2.1 有理数的加法与减法 同步讲义 2026-2027学年人教版七年级数学上册

第二章 有理数的运算 2.1 有理数的加法与减法 2.1.1 有理数的加法 【知识清单】 一、有理数加法法则 1.同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。例如：＋3 ＋ (＋5) = ＋(3 ＋ 5) = ＋8；－3 ＋ (－5) = －(3 ＋ 5) = －8。 2.绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。例如：＋3 ＋ (－5) = －(5 － 3) = －2；－3 ＋ (＋5) = ＋(5 － 3) = ＋2。 3.一个数与 0 相加，仍得这个数。例如：－5 ＋ 0 = －5；0 ＋ 0 = 0。 4.互为相反数的两个数相加等于 0。例如：－3 ＋ 3 = 0。 二、加法运算律 1.加法交换律：a ＋ b = b ＋ a。任意两个有理数相加，交换加数的位置，和不变。 2.加法结合律：(a ＋ b) ＋ c = a ＋ (b ＋ c)。三个有理数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。 三、有理数加法的实际应用 1.在实际生活中，常用有理数加法解决合并量、总量问题（如温度变化、海拔变化、收支结算等）。 2.步骤：①确定正负意义；②列出有理数加法算式；③运用法则和运算律计算。 【易错警示】 ① 异号两数相加时，必须是较大的绝对值减去较小的绝对值，勿用错法则。 ② 先判断符号，再计算绝对值，两步不可省略。 ③ 任何数与 0 相加仍得原数，不等于 0。 知识点一：有理数加法法则 【典例 1】计算： （1）(＋3) ＋ (＋5)； （2）(－3) ＋ (－5)； （3）(＋3) ＋ (－5)； （4）(－3) ＋ (＋5)。 解：（1）原式=(＋3) ＋ (＋5) = ＋(3 ＋ 5) = ＋8。 （2）原式=(－3) ＋ (－5) = －(3 ＋ 5) = －8。 （3）原式=(＋3) ＋ (－5) = －(5 － 3) = －2。 （4）原式=(－3) ＋ (＋5) = ＋(5 － 3) = ＋2。 【典例 2】计算： （1） ＋ ； （2）(－1.5) ＋ (－2.3)。 解：（1）原式= ＋ =+( - ）=； （2）原式=(－1.5) ＋ (－2.3) = －(1.5 ＋ 2.3) = －3.8。 【典例 3】计算： （1）(－2) ＋ (＋3) ＋ (－1) ＋ (＋4)； （2）0 ＋ (－5) ＋ (＋6)。 解：（1）原式=(－2) ＋ (－1) + (＋3) ＋ (＋4) = －3＋7= ＋4。 （2）原式= －5 ＋ 6 = 1。 跟踪训练 1.计算：(＋8) ＋ (－3) = ；(－6) ＋ (－4) = 。 解：(＋8) ＋ (－3) = ＋(8 － 3) = ＋8；(－6) ＋ (－4) = －(6 ＋ 4) = －10。故答案为：＋8 和 －10。 2.计算：(－2.7) ＋ (＋1.5) = 。 解：(－2.7) ＋ (＋1.5) = －(2.7 － 1.5) = －1.2。故答案为：－1.2。 3.计算：(－) ＋ = 。 解：(－) ＋ = －( ＋ ) = －1。故答案为：－1。 4.计算：(－5) ＋ (＋9) ＋ (－3) ＋ (－7) = 。 解：(－5) ＋ 9 ＋ (－3) ＋ (－7) = [(－5) ＋ (－3) ＋ (－7)] ＋ 9 = (－15) ＋ 9 = －6。故答案为：－6。 知识点二：加法运算律 【典例 4】用简便方法计算： （1）(－7) ＋ 12 ＋ 7 ＋ (－8)；（2）16 ＋ (－25) ＋ 24 ＋ (－35)。 解：（1）原式 = (－7) ＋ 7 ＋ 12 ＋ (－8) = 0 ＋ 12 ＋ (－8) = 4。 （2）原式 = [16 ＋ 24] ＋ [(－25) ＋ (－35)] = 40 ＋ (－60) = －20。 【典例 5】计算：(＋)＋＋＋。 解：原式=(＋)＋+＋ =-（）+（）= + =。 【典例 6】计算：(－8.7) ＋ (－5.3) ＋ 8.7 ＋ (－4.7)。 解：原式 = [(－8.7) ＋ 8.7] ＋ [(－5.3) ＋ (－4.7)] = 0 ＋ (－10) = －10。 跟踪训练 5.计算：(－3) ＋ 5 ＋ (－7) ＋ 2 = 。 解：(－3) ＋ 5 ＋ (－7) ＋ 2 = [(－3) ＋ (－7)] ＋ (5 ＋ 2) = (－10) ＋ 7 = －3。故答案为：－3。 6.计算：(－) ＋ ＋ = 。 解：(－) ＋ ＋ = －1 ＋ = 。故答案为：。 7.计算：23 ＋ (－17) ＋ (－23) ＋ 17 = 。 解：23 ＋ (－17) ＋ (－23) ＋ 17 = [23 ＋ (－23)] ＋ [(－17) ＋ 17] = 0 ＋ 0 = 0。故答案为：0。 8.计算：(－2.4) ＋ 3.5 ＋ (－4.6) ＋ 5.5 = 。 解：(－2.4) ＋ 3.5 ＋ (－4.6) ＋ 5.5 = [(－2.4) ＋ (－4.6)] ＋ (3.5 ＋ 5.5) = (－7) ＋ 9 = 2。故答案为：2。 知识点三：有理数加法的实际应用 【典例 7】某天早晨，某地气温为 －3 °C，上午上升了 5 °C，中午又上升了 7 °C，下午下降了 10 °C。下午的气温是多少？ 解：初始温度：－3。变化量：＋5，＋7，－10。 下午气温 = (－3) ＋ 5 ＋ 7 ＋ (－10) = [(－3) ＋ (－10)] ＋ (5 ＋ 7) = (－13) ＋ 12 = －1（°C）。 【典例 8】某银行储蓄卡报告单显示：存入 2000 元，支出 1500 元，存入 800 元，支出 1300 元。若原来余额为 5000 元，现在余额是多少？ 解：变动金额：＋2000，－1500，＋800，－1300。 变动总和 = 2000 ＋ (－1500) ＋ 800 ＋ (－1300) = (2000 ＋ 800) ＋ [(－1500) ＋ (－1300)] = 2800 ＋ (－2800) = 0。 现在余额 = 5000 ＋ 0 = 5000（元）。 【典例 9】某足球队在一轮比赛中，胜 7 场得 21 分，平 5 场得 5 分，负 3 场扣 3 分。该队总积分是多少？ 解：胜得分：＋21；平得分：＋5；负扣分：－3。 总积分 = 21 ＋ 5 ＋ (－3) = 26 － 3 = 23（分）。 跟踪训练 9.某水库正常水位为 0 m，洪水期水位上升 2 m，后下降 5 m，再上升 1 m。最终水位为 m。 解：0 ＋ 2 ＋ (－5) ＋ 1 = －2。故答案为：－2。 10.某天最高气温 4 °C，最低气温 －6 °C，这一天的温差是 °C。 解：温差 = 4 － (－6) = 4 ＋ 6 = 10。故答案为：10。 11.海拔从 －30 m 的地方先上升 100 m，再下降 50 m，最终海拔是 m。 解：(－30) ＋ 100 ＋ (－50) = 20。故答案为：20。 12.某商店一周盈亏情况如下（盈利为正，单位：元）：＋128，－25，＋36，－7，98。这一周总盈亏金额为 元（填“盈”或“亏”及金额）。 解：128 ＋ (－25) ＋ 36 ＋ (－7) ＋ 98 = 230。故答案为：盈230。 【随堂演练】 1.下列计算正确的是（　　） A. (－3) ＋ (－5) = 2 B. (＋7) ＋ (－4) = 3 C. (－8) ＋ (＋3) = －5 D. (＋9) ＋ (－9) = 18 解： A：(－3) ＋ (－5) = －8≠2；B：(＋7) ＋ (－4) = 3，正确但未给答案；C：(－8) ＋ (＋3) = －5正确；D：(＋9) ＋ (－9) = 0≠18。故选：C。 2.两数相加，其和比每个加数都小，那么这两个数（　　）。 A. 都是正数 B. 都是负数 C. 一正一负 D. 至少有一个负数 解：若和比每个加数都小，则两数均为负数。例如 (－3) ＋ (－5) = －8，－8 < －3，－8 < －5。故选：B。 3.计算：(－12) ＋ (＋7) = ；(－9) ＋ (－6) = 。 解：(－12) ＋ (＋7) = －5；(－9) ＋ (－6) = －15。故答案为：－5；－15。 4.已知 a 是最小的正整数，b 是最大的负整数，则 a ＋ b = 。 解：最小的正整数 a = 1，最大的负整数 b = －1，a ＋ b = 0。故答案为：0。 5.计算：(＋) ＋ ＋ ＋ 。 解：原式 = ＋ ＋ ＋ = ( ＋ ) ＋ [ ＋ ] = 1 ＋ (－1) = 0。 6.某金店一周收支情况如下（收入为正，支出为负，单位：元）：＋3200，－1860，＋4500，－2580，＋1600。求这一周的净收入。 解：净收入 = 3200 ＋ (－1860) ＋ 4500 ＋ (－2580) ＋ 1600 = (3200 ＋ 4500 ＋ 1600) ＋ [(－1860) ＋ (－2580)] = 9300 ＋ (－4440) = 4860（元）。 答：这一周的净收入为 4860 元。 【课后巩固】 一、选择题（每题 5 分，共 30 分） 1.计算 (－5) ＋ 3 的结果是（　　） A. 2　　B. －8　　C. －2　　D. 8 解：(－5) ＋ 3 = －(5 － 3) = －2。故选：C。 2.温度从－3 °C上升5 °C后的温度是（　　） A. －8 °C　　B. 8 °C　　C. 2 °C　　D. －2 °C 解：－3 ＋ 5 = 2。故选：C。 3.下列计算结果为正数的是（　　）。 A. (－7) ＋ (－3)　　B. (－9) ＋ 6 C. (＋12) ＋ (－5)　　D. (－4) ＋ (－8) 解：A：－10；B：－3；C：7（正）；D：－12。故选：C。 4.已知|a| = 3，|b| = 5，且a > 0，b < 0，则a ＋ b = （　　） A. 8　　B. －2　　C. 2　　D. －8 解：|a| = 3，a > 0 ⇒ a = 3；|b| = 5，b < 0 ⇒ b = －5。a ＋ b = 3 ＋ (－5) = －2。故选：B。 5.用简便方法计算(－8) ＋ 17 ＋ (－2) ＋ (－7)，正确的是（　　） A. [(－8) ＋ 17] ＋ [(－2) ＋ (－7)] B. [(－8) ＋ (－2)] ＋ [17 ＋ (－7)] C. [(－8) ＋ (－7)] ＋ [17 ＋ (－2)] D. 17 ＋ [(－8) ＋ (－2) ＋ (－7)] 解：先将同号的数分组：[(－8) ＋ (－2)] ＋ [17 ＋ (－7)] = (－10) ＋ 10 = 0。故选：B。 6. 若 a ＋ b < 0，且 ab > 0，则 a、b 两数（　　）。 A. 都是正数　　 B. 都是负数 C. 一正一负　　 D. 无法确定 解：ab > 0 ⇒ a、b 同号；a ＋ b < 0 ⇒ 同为负数。故选：B。 二、填空题（每题 5 分，共 30 分） 7.(－4) ＋ (＋6) ＋ (－5) ＋ (－7) = 。 解：(－4) ＋ 6 ＋ (－5) ＋ (－7) = [(－4) ＋ (－5) ＋ (－7)] ＋ 6 = (－16) ＋ 6 = －10。故答案为：－10。 8.绝对值小于 5 的所有整数的和是 。 解：绝对值小于 5 的整数：－4, －3, －2, －1, 0, 1, 2, 3, 4。和为 0。故答案为：0。 9.已知最小的正整数与最大的负整数的和是 。 解：最小的正整数为 1，最大的负整数为 －1，和为 0。故答案为：0。 10.某地早晨气温 －2 °C，中午上升 7 °C，傍晚又下降 9 °C，傍晚气温为 °C。 解：－2 ＋ 7 ＋ (－9) = －4。故答案为：－4。 11.若|a| = 2，|b| = 7，且a ＋ b < 0，则a ＋ b = 。 解：|a| = 2 ⇒ a = ±2；|b| = 7 ⇒ b = ±7。若 a ＋ b < 0：a = 2 时 b = －7，和 = －5；a = －2 时 b = －7，和 = －9。故答案为：－5或－9。 12.负数 a 与它的相反数的和是 。 解：互为相反数的两数和为 0。故答案为：0。 三、解答题（共 40 分） 13.（8 分）计算：(＋) ＋ ＋ ＋ 。 解：原式 = ＋ ＋ ＋ =＋ -[ + ]= 。 14.（8 分）某地一周每天早晨气温记录如下（单位：°C）：－3，－1，2，0，－4，－2，1。求这一周早晨的平均气温。 解：总和 = (－3) ＋ (－1) ＋ 2 ＋ 0 ＋ (－4) ＋ (－2) ＋ 1 = －7。平均气温 = (－7) ÷ 7 = －1（°C）。 答：这一周早晨的平均气温为 －1 °C。 15.（10 分）某公路养护小组乘车沿公路巡视，约定向东为正。某天从 A 地出发，到收工时行走记录为（单位：km）：＋15，－2，＋5，－1，＋10，－3，－2，＋12，＋4，－5。 （1）收工时距 A 地多远？在 A 地什么方向？ （2）若汽车每千米耗油 0.12 L，这天共耗油多少升？ 解：（1）总位移 = 15 ＋ (－2) ＋ 5 ＋ (－1) ＋ 10 ＋ (－3) ＋ (－2) ＋ 12 ＋ 4 ＋ (－5) = [15 ＋ 5 ＋ 10 ＋ 12 ＋ 4] ＋ [(－2) ＋ (－1) ＋ (－3) ＋ (－2) ＋ (－5)] = 46 ＋ (－13) = 33（km）。∵ 为正，∴ 在 A 地东侧 33 km 处。 （2）总路程 = 15 ＋ 2 ＋ 5 ＋ 1 ＋ 10 ＋ 3 ＋ 2 ＋ 12 ＋ 4 ＋ 5 = 59（km）。耗油 = 59 × 0.12 = 7.08（L）。 答：收工时在 A 地东侧 33 km 处；共耗油 7.08 升。 16.（14 分）观察下列等式，探究其中规律： 1 ＋ (－2) ＋ 3 ＋ (－4) ＋ … ＋ 99 ＋ (－100) （1）从 1 到 100 这些数中，正数有哪些？负数有哪些？ （2）请计算上述式子的结果。 （3）如果计算 1 ＋ (－2) ＋ 3 ＋ (－4) ＋ … ＋ (2n － 1) ＋ (－2n)，结果是多少？ 解：（1）正数：1, 3, 5, …, 99（共 50 个奇数）；负数：－2, －4, －6, …, －100（共 50 个偶数）。 （2）将相邻两项配对：(1 － 2) ＋ (3 － 4) ＋ … ＋ (99 － 100) = (－1) × 50 = －50。 （3）类比得：原式 = (－1) × n = －n。 2.1.2 有理数的减法 【知识清单】 一、有理数减法法则 1.有理数减法法则：a － b = a ＋ (－b)。减去一个数，等于加上这个数的相反数。 2.关键步骤：①将减号变为加号；②将减数变为它的相反数；③按有理数加法法则计算。 3.例：5 － 3 = 5 ＋ (－3) = 2；3 － 5 = 3 ＋ (－5) = －2；(－3) － (－5) = (－3) ＋ 5 = 2。 二、有理数加减混合运算 1.加减混合运算统一为加法：先将所有减法转化为加法，再按加法法则计算。 2.省略加号的和（代数和）：在一个和式中，可以省略所有加号，只写各数（包括正负号）。例如 (－20) ＋ (＋3) － (－5) － (＋7) 可写成 －20 ＋ 3 ＋ 5 － 7。 3.注意：省略加号后，每个数包括它前面的符号，看作一个整体。 【易错警示】 ① 减去一个负数时，等于加上它的相反数（正数），结果变大。例如 3 － (－5) = 3 ＋ 5 = 8。 ② 加减混合运算时，必须先将所有减法统一为加法，再运用加法运算律简化。 ③ 省略加号的和中，第一个数若为正数，正号可省略；中间的正数正号不能省略。 知识点一：有理数减法法则 【典例 1】计算： （1）3 － 5；（2）(－3) － 5；（3）0 － (－7)；（4）(－5) － (－3)。 解：（1）3 － 5 = 3 ＋ (－5) = －2。 （2）(－3) － 5 = (－3) ＋ (－5) = －8。 （3）0 － (－7) = 0 ＋ 7 = 7。 （4）(－5) － (－3) = (－5) ＋ 3 = －2。 【典例 2】计算： （1） － ；（2）(－) － 。 解：（1）原式= － 。 （2）原式=(－) － =(－)+ =-=-。 【典例 3】已知某地最高气温为 5 °C，最低气温为 －3 °C。该地这天的温差是多少？ 解：温差 = 5 － (－3) = 5 ＋ 3 = 8（°C）。 跟踪训练 1. 计算：(－6) － 4 = ；(－8) － (－3) = 。 解：(－6) － 4 = (－6) ＋ (－4) = －10；(－8) － (－3) = (－8) ＋ 3 = －5。故答案为：－10；－5。 2. 计算：(－) － = 。 解：(－) － = (－) ＋ = 。故答案为：。 3. 若 |a| = 4，|b| = 7，则 a － b 的值为 。 解：a = ±4，b = ±7。a － b有4种情况：4 － 7 = －3，4 － (－7) = 11，－4 － 7 = －11，－4 － (－7) = 3。故答案为：±3或±11。 4. 海拔－20 m的地方比海拔－50 m的地方高 m。 解：(－20) － (－50) = (－20) ＋ 50 = 30。故答案为：30。 知识点二：有理数加减混合运算 【典例 4】计算：(－20) ＋ (＋3) － (－5) － (＋7)。 解：原式 = (－20) ＋ (＋3) ＋ (＋5) ＋ (－7) =(－20) ＋ (－7) +(＋3) ＋ (＋5) = －27＋ 8 = －19。 【典例 5】将下列式子写成省略加号的和，并计算：(＋12) － (－18) ＋ (－7) － (＋15)。 解：省略加号的和：12 ＋ 18 － 7 － 15=(12 ＋ 18) ＋ (－7 － 15) = 30 ＋ (－22) = 8。 【典例 6】某水库某天水位记录如下（单位：m）：上午上升 0.8，下午下降 0.5，晚上又下降 0.3。若早晨水位为 12.5 m，晚上水位是多少？ 解：晚上水位 = 12.5 ＋ 0.8 ＋ (－0.5) ＋ (－0.3) = 12.5 ＋ 0.8 － 0.5 － 0.3 = 13.3 － 0.8 = 12.5（m）。 跟踪训练 5.计算：(－5) － (－3) ＋ (－8) － (＋6) = 。 解：(－5) － (－3) ＋ (－8) － (＋6) = (－5) ＋ 3 ＋ (－8) ＋ (－6) = [(－5) ＋ (－8) ＋ (－6)] ＋ 3 = (－19) ＋ 3 = －16。故答案为：－16。 6.省略加号的和－3 － 5 ＋ 2 － 7的结果是 。 解：－3 － 5 ＋ 2 － 7 = －15 ＋ 2 = －13。故答案为：－13。 7.比－3小5的数是 ，比－3大5的数是 。 解：－3 － 5 = －8；－3 ＋ 5 = 2。故答案为：－8；2。 8.若a － (－b) = 0，则a与b的关系是 。 解：a － (－b) = a ＋ b = 0 ⇒ a = －b。故答案为：互为相反数。 【随堂演练】 1.计算 (－3) － (－5) 的结果是（　　） A. －8　　B. －2　　C. 2　　D. 8 解：(－3) － (－5) = (－3) ＋ 5 = 2。故选：C。 2.下列计算结果为正数的是（　　） A. 3 － 5　　B. (－7) － (－7)　　C. (－3) － 5　　D. 0 － (－8) 解：A：－2；B：0；C：－8；D：0 － (－8) = 8。故答案为：D。 3.计算：(－5) － 7 = ；(－9) － (－12) = 。 解：(－5) － 7 = (－5) ＋ (－7) = －12；(－9) － (－12) = (－9) ＋ 12 = 3。故答案为：－12；3。 4.比 0 小 3 的数是 ，比 0 小 －3 的数是 。 解：0 － 3 = －3；0 － (－3) = 3，比 0 小 －3 的数是－3。 故答案为：－3；－3。 5.计算：(－11) － (－7) ＋ (－5) － (＋9)。 解：原式 = (－11) ＋ 7 ＋ (－5) ＋ (－9) = [(－11) ＋ (－5) ＋ (－9)] ＋ 7 = (－25) ＋ 7 = －18。 6.某地最高气温为 6 °C，最低气温为 －4 °C；另一地最高气温为 －2 °C，最低气温为 －12 °C。哪个地方的温差更大？大多少？ 解：第一地温差 = 6 － (－4) = 10（°C）；第二地温差 = (－2) － (－12) = 10（°C）。两地温差相等，都是 10 °C。 【课后巩固】 一、选择题（每题 5 分，共 30 分） 1.计算(－2) － 5的结果是（　　） A. 3　　B. －3　　C. 7　　D. －7 解：(－2) － 5 = (－2) ＋ (－5) = －7。故选：D。 2.若一个数减去 －2 等于 3，则这个数是（　　） A. －1　　B. 1　　C. 5　　D. －5 解：设这个数为x，则x － (－2) = x ＋ 2 = 3，∴x = 1。故选：B。 3.下列各式中，结果为负数的是（　　） A. (－3) － (－5)　　B. 0 － (－4)　　C. (－7) － 2　　D. 5 － (－3) 解：A：2；B：4；C：－9；D：8。故选：C。 4.若|a| = 8，|b|= 5，且a ＋ b > 0，则a － b的值是（　　） A. 3 或 13　　B. －3 或 －13　　C. 3 或 －3　　D. 13 或 －13 解：|a| = 8 ⇒ a = ±8；|b| = 5 ⇒ b = ±5。若 a ＋ b > 0：a = 8 时 b 可为 ±5，a = －8 时 b 必须为 5。a － b 可能为 8 － 5 = 3，8 － (－5) = 13，－8 － 5 = －13（但 a ＋ b = －3 < 0，舍）。故 a － b = 3 或 13。 故选：A。 5.省略加号的和－5 ＋ 2 － 7 － 3 的结果是（　　） A. 1　　B. －1　　C. －13　　D. －7 解：－5 ＋ 2 － 7 － 3 = (－5 － 7 － 3) ＋ 2 = (－15) ＋ 2 = －13。 故选：C。 6.计算1 － 2 ＋ 3 － 4 ＋ 5 － 6 ＋ … ＋ 2019 － 2020的结果是（　　） A. 0　　B. －1　　C. －1010　　D. 1010 解：相邻两项配对：(1 － 2) ＋ (3 － 4) ＋ … ＋ (2019 － 2020) = (－1) × 1010 = －1010。故选：C。 二、填空题（每题 5 分，共 30 分） 7.计算：(－7) － (－4) ＋ (－5) － (＋3) = 。 解：(－7) － (－4) ＋ (－5) － (＋3) = (－7) ＋ 4 ＋ (－5) ＋ (－3) = [(－7) ＋ (－5) ＋ (－3)] ＋ 4 = (－15) ＋ 4 = －11。故答案为：－11。 8.比－1大3的数是 ，比－1小3的数是 。 解：－1 ＋ 3 = 2；－1 － 3 = －4。故答案为：2；－4。 9.若a的相反数是2，b的绝对值是3，则a － b = 。 解：a = －2，b = ±3。a － b = －2 － 3 = －5，或 －2 － (－3) = 1。故答案为：－5 或 1。 10.已知－3 、 8 、 －11三个数，其代数和与绝对值和的差 。 解：代数和 = －3 ＋ 8 ＋ (－11) = －6；绝对值和 = 3 ＋ 8 ＋ 11 = 22。－6 － 22 = －28。故答案为：－28。 11.某地早晨气温 －1 °C，中午上升 8 °C，傍晚又下降 12 °C，傍晚气温为 °C。 解：－1 ＋ 8 ＋ (－12) = －5。故答案为：－5。 12.举例说明：若a < b，则a － b 0。（填“>”、“<”或“=”） 解：若 a < b，则 a － b < 0。例如－3 < 2，－3 － 2 = －5 < 0。 故答案为：<。 三、解答题（共 40 分） 13.（8 分）计算：(－) － ＋ － 。 解：原式 = (－) ＋ ＋ ＋ = ＋ ＋ － =（＋ ＋ ）－ = 2 － =。 14.（8 分）某地电梯从地下 2 层到地上 8 层，共上升了多少层？ 解：从地下 2 层到地上 8 层，共上升 = 8 － (－2) = 10（层）。 答：共上升了 10 层。 15.（10 分）下表记录了某五名同学跳绳成绩（以每分钟 180 个为标准，超过记正，不足记负，单位：个）： 名次　张三　李四　王五　赵六　孙七 成绩　＋5　－3　＋10　－8　＋1 （1）跳得最多的同学比最少的多多少个？ （2）求他们的平均成绩。 解：（1）最多：180 ＋ 10 = 190，最少：180 － 8 = 172，190 － 172 = 18（个）。 （2）记录值之和 = 5 ＋ (－3) ＋ 10 ＋ (－8) ＋ 1 = 5，平均 = 180 ＋ 5 ÷ 5 = 181（个/分）。 答：（1）最多比最少多18个；（2）平均成绩为181个/分。 16.（14 分）观察下列等式： 1 － 2 = －1， 1 － 2 ＋ 3 － 4 = －2， 1 － 2 ＋ 3 － 4 ＋ 5 － 6 = －3。 （1）请写出第 4 个等式； （2）请写出第 n 个等式； （3）计算1 － 2 ＋ 3 － 4 ＋ … ＋ 2023 － 2024 的结果。 解：（1）第 4 个等式：1 － 2 ＋ 3 － 4 ＋ 5 － 6 ＋ 7 － 8 = －4。 （2）规律：第 n 个等式的结果为 －n。即：1 － 2 ＋ 3 － 4 ＋ … ＋ (2n－1) － 2n = －n。 （3）n = 1012，结果 = －1012。 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 有理数的运算 2.1 有理数的加法与减法 2.1.1 有理数的加法 【知识清单】 一、有理数加法法则 1.同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。例如：＋3 ＋ (＋5) = ＋(3 ＋ 5) = ＋8；－3 ＋ (－5) = －(3 ＋ 5) = －8。 2.绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。例如：＋3 ＋ (－5) = －(5 － 3) = －2；－3 ＋ (＋5) = ＋(5 － 3) = ＋2。 3.一个数与 0 相加，仍得这个数。例如：－5 ＋ 0 = －5；0 ＋ 0 = 0。 4.互为相反数的两个数相加等于 0。例如：－3 ＋ 3 = 0。 二、加法运算律 1.加法交换律：a ＋ b = b ＋ a。任意两个有理数相加，交换加数的位置，和不变。 2.加法结合律：(a ＋ b) ＋ c = a ＋ (b ＋ c)。三个有理数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。 三、有理数加法的实际应用 1.在实际生活中，常用有理数加法解决合并量、总量问题（如温度变化、海拔变化、收支结算等）。 2.步骤：①确定正负意义；②列出有理数加法算式；③运用法则和运算律计算。 【易错警示】 ① 异号两数相加时，必须是较大的绝对值减去较小的绝对值，勿用错法则。 ② 先判断符号，再计算绝对值，两步不可省略。 ③ 任何数与 0 相加仍得原数，不等于 0。 知识点一：有理数加法法则 【典例 1】计算： （1）(＋3) ＋ (＋5)； （2）(－3) ＋ (－5)； （3）(＋3) ＋ (－5)； （4）(－3) ＋ (＋5)。 【典例 2】计算： （1） ＋ ； （2）(－1.5) ＋ (－2.3)。 【典例 3】计算： （1）(－2) ＋ (＋3) ＋ (－1) ＋ (＋4)； （2）0 ＋ (－5) ＋ (＋6)。 跟踪训练 1.计算：(＋8) ＋ (－3) = ；(－6) ＋ (－4) = 。 2.计算：(－2.7) ＋ (＋1.5) = 。 3.计算：(－) ＋ = 。 4.计算：(－5) ＋ (＋9) ＋ (－3) ＋ (－7) = 。 知识点二：加法运算律 【典例 4】用简便方法计算： （1）(－7) ＋ 12 ＋ 7 ＋ (－8)；（2）16 ＋ (－25) ＋ 24 ＋ (－35)。 【典例 5】计算：(＋)＋＋＋。 【典例 6】计算：(－8.7) ＋ (－5.3) ＋ 8.7 ＋ (－4.7)。 跟踪训练 5.计算：(－3) ＋ 5 ＋ (－7) ＋ 2 = 。 6.计算：(－) ＋ ＋ = 。 7.计算：23 ＋ (－17) ＋ (－23) ＋ 17 = 。 8.计算：(－2.4) ＋ 3.5 ＋ (－4.6) ＋ 5.5 = 。 知识点三：有理数加法的实际应用 【典例 7】某天早晨，某地气温为 －3 °C，上午上升了 5 °C，中午又上升了 7 °C，下午下降了 10 °C。下午的气温是多少？ 【典例 8】某银行储蓄卡报告单显示：存入 2000 元，支出 1500 元，存入 800 元，支出 1300 元。若原来余额为 5000 元，现在余额是多少？ 【典例 9】某足球队在一轮比赛中，胜 7 场得 21 分，平 5 场得 5 分，负 3 场扣 3 分。该队总积分是多少？ 跟踪训练 9.某水库正常水位为 0 m，洪水期水位上升 2 m，后下降 5 m，再上升 1 m。最终水位为 m。 10.某天最高气温 4 °C，最低气温 －6 °C，这一天的温差是 °C。 11.海拔从 －30 m 的地方先上升 100 m，再下降 50 m，最终海拔是 m。 12.某商店一周盈亏情况如下（盈利为正，单位：元）：＋128，－25，＋36，－7，98。这一周总盈亏金额为 元（填“盈”或“亏”及金额）。 【随堂演练】 1.下列计算正确的是（　　） A. (－3) ＋ (－5) = 2 B. (＋7) ＋ (－4) = 3 C. (－8) ＋ (＋3) = －5 D. (＋9) ＋ (－9) = 18 2.两数相加，其和比每个加数都小，那么这两个数（　　）。 A. 都是正数 B. 都是负数 C. 一正一负 D. 至少有一个负数 3.计算：(－12) ＋ (＋7) = ；(－9) ＋ (－6) = 。 4.已知 a 是最小的正整数，b 是最大的负整数，则 a ＋ b = 。 5.计算：(＋) ＋ ＋ ＋ 。 6.某金店一周收支情况如下（收入为正，支出为负，单位：元）：＋3200，－1860，＋4500，－2580，＋1600。求这一周的净收入。 【课后巩固】 一、选择题（每题 5 分，共 30 分） 1.计算 (－5) ＋ 3 的结果是（　　） A. 2　　B. －8　　C. －2　　D. 8 2.温度从－3 °C上升5 °C后的温度是（　　） A. －8 °C　　B. 8 °C　　C. 2 °C　　D. －2 °C 3.下列计算结果为正数的是（　　）。 A. (－7) ＋ (－3)　　B. (－9) ＋ 6 C. (＋12) ＋ (－5)　　D. (－4) ＋ (－8) 4.已知|a| = 3，|b| = 5，且a > 0，b < 0，则a ＋ b = （　　） A. 8　　B. －2　　C. 2　　D. －8 5.用简便方法计算(－8) ＋ 17 ＋ (－2) ＋ (－7)，正确的是（　　） A. [(－8) ＋ 17] ＋ [(－2) ＋ (－7)] B. [(－8) ＋ (－2)] ＋ [17 ＋ (－7)] C. [(－8) ＋ (－7)] ＋ [17 ＋ (－2)] D. 17 ＋ [(－8) ＋ (－2) ＋ (－7)] 6. 若 a ＋ b < 0，且 ab > 0，则 a、b 两数（　　）。 A. 都是正数　　 B. 都是负数 C. 一正一负　　 D. 无法确定 二、填空题（每题 5 分，共 30 分） 7.(－4) ＋ (＋6) ＋ (－5) ＋ (－7) = 。 8.绝对值小于 5 的所有整数的和是 。 9.已知最小的正整数与最大的负整数的和是 。 10.某地早晨气温 －2 °C，中午上升 7 °C，傍晚又下降 9 °C，傍晚气温为 °C。 11.若|a| = 2，|b| = 7，且a ＋ b < 0，则a ＋ b = 。 12.负数 a 与它的相反数的和是 。 三、解答题（共 40 分） 13.（8 分）计算：(＋) ＋ ＋ ＋ 。 14.（8 分）某地一周每天早晨气温记录如下（单位：°C）：－3，－1，2，0，－4，－2，1。求这一周早晨的平均气温。 15.（10 分）某公路养护小组乘车沿公路巡视，约定向东为正。某天从 A 地出发，到收工时行走记录为（单位：km）：＋15，－2，＋5，－1，＋10，－3，－2，＋12，＋4，－5。 （1）收工时距 A 地多远？在 A 地什么方向？ （2）若汽车每千米耗油 0.12 L，这天共耗油多少升？ 16.（14 分）观察下列等式，探究其中规律： 1 ＋ (－2) ＋ 3 ＋ (－4) ＋ … ＋ 99 ＋ (－100) （1）从 1 到 100 这些数中，正数有哪些？负数有哪些？ （2）请计算上述式子的结果。 （3）如果计算 1 ＋ (－2) ＋ 3 ＋ (－4) ＋ … ＋ (2n － 1) ＋ (－2n)，结果是多少？ 2.1.2 有理数的减法 【知识清单】 一、有理数减法法则 1.有理数减法法则：a － b = a ＋ (－b)。减去一个数，等于加上这个数的相反数。 2.关键步骤：①将减号变为加号；②将减数变为它的相反数；③按有理数加法法则计算。 3.例：5 － 3 = 5 ＋ (－3) = 2；3 － 5 = 3 ＋ (－5) = －2；(－3) － (－5) = (－3) ＋ 5 = 2。 二、有理数加减混合运算 1.加减混合运算统一为加法：先将所有减法转化为加法，再按加法法则计算。 2.省略加号的和（代数和）：在一个和式中，可以省略所有加号，只写各数（包括正负号）。例如 (－20) ＋ (＋3) － (－5) － (＋7) 可写成 －20 ＋ 3 ＋ 5 － 7。 3.注意：省略加号后，每个数包括它前面的符号，看作一个整体。 【易错警示】 ① 减去一个负数时，等于加上它的相反数（正数），结果变大。例如 3 － (－5) = 3 ＋ 5 = 8。 ② 加减混合运算时，必须先将所有减法统一为加法，再运用加法运算律简化。 ③ 省略加号的和中，第一个数若为正数，正号可省略；中间的正数正号不能省略。 知识点一：有理数减法法则 【典例 1】计算： （1）3 － 5；（2）(－3) － 5；（3）0 － (－7)；（4）(－5) － (－3)。 【典例 2】计算： （1） － ；（2）(－) － 。 【典例 3】已知某地最高气温为 5 °C，最低气温为 －3 °C。该地这天的温差是多少？ 跟踪训练 1. 计算：(－6) － 4 = ；(－8) － (－3) = 。 2. 计算：(－) － = 。 3. 若 |a| = 4，|b| = 7，则 a － b 的值为 。 4. 海拔－20 m的地方比海拔－50 m的地方高 m。 知识点二：有理数加减混合运算 【典例 4】计算：(－20) ＋ (＋3) － (－5) － (＋7)。 【典例 5】将下列式子写成省略加号的和，并计算：(＋12) － (－18) ＋ (－7) － (＋15)。 【典例 6】某水库某天水位记录如下（单位：m）：上午上升 0.8，下午下降 0.5，晚上又下降 0.3。若早晨水位为 12.5 m，晚上水位是多少？ 跟踪训练 5.计算：(－5) － (－3) ＋ (－8) － (＋6) = 。 6.省略加号的和－3 － 5 ＋ 2 － 7的结果是 。 7.比－3小5的数是 ，比－3大5的数是 。 8.若a － (－b) = 0，则a与b的关系是 。 【随堂演练】 1.计算 (－3) － (－5) 的结果是（　　） A. －8　　B. －2　　C. 2　　D. 8 2.下列计算结果为正数的是（　　） A. 3 － 5　　B. (－7) － (－7)　　C. (－3) － 5　　D. 0 － (－8) 3.计算：(－5) － 7 = ；(－9) － (－12) = 。 4.比 0 小 3 的数是 ，比 0 小 －3 的数是 。 5.计算：(－11) － (－7) ＋ (－5) － (＋9)。 6.某地最高气温为 6 °C，最低气温为 －4 °C；另一地最高气温为 －2 °C，最低气温为 －12 °C。哪个地方的温差更大？大多少？ 【课后巩固】 一、选择题（每题 5 分，共 30 分） 1.计算(－2) － 5的结果是（　　） A. 3　　B. －3　　C. 7　　D. －7 2.若一个数减去 －2 等于 3，则这个数是（　　） A. －1　　B. 1　　C. 5　　D. －5 3.下列各式中，结果为负数的是（　　） A. (－3) － (－5)　　B. 0 － (－4)　　C. (－7) － 2　　D. 5 － (－3) 4.若|a| = 8，|b|= 5，且a ＋ b > 0，则a － b的值是（　　） A. 3 或 13　　B. －3 或 －13　　C. 3 或 －3　　D. 13 或 －13 5.省略加号的和－5 ＋ 2 － 7 － 3 的结果是（　　） A. 1　　B. －1　　C. －13　　D. －7 6.计算1 － 2 ＋ 3 － 4 ＋ 5 － 6 ＋ … ＋ 2019 － 2020的结果是（　　） A. 0　　B. －1　　C. －1010　　D. 1010 二、填空题（每题 5 分，共 30 分） 7.计算：(－7) － (－4) ＋ (－5) － (＋3) = 。 8.比－1大3的数是 ，比－1小3的数是 。 9.若a的相反数是2，b的绝对值是3，则a － b = 。 10.已知－3 、 8 、 －11三个数，其代数和与绝对值和的差 。 11.某地早晨气温 －1 °C，中午上升 8 °C，傍晚又下降 12 °C，傍晚气温为 °C。 12.举例说明：若a < b，则a － b 0。（填“>”、“<”或“=”） 三、解答题（共 40 分） 13.（8 分）计算：(－) － ＋ － 。 14.（8 分）某地电梯从地下 2 层到地上 8 层，共上升了多少层？ 15.（10 分）下表记录了某五名同学跳绳成绩（以每分钟 180 个为标准，超过记正，不足记负，单位：个）： 名次　张三　李四　王五　赵六　孙七 成绩　＋5　－3　＋10　－8　＋1 （1）跳得最多的同学比最少的多多少个？ （2）求他们的平均成绩。 16.（14 分）观察下列等式： 1 － 2 = －1， 1 － 2 ＋ 3 － 4 = －2， 1 － 2 ＋ 3 － 4 ＋ 5 － 6 = －3。 （1）请写出第 4 个等式； （2）请写出第 n 个等式； （3）计算1 － 2 ＋ 3 － 4 ＋ … ＋ 2023 － 2024 的结果。 1 学科网（北京）股份有限公司 $