第08讲 有理数的乘法（思维导图+新课指引+3知识点+10考点+过关检测）-2025年小升初数学无忧衔接（通用版）

第08讲 有理数的乘法 1.理解有理数乘法的意义，掌握有理数乘法的法则，正确进行有理数的乘法运算； 2.理解倒数的意义，并能求出已知数的倒数； 3.掌握几个有理数相乘时，积的符号的确定方法，并能熟练的进行几个有理数的乘法运算； 4.在运算过程中能合理使用乘法运算律使运算简便； 5.初步体会“分类”与“归纳”的数学思想，培养严谨的科学态度. 【新课指引】 【思考1】2024年6月15 日将在德国举行第17届欧洲杯，法国球星姆巴佩为了备战欧洲杯，沿一条东西方向的跑道，以每秒钟9米的速度向东跑。记姆巴佩在跑道上的某一位置为点 0， 3秒后 2秒后 1秒后 0秒 1 秒前 2秒前 3秒前 位于点O方向 距点O的距离 提示:向东和向西行进的速度都是具有方向的量，如果我们规定:向东为正，向西为负 【思考3】计算下列各式的值: (1)(-2)+(-2)= (2)(-2)+(-2)+(-2)= (3)(-2)+(-2)(-2)+(-2)= (4)(-2)+(-2)+(-2)+(-2)+(-2)= 【思考3】由上例请猜想下列各式的值: (1) (-2)×2= (2) (-2)×3= (3) (-2)×4= (4) (-2)×5= 【思考4】思考并填空:由上例请猜想下列各式的值，空格内可以各填什么数? (1)(-2)×(-2)= (2)(-2)×(-3)= (3)(-2)×(-4)= (4)(-2)×(-5)= 【思考5】计算和猜想: (1) 5×0= (2)(-2)×0 知识点一 有理数乘法法则 有理数乘法运算法则：1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘. 2）0与任何数相乘都得0. 法则的推广：1）两个或多个非零有理数相乘时，先确定积的符号，再确定积的绝对值. 2）几个数相乘，如果有一个因数为0，那么积就等于0．反之如果积为0，那么至少有一个因数为0. 3）几个不是0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定．当负因数的个数是偶数时，积是正数；当负因数的个数为奇数时，积是负数.（口诀：奇负偶正，绝对值相乘.） 【补充】1）任何数与1相乘都等于它本身，任何数与－1相乘都等于它的相反数. 2）有理数相乘，当因数中有带分数时，先把带分数化为假分数再相乘；当因数中既有分数又有小数时，统一化为分数或小数，再相乘. 1．（2025·天津红桥·二模）计算的结果等于（   ） A． B． C． D． 2．（2025·河北邢台·二模）对于式子，左边的第一个因数增加2后，积变化为（   ） A．减少5 B．减少10 C．增加6 D．增加10 3．（24-25七年级上·浙江温州·阶段练习）绝对值小于的所有整数的积是 ． 4．（24-25七年级上·甘肃天水·期末）用、、填空． 5．（23-24六年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）一间多媒体教室长15米，宽8米，高4米，要粉刷这间教室的墙壁和天花板（门窗除外）．门窗的面积是23平方米，如果每平方米需花8元涂料费，粉刷这间教室需要涂料费多少钱？ 知识点二 有理数乘法运算律 运算律 文字描述 用字母表示 乘法交换律 两个数相乘，交换因数的位置，积相等. 乘法结合律 三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等. 乘法分配率 一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加. 【易错点】1）使用乘法分配律时，切勿漏乘某项. 2）用乘法交换律交换因数的位置时，要连同性质符号一起交换. 1．（24-25七年级上·云南西双版纳·期中）用简便方法计算，逆用分配律正确的是（      ） A． B． C． D． 2．（2025·河北·一模）下列计算结果最小的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·河北保定·期末）下列各式中，运用运算律不正确的是（　　） A． B． C． D． 4．（24-25七年级上·福建福州·期中）如果，则的值可表示为 （用含的式子表示）． 5．（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）脱式计算、能简算的要简算． (1) (2) (3) 知识点三 倒数 倒数的概念：乘积是1的两个数互为倒数，其中一个数叫做另一个数的倒数.用式子表示为（其中a≠0） 【补充】 1）0没有倒数，倒数等于它本身的数是1和-1； 2）ab=1a，b互为倒数；ab=-1a，b互为负倒数； 3）正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，即互为倒数的两个数必定同号； 1．（2025·湖南衡阳·模拟预测）的倒数是（    ） A． B．2026 C． D． 2．（2025·山东菏泽·二模）的倒数的相反数是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·安徽·模拟预测）如图，数轴上点A所表示的数的倒数是（    ） A．2 B． C． D． 4．（24-25六年级上·上海·期中）的倒数是 ． 5．（2024七年级上·全国·专题练习）求下列各数的倒数： 考点一： 有理数乘法法则的辨析 1．（24-25七年级上·山东聊城·阶段练习）下列说法正确的有（　　） ①一个数同相乘，仍得这个数；②一个数同相乘，得这个数的相反数；③互为相反数的两数之积一定是负数；④两个数相乘得，则这两个数都为． A．个 B．个 C．个 D．个 2．（24-25七年级上·全国·课后作业）下列结论中，错误的是（    ） A．若两数相乘的积为正，则这两数同号 B．若两数相乘的积为负，则这两数异号 C．几个不为的数相乘，积的符号由负因数的个数决定 D．若三数相乘的积为负，则这三数都为负 3．（24-25七年级上·浙江金华·期末）有2025个有理数相乘，结果为0，那么这2025个数（   ） A．都为0 B．只有一个0 C．有两个数互为相反数 D．至少有一个0 有理数乘法运算法则：1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘. 2）0与任何数相乘都得0. 1．（24-25六年级上·上海·期中）下列说法中，正确的个数是（    ） ①个有理数相乘，当因数有奇数个时，积为负；②个有理数相乘，当正因数有奇数个时，积为负； ③个有理数相乘，当负因数有奇数个时，积为负；④个有理数相乘，当积为负时，负因数有奇数个； ⑤个有理数相乘，当积为正时，正因数有奇数个；⑥个有理数相乘，当积为正时，正因数有偶数个． A．1 B．2 C．3 D．4 2．（24-25七年级上·山东临沂·阶段练习）下列结论中，错误的是（　　） A．若两数相乘的积为正，则这两数同号 B．若两数相乘的积为负，则这两数异号 C．几个不为的数相乘，积的符号由负因数的个数决定D．若五数相乘的积为负，则这五数都为负 3．（24-25七年级上·黑龙江·单元测试）下列说法中，正确的有 ．（请填写序号） ①一个数同相乘，仍得这个数；②一个数同相乘，得这个数的相反数；③一个数同相乘，仍得． 考点二： 利用有理数乘法辨别符号 1．（24-25七年级上·甘肃定西·阶段练习）下列式子中，积的符号为负的是（     ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·四川泸州·阶段练习）4个数相乘，积为负，那么其中负因数的个数是（    ）． A．1 B．2 C．3 D．1或3 几个不是0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定．当负因数的个数是偶数时，积是正数；当负因数的个数为奇数时，积是负数.（口诀：奇负偶正，绝对值相乘.） 1．（24-25六年级上·上海青浦·期中）若，且，那么（  ） A．都是正数 B．都是负数 C．一正一负，且负数的绝对值较大 D．一正一负，且正数的绝对值较大 2．（2025·河北唐山·二模）如图，数轴的单位长度为1，点表示的数为，点表示的数为，且，则与的积为（   ） A．0 B．4 C． D． 考点三： 有理数乘法的运算 1．（2025·吉林长春·一模）若的运算结果为正数，则□内的数字可以为（   ） A． B．1 C．0 D．1 2．（2024七年级上·全国·专题练习）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 3．（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）已知，则 ． 1.观察因数中有没有0.若有0.则积为____________. 2.如果因数都不等于0，那么应先确定积的符号. 3.计算积的绝对值时，通常把小数化为____________，带分数化为____________，便于约分. 1．（2025·天津滨海新·模拟预测）计算的结果等于（   ） A． B．1 C． D．11 2．（2024七年级上·全国·专题练习）从，，，，五个数中任取两个数相乘，若所得积中的最大值为，最小值为，则的值为(   ) A．0 B． C． D． 3．（2025七年级下·全国·专题练习）计算． (1)； (2)； (3)； 考点四： 有理数乘法的运算律 1．（24-25七年级上·贵州贵阳·期末）某同学在计算时，将原式变形为进行简便运算，这样做的依据是（   ） A．乘法交换律 B．乘法对加法的分配律 C．乘法结合律 D．乘法交换律和乘法结合律 2．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期末）若，则可以表示为（    ） A． B． C． D． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·辽宁丹东·期中）计算： ． 乘法运算律运用的“四点说明” 1.运用交换律时，在交换因数的位置时，要连同____________一起交换； 2.运用分配律时，要用括号外的因数乘括号内的____________因数，不能有遗漏； 3.逆用:有时可以把运算律“逆用”， 4.推广:三个以上的有理数相乘，可以任意交换因数的位置，或者把其中的几个因数相乘，如 1．（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）分配律用式子可表达为．下列四个计算：①；②；③；④．适合运用分配律来简化计算的算式有（   ）． A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 2．（2024七年级下·浙江杭州·竞赛）比较分数与的大小，结果是（   ） A． B． C． D．无法确定 3．（2024七年级上·全国·专题练习）用简便方法计算： （1） ； （2） ． 考点五： 利用有理数乘法运算律进行简便运算 1．（24-25七年级上·江苏扬州·期末）计算，最合理的方法是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·全国·期末）用简便方法计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 3．（2025·河北唐山·二模）利用运算律计算有时可以更简便． 例1：； 例2：． 请你参考示例，用运算律简便计算． (1)； (2)． (1)几个数相乘，常将其中积为整数的两个数调整到一起，或将互为倒数的两个数调整到一起； (2)小数与分数相乘，一般先将小数化成分数后再乘； (3)带分数应先化为假分数； (4)几个分数相乘，先约分再相乘； (5) 对于形如的算式，若a，b，c是分数，且k可以分别和a，b，c的分母约分得到整数，则用分配律可以简化运算.注意相乘时括号里的每个数都要带上它前面的符号，且不要漏乘括号中的任何一项. 1．（23-24七年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）计算： ． 2．（24-25七年级上·全国·课后作业）运用运算律进行简便运算： (1)； (2)； (3)． 考点六： 有理数乘法的实际应用 1．（2025八年级下·全国·专题练习）宾馆有100间相同的客房，经过一段时间的经营，发现客房定价与客房的入住率之间有下表所示的关系，按照这个关系，要使客房的收入最高，每间客房的定价应为（　　） 每间房价（元） 入住率 A．300元 B．280元 C．260元 D．220元 2．（2025·云南玉溪·二模）在篮球比赛中，如果甲队进5个三分球，记作分，那么甲队失2个三分球记作（   ） A．分 B．分 C．分 D．分 1．（24-25九年级上·贵州遵义·期末）某市的地铁站牌每一个站名上方都有一个对应数字，将上、下站名所对应数字相减的差的绝对值作为乘车路程，根据乘车路程所在区段计算票价．乘车路程区段与对应票价（部分）如下表： 乘车路程区段 0~5 6~10 11~15 16~25 … 票价/元 1 2 3.2 4.6 … 另外，学生乘车实行5折优惠，若一名学生上车时站名对应数字是4，下车时站名对应数字是23，则该学生乘车的费用为 元． 2．（24-25七年级上·河南南阳·期中）一根长为2025厘米的塑料管，第1次截去全长的，第2次截去剩下的，第3次截去剩下的，如此下去，直到第2024次截去剩下的，则最后剩下的塑料管长为 厘米． 3．（2025·河北唐山·二模）某校举行跳远能力竞赛，比赛场地从起跳线由近及远共三个得分区域，每个区域对应的分数如图所示，每位选手跳远5次，5次成绩的和为该选手的最终成绩，两位参赛选手的跳远情况如下图. (1)求嘉嘉5次跳远的最终成绩. (2)若淇淇的最终成绩为3分，求x的值. 考点七： 求一个数的倒数 1．（2025·江西新余·模拟预测）下列各组数中，互为倒数的是（   ） A．2和 B．3和 C．1和 D．和 2．（2025·山东烟台·二模）已知的倒数是，则的相反数是（    ） A．2025 B． C． D． 1.真分数和假分数:交换它们的____________、____________就得到该数的倒数； 2.整数:先看成是分母为___________的分数，再颠倒分子、分母的位置； 3.小数化为___________，带分数化为___________，再求变形后的分数的倒数. 1．（2025·山东青岛·二模）实数，，，在数轴上对应点的位置如图所示，若实数，互为相反数，则倒数最大的是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·四川资阳·模拟预测）若， 比较四个数的大小，并用“”连接 ． 考点八：相反数，绝对值，倒数的综合应用 1．（24-25九年级下·江西抚州·期中）如果，互为相反数，，互为倒数，那么 ． 2．（24-25七年级上·四川成都·期末）已知互为相反数，互为倒数，e的绝对值是0，则代数式的值为 ． 3．（24-25七年级上·四川自贡·阶段练习）若将的相反数记为a，绝对值记为b，倒数记为c，则的值为 ． 4．（24-25七年级上·贵州安顺·期中）若a，b互为相反数，c，d互为倒数，m的绝对值为3． (1)a，b的关系可表示为_________，c，d的关系可表示为_________，m的值为_________； (2)求的值． 1）求一个数的相反数，只需改变这个数前面的符号即可； 2）当绝对值符号里的数的正负不能确定时，要分类讨论，即将其分成大于0，小于0，等于0这三类讨论. 3）求一个数的倒数，不改变这个数的符号. 1．（24-25七年级上·山东济宁·期中）若、互为相反数，、互为倒数，的绝对值为，是最大的负整数，则的值为 ． 2．（2025六年级下·全国·专题练习）若a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值为2． (1)直接写出、、m的值； (2)求的值． 3．（24-25七年级上·广东中山·期中）已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值是2，且．求的值． 考点九： 有理数乘法运算中的新定义问题 1．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）定义运算：，如．则：（    ） A．1 B． C．2 D． 2．（24-25七年级上·广东中山·期中）对于有理数a，b，定义新运算：，则的值为（   ） A．12 B． C． D．48 3．（24-25七年级上·河北邯郸·期中）对于有理数，定义运算“@”：． (1)求的值； (2)分别求与的值，并判断运算“@”是否满足结合律． 4．（23-24七年级上·江苏盐城·期中）在学习完《有理数》后，小奇对有理数运算产生了浓厚的兴趣．借助有理数的运算，定义了一种新运算“⊕”，规则如下：．（a、b不相等） (1) ； (2)求的值； (3)试以和说明，新定义的运算“⊕”满足交换律吗？ 1．（24-25七年级上·全国·期中）定义一种新运算：．例如．则的值等于（  ） A．15 B．16 C． D．12 2．（24-25六年级上·上海普陀·期中）定义：对于数对，如果，那么称为“和积等数对”．如：因为，，所以，都是“和积等数对”．下列数对中，是“和积等数对”的是 ．（填序号） ①；②；③． 3．（24-25七年级上·陕西汉中·期中）定义一种新运算：，如，则的结果是 ． 4．（24-25七年级下·河南郑州·阶段练习）定义一种新的运算“？” (1)仔细观察，归纳“？”运算法则：两数进行“？”运算时，_____________；特别的，0与任何数进行“？”运算，或任何数与0进行“？”运算，结果为_____________； (2)计算：； (3)已知，求的值 考点十： 有理数乘法运算中的规律问题 1．（2024七年级上·全国·专题练习）符号“f”表示一种运算，运算规律如下：，，，，…，则（   ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·黑龙江牡丹江·期中）杨辉三角，又称贾宪三角形，帕斯卡三角形（1261）一书中用如图的三角形解释二项式和的乘方规律，比欧洲的相同发现要早三百多年．    按此规律排列，第七行第四个数的相反数与第八行第三个数的积是（　　） A． B．700 C． D．420 3．（21-22七年级上·浙江丽水·期中）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：． 解答下列问题： （1）按以上规律写出第5个等式： ； （2） ． 1．（22-23七年级上·河北唐山·期中）填在如图各正方形中的四个数之间都有一定的规律，按此规律得出、的值分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 2．（24-25七年级上·河北保定·期中）观察下面的等式，… (1)以此规律，第5个式子是________________；第n个式子是________________； (2)把这四个等式两边分别相加，得，类比此方法，计算： ①； ②直接写出结果：________； (3)根据以上探索经验，计算：． 1．（24-25七年级上·河北沧州·期末）若有理数a、b、c在数轴上对应的点的位置如图所示，下列式子正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·贵州毕节·期末）可以表示为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·山东济宁·期末）现规定一种运算：．则计算结果是（　　） A． B． C． D． 4．（24-25七年级上·山东日照·期末）若一个数的倒数是，则这个数的相反数是（    ） A．2024 B． C． D． 5．（24-25七年级上·福建泉州·期末）下列运算中用的运算律是（  ） ． A．乘法结合律及分配律 B．乘法交换律及分配律 C．乘法交换律及乘法结合律 D．分配律及加法结合律 6．（24-25七年级上·河南漯河·期末）已知三个数的积为负数，如果一个数为正数，那么另外两个数（   ） A．一定都是正数 B．一定都是负数 C．一定异号 D．无法确定 7．（24-25七年级上·福建泉州·期末）计算： ． 8．（24-25七年级下·黑龙江绥化·开学考试）的倒数是 ，与它的倒数的乘积是 ． 9．（24-25七年级上·辽宁盘锦·期末）如图，按照如下程序进行计算，当输入的时，输出的的值为 ． 10．（24-25七年级上·四川巴中·期末）市运会上有11支足球队参赛，每两支球队间只打一场，队队见面，则一共要安排 场比赛． 11．（24-25七年级上·河南许昌·期末）如图是有理数a，b在数轴上的对应点的位置，则 0（选填“>”“<”“=”）．    12．（24-25七年级上·全国·假期作业）计算下列各题，能简算的要简算： (1)； (2)； (3)； (4)用简便方法计算：． 13．（24-25七年级上·河北保定·期中）嘉琪家的猕猴桃成熟了．嘉琪的爸爸将自家猕猴桃挂在网上销售，原计划是每天卖，但是实际销售受到各方面因素的影响，与原计划有出入．下表是嘉琪记录的某周销售情况（超出计划记为正，不足记为负）． 星期 一 二 三 四 五 六 日 与原计划的差值/kg (1)根据表中的数据，这周猕猴桃一共卖了多少？ (2)根据表中的数据，这周猕猴桃销售最多的一天比销售最少的一天多销售了多少？ (3)若嘉琪家的猕猴桃以5元的价格出售，嘉琪的爸爸通过计算，得出猕猴桃的成本为2元，则这一周嘉琪家卖出的猕猴桃能赚多少元？ 14．（24-25七年级上·福建莆田·期末）如图是莆田市15路公交汽车的部分站点示意图，某天小王参加公交志愿者服务活动，从拱辰街道办事处出发，最后在站结束服务活动．如果规定市图书馆方向为正，七步村方向为负，小王当天的乘车站数按先后顺序依次如下（单位：站）： ，，，，，，， (1)请通过计算说明站是哪一站？ (2)若相邻两站之间的平均距离是千米，求这次小王志愿服务期间乘坐公交车行进的总路程是多少千米？ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第08讲 有理数的乘法 1.理解有理数乘法的意义，掌握有理数乘法的法则，正确进行有理数的乘法运算； 2.理解倒数的意义，并能求出已知数的倒数； 3.掌握几个有理数相乘时，积的符号的确定方法，并能熟练的进行几个有理数的乘法运算； 4.在运算过程中能合理使用乘法运算律使运算简便； 5.初步体会“分类”与“归纳”的数学思想，培养严谨的科学态度. 【新课指引】 【思考1】2024年6月15 日将在德国举行第17届欧洲杯，法国球星姆巴佩为了备战欧洲杯，沿一条东西方向的跑道，以每秒钟9米的速度向东跑。记姆巴佩在跑道上的某一位置为点 0， 3秒后 2秒后 1秒后 0秒 1 秒前 2秒前 3秒前 位于点O方向 距点O的距离 提示:向东和向西行进的速度都是具有方向的量，如果我们规定:向东为正，向西为负 【思考3】计算下列各式的值: (1)(-2)+(-2)= (2)(-2)+(-2)+(-2)= (3)(-2)+(-2)(-2)+(-2)= (4)(-2)+(-2)+(-2)+(-2)+(-2)= 【思考3】由上例请猜想下列各式的值: (1) (-2)×2= (2) (-2)×3= (3) (-2)×4= (4) (-2)×5= 【思考4】思考并填空:由上例请猜想下列各式的值，空格内可以各填什么数? (1)(-2)×(-2)= (2)(-2)×(-3)= (3)(-2)×(-4)= (4)(-2)×(-5)= 【思考5】计算和猜想: (1) 5×0= (2)(-2)×0 知识点一 有理数乘法法则 有理数乘法运算法则：1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘. 2）0与任何数相乘都得0. 法则的推广：1）两个或多个非零有理数相乘时，先确定积的符号，再确定积的绝对值. 2）几个数相乘，如果有一个因数为0，那么积就等于0．反之如果积为0，那么至少有一个因数为0. 3）几个不是0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定．当负因数的个数是偶数时，积是正数；当负因数的个数为奇数时，积是负数.（口诀：奇负偶正，绝对值相乘.） 【补充】1）任何数与1相乘都等于它本身，任何数与－1相乘都等于它的相反数. 2）有理数相乘，当因数中有带分数时，先把带分数化为假分数再相乘；当因数中既有分数又有小数时，统一化为分数或小数，再相乘. 1．（2025·天津红桥·二模）计算的结果等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的乘法，根据有理数的乘法运算法则计算即可，掌握有理数的乘法运算法则是解题的关键． 【详解】解：， 故选：． 2．（2025·河北邢台·二模）对于式子，左边的第一个因数增加2后，积变化为（   ） A．减少5 B．减少10 C．增加6 D．增加10 【答案】C 【分析】本题主要考查有理数的运算，熟练掌握有理数的运算是解题的关键；由题意易得，然后问题可求解． 【详解】解：由题意得：， ∴； 故选C． 3．（24-25七年级上·浙江温州·阶段练习）绝对值小于的所有整数的积是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的乘法计算，求一个数的绝对值，有理数比较大小，根据绝对值的意义和有理数比较大小的方法得到绝对值小于的整数有，再根据有理数乘法计算法则求解即可． 【详解】解：绝对值小于的整数有， ∴绝对值小于的所有整数的积是， 故答案为：． 4．（24-25七年级上·甘肃天水·期末）用、、填空． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据乘法运算法则，奇数个负数相乘结果为负，即可求解． 【详解】解： 故答案为：． 5．（23-24六年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）一间多媒体教室长15米，宽8米，高4米，要粉刷这间教室的墙壁和天花板（门窗除外）．门窗的面积是23平方米，如果每平方米需花8元涂料费，粉刷这间教室需要涂料费多少钱？ 【答案】粉刷这间教室需要涂料费2248元钱 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，根据题意列出计算式是解题的关键． 根据题意可知教室需要粉刷的总面积为平方米，在乘以每平方米需花8元的涂料费，解答即可． 【详解】解： （元） ∴粉刷这间教室需要涂料费2248元钱． 知识点二 有理数乘法运算律 运算律 文字描述 用字母表示 乘法交换律 两个数相乘，交换因数的位置，积相等. 乘法结合律 三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等. 乘法分配率 一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加. 【易错点】1）使用乘法分配律时，切勿漏乘某项. 2）用乘法交换律交换因数的位置时，要连同性质符号一起交换. 1．（24-25七年级上·云南西双版纳·期中）用简便方法计算，逆用分配律正确的是（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查的是乘法的运算律，熟练掌握乘法的运算律是解题的关键． 利用乘法对加法的分配率的逆应用运算即可． 【详解】解： 故选：B． 2．（2025·河北·一模）下列计算结果最小的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查有理数乘法运算．根据有理数运算法则分别计算并比较大小即可． 【详解】解：A、； B、； C、； D、； ∵， ∴得数最小的是D选项， 故选：D． 3．（24-25七年级上·河北保定·期末）下列各式中，运用运算律不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数乘法运算、乘法运算律等知识点，掌握相关运算法则成为解题的关键． 根据有理数乘法运算、乘法运算律、有理数四则混合运算逐项化简即可． 【详解】解：A．符合乘法交换律，正确，不符合题意； B．符合乘法结合律，正确，不符合题意； C．符合乘法结合律，正确，不符合题意； D．，乘法和加法不能结合，错误，符合题意． 故选：D． 4．（24-25七年级上·福建福州·期中）如果，则的值可表示为 （用含的式子表示）． 【答案】/ 【分析】本题考查了有理数乘法的分配律，代数式，利用有理数乘法的分配律把原式转化为，再展开整体代入即可得到答案，掌握有理数乘法的运算律是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 5．（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）脱式计算、能简算的要简算． (1) (2) (3) 【答案】(1)1 (2)1 (3)2.6 【分析】本题主要考查了有理数乘法运算律，熟知有理数乘法运算律是解题的关键． （1）先把转化为，再运用乘法分配律的逆运算法则，进行符合运算； （2）运用乘法交换律，乘法结合律，先计算和再把它们的积相乘； （3）运用乘法分配律，计算即可得解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 知识点三 倒数 倒数的概念：乘积是1的两个数互为倒数，其中一个数叫做另一个数的倒数.用式子表示为（其中a≠0） 【补充】 1）0没有倒数，倒数等于它本身的数是1和-1； 2）ab=1a，b互为倒数；ab=-1a，b互为负倒数； 3）正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，即互为倒数的两个数必定同号； 1．（2025·湖南衡阳·模拟预测）的倒数是（    ） A． B．2026 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了倒数的定义，根据倒数的定义即可求解，掌握倒数的定义是解题的关键． 【详解】解：的倒数为， 故选：C． 2．（2025·山东菏泽·二模）的倒数的相反数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了倒数及相反数的定义，熟知倒数及相反数的定义是解决问题的关键. 根据倒数及相反数的定义解答即可. 【详解】∵的倒数是，相反数是， ∴的倒数的相反数是， 故选C ． 3．（2025·安徽·模拟预测）如图，数轴上点A所表示的数的倒数是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了实数与数轴，倒数的定义，根据数轴可知点A表示的数为2，再根据倒数的定义求解即可． 【详解】解：点A表示的数为2， 则2的倒数为， 故选：C 4．（24-25六年级上·上海·期中）的倒数是 ． 【答案】 【分析】根据倒数的定义解答即可． 本题考查了倒数，熟练掌握定义是解题的就． 【详解】解：的倒数是． 故答案为：． 5．（2024七年级上·全国·专题练习）求下列各数的倒数： 【答案】，，，，2 【分析】本题考查了倒数的知识、绝对值和相反数，解题的关键是掌握倒数的定义． 根据乘积为1的两个数互为倒数，可以求出各个数的倒数． 【详解】解：2的倒数为． ∵，∴的倒数为． ∵，∴的倒数为． ∵，∴的倒数为． ∵，∴的倒数为2． 考点一： 有理数乘法法则的辨析 1．（24-25七年级上·山东聊城·阶段练习）下列说法正确的有（　　） ①一个数同相乘，仍得这个数；②一个数同相乘，得这个数的相反数；③互为相反数的两数之积一定是负数；④两个数相乘得，则这两个数都为． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题主要考查有理数的乘法，相反数的定义，根据有理数的乘法运算法则，相反数的定义等知识进行判定即可求解． 【详解】解：①一个数同相乘，仍得这个数，正确； ②一个数同相乘，得这个数的相反数，正确； ③互为相反数的两数之积一定是负数或，错误； ④两个数的乘积为，则这两个数至少有一个为，错误． 故选：B． 2．（24-25七年级上·全国·课后作业）下列结论中，错误的是（    ） A．若两数相乘的积为正，则这两数同号 B．若两数相乘的积为负，则这两数异号 C．几个不为的数相乘，积的符号由负因数的个数决定 D．若三数相乘的积为负，则这三数都为负 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的乘法法则的应用，根据有理数的乘法法则判断即可，熟练掌握有理数的乘法运算法则是解题的关键． 【详解】．根据同号两数相乘，积为正，因此本选项正确； ．异号两数相乘得负，故本选项正确； ．几个不等于的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，故本选项正确； ．可以是一个负数，两个正数，故本选项错误； 故选：． 3．（24-25七年级上·浙江金华·期末）有2025个有理数相乘，结果为0，那么这2025个数（   ） A．都为0 B．只有一个0 C．有两个数互为相反数 D．至少有一个0 【答案】D 【分析】本题考查有理数的乘法，根据任意有理数乘以0，都得0，得到乘积为0，则乘数中必有一个数为0，即可得出结果． 【详解】解：∵2025个有理数相乘，结果为0， ∴这2025个数至少有一个0； 故选D． 有理数乘法运算法则：1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘. 2）0与任何数相乘都得0. 1．（24-25六年级上·上海·期中）下列说法中，正确的个数是（    ） ①个有理数相乘，当因数有奇数个时，积为负；②个有理数相乘，当正因数有奇数个时，积为负； ③个有理数相乘，当负因数有奇数个时，积为负；④个有理数相乘，当积为负时，负因数有奇数个； ⑤个有理数相乘，当积为正时，正因数有奇数个；⑥个有理数相乘，当积为正时，正因数有偶数个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的乘法法则，解题的关键是熟练使用运算法则进行计算．根据几个不为0的数相乘，积的符号由负因数的个数确定，负因数有奇数个，积为负；负因数有偶数个，积为正． 【详解】解：①个有理数相乘，当其中一个因数为0时，不管正因数有多少个，积为0，故原说法错误； ②个有理数相乘，当其中一个因数为0时，不管负因数有多少个，积为0，故原说法错误； ③个不为0有理数相乘，当负因数有奇数个时，积为负，故原说法错误； ④个有理数相乘，当积为负时，则负因数一定有奇数个，故原说正确； ⑤个有理数相乘，当积为正时，不管正因数有多少个，则负因数一定有偶数个，故原说错误； ⑥个有理数相乘，当积为正时，不管正因数有多少个，则负因数一定有偶数个，故原说错误； 故正确的有④共1个， 故选：A． 2．（24-25七年级上·山东临沂·阶段练习）下列结论中，错误的是（　　） A．若两数相乘的积为正，则这两数同号 B．若两数相乘的积为负，则这两数异号 C．几个不为的数相乘，积的符号由负因数的个数决定D．若五数相乘的积为负，则这五数都为负 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的乘法法则的应用．根据有理数的乘法法则判断即可． 【详解】解：A、若两数相乘的积为正，则这两数同号，故本选项不符合题意； B、若两数相乘的积为负，则这两数异号，故本选项不符合题意； C、几个不等于的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，故本选项不符合题意； D、若五数相乘的积为负，则负因数的个数有1个或3个或5个，故本选项符合题意； 故选：D． 3．（24-25七年级上·黑龙江·单元测试）下列说法中，正确的有 ．（请填写序号） ①一个数同相乘，仍得这个数；②一个数同相乘，得这个数的相反数；③一个数同相乘，仍得． 【答案】①②③ 【分析】本题考查有理数的乘法，熟练掌握有理数的乘法法则是解题的关键； 根据有理数的乘法法则计算即可求解； 【详解】解：①一个数同相乘，仍得这个数，该结论正确； ②一个数同相乘，得这个数的相反数，该结论正确； ③一个数同相乘，仍得，该结论正确； 故答案为：①②③ 考点二： 利用有理数乘法辨别符号 1．（24-25七年级上·甘肃定西·阶段练习）下列式子中，积的符号为负的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查有理数的乘法运算，根据有理数乘法的运算法则，积的符号由因数中负号的个数决定，奇负偶正，进行判断即可． 【详解】解：A、有2个负号，积的符号为正，不符合题意； B、有4个负号，积的符号为正，不符合题意； C、积为0，不符合题意； D、有3个负号，积的符号为负，符合题意； 故选D． 2．（24-25七年级上·四川泸州·阶段练习）4个数相乘，积为负，那么其中负因数的个数是（    ）． A．1 B．2 C．3 D．1或3 【答案】D 【分析】此题考查了有理数的乘法．多个有理数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．根据有理数的乘法法则可得答案． 【详解】解：∵4个数相乘，积为负， ∴其中负因数的个数为1或3， 故选：D． 几个不是0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定．当负因数的个数是偶数时，积是正数；当负因数的个数为奇数时，积是负数.（口诀：奇负偶正，绝对值相乘.） 1．（24-25六年级上·上海青浦·期中）若，且，那么（  ） A．都是正数 B．都是负数 C．一正一负，且负数的绝对值较大 D．一正一负，且正数的绝对值较大 【答案】B 【分析】本题考查有理数的运算，根据，可判断a，b同号，再根据，可得都是负数． 【详解】解：， a，b同号， 又， 都是负数， 故选B． 2．（2025·河北唐山·二模）如图，数轴的单位长度为1，点表示的数为，点表示的数为，且，则与的积为（   ） A．0 B．4 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了数轴和绝对值的几何意义，数形结合是解题的关键． 根据数轴和可知，解出的值，相乘即可． 【详解】解：∵点表示的数为，点表示的数为，且， 根据图可知， 解得， ∴， 故选：C． 考点三： 有理数乘法的运算 1．（2025·吉林长春·一模）若的运算结果为正数，则□内的数字可以为（   ） A． B．1 C．0 D．1 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数的乘法计算．根据有理数的乘法计算法则，分别计算出与四个选项中的数的乘积即可得到答案． 【详解】解：，，，， 四个算式的运算结果中，只有A选项是正数， 故选：A． 2．（2024七年级上·全国·专题练习）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查有理数的乘法，根据有理数的乘法法则，逐一进行判断即可． 【详解】解：，故选项A计算错误； ，故选项B计算错误； ，故选项C计算错误； ，故选项D计算正确； 故选D． 3．（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）已知，则 ． 【答案】7 【分析】本题主要考查了新定义运算，有理数的混合运算，解题的关键是理解新定义运算法则． 根据新定义运算法则进行逐步计算即可． 【详解】解：根据新定义运算法则可得， 故答案为：7． 1.观察因数中有没有0.若有0.则积为____________. 2.如果因数都不等于0，那么应先确定积的符号. 3.计算积的绝对值时，通常把小数化为____________，带分数化为____________，便于约分. 答案：1.0 3.分数 假分数 1．（2025·天津滨海新·模拟预测）计算的结果等于（   ） A． B．1 C． D．11 【答案】C 【分析】本题考查有理数的运算，先算乘法，再算加法，进行计算即可． 【详解】解：原式； 故选C． 2．（2024七年级上·全国·专题练习）从，，，，五个数中任取两个数相乘，若所得积中的最大值为，最小值为，则的值为(   ) A．0 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的乘除法，先确认积的最大值和最小值，然后代入计算即可． 【详解】最大值为，最小值为， ∴的值为， 故选：C． 3．（2025七年级下·全国·专题练习）计算． (1)； (2)； (3)； 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查有理数的乘除混合运算．掌握各运算法则是解题关键． （1）任何数与0相乘都等于0，所以结果为0． （2）利用乘法交换律先算与的积，再乘． （3）将带分数化为假分数后与相乘并约分计算． 【详解】（1）原式 （2）原式 （3）原式 考点四： 有理数乘法的运算律 1．（24-25七年级上·贵州贵阳·期末）某同学在计算时，将原式变形为进行简便运算，这样做的依据是（   ） A．乘法交换律 B．乘法对加法的分配律 C．乘法结合律 D．乘法交换律和乘法结合律 【答案】D 【分析】本题考查了乘法运算律，根据原式变形为，利用了乘法的交换律和结合律，据此即可作答． 【详解】解：∵， ∴运算依据是乘法交换律和结合律， 故选：D． 2．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期末）若，则可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数乘法的运算律，熟练掌握有理数乘法的分配律是解题的关键．根据有理数乘法的分配律进行计算即可求解． 【详解】解： ， 代入，原式． 可以表示为． 故选：B． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据有理数的乘法法则计算可判断A、C、D三项，根据乘法分配律计算可判断B项，进而可得答案． 本题考查了有理数的乘法运算，属于基础题型，熟练掌握运算法则是解题关键． 【详解】解：A．，故错误， B．，故错误， C．,故错误， D. ，故正确． 故选D． 4．（24-25八年级下·辽宁丹东·期中）计算： ． 【答案】2025 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，简便计算的方法，逆用乘法的分配律将原式变为，再进行计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：2025． 乘法运算律运用的“四点说明” 1.运用交换律时，在交换因数的位置时，要连同____________一起交换； 2.运用分配律时，要用括号外的因数乘括号内的____________因数，不能有遗漏； 3.逆用:有时可以把运算律“逆用”， 4.推广:三个以上的有理数相乘，可以任意交换因数的位置，或者把其中的几个因数相乘，如 答案：1.符号 2.每一个 1．（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）分配律用式子可表达为．下列四个计算：①；②；③；④．适合运用分配律来简化计算的算式有（   ）． A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【答案】D 【分析】本题考查乘法分配律，熟练掌握乘法分配律是解题的关键． 根据乘法分配律逐个判定即可 【详解】解：①，故①适合运用分配律来简化计算； ②不适合运用分配律来简化计算； ③，故③适合运用分配律来简化计算； ④，故④适合运用分配律来简化计算； 故选：D． 2．（2024七年级下·浙江杭州·竞赛）比较分数与的大小，结果是（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了有理数大小比较，由于分数的分母和分子都是较大数，通分化为同分母比较困难， 利用，，将它们转化为同分子比较，即可得出结论． 【详解】解：∵， ， ∵， ∴ ∴ 故选A． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）用简便方法计算： （1） ； （2） ． 【答案】 5 【分析】本题主要考查了有理数乘法运算律， 对于（1），根据乘法分配律计算； 对于（2），逆用乘法分配律计算即可． 【详解】解：（1）原式． （2）原式． 考点五： 利用有理数乘法运算律进行简便运算 1．（24-25七年级上·江苏扬州·期末）计算，最合理的方法是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的乘法运算．根据有理数乘法法则进行作答即可． 【详解】解：计算最简便的方法是， 故选：C． 2．（24-25七年级上·全国·期末）用简便方法计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了有理数的混合运算．熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据乘法交换律和结合律计算即可； （2）根据乘法分配律计算即可； （3）根据逆向使用乘法分配律计算即可； （4）先变形，然后根据乘法分配律计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 3．（2025·河北唐山·二模）利用运算律计算有时可以更简便． 例1：； 例2：． 请你参考示例，用运算律简便计算． (1)； (2)． 【答案】(1)0 (2)2 【分析】本题主要考查了有理数的简便运算，灵活运用加法运算律和乘法运算律成为解题的关键． （1）直接运用有理数的加法结合律进行简便运算即可； （2）运用加法交换律和乘法结合律进行简便运算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． (1)几个数相乘，常将其中积为整数的两个数调整到一起，或将互为倒数的两个数调整到一起； (2)小数与分数相乘，一般先将小数化成分数后再乘； (3)带分数应先化为假分数； (4)几个分数相乘，先约分再相乘； (5) 对于形如的算式，若a，b，c是分数，且k可以分别和a，b，c的分母约分得到整数，则用分配律可以简化运算.注意相乘时括号里的每个数都要带上它前面的符号，且不要漏乘括号中的任何一项. 1．（23-24七年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）计算： ． 【答案】 【分析】本题主要查了有理数的混合运算．把原式变形为，即可求解． 【详解】解： 故答案为： 2．（24-25七年级上·全国·课后作业）运用运算律进行简便运算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查有理数的乘法，灵活运用乘法运算律是解答本题的关键． （1）原式运用乘法结合律进行简算即可得到答案； （2）原式运用乘法分配律计算乘法后，再进行加减运算即可版答案； （3）原式逆用乘法分配律进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 考点六： 有理数乘法的实际应用 1．（2025八年级下·全国·专题练习）宾馆有100间相同的客房，经过一段时间的经营，发现客房定价与客房的入住率之间有下表所示的关系，按照这个关系，要使客房的收入最高，每间客房的定价应为（　　） 每间房价（元） 入住率 A．300元 B．280元 C．260元 D．220元 【答案】C 【分析】本题考查了有理数乘法的应用，正确理解收入等于房价乘以数量乘以入住率是解题的关键． 分别计算不同房价对应的收入，比较即可． 【详解】解：当每间客房的定价为300元时，客房的收入为（元）； 当每间客房的定价为280元时，客房的收入为（元）； 当每间客房的定价为260元时，客房的收入为（元）； 当每间客房的定价为220元时，客房的收入为（元）. 所以当每间客房的定价为260元时，客房的收入最高． 故选：C． 2．（2025·云南玉溪·二模）在篮球比赛中，如果甲队进5个三分球，记作分，那么甲队失2个三分球记作（   ） A．分 B．分 C．分 D．分 【答案】A 【分析】本题考查正负数的实际应用，根据进球为正，则失球为负，进行判断即可． 【详解】解：如果甲队进5个三分球，记作分，那么甲队失2个三分球记作分； 故选A． 1．（24-25九年级上·贵州遵义·期末）某市的地铁站牌每一个站名上方都有一个对应数字，将上、下站名所对应数字相减的差的绝对值作为乘车路程，根据乘车路程所在区段计算票价．乘车路程区段与对应票价（部分）如下表： 乘车路程区段 0~5 6~10 11~15 16~25 … 票价/元 1 2 3.2 4.6 … 另外，学生乘车实行5折优惠，若一名学生上车时站名对应数字是4，下车时站名对应数字是23，则该学生乘车的费用为 元． 【答案】 【分析】本题考查有理数运算的实际应用，利用乘法的费用等于票价乘以路程，列出算式进行求解即可． 【详解】解：， （元）； 故答案为： 2．（24-25七年级上·河南南阳·期中）一根长为2025厘米的塑料管，第1次截去全长的，第2次截去剩下的，第3次截去剩下的，如此下去，直到第2024次截去剩下的，则最后剩下的塑料管长为 厘米． 【答案】1 【分析】本题主要考查有理数的运算，解题的关键是理解题意；由题意得，然后问题可求解． 【详解】解：由题意得： （厘米）； 故答案为1． 3．（2025·河北唐山·二模）某校举行跳远能力竞赛，比赛场地从起跳线由近及远共三个得分区域，每个区域对应的分数如图所示，每位选手跳远5次，5次成绩的和为该选手的最终成绩，两位参赛选手的跳远情况如下图. (1)求嘉嘉5次跳远的最终成绩. (2)若淇淇的最终成绩为3分，求x的值. 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了有理数乘法的应用及一元一次方程的应用，正确理解题意，准确计算是解题的关键. （1）根据题意把5次跳远的成绩相加即可求解； （2）根据题意列出关于的方程，解方程即可求解. 【详解】（1）解：， 故嘉嘉五次跳远的最终成绩为分. （2）解：由题意，得， 解得， 即的值为3. 考点七： 求一个数的倒数 1．（2025·江西新余·模拟预测）下列各组数中，互为倒数的是（   ） A．2和 B．3和 C．1和 D．和 【答案】A 【分析】本题考查了倒数的概念，熟练掌握乘积为1的两数互为倒数，是解题的关键． 根据倒数的定义分别进行解答，即可得出答案． 【详解】解：A. 2和互为倒数，符合题意； B、C、D选项均不符合倒数的定义，故不符合题意； 故选：A． 2．（2025·山东烟台·二模）已知的倒数是，则的相反数是（    ） A．2025 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了求一个数的倒数和相反数．根据乘积为1的两个数互为倒数，只有符号不相同的两个数是相反数进行求解即可． 【详解】解：∵的倒数是， ∴， ∵的相反数是， ∴的相反数是， 故选：C． 1.真分数和假分数:交换它们的____________、____________就得到该数的倒数； 2.整数:先看成是分母为___________的分数，再颠倒分子、分母的位置； 3.小数化为___________，带分数化为___________，再求变形后的分数的倒数. 答案：1.分子 分母 2.1 3. 分数 假分数 1．（2025·山东青岛·二模）实数，，，在数轴上对应点的位置如图所示，若实数，互为相反数，则倒数最大的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了数轴，倒数，相反数，根据数轴上点的位置及，互为相反数，得，然后根据倒数的定义解答即可． 【详解】解：∵由数轴商店的位置可得， 又∵实数，互为相反数， ∴原点位于，之间， 即， ∴的倒数最大， 故选：B． 2．（2025·四川资阳·模拟预测）若， 比较四个数的大小，并用“”连接 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的倒数、相反数和有理数的大小比较，正确得出，，是解题的关键； 根据可得，，，即可得解． 【详解】解：因为， 所以，，， 所以； 故答案为：． 考点八：相反数，绝对值，倒数的综合应用 1．（24-25九年级下·江西抚州·期中）如果，互为相反数，，互为倒数，那么 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了代数式求值、相反数、倒数等知识点，掌握整体代入法是解题的关键． 利用相反数，倒数的定义求出的值，然后代入原式求解即可． 【详解】解：根据题意得：， ∴． 故答案为：2． 2．（24-25七年级上·四川成都·期末）已知互为相反数，互为倒数，e的绝对值是0，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查相反数、倒数的性质，注意互为相反数的两数和为0，互为倒数的两数积为1．由互为相反数，互为倒数可求得，代入计算即可． 【详解】解：由互为相反数，互为倒数，e的绝对值是0可求得 故答案为： 3．（24-25七年级上·四川自贡·阶段练习）若将的相反数记为a，绝对值记为b，倒数记为c，则的值为 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查相反数，绝对值以及倒数，熟练掌握相反数，绝对值以及倒数的定义是解题的关键．根据题意得到的值进行计算即可得到答案． 【详解】解：由题意可得：， ， 故答案为：． 4．（24-25七年级上·贵州安顺·期中）若a，b互为相反数，c，d互为倒数，m的绝对值为3． (1)a，b的关系可表示为_________，c，d的关系可表示为_________，m的值为_________； (2)求的值． 【答案】(1)，， (2)3或 【分析】本题考查有理数的混合运算． （1）根据互为相反数，倒数，绝对值的性质求解即可； （2）分两种情形代入求解． 【详解】（1）解：∵a，b互为相反数，c，d互为倒数，m的绝对值为3， ∴，，， 故答案为：，，； （2）解：当时，； 当时，． ∴的值为3或． 1）求一个数的相反数，只需改变这个数前面的符号即可； 2）当绝对值符号里的数的正负不能确定时，要分类讨论，即将其分成大于0，小于0，等于0这三类讨论. 3）求一个数的倒数，不改变这个数的符号. 1．（24-25七年级上·山东济宁·期中）若、互为相反数，、互为倒数，的绝对值为，是最大的负整数，则的值为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了绝对值、相反数、倒数、代数式求值，灵活利用相关定义是解题的关键．由题意可知，，，，然后代入所求式子计算即可． 【详解】解：∵、互为相反数，、互为倒数，的绝对值是，是最大的负整数， ∴，，，， ∴当时，； 当时，． 综上所述，的值为或． 故答案为：或． 2．（2025六年级下·全国·专题练习）若a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值为2． (1)直接写出、、m的值； (2)求的值． 【答案】(1)，， (2)或 【分析】本题考查了有理数的混合运算，涉及到相反数、倒数、绝对值的知识，正确把握相关定义是解题关键． （1）直接利用互为相反数以及互为倒数和绝对值的定义分别分析得出答案； （2）利用（1）中所求，代入得出答案． 【详解】（1）解：∵a，b互为相反数，c，d互为倒数，m的绝对值为2， ∴，，； （2）解：由（1）可知，，； 当时， ； 当时， ； 综上所述，的值为或． 3．（24-25七年级上·广东中山·期中）已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值是2，且．求的值． 【答案】当时，原式，当时，原式 【分析】本题考查了相反数和倒数的性质，绝对值，非负性，已知式子的值求代数式的值，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先由a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值是2，得或，再结合，得出，然后代入进行计算，即可作答． 【详解】解：∵a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值是2， ∴或， ∵， ∴， ∴ ∴， 则， 当时，， 当时，， 综上，当时，原式，当时，原式． 考点九： 有理数乘法运算中的新定义问题 1．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）定义运算：，如．则：（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算．根据已知条件中的新定义进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ， 故选：B． 2．（24-25七年级上·广东中山·期中）对于有理数a，b，定义新运算：，则的值为（   ） A．12 B． C． D．48 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数的乘法运算，直接根据新定义计算，即可求解，熟练掌握根据新定义进行计算是解决此题的关键． 【详解】∵， ∴， 故选：B． 3．（24-25七年级上·河北邯郸·期中）对于有理数，定义运算“@”：． (1)求的值； (2)分别求与的值，并判断运算“@”是否满足结合律． 【答案】(1) (2)，，不满足结合律 【分析】（1）利用新定义得到，然后进行有理数的混合运算； （2）利用新定义计算出，，则可判定运算“@”不满足结合律． 本题考查了有理数混合运算：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化． 【详解】（1）解： ； （2）解：，，即； 而，，即， 所以，所以运算“@”不满足结合律． 4．（23-24七年级上·江苏盐城·期中）在学习完《有理数》后，小奇对有理数运算产生了浓厚的兴趣．借助有理数的运算，定义了一种新运算“⊕”，规则如下：．（a、b不相等） (1) ； (2)求的值； (3)试以和说明，新定义的运算“⊕”满足交换律吗？ 【答案】(1)0 (2) (3)不满足，理由见解析 【分析】本题考查了新定义下的有理数的乘法、加法运算，乘法运算律．理解运算的运算法则是解题的关键． （1）根据，计算求解即可； （2），根据，计算求解即可； （3）由，，，判断作答即可． 【详解】（1）解：由题意知，， 故答案为：0； （2）解：由题意知，， ∴， ∴的值为； （3）解：不满足，理由如下； ， ， ∵， ∴新定义的运算“⊕”不满足交换律． 1．（24-25七年级上·全国·期中）定义一种新运算：．例如．则的值等于（  ） A．15 B．16 C． D．12 【答案】B 【分析】本题考查有理数的混合运算．根据题目中的新定义，可以将值代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：B． 2．（24-25六年级上·上海普陀·期中）定义：对于数对，如果，那么称为“和积等数对”．如：因为，，所以，都是“和积等数对”．下列数对中，是“和积等数对”的是 ．（填序号） ①；②；③． 【答案】①③/③① 【分析】本题考查了“和积等数对”，有理数的加法和乘法，理解“和积等数对”的定义是解题的关键． 根据“和积等数对”的定义计算即可． 【详解】解∶ ①，是“和积等数对”； ②，不是“和积等数对”； ③，是“和积等数对”； 故答案为：①③． 3．（24-25七年级上·陕西汉中·期中）定义一种新运算：，如，则的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查有理数的运算，根据新定义列出算式进行计算即可． 【详解】解：； 故答案为：． 4．（24-25七年级下·河南郑州·阶段练习）定义一种新的运算“？” (1)仔细观察，归纳“？”运算法则：两数进行“？”运算时，_____________；特别的，0与任何数进行“？”运算，或任何数与0进行“？”运算，结果为_____________； (2)计算：； (3)已知，求的值 【答案】(1)同号相乘、异号相除；0． (2)3 (3) 【分析】本题主要考查有理数的运算，整式运算等知识点，解审清题意、归纳出“？”运算法则是解答本题的关键． （1）根据题目中的例子可以总结出“？”运算的运算法则即可； （2）根据（1）中的结论求解即可； （3）根据（1）中的结论先分别运算M和N，然后再进行整式的加减运算即可． 【详解】（1）解：由题意可得，“？”运算法则：两数进行“？”运算时，同号相乘，异号相除； 0与任何数进行“？”运算，或任何数与0进行“？”运算，结果为0． 故答案为：同号相乘、异号相除，0． （2）解： （3）解：∵， ∴，，， ， ， ∴ 考点十： 有理数乘法运算中的规律问题 1．（2024七年级上·全国·专题练习）符号“f”表示一种运算，运算规律如下：，，，，…，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查有理数的乘法运算，解题的关键理解新定义运算；根据新定义运算进行求解即可 【详解】解：根据题中的新定义得： 原式． 故选D． 2．（23-24七年级上·黑龙江牡丹江·期中）杨辉三角，又称贾宪三角形，帕斯卡三角形（1261）一书中用如图的三角形解释二项式和的乘方规律，比欧洲的相同发现要早三百多年．    按此规律排列，第七行第四个数的相反数与第八行第三个数的积是（　　） A． B．700 C． D．420 【答案】C 【分析】根据题意确定第七行和第八行的数字，再根据有理数的乘法的法则计算，本题主要考查了数字类变化规律、相反数的定义、有理数乘法，熟练掌握“只有符号不同的两个数互为相反数”以及有理数乘方的运算法则是解此题的关键． 【详解】第六行的数字为1，5，10，10，5，1； 第七行的数字为1，6，15，20，15，6，1； 第八行的数字为1，7，21，35，35，21，7，1； 可知第七行的第四个数是20，其相反数为，第八行的第三个数是21， 根据题意，得， 故选：C． 3．（21-22七年级上·浙江丽水·期中）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：． 解答下列问题： （1）按以上规律写出第5个等式： ； （2） ． 【答案】 【分析】（1）根据题目所给规律，直接可写出第5个等式． （2）利用题目的规律，进行等式变形，提取，括号里面的前一项和后一项数可以抵消掉，最后求得结果． 【详解】 （1）解：由上述规律可知： 故答案为：． （2）解：原式= ． 故答案为：． 【点睛】本题主要是考查了数字的规律以及利用规律进行计算，通过题目所给条件，找到对应的规律，并应用规律进行求解，是解决本题的关键． 1．（22-23七年级上·河北唐山·期中）填在如图各正方形中的四个数之间都有一定的规律，按此规律得出、的值分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】分析正方形中的四个数，找出四个数之间的联系，即可求解． 【详解】分析正方形中的四个数： 第一个正方形中左上角的数为，右上角的数为，左下角的数为，右下角的数为； 第二个正方形中左上角的数为，右上角的数为，左下角的数为，右下角的数为； 第三个正方形中左上角的数为，右上角的数为，左下角的数为，右下角的数为； 第四个正方形中左上角的数为，右上角的数为，左下角的数为，右下角的数为； 即，． 故选A． 【点睛】本题主要考查有理数的混合运算，找出各个数之间的联系何规律是解题的关键． 2．（24-25七年级上·河北保定·期中）观察下面的等式，… (1)以此规律，第5个式子是________________；第n个式子是________________； (2)把这四个等式两边分别相加，得，类比此方法，计算： ①； ②直接写出结果：________； (3)根据以上探索经验，计算：． 【答案】(1)； (2)①；② (3) 【分析】本题考查的是裂项相消的计算技巧的应用，有理数的四则混合运算，理解题意是解本题的关键； （1）观察已知等式再归纳即可解答； （2）①结合（1）中规律把已知等式变形即可计算结果；②结合①的过程进行计算即可得结果； （3）把运算先化为具有（2）中运算式的特点，再根据以上规律将原式变形即可计算． 【详解】（1）解：∵， 归纳可得：第5个式子是；第n个式子是； 故答案为：； （2）解：① ； ② ， 故答案为：； （3）解： ） ． 1．（24-25七年级上·河北沧州·期末）若有理数a、b、c在数轴上对应的点的位置如图所示，下列式子正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查数轴，绝对值的概念，关键是掌握绝对值的意义：正有理数的绝对值是它本身；负有理数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零．由绝对值，数轴的概念，结合有理数的运算，即可解决问题； 【详解】解：∵，， A、，故A不符合题意； B、，故B不符合题意； C、，故C不符合题意； D、，故D符合题意； 故选：D． 2．（24-25七年级上·贵州毕节·期末）可以表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了乘法的意义，根据题意表示成乘法的形式，即可求解． 【详解】解：可以表示为， 故选：C． 3．（24-25七年级上·山东济宁·期末）现规定一种运算：．则计算结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了新定义运算，有理数加减法和乘法的混合运算，正确理解新定义运算的含义是解题的关键．根据，选择的情况计算即可． 【详解】解：， ． 故选：B． 4．（24-25七年级上·山东日照·期末）若一个数的倒数是，则这个数的相反数是（    ） A．2024 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了倒数和相反数的概念，解题的关键是理解倒数和相反数的定义，并根据定义进行计算． 先根据倒数的定义求出这个数，再根据相反数的定义求出该数的相反数． 【详解】已知一个数的倒数是，则这个数是2024，所以这个数的相反数是． 故选：B． 5．（24-25七年级上·福建泉州·期末）下列运算中用的运算律是（  ） ． A．乘法结合律及分配律 B．乘法交换律及分配律 C．乘法交换律及乘法结合律 D．分配律及加法结合律 【答案】A 【分析】本题考查有理数的混合运算，乘法运算律，熟练掌握乘法运算律是解题的关键． 根据题干中的解题过程，结合乘法运算律即可得出答案． 【详解】解： （乘法结合律） （乘法分配律） ∴运用的运算律为乘法结合律及分配律， 故选：A． 6．（24-25七年级上·河南漯河·期末）已知三个数的积为负数，如果一个数为正数，那么另外两个数（   ） A．一定都是正数 B．一定都是负数 C．一定异号 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的乘法，熟记“同号得正，异号得负”是解题的关键． 【详解】解：∵三个数的积为负数，一个数为正数， ∴另两个数异号， 故选：C． 7．（24-25七年级上·福建泉州·期末）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查的是有理数的乘法运算律，利用乘法分配律计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 8．（24-25七年级下·黑龙江绥化·开学考试）的倒数是 ，与它的倒数的乘积是 ． 【答案】 1 【分析】根据倒数的定义解答即可． 本题考查了倒数的定义，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：的倒数是，与它的倒数的乘积是1． 故答案为：，1． 9．（24-25七年级上·辽宁盘锦·期末）如图，按照如下程序进行计算，当输入的时，输出的的值为 ． 【答案】 【分析】题考查了程序流程图与有理数计算，涉及有理数的乘法与加法法则，根据程序计算，列式为进行计算即可求解． 【详解】解：依题意， 故答案为：． 10．（24-25七年级上·四川巴中·期末）市运会上有11支足球队参赛，每两支球队间只打一场，队队见面，则一共要安排 场比赛． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算的应用，根据题意可得比赛场次为，即可求解． 【详解】解：依题意，场， 故答案为：． 11．（24-25七年级上·河南许昌·期末）如图是有理数a，b在数轴上的对应点的位置，则 0（选填“>”“<”“=”）．    【答案】 【分析】本题考查了有理数的大小比较．根据数轴上，靠近右边数大于其左边的数，得出，根据有理数的乘法即可得出答案． 【详解】解：由图可得，， ∴， 故答案为：． 12．（24-25七年级上·全国·假期作业）计算下列各题，能简算的要简算： (1)； (2)； (3)； (4)用简便方法计算：． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了有理数的四则运算，准确运用运算律计算是解题关键． （1 ） 仔细观察本题，通过调整，逆用乘法分配律，即可简算结果； （2 ）逆用乘法分配律，即可简算结果； （3 ）先去括号、假分数转成真分数计算，再观察题目，逆用乘法分配律，即可简算结果； （4 ）先把原式变形为，再利用乘法分配律求解即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解： =2010000； （3）解： ； （4）解: ． 13．（24-25七年级上·河北保定·期中）嘉琪家的猕猴桃成熟了．嘉琪的爸爸将自家猕猴桃挂在网上销售，原计划是每天卖，但是实际销售受到各方面因素的影响，与原计划有出入．下表是嘉琪记录的某周销售情况（超出计划记为正，不足记为负）． 星期 一 二 三 四 五 六 日 与原计划的差值/kg (1)根据表中的数据，这周猕猴桃一共卖了多少？ (2)根据表中的数据，这周猕猴桃销售最多的一天比销售最少的一天多销售了多少？ (3)若嘉琪家的猕猴桃以5元的价格出售，嘉琪的爸爸通过计算，得出猕猴桃的成本为2元，则这一周嘉琪家卖出的猕猴桃能赚多少元？ 【答案】(1) (2) (3)4218元 【分析】本题考查了有理数混合运算的应用，根据题意列出算式是解答本题的关键． （1）用7天的计划销量加上7天的出入量即可； （2）用表格中最大的数减去最小的数即可； （3）用销售量乘以每千克的利润即可． 【详解】（1）解：． 答：这周猕猴桃一共卖了． （2）解：． 答：这周销售量最多的一天比销售量最少的一天多销售． （3）解：（元）． 答：这一周嘉琪家卖出的猕猴桃能赚4218元． 14．（24-25七年级上·福建莆田·期末）如图是莆田市15路公交汽车的部分站点示意图，某天小王参加公交志愿者服务活动，从拱辰街道办事处出发，最后在站结束服务活动．如果规定市图书馆方向为正，七步村方向为负，小王当天的乘车站数按先后顺序依次如下（单位：站）： ，，，，，，， (1)请通过计算说明站是哪一站？ (2)若相邻两站之间的平均距离是千米，求这次小王志愿服务期间乘坐公交车行进的总路程是多少千米？ 【答案】(1)A站是市移动公司 (2)千米 【分析】本题主要考查了有理数加法的实际应用，有理数四则混合计算的实际应用，正负数的实际应用： （1）把所给乘车记录相加，若结果为正，则A站在拱辰街道办事处正方向，若结果为负，则A站在拱辰街道办事处负方向，若结果为0，则A站为拱辰街道办事处，据此可得答案； （2）先求出小王乘车的总站数，再乘以即可得到答案． 【详解】（1）解： ， ∴A站在拱辰街道办事处正方向，且距离拱辰街道办事处3站，即A站是市移动公司； （2）解： （千米）， ∴次小王志愿服务期间乘坐公交车行进的总路程是千米． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$