2025-2026学年人教版下学期数学七年级下册期末复习模拟练（3）

**基本信息** 这份期末复习模拟卷以数学文化（如“冰雹猜想”）、生活实践（社区收入调查）和跨学科情境（环球飞车物理原理）为载体，覆盖七年级下册核心知识，梯度设计合理，注重抽象能力、推理意识与数据观念的综合考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10题|方程组求解、平移性质、不等式应用等|第4题结合“冰雹猜想”考查数字规律，第6题通过扇形与条形图融合统计分析| |填空题|6题|统计分组、坐标特征、折叠问题等|第14题以纸带折叠考查平行线性质，第15题探究点坐标规律培养空间观念| |解答题|8题|几何证明、统计应用、新定义问题等|第22题环球飞车问题融合物理离心力与方程应用，第23题“整数同解”新定义考查推理能力|

期末复习模拟练（3） 2025-2026学年下学期初中数学人教版（2024）七年级下册 一、单选题 1．已知方程组的解满足，则k的值为（   ） A． B． C．2 D．4 2．如图，下列“月亮”可以由图案平移得到的是（   ） A． B． C． D． 3．已知，且c为有理数，则下列关系一定成立的是（   ） A． B． C． D． 4．“冰雹猜想”是一个至今未被完全解决的数学问题．截至2023年，通过计算机验证，“冰雹猜想”对于小于的所有正整数都成立，其内容为：对于任意的正整数n，若n为奇数，则下一步计算；若n为偶数，则下一步计算．重复以上操作，这组数字最终会进入循环．在平面直角坐标系中，将点中的横坐标和纵坐标分别按照“冰雹猜想”的要求进行2025次运算，得到的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 5．某超市用元购进某种水果千克，运输和销售的过程中有的正常损耗，要使销售利润不低于，该水果每千克的售价至少为多少元？设该水果每千克的售价为元，由题意列不等式，得（    ） A． B． C． D． 6．小龙在学校组织的社会调查活动中负责了解他所居住的社区里1500户居民的家庭收入情况，他从社区的A，B，C，D四个小区中按各小区实际户数的随机调查了若干户居民家庭的收入情况，结果显示该社区中等收入的家庭达到．图①、图②反映的是根据本次抽样中的具体数据所制作的各小区被调查家庭数占调查总数比率的扇形统计图、各小区中等收入家庭数的条形统计图（单位：户）．根据以上信息，有下列判断：①A区中等收入家庭的比率最高；②B区中等收入家庭的比率低于；③按抽样估计C区中等收入家庭约120户； ④D区实际家庭数为450户．其中正确的是（　　） A．只有①② B．只有②④ C．只有①④ D．只有②③④ 7． 如图，下列条件中：①，②，③，④，能判断的有（   ） A．1 个 B．2 个 C．3个 D．4个 8．如果是关于的二元一次方程的解，那么的值是（ ） A． B． C． D． 9．若与是同一个数的两个不相等的平方根，则这个数是（    ） A．3 B． C．16 D．9 10．如图，，点E在的上方，G，F分别为，上的点，，的角平分线交于点H，的角平分线与的延长线交于点M．下列结论： ①；②；③；④若，则．其中，所有正确结论的序号是（   ） A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 二、填空题 11．计算：_________． 12．一个样本数据中，最大值是，最小值是，若组距为，则至少应分______组才能包含所有数据． 13．若点是与x轴平行的直线上不同的两点，且到y轴的距离相等，则点的坐标是_______． 14．如图，有一长方形纸带，E、F分别是边、上一点，（且），将纸带沿折叠，再沿折叠，当和的度数之和为110°时，则的值______． 15．如图，，…，按照这样的规律下去，点的坐标为_____________. 16．关于的不等式组，下列五个结论： ①若不等式的解集是，则不等式的解集是； ②若不等式组的解集中任意一个的值都在的范围内，则的取值范围是； ③若不等式组仅有5个整数解，则； ④若不等式组无解，则； ⑤当时，不等式组有解． 其中正确的结论是______（填写序号） 三、解答题 17．计算： (1)计算：； (2)求下列的值：． 18．（1）解方程组：； （2）解不等式组：． 19．如图，在三角形中，，分别是边，上的点，连接，，是上一点，连接．已知，． (1)求证：； (2)若，平分，，求的度数． 20．某小学体育教师随机抽取了四年级部分学生，统计了他们60秒跳绳的次数，并按次数划分为，，，，，六个等级，绘制成如下两幅不完整的统计图表．请根据以上信息回答下列问题： 次数段（次） 频数（人） 频率 4 20 11 5 1 (1)这次抽样调查的样本容量为________． (2)其中频数分布表中________，________，并补全频数分布直方图； (3)若该校四年级共有1200名同学，跳绳次数在140个以上（包括140个）的为“优秀”，估计全校四年级跳绳成绩为“优秀”的学生有多少人． 21．已知点，解答下列各题： (1)若点在轴上，求出点的坐标； (2)若点的坐标为，直线轴，求出点的坐标； (3)若点到轴、轴的距离相等，求出点的坐标． 22．环球飞车是一种特技表演，其中多辆摩托车在一个球形的金属笼子里高速骑行．表演者会垂直、倒置或倾斜骑行，而不会相撞． (1)物理学原理：摩托车手能在球型铁笼内骑行而不下落需满足旋转产生的离心力重力G．已知离心力，重力（其中m为车手及摩托车总质量，v为骑行速度，r为半径，g为重力加速度且），摩托车手以6米/秒的速度在半径为3米的铁笼内表演，则___（填“有”或“无”）掉落的危险． (2)如图1，两位摩托车手在周长为16米的水平圆形轨道上匀速顺时针进行骑行表演（最低安全速度为5米/秒），开始计时时两位车手分别位于图中两点位置（关于球心中心对称），已知位于点A处的摩托车手速度为6米/秒，要使安全表演时间超过16秒，则位于B处的摩托车手速度v（米/秒）的取值范围为________． (3)如图2，甲、乙两位摩托车手分别在周长均为16米的水平和竖直圆形轨道上逆时针进行骑行表演，甲的速度为6米/秒，乙的速度为7米/秒，两个表演轨道的交点分别为，开始表演时，甲位于其轨道上距离P点4米的A处，乙位于轨道上距离点P点2米的B处，求最多可以安全表演多少秒． 23．如果两个不等式（组）的整数解存在且相同，则称它们是“整数同解”的． 例如：不等式的解集为，其所有整数解为大于等于2的全体整数，不等式组的解集为，其所有整数解也为大于等于2的全体整数，因此不等式与不等式组是“整数同解”的． (1)下列不等式（组）中与是“整数同解”的是______（填写正确结论的序号）； ①，②，③ (2)已知关于x的不等式组与是“整数同解”的，请求出a的取值范围； (3)已知关于x的不等式组与是“整数同解”的，直接写出a的取值范围 24．如图，直线，直线与分别交于点G、H，（）．小明将一个含角的直角三角板按如图①放置，使点N、M分别在直线上，． (1)若，则________； (2)若，射线在内交直线于点O，如图②．当N、M分别在点G、H的右侧，且时，求α的度数； (3)小明将三角板沿直线左右移动，保持，射线平分，点N、M分别在直线和直线上移动，请直接写出的度数（用含α的式子表示）． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C D B B D C A D D 1．D 本题主要考查了根据方程组的解的情况求参数，把方程组中的两个方程的左右两边分别相加可得，进而得到方程，解方程即可得到答案． 解： 得， ∴， ∵方程组的解满足， ∴， 解得， 故选：D． 2．C 根据平移的性质：平移不改变图形的形状、大小和方向，只改变图形的位置，对各选项进行判断即可． 解：A．图案方向发生了改变，是由原图旋转得到的，故本选项错误； B．图案方向发生了改变，是由原图旋转或翻折得到的，故本选项错误； C．图案形状、大小、方向均未改变，是由原图平移得到的，故本选项正确； D．图案方向发生了改变，是由原图旋转得到的，故本选项错误． 3．D 本题考查不等式性质，根据不等式的性质，逐一进行判断即可．熟练掌握不等式的性质，是解题的关键． 解：A、，当时，，故原不等式不一定成立，不符合题意； B、，则，故，故原不等式不成立，不符合题意； C、，当时，则，故原不等式不一定成立，不符合题意； D、，则，故原不等式成立，符合题意． 故选：D． 4．B 本题考查数字的变化规律，图形与坐标．通过运算找到输出结果的循环规律是解题的关键． 解：横坐标2的运算过程如下： 初始值2（偶数），第1次运算得1；第2次运算1（奇数），得4；第3次运算4（偶数），得2； 可知该计算以1，4，2循环， 则2025次运算中，的余数为0， ∴横坐标2的运算结果为2， 纵坐标5的运算过程： 同理可知，前5次运算依次得16→8→4→2→1； 第6次运算1（奇数），得4，可知该计算以4，2，1循环； 后续运算次数为次，的余数为1，对应循环第1步结果4， ∴纵坐标5的运算结果为4， 综上，最终坐标为， 故选：B． 5．B 本题主要考查了一元一次不等式的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意找出不等关系，列出不等式．根据题意可得，这批水果可卖元，根据“这批水果至少获得的利润”即可列出不等式． 解：设该水果每千克的售价为元， 根据题意所列不等式为， 故选：B． 6．D 本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，熟练掌握条形统计图、扇形统计图信息的互补性，用样本估计总体，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． 根据扇形统计图和条形统计图提供的信息对每一项分别进行计算即可求出正确的结论． 解：该社区中等收入的家庭数是：， C区抽查的中等收入家庭数是：， A区抽查的家庭数是：（户）， 中等收入家庭的比率是：， B区抽查的家庭数是：（户）， 中等收入家庭的比率是：， C区抽查的家庭数是：（户）， 中等收入家庭的比率是：， D区抽查的家庭数是：（户）， 中等收入家庭的比率是：， C区中等收入家庭的比率最高， ∴①错误； B区中等收入家庭的比率低于， ∴②正确； C区中等收入家庭约户， ∴③正确； D区实际家庭数为户， ∴④正确． 故选：D． 7．C 本题考查了平行线的判定，根据同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；逐项判断即可得出答案． 解：①∵， ∴，故①符合题意； ②∵， ∴，故②不符合题意； ③∵， ∴，故③符合题意； ④∵，， ∴， ∴，故④符合题意； 综上所述，正确的有①③④，共3个， 故选：C． 8．A 本题考查了二元一次方程的解，解一元一次方程，熟练掌握以上知识是解题的关键． 将代入二元一次方程中，可得，解方程即可． 解：∵是关于的二元一次方程的解， ∴将代入二元一次方程中， 即， 解得， 故选：A． 9．D 本题考查平方根，由平方根的定义可知同一个数的两个不相等的平方根互为相反数，由此列方程求出m的值，进而求出或的平方即可． 解：与是同一个数的两个不相等的平方根， ， 解得， ， ，即这个数是9． 故选D． 10．D 本题考查了平行线的判定与性质，与角平分线有关的计算，正确掌握相关性质内容是解题的关键．结合角平分线以及平角的定义进行列式化简得；过点作，运用两直线平行，内错角相等，以及角之间的关系，得；过点作，运用两直线平行，内错角相等，以及角之间的关系，得，再结合进行分析化简得，结合前面的结论以及进行分析，即可作答． 解：∵，的角平分线交于点H，的角平分线与的延长线交于点M． ∴， ∵， ∴， 即， 故①符合题意； 过点作，如图所示： ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故②是符合题意； 过点作，如图所示： ∵，， ∴， ∴， 则， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， 故③符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴， 即， 由②得， ∴， 即， 由③得， ∴， 由③得， ∴， ∴， 故④是符合题意； 故选：D． 11．1 本题考查了求一个数的算术平方根，立方根．先计算和，再求它们的和，即可作答． 解：， 故答案为：1 12． 解：样本数据的极差为，组距为， 则组数为，向上取整得， 故至少应分组才能包含所有数据． 13． 本题考查了点的坐标．根据点A和B在与x轴平行的直线上，可知它们的纵坐标相等；根据到y轴的距离相等，可知它们的横坐标的绝对值相等，且由于两点不同，横坐标不能相同，据此进行列式计算，即可作答． 解：∵点是与x轴平行的直线上不同的两点， ∴， 又∵它们到y轴的距离相等， ∴， 即， ∴或， 但两点不同，当时，点与点重合，不符合题意， ∴， ∴点的坐标为， 故答案为：． 14． 本题主要考查了折叠的性质，平行线的性质， 据题意可知，根据折叠得，可得，再根据平行线的性质和折叠的性质得，接下来求出，然后根据“两直线平行同旁内角互补”得，则答案可得． 解：根据题意可知，根据折叠得. ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， 即． 故答案为：． 15． 本题考查了直角坐标系中点的坐标规律，分别从横坐标、纵坐标进行探究是解题的关键．从横坐标、纵坐标两方面探究即可求解． 解：从开始，坐标依次为： ， 横坐标为， 横坐标为， 横坐标为， 横坐标为， 纵坐标为1， .纵坐标为2， 纵坐标为3， 纵坐标为， 的坐标： 横坐标：， 纵坐标：2026， 的坐标为． 故答案为：． 16．①③④ 本题考查了根据不等式组的解集的情况，求参数．根据各项中的条件，逐一计算后，判断即可． 解：对于的不等式组， 解得， ①若不等式的解集是， ∴，解得， 则不等式的解集是，①符合题意； ②若不等式组的解集中任意一个的值都在的范围内， ∴，解得，②不符合题意； ③若不等式组仅有5个整数解， ∴，解得，③符合题意； ④若不等式组无解，则，解得，④符合题意； ⑤当时，不等式组为， ∴不等式组无解，⑤不符合题意． 故答案为：①③④． 17．(1) (2)或 （1）利用立方根、算术平方根的定义及绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果； （2）利用平方根定义开方即可求出解． （1）解：原式． （2）解：， ， 或， 解得或． 18．（1）；（2） 本题主要考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式组，熟知解二元一次方程组和解一元一次不等式组的方法是解题的关键． （1）利用加减消元法解方程组即可； （2）先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可． 解：（1） 得，解得：． 将代入②得：． 原方程组的解为： （2） 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， 原不等式组的解集为：． 19．(1)证明：，， ， ， ． ， ． ． (2) （1）根据等量代换得出，确定，得出，再由等量代换得出，结合平行线的判定即可证明； （2）根据平行线的性质得出，确定，再由角平分线及平行线的性质求解即可． （1）略 （2）解：， ． ， ∴， ． ， ， ， 解得． ， ． 平分， ． ， ． ． ， ． 20．(1)50 (2)9，，补全条形统计图见解析 (3)360 本题主要考查了样本容量、频数分布表、频数分布直方图、用样本估计整体等知识点，读懂频数分布表成为解题的关键． （1）用A组的人数除以对应的频率即可求得样本容量； （2）用样本容量乘以D组所占的百分比可求得a，用B组的人数除以样本容量即可求得b的值，然后补全条形统计图即可； （3）用总学生数乘以D、E、F三组的频率之和即可． （1）解：这次抽样调查的样本容量为． 故答案为：50． （2）解：，． 补全条形统计图如下： ． 故答案为：9， （3）解：人． 答：估计全校四年级跳绳成绩为“优秀”的学生有360人． 21．(1) (2) (3)或 此题考查了平面直角坐标系中的点的坐标特征，熟练掌握平面直角坐标系中的点的坐标特征是解题的关键． （1）根据点在轴上得到，求出a的值即可得到答案； （2）根据点的坐标为，直线轴，得到，求出a的值即可得到答案； （3）根据到轴、轴的距离相等得到，分两种情况分别进行解答即可． （1）解：点在轴上， ， ， ， 点的坐标为； （2）∵点的坐标为，直线轴， ， ， ， 点的坐标为； （3）点到轴、轴的距离相等， ， ① ∴， ∴点P的坐标为， ② ∴ ∴点P的坐标为， 综上可知，点的坐标为或． 22．(1)无 (2) (3)最多可以安全表演14秒． （1）将，分别代入和求解比较判断即可； （2）根据题意得到当两车相遇时，表演时间超过16秒，然后分两种情况讨论，分别根据题意列出不等式求解即可； （3）首先根据题意得到当甲乙相遇时，甲乙同时到达点P或Q，然后求出甲第一次到达P，Q的时间，乙第一次到达P，Q的时间，然后得到甲第n（n为正整数）次到达点P的时间为秒，乙第m（m为正整数）次到达点P的时间为秒，然后根据题意得到，进而求解即可． （1）解：∵， ∴， ∵ ∴ ∴无掉落的危险； （2）解：∵要使安全表演时间超过16秒 ∴当两车相遇时，表演时间超过16秒 当时，此时位于点A处的摩托车手速度大于位于点B处的摩托车手速度， ∵开始计时时两位车手分别位于图中两点位置（关于球心中心对称），周长为16米 ∴当两车相遇时，位于点A处的摩托车手比位于点B处的摩托车手多走了8米 ∴ 解得 ∴； 当时，同理可得， 解得 ∴ 综上所述，要使安全表演时间超过16秒，则位于B处的摩托车手速度v（米/秒）的取值范围为； （3）解：要求最多可以安全表演多少秒，即求相遇时最多可以安全表演多少秒 ∵两个表演轨道的交点分别为， ∴当甲乙相遇时，甲乙同时到达点P或Q ∵开始表演时，甲位于其轨道上距离P点4米的A处，乙位于轨道上距离点P点2米的B处，甲的速度为6米/秒，乙的速度为7米/秒， ∴甲第一次到达P的时间为（秒），乙第一次到达P的时间为（秒） ∴甲第一次到达Q的时间为（秒），乙第一次到达Q的时间为（秒） ∵周长均为16米 ∴甲转一圈的时间为（秒），乙转一圈的时间为（秒）， ∴设甲第n（n为正整数）次到达点P的时间为（秒），乙第m（m为正整数）次到达点P的时间为（秒）， ∴当甲乙相遇于点P时， ∴整理得， ∵m，n都为正整数 ∴当，时，等式成立 ∴此时甲到达P点的时间为（秒） ∴最多可以安全表演14秒． 【点睛】此题考查了求代数式的值，不等式的应用，二元一次方程的解等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 23．(1)③ (2) (3) 本题主要考查了解一元一次不等式（组），理解新定义是解题的关键． （1）根据新定义解答，即可求解； （2）分别求出两个不等式组的解集，再结合新定义得到关于a的不等式组，即可求解； （3）分别求出两个不等式组的解集，再结合新定义得到关于a的不等式组，即可求解． （1）解：，解得：， ∴不等式的所有整数解为大于等于2的全体整数， ①，解得：，其所有整数解为大于等于5的全体整数，不符合题意； ②，解得：，其所有整数解为大于等于3的全体整数，不符合题意； ③，解得：，其所有整数解为大于等于2的全体整数，符合题意； 故答案为：③ （2）解：， 解不等式得：， 解不等式得：， ∴原不等式组的解集为， ∴其所有整数解为， ， 解不等式得：， 解不等式得：， ∴原不等式组的解集为， ∵不等式组与是“整数同解”的， ∴不等式组的所有整数解为， ∴， 解得：； （3）解：，解得：， ，解得：， ∵不等式组与是“整数同解”的， 设“整数同解”解集中的最大整数为，且为非负整数， 则有， 解得：， ， ， 为非负整数， ． 将代入得： ． 24．(1) (2) (3)或 本题考查平行线，角平分线．解题的关键是掌握平行线的性质，平行公理，角平分线的有关计算，分类讨论，是解题关键． （1）过P作直线，根据平行公理，有，再根据平行线的性质，即可得解； （2）延长交于点K，根据，，得，根据平行线的性质，得，再根据，求出，最后再根据平行线的性质，等量代换，即可得解； （3）根据平移三角形分类讨论：①当N，M分别在点G，H的右侧；②当N，M分别在点G，H的左侧，根据平行线的性质，角平分线的性质，即可作答． （1）过点P作直线，如图， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）延长交于点K，如图， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）①当N，M分别在点G，H的右侧，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵射线平分， ∴； ②当点N，M分别在点G，H的左侧，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵射线平分， ∴， ∴， 综上所述，或． 学科网（北京）股份有限公司 $