精品解析：宁夏中卫市第一中学2025-2026学年高二下学期5月份学情诊断评价数学试题

中卫市第一中学2025-2026学年度第二学期5月份学情诊断评价 高二数学 一、单选题:（每小题5分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 下面给出的四个随机变量中是离散型随机变量的为（ ） ①高速公路上某收费站在半小时内经过的车辆数； ②一个沿直线进行随机运动的质点离坐标原点的距离； ③某同学射击3次，命中的次数； ④某电子元件的寿命； A. ①② B. ③④ C. ①③ D. ②④ 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用离散型随机变量的定义分析各命题，再判断作答. 【详解】对于①，半小时内经过的车辆数可以一一列举出来，故①是离散型随机变量； 对于②，沿直线进行随机运动的质点，质点在直线上的位置不能一一列举出来，故②不是离散型随机变量； 对于③，某同学射击3次，命中的次数可以一一列举出来，故③是离散型随机变量； 对于④，某电子元件的寿命可为任意值，不能一一列举出来，故④不是离散型随机变量； 故选：C. 2. 已知，，则可表示不同的点的个数是（ ） A. 1 B. 3 C. 6 D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】利用分步乘法计数原理求解即可． 【详解】这件事可分为两步完成：第一步，在集合中任取一个值有3种方法； 第二步，在集合中任取一个值有3种方法．根据分步乘法计数原理知，有（个）不同的点． 故选：D 3. 某中学4位任课老师和班上10名学生站成一排，则4位任课老师站在一起的排法种数可以用排列数表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分析题给条件用捆绑法即可，再根据分步乘法计算可得排列种数. 【详解】4位任课老师站在一起的排法种数为， 将排完的4位任课教师作为一个整体，与剩下的10名学生站成一排的排法种数有， 再根据分步乘法得排列种数为. 故选：A. 4. 的展开式中，的系数为（ ）． A. B. C. 6 D. 【答案】D 【解析】 【详解】的展开式的通项为， 令，得， 的系数为． 5. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件概率公式可求后可构建关于的方程，从而可求的值. 【详解】因为， 所以，， 所以， 所以，故， 故选：C. 6. 如图，一圆形信号灯分成四块灯带区域，现有3种不同的颜色供灯带使用，要求在每块灯带里选择1种颜色，且相邻的2块灯带选择不同的颜色，则不同的信号总数为（ ） A. 18 B. 24 C. 30 D. 42 【答案】A 【解析】 【分析】根据涂色问题，按照使用颜色种数进行分类，再结合分步计数原理，即可得总的方法数. 【详解】若用3种不同的颜色灯带，故有两块区域涂色相同，要么，要么相同，有2种方案，则不同的信号数为； 若只用2种不同的颜色灯带，则颜色相同，颜色相同，只有1种方案，则不同的信号数为； 则不同的信号总数为. 故选：A． 7. 某次测试共设置两道必答题，考生至少答对其中一道题即可通过测试.已知考生甲答对每一题的概率均为，在甲通过测试的条件下，其只答对一道题的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用互斥事件的概率加法公式和条件概率公式计算即可. 【详解】设考生甲答对第一道题和答对第二道题分别为事件，只答对一道题为事件，甲通过测试为事件， 则 ， ， 则在甲通过测试的条件下，其只答对一道题的概率为. 8. 已知的展开式中的系数为0，且正数a，b满足，则的最小值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】根据二项展开式的通项公式及基本不等式求解即可. 【详解】展开式的通项公式为， 令，解得，令，解得， 所以展开式中含的项的系数为， 解得，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立. 二、多选题:（每小题5分，共20分.选对但不全的得2分，有选错的得0分） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 已知，则 B. 已知，则 C. 4个人排成一排，则甲不站首尾的排法有12种 D. 甲、乙、丙、丁四人排成一排，则甲、乙两人不相邻共有12种排法 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据排列数公式求判断A的真假；根据组合数的性质求判断B的真假；利用特殊元素优先法求符合条件的排列方法，判断C的真假；利用插空排列求符合条件的排列方法，判断D的真假. 【详解】对A：由，且，解得，故A正确； 对B：由或解得或，故B错误； 对C：先排甲，有2种排法，再排其余3人，有种排法，故满足条件的排法有：种.故C正确； 对D：先排丙、丁两人，有种排法，出现3个空，再排甲、乙两人，有种排法， 故满足条件的排法有：种.故D正确. 故选：ACD 10. 已知随机变量的分布列为，其中是常数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据分布列的性质，列出方程求得，结合选项，逐项判定，即可求解. 【详解】根据题意，随机变量的分布列为， 则有，解得， 则， ． 故选：ABC. 11. 我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了杨辉三角，杨辉三角是中国数学史上一项重要研究成果．从不同的角度观察杨辉三角，能得到很多优美的规律，如图是一个7阶的杨辉三角，则下列说法正确的是（ ） A. 第2025行共有2025个数 B. 从第0行到第10行的所有数之和为2047 C. 第21行中，从左到右的第3个数是210 D. 第3斜列为：，则该数列的前项和为 【答案】BCD 【解析】 【分析】可以得出每行的数字之和形成一个首项为1，公比为2的等比数列可判断AB；根据二项式系数性质可判断C；由公式可判断D. 【详解】对于A：行数比每行的个数少1，所以第2025行共有2026个数，所以A错误； 对于B：可以得出每行的数字之和形成一个首项为1，公比为2的等比数列， 所以，所以B正确； 对于C：第21行的二项式系数为且， 所以从左到右第三个数是，所以C正确； 对于D：由公式得： ，所以D正确. 故选：BCD． 12. 若函数的导函数是偶函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的图象关于中心对称 B. 有3个不同的零点 C. 最小值为 D. 对任意，都有 【答案】ABD 【解析】 【分析】求出函数的导函数，由求出的值，即可得到函数解析式，从而判断函数的奇偶性，即可判断A，令求出方程的解，即可判断B，利用导数说明函数的单调性，即可判断C，利用作差法判断D. 【详解】因为，则， 又是偶函数，所以，即， 所以对任意的恒成立，所以，解得，则，定义域为， 且，即为奇函数， 所以的图象关于中心对称，故A正确； 令，即，解得、、， 所以有3个不同的零点，故B正确； 因为，所以当或时，当时， 即的单调递增区间为，，单调递减区间为， 所以不存在最值，故C错误； 设任意，则，，则， 又， 所以，当且仅当时取等号， 所以对任意，都有，故D正确. 三、填空题：（每小题5分，共20分） 13. 已知变量服从分布，且，则__________ 【答案】## 【解析】 【分析】根据概率和为1可求. 【详解】因为变量服从分布，故， 故答案为： 14. 设，则除以9所得的余数为______． 【答案】8 【解析】 【分析】根据已知条件将a写为，即，展开后观察式子即可得到结果. 【详解】因为， 所以，， 所以除以9所得的余数为8． 故答案为：8 15. 已知一个随机试验中有两个事件，且，，则___________． 【答案】 【解析】 【详解】因为，则， 又因为，则， 所以. 16. 某次庆典后，墙壁上的装饰品需要取下来，如图，由于材料特性，每次能取一个，且所取的装饰品只能有个或个相邻的装饰品，则不同的取法数有__________种. 【答案】 【解析】 【分析】对小球进行编号，然后对前三个球的取法进行分类讨论，进而对后续小球的摸球顺序进行讨论，结合分步乘法与分类加法计数原理可得结果. 【详解】将这个小球编号如下图所示： 分以下两种情况讨论： 第一种，第一步，先取、、号球，第二步，再取、、号球依次取个球， 最后一步，从剩余两球依次摸取，此时不同的抽法种数为种； 第二种，将、、视为三个整体， 前三个球从其中一个整体和每支不与号球相邻的小球中依次摸取，有种， 以、、为例，可依次为、、，共种， 剩余、、、号球，先从、号球中摸一个，有种情况， 比如先取号球，剩余三个相邻的小球，接下来从、号球中取一个，有种情况， 最后剩余两球摸取的先后顺序任意， 此时，不同的取法种数为. 综上所述，不同的取法种数为种. 故答案为：. 四、解答题：（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1）解方程： （2）计算． 【答案】（1）10；（2）252 【解析】 【分析】根据排列数公式、组合数公式，结合组合数的性质求解即可. 【详解】（1）因为，所以. 又因为，所以，解得． （2）法一： . 法二：原式. 18. 袋中有10个大小、材质都相同的小球，其中红球3个，白球7个．每次从袋中随机摸出1个球，摸出的球不再放回．求： （1）第一次和第二次都摸到红球的概率； （2）在第一次摸到红球的条件下，第二次摸到红球的概率； （3）第二次摸到红球的概率． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据概率的乘法公式求解即可. （2）根据条件概率计算公式求解即可. （3）根据全概率公式求解即可. 【小问1详解】 设事件：第一次摸到红球；事件：第二次摸到红球， 所以. 故第一次和第二次都摸到红球的概率为. 【小问2详解】 第一次摸到红球的概率为，所以. 故在第一次摸到红球的条件下，第二次摸到红球的概率为. 【小问3详解】 ，则，所以， 所以. 故第二次摸到红球的概率为. 19. 若. （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）令代入等式求出结果； （2）令代入等式，再结合第一问等式组成方程组求出结果； （3）先变形，再求含项的系数即可. 【小问1详解】 令，则，① 【小问2详解】 令，则，② 令，则， ， ； 【小问3详解】 ， 即为含项的系数，为， 则. 20. 一个彩票盒中装有 12 张刮开前外表相同的彩票， 其中奖金为 500 元的一等奖彩票有 2 张， 奖金为 300 元的二等奖彩票有 3 张，奖金为 100 元的三等奖彩票有 7 张，从中随机抽出 3 张彩票. （1）求抽出的 3 张彩票的奖金总额不高于 700 元的概率； （2）记 表示抽出 3 张彩票中一等奖彩票的张数，求 的分布列. 【答案】（1） （2） 的分布列为： 【解析】 【分析】（1）利用组合数求出样本空间中样本点的总数和随机事件中含有的样本点的个数，根据古典概型的概率公式可求抽出的 3 张彩票的奖金总额不高于 700 元的概率. （2）先确定的可能的取值，再根据超几何分布可求 的分布列. 【小问1详解】 设为“抽出的 3 张彩票的奖金总额不高于 700 元”， 则. 【小问2详解】 由题设有可取， 又，， ， 故的分布列为： 21. 已知的展开式的第2项与第3项的二项式系数之比是. （1）求的值； （2）求展开式的常数项； （3）求展开式中系数绝对值最大的项. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由第2项与第3项的二项式系数之比是，可列出关于的方程再求解； （2）结合展开式的通项公式，得出指数的表达式，令其为零即可求解； （3）由结合数列的最值列出的不等式组，解得的范围即可. 【小问1详解】 依题意可得第2项的二项式系数为，第3项的二项式系数为， 所以，即，则，或（舍去）； 【小问2详解】 展开式的通项为（，）， 令，解得，所以，所以常数项为第5项60. 【小问3详解】 系数的绝对值为 ，则 所以，即，，所以， 因此，系数绝对值最大的项是. 22. 已知函数的一个极值点是. （1）当时，求的单调区间； （2）设，，若存在，，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）在上单调递增，在和上单调递减 （2） 【解析】 【分析】（1）求导，结合已知极值点得出关系，再利用导数讨论，分析函数单调性； （2）结合（1）的结论利用单调性分析函数在区间内的最值，分析的单调性和最值，结合已知不等式构造不等式组求解． 【小问1详解】 （）， ， 因为函数的一个极值点是， ，即，则有， 则（）， 当时，令得或，列表如下： 2 － 0 ＋ 0 － 减 增 减 满足是函数的极值点； 综上：当时，函数在上单调递增，在和上单调递减． 【小问2详解】 由（1）知，，且， 在单调递增，在单调递减， 又，， 在上的最大值为，最小值为， 又时函数在单调递增， 在上的最大值为，最小值为， 因为存在，，使得成立， 即存在，，使得成立， 则， 又，解得， 所以实数的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 中卫市第一中学2025-2026学年度第二学期5月份学情诊断评价 高二数学 一、单选题:（每小题5分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 下面给出的四个随机变量中是离散型随机变量的为（ ） ①高速公路上某收费站在半小时内经过的车辆数； ②一个沿直线进行随机运动的质点离坐标原点的距离； ③某同学射击3次，命中的次数； ④某电子元件的寿命； A. ①② B. ③④ C. ①③ D. ②④ 2. 已知，，则可表示不同的点的个数是（ ） A. 1 B. 3 C. 6 D. 9 3. 某中学4位任课老师和班上10名学生站成一排，则4位任课老师站在一起的排法种数可以用排列数表示为（ ） A. B. C. D. 4. 的展开式中，的系数为（ ）． A. B. C. 6 D. 5. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，一圆形信号灯分成四块灯带区域，现有3种不同的颜色供灯带使用，要求在每块灯带里选择1种颜色，且相邻的2块灯带选择不同的颜色，则不同的信号总数为（ ） A. 18 B. 24 C. 30 D. 42 7. 某次测试共设置两道必答题，考生至少答对其中一道题即可通过测试.已知考生甲答对每一题的概率均为，在甲通过测试的条件下，其只答对一道题的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知的展开式中的系数为0，且正数a，b满足，则的最小值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 二、多选题:（每小题5分，共20分.选对但不全的得2分，有选错的得0分） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 已知，则 B. 已知，则 C. 4个人排成一排，则甲不站首尾的排法有12种 D. 甲、乙、丙、丁四人排成一排，则甲、乙两人不相邻共有12种排法 10. 已知随机变量的分布列为，其中是常数，则（ ） A. B. C. D. 11. 我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了杨辉三角，杨辉三角是中国数学史上一项重要研究成果．从不同的角度观察杨辉三角，能得到很多优美的规律，如图是一个7阶的杨辉三角，则下列说法正确的是（ ） A. 第2025行共有2025个数 B. 从第0行到第10行的所有数之和为2047 C. 第21行中，从左到右的第3个数是210 D. 第3斜列为：，则该数列的前项和为 12. 若函数的导函数是偶函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的图象关于中心对称 B. 有3个不同的零点 C. 最小值为 D. 对任意，都有 三、填空题：（每小题5分，共20分） 13. 已知变量服从分布，且，则__________ 14. 设，则除以9所得的余数为______． 15. 已知一个随机试验中有两个事件，且，，则___________． 16. 某次庆典后，墙壁上的装饰品需要取下来，如图，由于材料特性，每次能取一个，且所取的装饰品只能有个或个相邻的装饰品，则不同的取法数有__________种. 四、解答题：（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1）解方程： （2）计算． 18. 袋中有10个大小、材质都相同的小球，其中红球3个，白球7个．每次从袋中随机摸出1个球，摸出的球不再放回．求： （1）第一次和第二次都摸到红球的概率； （2）在第一次摸到红球的条件下，第二次摸到红球的概率； （3）第二次摸到红球的概率． 19. 若. （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值. 20. 一个彩票盒中装有 12 张刮开前外表相同的彩票， 其中奖金为 500 元的一等奖彩票有 2 张， 奖金为 300 元的二等奖彩票有 3 张，奖金为 100 元的三等奖彩票有 7 张，从中随机抽出 3 张彩票. （1）求抽出的 3 张彩票的奖金总额不高于 700 元的概率； （2）记 表示抽出 3 张彩票中一等奖彩票的张数，求 的分布列. 21. 已知的展开式的第2项与第3项的二项式系数之比是. （1）求的值； （2）求展开式的常数项； （3）求展开式中系数绝对值最大的项. 22. 已知函数的一个极值点是. （1）当时，求的单调区间； （2）设，，若存在，，使得成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $