高频考点16 圆的相关证明与计算(Word版)-【中考123·二轮】2026年中考复习必备数学（齐齐哈尔专用）

**基本信息** 以“易错-对点-创新”三级训练构建圆的证明与计算体系，通过辅助线策略、定理应用规律提炼，强化几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |易错易混练|3题|分类讨论（弦所对圆周角）、切线性质应用（连半径证垂直）|从圆周角概念到圆心角关系，夯实基础定理理解| |中考对点练|3题|切线判定（角平分线+平行转化垂直）、面积计算（扇形与三角形组合）|结合四边形、动点综合，构建“概念-定理-综合应用”链条| |考法创新练|1题|动态问题分类（等腰三角形存在性）、中点弧性质应用|迁移切线性质与圆周角定理，培养复杂情境推理能力|

高频考点16 圆的相关证明与计算 圆周角定理及其推论（5年2考），切线的判定与性质（必考） 易错易混练 （情况考虑不周） 1. 如图，是半圆O直径，点C在半圆O上．若，则弦所对圆周角的度数为（ ） A. B. C. 或 D. 或° （不擅用切线的性质） 2. 如图，内接于，直线与相切于点B，若，则（ ） A. B. C. D. （对圆心角的概念理解不透彻） 3. 如图，量角器的直径与含30°角的直角三角板的斜边重合，D为上一点，作射线交于点．若，则点E在量角器上所对应的读数为（ ） A. 20°，160° B. 30°，150° C. 40°，140° D. 50°，130° 中考对点练 （2025，第21题，考点对点） 4. 如图，是的直径，点C，D是上异侧的两点，，交的延长线于点E，且平分． （1）求证：是的切线． （2）若，，求图中阴影部分的面积． （与特殊四边形结合） 5. 如图，是半圆O的直径，D是半圆O上不同于A，E的一点，作，过点D作半圆O的切线，分别交射线和的延长线于点C，B． （1）求证：； （2）若，，求半圆O的半径； （3）记交半圆O于点G，则当________时，四边形是菱形． 6. 如图①，在中，点A是优弧上的一点，，分别平分和，延长交于点D，连接交于点E，连接． （1）求证：； （2）求证：； （3）若，，当B，O，I三点共线时，如图②，过点D作，交于点G，求的长． 考法创新练 （新考法·动点） 7. 已知是的直径，点C是上一点，过点C作的切线与的延长线相交于点P，点D是上一动点，且与相交于点E． （1）如图①，连接，若， ①求的度数； ②当是等腰三角形时，请直接写出的度数； （2）如图②，当点是的中点时，求证：． 高频考点16 圆的相关证明与计算 圆周角定理及其推论（5年2考），切线的判定与性质（必考） 易错易混练 （情况考虑不周） 【1题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质，直角三角形的性质，直径所对的圆周角是直角，掌握相关知识是解决问题的关键． 先根据直径所对的圆周角是直角得到，再由直角三角形两锐角互余求出，据此根据圆内接四边形对角互补进行求解即可． 【详解】解：在上取点，连接、， ∵是半圆的直径， ． ， ． ． ∴弦所对圆周角的度数为或， 故选：C． （不擅用切线的性质） 【2题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理等知识．熟练掌握直线与圆相切的性质，圆周角定理是解题的关键． 连接，，先根据切线的性质可得，由可得，由此可以求出的度数，根据角的和差可以求出的度数． 【详解】解：连接，， ∵直线与相切于点， ， ， ， ， ， ． 故选：C． （对圆心角的概念理解不透彻） 【3题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理和三角形外角的性质，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 取的中点，连接，则，由三角形外角的性质可得到，根据“直径所对的圆周角等于”可知点在上，即可求出，，即可得出点在量角器上所对应的读数． 【详解】解：取的中点，连接， ， ， ， ， 点在上， ∴， ． 则点在量角器上所对应的读数为，． 故选：C． 中考对点练 （2025，第21题，考点对点） 【4题答案】 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，根据，得出．根据平分，得出，则．根据得出，进而得出，即可求证； （3）连接，过点O作于点F，通过证明为等边三角形，得出，．求出．最后根据即可求解． 【小问1详解】 解：连接， ∵， ∴． ∵平分， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴，即， ∴是的切线． 【小问2详解】 解：连接，过点O作于点F， ∵， ∴． ∵，， ∴为等边三角形， ∴，． ∵，，， ∴． ∴． 【点睛】本题主要考查了切线的判定，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，求扇形面积，解题的关键是掌握经过半径外端切垂直于半径的直线是圆的切线；扇形面积公式． （与特殊四边形结合） 【5题答案】 【答案】（1）见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）连接，则，则，由可得，所以，即可证明是半圆所在圆的切线，即可证明； （2）由已知条件结合可得，由得，即可求出的长，得到半圆O的半径； （3）通过四边形是菱形可证明是等边三角形，可求出，通过锐角三角函数得到，可得到，即可求出的值． 【小问1详解】 证明：连接，则， ． 又， ， ． 是半圆O的切线， ， ． 【小问2详解】 解：，， ． ， ， ，即， ， 即半圆O的半径是． 【小问3详解】 解：． 【提示】连接，，， ∵四边形是菱形， ∴， ， ， 是等边三角形， ， ， ， 在中，, ， ， ， ． 【点睛】此题重点考查圆切线的判定、平行线的判定与性质、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 【6题答案】 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）连接，，，根据角平分线的定义结合圆周角定理可得，根据等腰三角形三线合一即可证明； （2）设，，根据角平分线的性质、圆周角定理结合角度和差关系可得，即可证明； （3）如答图②，延长交于点F，连接．解直角三角形求出，根据勾股定理求出，再利用相似三角形的性质求出，可得结论． 【小问1详解】 证明：如答图①，连接，，． 平分， ， ， ． 又， ． 【小问2详解】 证明：设，， 由（1）知． 平分， ． 又， ． 又， ， ． 【小问3详解】 解：如答图②，延长交于点F，连接． 由（1）知垂直平分． ， ． 在中，， ， ， ． ， ． 是的直径， ， ， ，即， 解得． 【点睛】本题属于圆综合题，考查了圆周角定理，垂径定理，解直角三角形，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用以上知识点解决问题，属于中考压轴题． 考法创新练 （新考法·动点） 【7题答案】 【答案】（1）① ②，或 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了圆的切线性质、圆周角定理、等腰三角形判定与性质及角度计算，掌握切线垂直于半径，圆周角与圆心角关系，等角对等边是解题的关键． （1）①连接，利用切线性质得，结合求，再由圆周角定理求；②为等腰三角形时分三种情况，结合圆周角、三角形内角和及切线性质求； （2）连接，由是弧中点得，再证，从而得． 【小问1详解】 解：①如答图①，连接． 是的切线， ，即， ， ． ②当是等腰三角形时，分三种情况讨论． a．当时，， ， ； b．当时，， ， ； c．当时，， ， ， ． 综上所述，的度数为，或． 【小问2详解】 证明：如答图②，连接，． 易知， ． 点D是的中点， ， ． ， ， ． 又， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $