3变式|常与切线证明结合，通过圆周角、弦切角等构建等角关系证明相似|依托切线性质（垂直关系）及圆中角的传递性，建立相似三角形模型解决长度计算|

圆中的切线证明问题、圆中的三角形相似问题专项训练 圆中的切线证明问题、圆中的三角形相似问题专项训练 考点目录 圆中的切线证明问题 圆中的三角形相似问题 考点一 圆中的切线证明问题 例1.(2026广西贺州二模)如图，AB为O0的直径，点D,E为00上的两个点，延长AD至C,使 ∠CBD=∠E,连接BE交AD于点F, B (I)求证：BC是O0的切线； (2)若⊙0的半径为4，点E为弧AD的中点，∠E=30°，求BF的长. 【答案】()证明：AB为O0的直径， ∠ADB=90°， ∠A+∠DBA=90°， BDBD ∴∠A=LE, ∠CBD=LE, ∠CBD=∠A, ∠CBD+∠DBA=90°， AB⊥BC, BC是O0的切线. 28v5 3 【分析】(1)由圆周角定理和已知条件证出∠CBD+∠ABD=90°，得出∠ABC=90°，即可得出结论； (2)先求出∠EBD=∠EBA=30°，然后在Rt△BDF中，利用三角函数即可求出DF的长度. 【详解】(1)略 (2)解：∠BED=30°， ∴.∠A=∠E=∠CBD=30°， 圆中的切线证明问题、圆中的三角形相似问题专项训练 ∠DBA=90°-30°=60°， 点E为AD的中点， ·AE=DE, ∠EBD=∠EBA=30°， ×00半径为4， AB=8, :.BD=1AB=4, 21 在Rt△BDF中，∠DBF=30°， ~coS∠DBF= BD BF 8R=盟=4÷9=9 例2.(2026江苏盐城二模)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点O在边AC上，以点O为圆心，0C长为半 径的OO交AB于点D,且DB=BC. D C B (1)求证：AB是O0的切线： ②若B=15,m4-号求00的半径. 【答案】()见解析 (2)00的半径为4.5 【分析】(1)利用SSS证明△ODB≌aOCB,推出∠ODB=∠OCB=90°，即可证明AB是OO的切线： (2)求得BC=9,AC=12,设⊙0的半径为x,在RtAAOD中，由勾股定理列式计算即可求解. 【详解】(1)证明：连接OD, D DB=BC,OD=OC,OB=0B, 2 圆中的切线证明问题、圆中的三角形相似问题专项训练 AODB≌aOCB(SSS), ∠0DB=∠0CB=90°，即OD⊥AB, 又0D为半径， ∴AB是OO的切线； (2)解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=15,sinA= ∴simA=BC=BC3 4B-155 .BC=9,AC=AB2-BC2=12, 设⊙0的半径为x, 0A=12-x,AD=AB-BD=15-9=6, ~OD⊥AB即∠ODA=90, 在RtaA0D中，由勾股定理得0D2+AD2=0A2,即x2+62=(12-x), 解得x=4.5, 00的半径为4.5. 例3.(2026河南平顶山一模)如图，ABC为⊙0的内接三角形，AB为⊙0的直径. B (1)尺规作图：（不写作法，保留作图痕迹） ①作AD平分∠BAC,交O0于点D: ②过点D作DE L AC,交AC的延长线于点E; (2)在(1)的条件下，求证：DE是O0的切线. 【答案】(1)解：略 (2)证明：略 【分析】(1)①根据角平分线的作法作图即可； ②根据垂线的作法作图即可； (2)连接OD,根据角平分线的定义及等边对等角得到∠AD0=∠OAD=∠CAD,可知AC∥OD,根据垂线的定 义得到∠AED=90°，可知∠ED0=90°，即可证明DE是O0的切线. 【详解】(I)AD和DE如图所示： 圆中的切线证明问题、圆中的三角形相似问题专项训练 (2)证明：证明：如图，连接0D. AD平分∠CAB, ∠CAD=LOAD. 0A=0D, .∠ADO=∠OAD=∠CAD. AC∥0D. DE⊥AC,即∠AED=90°， .∠ED0=180°-∠AED=90°. ~0D为半径， DE是OO的切线. 变式1.(2026四川南充三模)如图，AB是⊙0的直径，C是⊙0上一点（与A,B两点不重合），过点C作直线 PO,使得∠ACQ=∠ABC. /D E B (1)求证：直线P2是⊙0的切线； ②过点A作4D1PQ于点D,交O0于点E.若00的半径为4，m☑PCB-求图中阴影部分的面积 【答案】(1)证明：连接0C, 圆中的切线证明问题、圆中的三角形相似问题专项训练 E P:AB是OO的直径， .∠ACB=90°. :0A=0C, :ZCAB=ZACO. .'∠ACQ=∠ABC, ·LCAB+LABC=LAC0+LAC0=L0C0=90°. 半径OC⊥PQ ∴直线P是o0的切线. @经-4 【分析】(1)连接OC,根据AB是⊙0的直径，得出∠ACB=90°，进而根据∠ACQ=∠ABC,∠CAB=∠AC0,得 出∠CAB+∠ABC=∠ACO+∠ACQ=∠OCQ=90°，即可证明半径OC⊥PQ,从而得证； (2)根据已知sin∠PCB=),得出∠PCB=30°，证明△4B0为等边三角形.得出∠4OE:60°，进而根据 S阴影=S扇形-S。4o，即可求解。 【详解】(1)略 (2)解：连接OE, 1 P.sin∠PCB= B ∠PCB=30°. :∠ACB=90°，AD⊥PQ, .∠ACD=60°，∠DAC=30°. .∠ABC=∠ACD=60°. ∠CAB=90°-60°=30°. J 圆中的切线证明问题、圆中的三角形相似问题专项训练 .∠EAO=∠DAC+∠CAB=60°. 又：0A=0E, ∴△AE0为等边三角形. ∠A0E=60°. ·.S阴影=S扇形-S。4E0 1 =Se-2010B.sin609 =0e-支×4×4×号 360 =要-4V5· 图中阴影部分的面积为8红-45. 变式2.(2026湖北武汉一模)如图，AE是O0的直径，点D是O0上一点，F为DE的中点，过F点作直线AD 的垂线于点C,交AE延长线于点B. D (I)求证：BC是⊙O的切线： (2)若CD=1,CF=√3，求O0的半径. 【答案】(I)证明：连接AF,OF, F为DE的中点， ∠CAF=∠EAF, 又0A=0F,得∠0AF=∠0FA, ∠CAF=∠OFA, 0F∥AC, 又AC⊥BC, OF⊥BC,又OF是O0的切线， 圆中的切线证明问题、圆中的三角形相似问题专项训练 ∴BC是OO的切线， (2)00的半径为2 【分析】(1)连接AF,OF,根据圆周角定理得到∠CAF=∠EAF,根据等边对等角得到∠OAF=∠OFA,进而证 明OF∥AC,可知OF⊥BC,即可证明BC是⊙O的切线； (2)连接DE交OF于点H,连接DF,证明四边形CDHF为矩形，根据三角函数得到∠DFH=60°，证明△ODF是 等边三角形即可 【详解】(1)略 (2)解：如图，连接DE交OF于点H,连接DF,OD, AE是O0的直径， ∠ADE=90°，即CDH=90°， ~OF⊥BC,AC⊥BC, ∴四边形CDHF为矩形， CD =1,CF=3, ∴FH=1,DH=5, 由tan∠DFH=√3得LDFH=60°， OD=OF, △ODF是等边三角形， ∴0F=2 即00的半径为2. 变式3.(2026陕西西安·模拟预测)如图，AB为⊙O的直径，CD为弦，AB⊥CD于点E.点F为圆外一点，连接 AD,BC,BD,DF,BF,ZDBF=ZC. 圆中的切线证明问题、圆中的三角形相似问题专项训练 E B (1)求证：BF为⊙O的切线； ②若CD=BF,smF-,DP=5,求AE的长. 【答案】(1)见解析 9 【分析】(I)根据垂径定理，等弧对等弦，等边对等角，推出∠DBF=∠CDB,进而得到CD‖BF,得到 AB⊥BF,即可得证； (2)易得四边形BCDF为平行四边形，进而得到∠C=∠E,BC=DF,进而求出CE,BE的长，连接OC,设OO的 半径为”，勾股定理求出r的值，进而得到AB的值，再利用线段的和差关系进行求解即可。 【详解】(I)证明：~AB为⊙O的直径，CD为弦，AB⊥CD于点E, ÷BC=BD :.BC=BD, ∠C=∠CDB, Z DBF =ZC, ∴∠DBF=∠CDB, :.CD BF, ×AB⊥CD, AB⊥BF,即OB⊥BF, OB为⊙O的半径， BF为⊙O的切线； (2)解：由(1)知：CD川BF, CD=BF, ∴四边形BCDF为平行四边形， ∴∠C=∠F,BC=DF=5, "sinC sinF= P 圆中的切线证明问题、圆中的三角形相似问题专项训练 AB⊥CD, sinc=能=訾= BE=3, 'CE=BC2-BE2=4' 连接0C,设⊙O的半径为r,则0B=0C=,AB=2r, ∴0E=r-3, 在Rta0EC中，由勾股定理，得r2=42+(r-32, 解得r=25 , 六AB=2r=25 AE=AB-BE= O E D B 9 圆中的切线证明问题、圆中的三角形相似问题专项训练 考点二 圆中的三角形相似问题 例1.(2026山东济南·二模)如图，△ABD内接于O0,AB是O0的直径，点C为AB延长线上的一点，连接CD ,∠BDC=∠A,过点C作CG⊥AD,交AD的延长线于点G. G 、D B (1)求证：CD是O0的切线； ②若cG=4,an∠BDC=,求D的长 【答案】()见解析 (2)AD=6 【分析】(1)证明OD⊥CD,根据切线的判定即可证明结论； (2)求出AG,再证明△GCD∽△GAC,则 GC GD ,求出GD,再根据AD=AG-DG即可求出答案. GA GC 【详解】(1)解：证明：连接D0, G Q入 D 0A=0D, C B ∠A=∠ODA, ∠A=∠BDC, .∠ODA=∠BDC, :AB是⊙O的直径， ∠ADB=90°， 即∠0DA+∠BD0=90°， :∠BDC+∠BD0=90°， 即L0DC=90 .OD⊥CD, :0D为00的半径， 10 圆中的切线证明问题、圆中的三角形相似问题专项训练 CD是OO的切线： (2)解：：∠A=∠BDC, :tanA=tan∠BDC=, :CG⊥AD, ∠G=90°， 在RtACG中，tanA=器=， ·AG=2CG=8, :∠ADB=90 .BD⊥AG, :CG⊥AG, ∴.BD川CG, LDCG=∠BDC, ∠DCG=∠A, :∠G=LG, ·△GCD∽△GAC, …器=器· 即告=架， 解得GD=2, ÷AD=AG-DG=8-2=6: 例2.(2026山东聊城二模)如图，已知在ABC中，AB=6,AC=8,BC=10,作∠ABC的平分线交AC于点 D,以D为圆心，DA长为半径作圆，与射线BD交于点E,F, B (I)判断直线BC与⊙D的位置关系，并说明理由； (2)求⊙D的半径及LCDF的正切值. 【答案】（①）相切； 理由：过点D作DG⊥BC于点G, 圆中的切线证明问题、圆中的三角形相似问题专项训练 AB=6,AC=8,BC=10, :.AB2+AC2=BC2, ∴LBAC=90°； BD平分∠ABC,DA⊥AB,DG⊥BC, ∴DA=DG; DA为半径，DG为半径， BC与⊙D相切. G A B (②)半径3，tan∠CDF=2 【分析】本题考查圆的基本性质，切线定理，解直角三角形的应用，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键 是掌握切线的判定，相似三角形的判定和性质，解直角三角形的应用，即可 (1)过点D作DG⊥BC于点G,根据勾股定理的逆定理，可得∠BAC=90°；根据角平分线的性质，则DA=DG; 再根据切线的判定，即可； (2)设半径为，CD=8-r，根据相似三角形的判定和性质，可得器=器，求出，根据对顶角相等，则 tan∠ADB=tan∠CDF,即可. 【详解】(1)解：略 (2)解：设半径为r,CD=8-r, ~LC=LC,∠CAB=∠CGD=90°， ∴aCDG∽aCBA, 器=器· 酷=君，解得=3： ∠CDF=∠ADB, .tan∠ADB=AB 22, AD tan∠CDF=2 ∴半径3，tan ZCDF=2. 12 圆中的切线证明问题、圆中的三角形相似问题专项训练 例3.(2026北京平谷·二模)如图，AB为⊙0的直径，点C为圆上一点，点D是CB的中点，过点D作DE∥BC交 AB延长线于点E,连结AC、CD. o E (I)求证：DE是O0的切线： ②选结AD,若C0=2,eos∠C4D-号求DE的长. 【答案】(I)证明：连结0D, D E 点D是CB的中点， OD⊥BC, :DE∥BC, OD⊥DE, :0D是⊙0的半径， ·DE是O0的切线； 229 【分析】(1)连结OD,易证OD⊥BC,再根据已知可得OD⊥DE,即可证明结论； (2)设OD与BC交于点M,连结BD,AD,易求CD=BD=12,∠CAD=∠CBD=∠DAB，得到 cos∠BAD=AD、4 AB5,求出AB=20,4D=16,在Rt△BMD中，cOs∠CBD=器=音，求出OM=兰，证明 △OBM△ODE,即可求解. 【详解】(1)略 (2)解：设OD与BC交于点M,连结BD,AD, 13 圆中的切线证明问题、圆中的三角形相似问题专项训练 D M A E ~点D是CB的中点， :CD=BD, .CD=BD=I2,∠CAD=∠CBD=∠DAB， ·COS∠CAD=cOS∠BAD=, :AB为O0的直径， ∠ADB=90°， 在R1△ABD中，cOS∠BAD=AD_4 设AD=4x,AB=5x, ÷BD=3x=12, .x=4, AB=20,AD=16, 0D=0B=10, :OD⊥DE, ∠BMD=90°， 在Rt△BMD中，cOS∠CBD=器=者： :BM=号，DM=VBD2-BM2=, a0M=普， BC∥DE, :△OBM△ODE, 器=器， 是- DE=29, 变式1.(2026江苏苏州二模)如图，在ABC中，以AB为直径的O0与BC交于点D,延长CA交O0于点E, 14 圆中的切线证明问题、圆中的三角形相似问题专项训练 连接DE,点F为线段CD上一点，连接AF,且满足LCAF=LADE· (1)求证：AF是⊙0的切线； ②若A8=AC,AB、DE交于点M,记aBDM与△AEM的面积分别为S,.若S1-S2=95, tan∠CED=与，求Bc的长 2 【答案】(I)见详解 (2)2V42 【分析】(I)由∠CAF=∠ADE和圆周角定理得到∠CAF=∠ABE,再根据AB为OO的直径，得到∠AEB=90°， 推出∠CAF+∠BAE=90°，即可证明AF是⊙O的切线； (2)根据锐角三角形的定义和勾股定理可表示AD,BD,AB,再根据等腰三角形的性质和相似三角形的判定可得出： 二=（品）2=子5，-S2=95求出5.c-595,再由面积公式即可求解。 【详解】(I)证明：~∠CAF=∠ADE,∠ADE=∠ABE, ∠CAF=∠ABE, 又AB为⊙0的直径， ∠AEB=90°， .∠ABE+∠BAE=90°， ∠CAF+∠BAE=90°， ·∠BAF=180°-（∠CAF+∠BAE)=90°， AF⊥AB, 又~AB为⊙0的直径， AF是⊙O的切线： (2)解：连接AD, E 6 圆中的切线证明问题、圆中的三角形相似问题专项训练 ~AB为OO的直径， ∠ADB=90°，即AD⊥BC, AB AC, :LABC=LACB,BD=CD=1BC, 2 AD=AD ·∠ABC=LCED, ∴LCED=LACB, :DC DE 在R1aABD中，tan∠CED=ian∠ABC-y5-AD 2 BD 设AD=√5a, 则BD=2a,AB=√AD2+BD2=√7a=AC,BC=4a, 过点D作DG⊥AC交AC于点G, BD:ADAD-DC.ADDC-CDG. 1 2 2 2 即BD-AD=AC-DG, 2 :.DG=BD.AD 2a:a 2via AC √7a7 ∠ABC=∠CED,∠C=∠C, AABC△DEC, 2: 'SADECT=S△ABC, “S1-S2=93 (S1+S边形MMDc)(S2十SI边形wDc)=9V3, S.4c-S.DEc=9, Sa4Bc号S△Bc=9V5, "SAABG-21V3 16 圆中的切线证明间题、圆中的三角形相似问题专项训练 SAABC=213=BC.AD' 号×4a×V5a=21V5, 解得：a=军 (负值已舍去)， BC=4a=2W42 变式2.(2026山东泰安·二模)如图，四边形ABCD内接于O0,AD为O0的直径，BC=CD,CE⊥AB交AB的 延长线于点E. (I)求证：CE为O0的切线； (2)若00的半径为8.5，BC=8,求BE的长. 【答案】（①）见解析 巴E酷 【分析】(1)连接OC,AC,首先根据“同弧或等弧所对的圆周角相等”可得∠DAC=∠EAC,再证明∠DAC=∠0CA ，易得∠EAC=∠OCA,进而证明OC‖AE,结合CE⊥AB可知OC⊥CE,即可证明结论： BE BC (2)首先证明BC=CD=8,再证明△EBC∽△CDA,由相似三角形的性质可得 DC AD ,代入数值并求解，即 可获得答案. 【详解】(1)证明：连接OC,AC,如下图， B BC =CD, D LDAC=∠EAC, :0C=0A, .∠DAC=∠OCA, ∴.∠EAC=∠OCA, 17 圆中的切线证明问题、圆中的三角形相似问题专项训练 ∴.OC‖AE, :CE⊥AB, :0C⊥CE,又0C为⊙0的半径， ∴CE为O0的切线； (2)解：BC=CD,BC=8, BC=CD=8, ~AD为OO的直径，CE⊥AB, :LCEB=LACD=90°， ~四边形ABCD内接于OO, ∠CBE=∠D, △EBC∽△CDA, BE BC BE 8 DcD,即 8=17' BE=64 7 变式3.(2026陕西渭南二模)如图，AB是⊙0的直径，点C是⊙0上一点，连接BC、OC,OE⊥OC,连接 BE,∠E=2∠ABC. D (1)求证：BE是⊙O的切线： (2)CD⊥AB于点D,若BE=3,⊙0的半径为4，求0D的长. 【答案】()见解析 aon-号 【分析】(1)求出∠OBE=90°，则OB⊥BE,根据切线的判定即可证明结论： (2》利用勾股定理求出OE,再证明E8060DC,得到E-OS,代入数据计算即可. OD OC 【详解】(1)解：0E1OC, ∠C0E=90°， ∠C0D+LB0E=90°， ∠C0D=2∠ABC,∠E=2∠ABC, 18 圆中的切线证明问题、圆中的三角形相似问题专项训练 ∴∠COD=LE, ∠E+∠B0E=90°， ∴.∠0BE=180°-∠E+LB0E)=90° OB⊥BE, AB是OO的直径， ∴BE是OO的切线： (2)解：∠0BE=90°，OC=OB=4,BE=3, ∴0E=V0B2+BE2=V42+32=5, CD⊥AB于点D, ∠0DC=90°， ∠EB0=∠0DC=90°， ∠C0D=LE, ∴.△EBOn△ODC, BE OE OD OC 3_5 OD 4' 解得0D=12 5 19圆中的切线证明问题、圆中的三角形相似问题专项训练 圆中的切线证明问题、圆中的三角形相似问题专项训练 考点目录 圆中的切线证明问题 圆中的三角形相似问题 考点一 圆中的切线证明问题 例1.(2026广西贺州二模)如图，AB为O0的直径，点D,E为00上的两个点，延长AD至C,使 ∠CBD=∠E,连接BE交AD于点F, E B (I)求证：BC是O0的切线； (2)若⊙0的半径为4，点E为弧AD的中点，∠E=30°，求BF的长. 例2.(2026江苏盐城二模)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点O在边AC上，以点O为圆心，OC长为半 径的OO交AB于点D,且DB=BC. ○ B (1)求证：AB是⊙0的切线； ②若B=15,sm4=},求o0的半径 圆中的切线证明问题、圆中的三角形相似问题专项训练 例3.(2026河南平顶山一模)如图，ABC为⊙0的内接三角形，AB为⊙0的直径. ()尺规作图：（不写作法，保留作图痕迹） ①作AD平分∠BAC,交OO于点D; ②过点D作DE1AC,交AC的延长线于点E: (2)在(1)的条件下，求证：DE是⊙0的切线. 变式1.(2026四川南充三模)如图，AB是⊙0的直径，C是O0上一点（与A,B两点不重合），过点C作直线 PQ,使得∠ACQ=∠ABC. D (1)求证：直线PQ是00的切线： ②过点1作AD1PQ于点D,交00于点E,若O0的半径为4，sim∠PCB=?,求图中阴影部分的面积 2 圆中的切线证明问题、圆中的三角形相似问题专项训练 变式2.(2026·湖北武汉一模)如图，AE是O0的直径，点D是⊙0上一点，F为DE的中点，过F点作直线AD 的垂线于点C,交AE延长线于点B. D B (1)求证：BC是O0的切线； (2)若CD=1,CF=√5，求O0的半径. 变式3.(2026陕西西安模拟预测)如图，AB为⊙O的直径，CD为弦，AB⊥CD于点E.点F为圆外一点，连接 AD,BC,BD,DF,BF,∠DBF=LC· O E D B (1)求证：BF为⊙O的切线： (②若CD=BF,smF=号，DF=5,求AE的长. 圆中的切线证明问题、圆中的三角形相似问题专项训练 考点二 圆中的三角形相似问题 例1.(2026山东济南·二模)如图，△ABD内接于O0,AB是O0的直径，点C为AB延长线上的一点，连接CD ,∠BDC=∠A,过点C作CG⊥AD,交AD的延长线于点G. G D B (1)求证：CD是O0的切线； ②若cG=4,an∠BDC=,求4D的长 例2.(2026山东聊城二模)如图，已知在ABC中，AB=6,AC=8,BC=10,作∠ABC的平分线交AC于点 D,以D为圆心，DA长为半径作圆，与射线BD交于点E,F, D E B (1)判断直线BC与⊙D的位置关系，并说明理由： (2)求⊙D的半径及∠CDF的正切值， 圆中的切线证明问题、圆中的三角形相似问题专项训练 例3.(2026北京平谷·二模)如图，AB为⊙0的直径，点C为圆上一点，点D是CB的中点，过点D作DE∥BC交 AB延长线于点E,连结AC、CD. D C 0 的 (I)求证：DE是O0的切线： ②连结40，若CD=2,c0s∠C4D=,求DE的长。 变式1.(2026江苏苏州二模)如图，在ABC中，以AB为直径的⊙0与BC交于点D,延长CA交O0于点E, 连接DE,点F为线段CD上一点，连接AF,且满足LCAF=∠ADE, E M (1)求证：AF是O0的切线； ②若AB=4C,AB、DE交于点M,记BDM与△AEM的面积分别为S,S,若S1-S2=95, tam∠CED='号 ,求BC的长. 圆中的切线证明间题、圆中的三角形相似问题专项训练 变式2.(2026山东泰安二模)如图，四边形ABCD内接于O0,AD为OO的直径，BC=CD,CE⊥AB交AB的 延长线于点E. B D (1)求证：CE为O0的切线； (2)若O0的半径为8.5，BC=8,求BE的长. 变式3.(2026陕西渭南二模)如图，AB是⊙0的直径，点C是O0上一点，连接BC、0C,OE⊥OC,连接 BE,∠E=2∠ABC. (I)求证：BE是OO的切线； (②)CD⊥AB于点D,若BE=3,⊙0的半径为4，求0D的长. 6