精品解析：上海市金陵中学2025-2026学年第二学期高二期末考试数学试卷

金陵中学2025学年第二学期高二期末考试试卷 数学学科 一、填空题（本题共有12题，满分36分） 1. 双曲线的实轴长为__________． 2. 已知抛物线的顶点到焦点的距离为2，则________． 3. 已知是椭圆上的动点，，且，则__________. 4. 已知函数，则它的导函数______. 5. 已知，则曲线在点处切线的斜率为________. 6. 已知，，则_________． 7. 若椭圆的焦距是2，则其离心率为______． 8. 在平面直角坐标系中，点到直线的距离为____________. 9. 设随机变量服从正态分布，且，若，则__________. 10. 已知函数的导函数的图象如图所示，则函数的极值点的个数有________个 11. 已知过点的直线与以点和为端点的线段AB相交，求直线的斜率的取值范围______. 12. 已知椭圆与椭圆相交于、、、四点，且与和的四个焦点在同一个圆上，则_____________. 二、单选题（本题共有4题，满分12分） 13. 为了评价某个电视栏目的改革效果，某机构在改革前后分别从居民点抽取了100位居民进行调查，经过计算，根据这一数据分析，下列说法正确的是（ ） （附：） A. 有的人认为该电视栏目优秀 B. 有的人认为该电视栏目是否优秀与改革有关系 C. 在犯错误的概率不超过的前提下，认为该电视栏目是否优秀与改革有关系 D. 没有理由认为该电视栏目是否优秀与改革有关系 14. 若函数的定义域为R且可导，则“在处的导数为0”是“当时，取到极值”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 15. 直线与圆的位置关系是 A. 相交或相切 B. 相交或相离． C. 相切． D. 相交 16. 已知的定义域为，且处处存在导数，则“函数”是奇函数是“函数是偶函数”的（ ）． A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件 三、解答题（本题共有5题，满分52分） 17. 已知函数 （1）求函数的导数； （2）求函数的单调区间和极值点． 18. 为深入学习贯彻党的二十大精神，推动全市党员干部群众用好“学习强国”学习平台，激发干事创业热情．某单位组织“学习强国”知识竞赛，竞赛共有道题目，随机抽取道让参赛者回答．已知小明只能答对其中的道，试求： （1）抽到他能答对题目数的分布列； （2）求的期望和方差 19. 已知抛物线与椭圆有一个相同的焦点，过抛物线焦点的直线与抛物线相交于、两点，且. （1）求抛物线的方程； （2）求直线的方程. 20. 已知双曲线，为上的任意点． （1）求证：点到双曲线的两条渐近线的距离的乘积是一个常数； （2）设点的坐标为，求的最小值. 21. 已知． （1）若，求不等式的解集； （2）若函数满足在上存在极大值，求m的取值范围； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 金陵中学2025学年第二学期高二期末考试试卷 数学学科 一、填空题（本题共有12题，满分36分） 1. 双曲线的实轴长为__________． 【答案】6 【解析】 【分析】根据双曲线的标准方程和实轴的定义可得答案. 【详解】由知，，所以， 所以实轴长. 故答案为：6 【点睛】本题考查了由双曲线的标准方程以及几何性质，属于基础题. 2. 已知抛物线的顶点到焦点的距离为2，则________． 【答案】4 【解析】 【分析】由抛物线方程可得顶点坐标与焦点坐标，建立方程，可得答案. 【详解】由抛物线，则其顶点为，焦点，由题意可得，解得. 故答案为：. 3. 已知是椭圆上的动点，，且，则__________. 【答案】5 【解析】 【详解】根据椭圆的定义确定点的轨迹，进而得到椭圆参数，再由椭圆参数关系求参数值. 【分析】因为， 所以点的轨迹是以为焦点的椭圆. 易知，即， 所以. 故答案为：5 4. 已知函数，则它的导函数______. 【答案】 【解析】 【分析】利用导数的乘积运算法则，结合基本初等函数的求导公式计算即可. 【详解】根据导数的乘积运算法则：若，则， 令，，由基本初等函数求导公式得： ，， 代入运算法则计算得： . 5. 已知，则曲线在点处切线的斜率为________. 【答案】 【解析】 【分析】求函数的导函数及导函数在时的值，结合导数的几何意义求结论即可. 【详解】因为，所以， 所以， 所以曲线在点处切线的斜率为， 故答案为：. 6. 已知，，则_________． 【答案】##0.125 【解析】 【分析】根据条件概率公式即可求解． 【详解】， 故答案为：． 7. 若椭圆的焦距是2，则其离心率为______． 【答案】## 【解析】 【详解】由题意得，，，得，，则离心率为. 8. 在平面直角坐标系中，点到直线的距离为____________. 【答案】##0.6 【解析】 【分析】根据点到直线的距离公式求解即可. 【详解】根据点到直线的距离公式可得. 故答案为：. 9. 设随机变量服从正态分布，且，若，则__________. 【答案】0.5## 【解析】 【分析】根据正态分布的性质，即正态分布曲线关于均值对称，结合已知条件求出的值. 【详解】已知随机变量服从正态分布，根据正态分布的性质可知，正态分布曲线关于均值对称.  因为，，且，根据正态分布曲线的对称性可知，3.5与关于对称轴对称.  已知3.5与关于对称，所以，可得：， 移项可得：.  故答案为：0.5. 10. 已知函数的导函数的图象如图所示，则函数的极值点的个数有________个 【答案】 【解析】 【分析】根据导函数的图象确定区间单调性，进而判断极值点个数. 【详解】由题图，时，时， 所以在上单调递增，在上单调递减，故只有一个极值点. 故答案为：1 11. 已知过点的直线与以点和为端点的线段AB相交，求直线的斜率的取值范围______. 【答案】 【解析】 【分析】首先利用两点式斜率公式求出，，再结合图象即可求出直线的斜率的取值范围. 【详解】设点，依题意，． 因为直线与线段有交点，所以或， 由图可知直线的斜率的取值范围是． 故答案为：． 12. 已知椭圆与椭圆相交于、、、四点，且与和的四个焦点在同一个圆上，则_____________. 【答案】 【解析】 【分析】根据椭圆和圆的对称性、椭圆的焦距公式进行求解即可. 【详解】因为两个椭圆的四个焦点在同一个圆上， 所以根据椭圆和的对称性可知，该圆的圆心为原点， 因此有， 且两个椭圆的半焦距为， 因此该圆的方程为， 又因为、、、四点与和的四个焦点在同一个圆上， 所以由椭圆和圆的对称性可知，这四个点也在圆上， 由，代入椭圆中， 得，又，故， 故答案为： 二、单选题（本题共有4题，满分12分） 13. 为了评价某个电视栏目的改革效果，某机构在改革前后分别从居民点抽取了100位居民进行调查，经过计算，根据这一数据分析，下列说法正确的是（ ） （附：） A. 有的人认为该电视栏目优秀 B. 有的人认为该电视栏目是否优秀与改革有关系 C. 在犯错误的概率不超过的前提下，认为该电视栏目是否优秀与改革有关系 D. 没有理由认为该电视栏目是否优秀与改革有关系 【答案】D 【解析】 【分析】根据卡方表示的意义结合临界值表分析判断即可 【详解】只有时才能在犯错误的概率不超过的前提下认为该电视栏目是否优秀与改革有关系， 而即使也只是对“该电视栏目是否优秀与改革有关系”这个论断成立的可能性大小的推论，与是否有的人等无关．故A，B不正确． 由于，故C错误，D正确. 故选：D. 14. 若函数的定义域为R且可导，则“在处的导数为0”是“当时，取到极值”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】先验证充分性，不妨设，在处有，但为单调递增函数，不是极值点；再验证必要性，即可得结果． 【详解】充分性：不妨设，则， 在处有， 但是，为单调递增函数，故不是极值点，故充分性不成立； 必要性：由当时，取到极值，得， 即在处的导数为0，故必要性成立． 所以“在处的导数为0”是“当时，取到极值”的必要不充分条件. 故选：B 15. 直线与圆的位置关系是 A. 相交或相切 B. 相交或相离． C. 相切． D. 相交 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：方法一：圆的圆心到直线的距离，∵，∴所判断的位置关系为相交．方法二：直线过定点，而点在圆内部，故直线与圆相交． 考点：直线与圆的位置关系． 16. 已知的定义域为，且处处存在导数，则“函数”是奇函数是“函数是偶函数”的（ ）． A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用奇函数定义式求导和反例进行判断即可. 【详解】因为函数是奇函数，所以，两边同时求导可得， 即，所以函数是偶函数； 反之不一定成立，如是偶函数，而(为常数)不一定是奇函数. 故选：A 三、解答题（本题共有5题，满分52分） 17. 已知函数 （1）求函数的导数； （2）求函数的单调区间和极值点． 【答案】（1） （2）单调递增区间为和，单调递减区间为.极大点为，极小值点为 【解析】 【分析】（1）根据导数的运算即可求解； （2）令，求出方程的根，再列表分析即可求解. 【小问1详解】 由题得. 【小问2详解】 的定义域为， ， 令，或. 当变化时，的变化情况如下表， 正 0 负 0 正 单调递增 极大值点 单调递减 极小值点 单调递增 所以函数的单调递增区间为和，单调递减区间为. 函数的极大值点为，极小值点为. 18. 为深入学习贯彻党的二十大精神，推动全市党员干部群众用好“学习强国”学习平台，激发干事创业热情．某单位组织“学习强国”知识竞赛，竞赛共有道题目，随机抽取道让参赛者回答．已知小明只能答对其中的道，试求： （1）抽到他能答对题目数的分布列； （2）求的期望和方差 【答案】（1）分布列见解析 （2）期望；方差 【解析】 【分析】（1）列举出所有可能的取值，根据超几何分布概率公式可求得每个取值对应的概率，由此可得分布列； （2）根据期望和方差的计算公式直接求解即可. 【小问1详解】 由题意知：所有可能的取值为， ；；；； 的分布列为： 【小问2详解】期望； 又， 方差. 19. 已知抛物线与椭圆有一个相同的焦点，过抛物线焦点的直线与抛物线相交于、两点，且. （1）求抛物线的方程； （2）求直线的方程. 【答案】（1） （2）或. 【解析】 【分析】（1）求出抛物线的焦点坐标，可得出的值，由此可得出抛物线的标准方程； （2）设直线的方程为，、，将该直线方程与抛物线方程联立，列出韦达定理，结合抛物线的焦点弦长公式可得出的值，即可得出直线的方程. 【小问1详解】 椭圆的焦点坐标为， 抛物线的焦点坐标为，，即. 抛物线的方程为. 【小问2详解】 易知直线不与轴重合，又直线过焦点， 设直线的方程为，、， 联立，消去并整理得，则， ，， ，解得. 直线的方程为或. 20. 已知双曲线，为上的任意点． （1）求证：点到双曲线的两条渐近线的距离的乘积是一个常数； （2）设点的坐标为，求的最小值. 【答案】（1）证明见解析． （2）的最小值为 【解析】 【详解】试题分析：（1）求出双曲线的渐近线方程，设点利用点到直线的距离公式，即可得到结论，写出距离的乘积，再利用点在双曲线上得出定值；（2）用点点距公式表示出|PA|，利用配方法，求得函数的最值，即可求得结论． （1）设点，由题意知双曲线的两条渐近线方程分别为和， 则点到两条渐近线的距离分别为和， 则，得证； （2）设点，则当时，有最小值. 21. 已知． （1）若，求不等式的解集； （2）若函数满足在上存在极大值，求m的取值范围； 【答案】（1） （2）且. 【解析】 【分析】（1）先求出，从而原不等式即为，构建新函数，由该函数为增函数可求不等式的解； （2）求出函数的导数，就分类讨论后可得参数的取值范围. 【小问1详解】 因为，故，故，故， 故即为， 设，则，故在上为增函数， 而即为，故， 故原不等式的解为. 【小问2详解】 在有极大值即为有极大值点. ， 若，则时，，时，， 故为的极小值点，无极大值点，故舍； 若即，则时，， 时，， 故为的极大值点，符合题设要求； 若，则时，，无极值点，舍； 若即，则时，， 时，， 故为的极大值点，符合题设要求； 综上，且. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $