上海市复旦大学附属中学2025-2026学年高二下学期期末考试数学试卷

复旦大学附属中学2025学年第二学期 高二年级数学期末考试试卷 考生注意： 1.本试卷共4页，21道试题，满分150分，考试时间120分钟。 2.本试卷分设试卷和答题纸.试卷包括试题与答题要求.作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题 纸上，在试卷上作答一律不得分. 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第16题每题4分，第7一12题每题5分）考生应在答题 纸的相应位置直接填写结果. 1. 若等可能的样本空间2=1,2,3,4,5}，则事件A={1,2,3}发生的概率P()=一 2.若x>-1,则1 +x的最小值为 +1 n 3 的二项展开式中x的系数为 4. 设：<m,B:一)≤0，若a是B的必要条件，则正实数m的取值范固是」 x-2 5. 已知a=(1,0,1),b=(1,1,0),c=1,t,2),若a、b和c共面，则实数1= 6. 已知随机变量X服从正态分布NL,4),若P（X≤1)=0.3413，则P(X≥3)= 7. 己知事件A与事件B互斥，P(0=0.6,P(AUB)=0.9,则P(B)=_ 8.设(1-x)的二项展开式中各项系数分别为a,(i=0,1,…,5),则从这六个数中不放回地依次任取两个 数，在已知抽取的第一个数为正数的情况下，第二个数大于4的概率为一 2-2ax+2,x20 9. 若A=R,则实数a的取值范围是 一】 10.已知e,e是空间单位向量，g·e2=,若空间向量乃满足b·e=2,be=弓，且对于任意xy∈R， 6-(xe+y,儿21且等号能成立，则同= 试卷第1页共4页 11.若函数y=f(x)的定义域为1,2,3,4,5}的一个非空子集，值域为{7,8,9}，则这样不同的函数共有 个 12. 已知正四梭锥P-ABCD,AB=2,侧棱PA=4,若向量a满足a.(a+PB)=a-PC,则 (a+P)·(a+PD)的取值范围是■ 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13一14题每题4分，第15-16题每题5分)每题有且只 有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑。 13.已知A和B是直线I上两个不同的点，n是平面a的一个法向量，则“AB·n=0”是“1∥a”的 （)条件 A.充分非必要 B.必要非充分 C.充要 D.非充分又非必要 14.某小组在探究两个数值变量太y之间的线性关系时，随机抽取了8个样本点A(x,y,)(i=1,2,,8), 由于操作疏忽，在运用最小二乘法求回归方程时只输入了前6组数据，得到的线性回归方程为y=4x+b, 其样本中心为(4,6)、后来检查发现后，输入全部8组数据得到的新的线性回归方程为y=口，x新的样 本中心为（区，），己知名，+=0，y+%=4,则以下结论中一定正确的个数是(). 心新的样本中心仍为(4,6)： ②两个数值变量xy具有正相关关系： 图之(0y-a-6)2<2(y-a,x) A.0 B.1 C.2 D.3 15.已知奇函数y=f(x)的定义域为R,且对任何实数x,都有f(x)=4f[f(x+4)],则f2)可以是 (). A.4 B.2 C.1 D、-2 16.甲和乙进行一场体育比赛，该比赛由2n+1局小比赛组成(n≥1，m∈N),先赢n+1局的选手获得 整场比赛的胜利、假设每局比赛甲获胜的概率为p(0<p<1),每局之间的胜负相互独立，且没有平 局，则对于以下结论，说法正确的是(). ①若p=2 股甲在没有进行第2+1局时就能获得率场比条胜利的概率为P，则P<子 ②若p∈（，), 设甲获得整场比赛胜利的概率为Om,则2n+92<22 A.①对②对 B.①带②错 C.①对②错 D.①错②对 试卷第2页共4页 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤 17、(本题满分14分，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分6分) 班主任为了解本班每位学生每周平均手机使用时长（单位：小时），在某一学期每周对全班45名学生 进行问卷调查，收集了全部数据并计算出每位学生每周平均手机使用时长，绘制了相应的统计图表，全班 用时最多的为25.6小时、其中，男生每周平均手机使用时长的茎叶图如图17-1所示，女生每周平均手机 使用时长的频率分布直方图如图17-2所示、 134 122479 1312489 0.24 1425 15248 0.16 1917 0.12 24s 256 101112114151617w19202122.2小时 图17-1 图17-2 (1)求该班男生每周平均手机使用时长的极差、第75百分位数； (2)根据相关资料显示，每周平均手机使用时长小于14小时为“健康手机使用”，班主任以此绘制了如下的 2×2列联表，依据本班惰况，班主任是否有95%的把握认为性别与“健康手机使用”有关？请说明理由： 男生 女生 总计 健康手机使用 11 非健康手机使用 9 总计 20 25 45 (3)班主任从本班每周平均手机使用时长大于16小时的学生中任选2人做跟踪调查.设事件A表示“2 人中至多1名男生”，事件B表示“2人中恰有1名学生的每周平均手机使用时长位于区间[22,23]”，求 P(B)和P(B|A· 参考数据：X2= n(ad -bc)2 其中n=a+b+c+d. (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) P(x2zk) 0.100 0.050 0.010 0.001 k 2.706 3.841 6.635 10.828 18.(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分) 已知平行六面体ABCD-AB,C,D,点P为△4BD的重心. (1)求证：A、P、C三点共线： ②)若ML平面ABCD,(8,D)=于，AB=AD=MM=2,求直线BC,与平面DPC所成角的 大小. 试卷第3页共4页 19.（本题满分14分，第1小题满分4分，第2小题满分10分) 已知函数y=∫(x)为定义在R上的偶函数，其中f(x)=2+2x. (1)求实数a的值： (2)设g(x)=4+4-m(x)+m,若任意的x∈[0,1].总存在x∈[0,1].使得g(:)2f(x2),求 实数m的取值范围. 20.(本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分) 在运用人工智能解决问题时，AI模型可能会生成看似合理但实际不正确的信息现象，称为A1幻觉.AI 幻觉率是指A1模型产生AI幻觉的概率，现抽取了市面上5个使用率较高的A1模型，其回答单独一个问 题的幻觉率如下表所示 A1模型 1 2 4 5 幻觉率 0.1 0.15 0.3 0.16 0.4 (1)若以AI幻觉率最低的2个模型（模型1、2，独立地解答同一问题，以此高效避免AI幻觉，记随机变量 X为这2个模型中没有出现AI幻觉的个数，求D[幻： (2)现独立地重复使用A1模型3处理一系列不相关的问题，若第1个问题的解答不出现AI幻觉，则不再 问第2个问题：否则继续提问，直至某一个问题的解答不出现AI幻觉为止.记随机变量Y为停止提问时 该模型已经回答的问题数，求证：对于任意正整数m和n,恒有P(Y<m+nY≥m)=P(Y≤n): (3)在调查研究中发现，使用A1模型5解决-一系列相关问题时会出现较为有趣的现象，若第i个问题解答 出现了A1幻觉，则第i+1个问题解答出现A1幻觉的概率为0.5，若第i个问题解答不出现A1幻觉，则第 i+1个问题解答出现A1幻觉的概率为0.2，其中i≥1，i∈N.若运用A1模型5解答5个相关问题（之 前没有回答过相关的问题)，记随机变量Z为这5个相关问题中出现AI幻觉的个数，求Z]、(结果精 确到0.01) 21.(本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小愿满分8分) 已知函数y=fx)的定义域为R,对于给定实数a和b(a<b),定义集合 Eo=(xI[f(x)-f(a)][f(x)-f(b)]0. (1)若f(x)=x,求Eo) (2)设f(x)=x2-2,若[0,2]SEo21·求实数r的取值范围： (3)设集合Ro.={x|[f(x)+f(a[f(x)+f(b】≤0，则“对于任意给定实数a和b（a<b),若 x∈Eo,均有-x∈R2o"的充要条件是“y=f(x)是奇函数”. 试卷第4页共4页 参考答案 1 2.1 3.-672 4.[2,+0) 5.-1 6.0.1587 4 7.0.7 15 9.(-0,-U[3+Vi,+o) 10.43 3 11.39012.[8,24] 13.B 14.B 15.c 16.Λ 17.解：(1)极差为25.6-11.3=14.3.… …1分 第75百分位数为15.4+15.8 =15.6.…2分 (2)m=0.08 …4分 将2×2列联表如下补充完整为 男生 女生 总计 健康手机使用 11 14 25 非健康手机使用 9 11 20 总计 20 25 45 提出原假设H。：认为性别与“健康手机使用无关，确定显著性水平α=0.05 …6分 x2=-45x12-14×9y2 =0.0045<3.841.因此，接受原假设，即没有95%的把握认 20×25×20×25 为性别与“健康手机使用”有关 8分 (3)由题，手机使用时长大于16小时的男生有4人，其中位于[22,23]有0人，手机使 用时长大于16小时的女生有4人，其中位于[22,23]有2人 -=3. …10分 7 -Ci+CC-P(AB)-CCCC-3 …12分 C 放r0=0-片合 …14分 18解：)由点P为△4BD的重心，所以由运算得D=(B+D+网) …2分 又AC=AB+BC+CC=AB+AD+AA.…4分 故AC,=3AP,且AC与AP共点于A,故 A、P、C三点共线。…… (2)连结AC,交BD于O,则AC⊥BD,因此以O 为坐标原点，OB、OC、AA,为x轴、y轴、三轴正方 向，如图建立空间直角坐标系·可知 B(1,0,0八C,(0,W5,2),BC=(-1,V5,2)… 由40.-5.2人BL.0,0八、D-100),解得点P的坐标为P0,-5, 2 33 .…10分 西=-6，-@-5 n-CD=0-x-V3y+2:=0 设平面CD,P的法向量n=(x,y,),故 故可取 H.CP=0 23y-e=0 n=(3W3,l,2W3).…。 …12分 BC· 25 设直线BC,与平面D,PC所成角为O,则sinO= 5 G 2W22W0 20 因此，直线BC,与平面D,PC所成角的大小为arcsin 5 …14分 20 19.解：(1)由(x)为偶函数可得f()=f(-1), 即2+2°=2+2°，解得0=-1.… …4分 当a=-1时，f(x)=2+2",且对于任意的x∈R,都有f(-x)=2+2=f(x), 经此检验可知，当f(x)为偶函数时，a的值为-1.……6分 (2)f(x)=2+2*≥2√2.2=2，等号当且仅当x=0时成立.…8分 问题转化为不等式g(x)之∫m=2对于x∈[0,1]恒成立，即 4+4-m(2+2）+m≥2对于x∈0，刂恒成立.…10分 令1=2+2，由xe0,]→1e2,习，且4+4=-2，代入可知 -m1-2+m≥2对于12，引但成立-12分 岩-0-+20-》-3=0-0-名+2.康子商y=0-小 m≤ 3 1-1 +2 1-1 在1∈2，上严格增，所以当1=2时取最小值为0 因此，实数m的取值范围是（一00,0].…14分 20.解：(1)P(X=0)=0.1×0.15=0.015,P(X=1)=0.9×0.15+0.1×0.85=0.22, 0 1 P(X=2)=0.9×0.85=0.765,.因此，X的分布为 …2分 0.0150.220.765 则EK]=1.75,E[X2]=3.28. 所以，D[X]=E[X2]-(E[X])=0.2175.…4分 (2)Y之m指的是前m-1个回答均出现了AI幻觉，即P(Y≥m)=0.3-.…6分 所以PY≥m+n川Y≥m=PY≥m+m_0.31 PY≥m)=0.3T=0.3”. P(Y≥n+1)=0.3m*=0.3”,则P(Y≥m+nlY≥m)=P(Y≥n+1).…8分 所以1-P(Y<m+nlY≥m)=1-P(Y<n+l)=1-P(Y≤n),化简即得证.…10分 (3)记Z,表示AI模型5解决第i个问题时出现AI幻觉的情况，若解答第i个问题时出 现A1幻觉，则记Z=1,若未出现AI幻觉，则记Z=0.…12分 设P(Z,=)=p,由题，P1=0.4,P1=P,0.5+(1-p)0.2=0.3p,+0.2. …14分 所以p2=0.32，乃3=0.296，p=0.2888，p=0.28664. 因此，E[Z]=E[Z,+Z2+…+Z]=E[Z]+…+E[Z]=p,+…+P.…l6分 解得E[Z]=1.59144≈1.59. …18分 21.解：()由题，即求不等式(x-0)(x-1)≤0的解集，故Eow=0,刂.…4分 2)注意到f(x)=x(x-2儿，即x=0、x=21是f(x)的零点，由题可得y=∫(x)在 [0,2]上的最大值为f(2),最小值为f(0)=0. ①当t=0时，f(x)=x2，在[0,2]上严格增，即f(0)≤f(x)≤f(2),从而 [f(x)-f(0][f(x)-f(2】≤0对x∈[0,2]恒成立，即[0,2]∈Eo.2 ②当1<0时，f(x)=x2-2x在[0,2]上严格增，同理有0,2]二E0.2)6分 -x2+2x,0≤x≤21 ③当t>0时，f(x)在[0，+o)上的表达式为f(x)= x2-2x,x>2I 在[0,2]中的最大值为f(1)=12,最小值为f(0)=0 若t≥2，则f(x)在[0,2]上严格增，同理有[0,2]≤Eo2 若t∈(0,1)，则2t∈(0,2)，在(2t,+o)上的最大值为f(2)=4t-4,且 f(x)>f(2)=0.所以f(2)≥f(t)满足要求，即t∈(0,2W2-2] …8分 若1∈[1,2)，则2t∈[2,4)，此时t=f(t)>f(2)=4t-4≥0恒成立，故∫(2)不是 [0,2]上的最大值，不满足要求，舍去.… …9分 综上所述，实数1的取值范围是(-o,2√2-2U[2,+∞). …10分 (3)充分性：当y=f(x)是奇函数时，若x∈Eo,则[f(x)-f(a][f(x)-f(b)≤0， 即[-(-x)-f(a[-f(-x)-f(b]≤0，即[f(-x)+f(a)[f(-x)+f(b≤0，所以 -X∈ab… …12分 必要性：由实数a和b的任意性，取a=-t,b=1(t>0),显然x=t和x=-t满足 [f(x)-f(-][f(x)-]≤0，即1∈E1∈E-,则必有-1eF-nI∈F …14分 即有 2/0/0+f-]≤0n若f0+f-0<0,则/020，f-020,由同向 2f(-0[f-1)+f(t]≤0. 相加性，可得f(t)十f(-)之0，矛盾.…16分 若f(t)+f(-)>0,则ft)≤0，f(-t)≤0，即f()+f(-t)≤0，矛盾.所以 f()+f(-)=0.同理可证当t<0时，取a=1,b=-t,有f(t)+f(-1)=0. 取a=0，b=1,则0eEo.),有0∈Fa,即2f(0儿f(0)+f(I】≤0： 取a=-1,b=0,则0eE-o,有0∈F-o,即2f(0[f(0)+f(-]≤0：由于 ()+f(-)=0,故2(0)儿f(0)-1)]≤0，由同向相加性，可得4f(0)≤0，即 f(0)=0.… …18分 因此对于任意实数x,均有f(-x)=-f(x),即y=f(x)是定义在R上的奇函数.