第07讲 有理数的减法（思维导图+新课指引+2知识点+11考点+过关检测）-2025年小升初数学无忧衔接（通用版）

第07讲 有理数的减法 1.掌握有理数的减法法则，会将有理数的减法法则进行简单的计算； 2.会进行有理数的加减混合运算并解决一些实际问题； 3.理解省略加号和括号的有理数加减混合运算的算式，并会计算； 4.在学习、探究有理数减法法则的过程中，体会“化归”的数学思想，强化应用意思. 【新课指引】 【思考】如图是2024年扬州市广陵区连续的5天的天气情况，12月 日最高温度和最低温度的差距最大． 知识点一 有理数的减法 文字描述 用字母表示 有理数的减法法则 减去一个数，等于加上这个数的相反数. 差的符号与被减数，减数间的关系 较大的数 - 较小的数 = 正数 较小的数 - 较大的数 = 负数 相等的两个数的差为0 【明概念】1）有理数的减法，对于小数减大数的运算不能像小学阶段学习的那样直接减，而是要把它转化为加法，借助加法进行计算，其关键是要正确地将减法转化为加法，再按有理数的加法法则和运算律计算. 2）将减法转化为加法时，要注意“两变一不变”.（“两变”指：减数变相反数，减法变加号；“一不变”指：被减数不变） 例如： 3）减法法则的运用，体现了数学中最重要的转化思想，即将未知问题转化为已知问题. 1．（2025·安徽滁州·三模）计算： ． 2．（2025·湖北武汉·模拟预测）武汉市年的最高温度是月日的，最低温度是月日的．则年武汉市全年温度的最大相差 ． 3．（2025·陕西宝鸡·二模）如图，在数轴上，点A表示的数为2，若将点A向左移动6个长度单位后，这时点A表示的数是 ． 5．（24-25七年级上·广东广州·期中）计算： ；    ； ； ；        ；      ； ； ； ； ． 知识点二 有理数的加减混合运算 1）由于有理数的减法法则能将减法转化为加法，所以可以把加减混合运算统一为省略加号和括号的几个正数或负数的和的形式. 【补充】 ①如：（-2）+（+3）+（-5）+（+4）可转化为-2+3-5+4，它的意义是-2，+3，-5，+4的和，可以读作“负2，正3，负5，正4的和”或读作“负2加3减5加4” ②在有理数运算中，“+”“-”有两种含义：a.表示运算符号:加号与减号；b.表示运算性质：正号与负号； ③性质符号中的“+”号可以省略，但运算符号中的必须保留. 2）有理数的加减混合运算统一成加法运算时，可适当选用加法运算律，使运算简便. 有理数的加减法混合运算的运算步骤： 1）将减法转化成加法运算； 2）把算式写成省略加号和括号的和的形式； 3）按有理数加法法则计算，并适当运用加法交换律和结合律简化运算. 1．（23-24七年级上·湖北武汉·期中）将写成省略括号和加号的形式是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·浙江温州·期中）若用符号表示a，b两数中的较大数，用符号表示a，b两数中的较小数，则的值为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·河南南阳·期末）计算时，画线的步骤中使用了（   ）． A．乘法交换律 B．乘法结合律 C．加法交换律 D．加法结合律 4．（24-25七年级上·安徽阜阳·阶段练习）某地气温开始是，一会儿升高，再过一会儿又下降，这时气温是 ． 5．（24-25七年级上·山东济南·阶段练习）计算： (1)；(2)． 考点一： 有理数的减法概念理解 1．（24-25七年级上·广西贺州·期中）下面几种说法，正确的是（   ） A．两个数的和一定比这两个数中任何一个都大 B．两个数的差一定比这两个数中任何一个都小 C．两个数的和是负数，这两个数一定都是负数 D．两个数的差是负数，被减数一定小于减数 2．（23-24七年级上·天津滨海新·期中）若，，，则下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25六年级上·山东烟台·阶段练习）下列说法中，正确的是（ ） ①两个有理数之和大于其中任意一个加数；②减去一个负数，差一定大于被减数； ③一个数的绝对值一定是正数；     ④若，则． A．①③ B．②④ C．①② D．②③④ 有理数的减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数. 1．（2024七年级·全国·竞赛）是有理数，如果，那么对于结论：（1）一定不是负数；（2）可能是负数，其中（    ）． A．只有（1）正确 B．只有（2）正确 C．（1）、（2）都正确 D．（1）、（2）都不正确 2．（24-25七年级上·山西太原·期中）数学课上，同学们对有理数的运算特点展开讨论，善思小组提出如下观点，其中一定正确的是（   ） A．两个数相加，和大于每一个加数 B．一个数减一个正数，结果比原数小 C．一个数乘2，结果比原数大 D．两数乘积为正数，这两个数同为正数 3．（22-23七年级上·广东·单元测试）给出下列判断：①在数轴上，原点两旁的两个点所表示的数都是互为相反数；②任何正数必定大于它的倒数；③零减去一个数得这个数的相反数；④没有最小的有理数但有绝对值最小的数，其中判断正确的是（    ） A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 考点二： 有理数的减法运算 1．（2025·江苏扬州·二模）算式，若使计算结果为；则中的运算符号是（    ） A． B． C． D． 2．（2025七年级下·全国·专题练习）下列计算错误的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）如图，数轴上点A表示数是0，则点B表示的数是 ． 4．（24-25七年级上·新疆和田·阶段练习）计算 (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8)(9) 将减法转化为加法，根据加法法则计算即可 1．（2025·河北保定·三模）下列计算中，可以用来验证成立的是(    ) A． B． C． D． 2．（2025·河北唐山·二模）若数轴上点A，B分别表示数为，2，则A，B两点之间的距离可表示为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25六年级上·上海·期中）已知，数轴上点表示的数是，存在一点使得点到点的距离为，则点表示的数为 ． 4．（24-25七年级下·广东揭阳·开学考试）如图所示是计算机程序计算，当输入的数为5时，则输出的结果 考点三： 省略加法和括号的形式 1．（24-25七年级上·山西太原·阶段练习）为计算简便，把写成省略括号和加号的和的形式，正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（22-23七年级上·广西桂林·阶段练习）把写成省略括号的和的形式，下列变形正确的是（  ） A．原式 B．原式 C．原式 D．原式 由于有理数的减法法则能将减法转化为加法，所以可以把加减混合运算统一为省略加号和括号的几个正数或负数的和的形式. 1．（22-23七年级上·湖南益阳·期末）下列省略加号和括号的形式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（21-22七年级上·全国·课后作业）将下列式子写成省略括号的和的形式，并说出它的两种读法： （1）； （2）． 考点四： 有理数的加减混合运算 1．（24-25七年级下·甘肃兰州·期中）一个点从数轴的原点开始，先向左移动3个单位，再向右移动2个单位，这时该点所表示的数是（         ） A． B．2 C． D． 2．（24-25七年级上·湖南郴州·阶段练习）规定图形表示运算，图形表示运算，则＋= ．（直接写出答案） 3．（24-25七年级上·广东汕头·阶段练习）计算： 4．（24-25七年级上·福建漳州·阶段练习）计算： (1) ； (2)． (3)，(4) 有理数加减混合运算的步骤 1. 把混合运算中的减法转化为__________________(一般此步骤可省略)； 2. 省略算式中的加号、括号； 3. 运用___________律，_______________律. 4. 按加法法则计算出最后结果. 1．（2025·湖北武汉·三模）黑板上有按规律排列的20个整数：1，，3，，5，，7，，，19，．对它们进行如下操作：划掉其中三个数，并将这三个数之和的个位数字添写在黑板上，其符号与划掉的这三个数之和的符号相同，然后连同所添写的数一起，重复上述操作，直到剩下两个数为止．如：某次划掉的数是5，，，则添写数字．经过9次操作后剩下两个数，若一个数是，则另一个数是（    ） A．6或4 B．2或8 C．或6 D．2或 2．（24-25七年级上·山东济宁·阶段练习）数轴上一点A向右移动4个单位长度到达点B，若点B再向左移动2个单位长度到达点C，若点C表示的数是，则点A表示的数是（　　） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·内蒙古赤峰·期末）有人建议向火星发射如图①的图案，它叫幻方，其中9个格中的点数分别是1，2，3，4，5，6，7，8，9．幻方的排列规律是：每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的点数的和都相等．如果火星上有智能生物，那么他们可以从这种“数学语言”了解到地球上也有智能生物（人）．请你类比图①推算出图②幻方中处所对应的数字是（   ） A．21 B．22 C．23 D．24 考点五： 有理数的加减中的简便运算 1．（24-25七年级上·河北唐山·阶段练习）甲、乙两人用简便方法进行计算的过程如下所示，下列判断正确的是（    ） 甲： 乙： A．甲、乙都正确 B．甲、乙都不正确 C．只有甲正确 D．只有乙正确 2．（2024七年级上·全国·专题练习）计算的结果为（　　） A．0 B． C． D． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）在计算时，中可以填入的使该题能用简便方法进行计算的数值为（   ） A． B． C． D． 4．（2024七年级上·北京·专题练习）利用公式计算： （1） ；（直接写答案） （2） ．（直接写答案） 运用运算律简化计算常见方法:①相反数结合--抵消；②同号结合--符号易确定；③同分母结合法--无需通分(分母倍数的也可考虑)；④凑整数；⑤同行结合法--分数拆分为整数和分数。 1．（2024七年级上·全国·专题练习）计算时运算律用得恰当的是（　　） A． B． C． D． 2．（2024七年级上·全国·专题练习）学习情境·过程性纠错请指出下面计算错在哪一步（   ） ①②③④ A．① B．② C．③ D．④ 3．（2023七年级上·四川眉山·竞赛）式子的结果不可能是（    ） A．奇数 B．正数 C．偶数 D．整数 4．（24-25七年级上·山东济南·阶段练习）计算 (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 考点六： 根据有理数的加减法法则判断不等关系 1．（24-25七年级上·江苏南通·期末）有理数，，在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·福建漳州·期末）若有理数，，，满足，则以下四个结论中，正确的是（   ） A．一定是正数 B．可能是负数 C．一定是负数 D．一定是正数 3．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）若，则a、b在数轴上表示的点的位置可能是（　　） A． B． C． D． 1．（23-24七年级上·贵州贵阳·期中）如下图，点A、B、C、D四个点在数轴上表示的数分别为a、b、c、d，则下列结论中，错误的是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·福建泉州·期中）如图，有理数m，n在数轴上对应的点分别为M，N，则的结果可能是（　　）    A． B．1 C．2 D．3 3．（24-25七年级上·云南曲靖·期中）数m与数n在数轴上的位置如图所示，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24七年级上·江苏常州·阶段练习）如图，将数轴上与6两点间的线段六等分，这五个等分点所对应数依次为，，，，，则下列不正确的是（   ） A． B． C． D． 考点七： 有理数的加减混合运算的实际应用 1．（2025·辽宁铁岭·二模）嘉嘉一周内在某支付平台上有4次交易：①购物支出950 元；②售卖个人物品存进500元；③购物支出800元；④绩效奖励存进1200元．则这一周嘉嘉在平台上的余额增加了（    ） A．1700元 B．900元 C．400元 D．元 2．（24-25六年级上·上海松江·期末）某公交车出发时，车上有人，经过个站点，乘客上下车情况（上车为正，下车为负）：一号站点“，”；二号站点“，”；三号站点“，”．那么此时车上有 人． 3．（2025七年级下·全国·专题练习）三（1）班同学参加学校运动会，参加田赛的有26人，参加径赛的有30人，以上这两项都参加的有12人，这两项都没参加的有4人．全班学生有多少人？ 4．（2025七年级下·全国·专题练习）小王在网店上销售文具，计划每天销售100千克，但实际每天销售量与计划销售量相比有增减，超过计划量记为正，不足计划量记为负，下表是小王第一周文具的销售情况： 星期 一 二 三 四 五 六 日 文具销售超过或不足计划量情况（单位：千克） (1)小王第一周销售文具最多的一天比最少的一天多销售多少千克？ (2)小王第一周实际销售文具的总量是多少千克？ (3)若文具售价为8元/千克，包装及快递费为3元/千克，则小王这一周文具销售收入共多少元？ 1．（24-25七年级上·广东深圳·期末）某公司推出无人驾驶载人飞行器，可搭载乘客或物资．在某次运输模拟测试中，出发时搭载货物重量为，记录装载卸载货物的数据如下：，，，，，（正数表示新装载的货物重量，负数表示卸载的货物重量，单位：）．模拟测试结束时，无人驾驶飞行器上装载的货物总重量是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·陕西榆林·期中）下表是某河段今年雨季一周内水位变化情况（正号表示水位比前一天上升，负号表示水位比前一天下降），那么水位最高是（   ） 星期 一 二 三 四 五 六 日 水位变化/米 A．周二 B．周三 C．周四 D．周五 3．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）某公司去年每季度盈亏情况如下：“+”表示盈利，“-”表示亏损，单位：万元．第一季度；第二季度；第三季度，第四季度，则这个公司去年一年共 （填“盈利”或“亏损”） 万元． 4．（2025·河北邢台·二模）出租车往返于A，B两个城市，A市在B市的正北方向，在A，B两城市沿线有若干个村庄．某天出租车从A市出发前往B市，再从B市返回A市，规定向北行驶为正．出租车当天行驶的记录如下（单位：千米）：，，，，，，，． (1)通过计算，说明出租车离A市多远？ (2)在A，B两个城市之间距A市6千米处有一个加油站，该出租车经过加油站________次； (3)若出租车每行驶1千米耗油0.07升，则该出租车一天共耗油多少升？ 考点八： 有理数加减法中的规律问题 1．（24-25七年级上·贵州·阶段练习）一只跳蚤在数轴上从0开始沿数轴左右跳动，第1次向右跳1个单位长度，第2次向左跳2个单位长度，第3次向右跳3个单位长度，第4次向左跳4个单位长度……依此规律跳下去，当它第2025次落下时，落点处对应的数为（   ） A． B． C．1013 D．2025 2．（23-24六年级下·黑龙江绥化·期中）观察图，找出规律根据规律（   ） A． B． C． D． 3．（24-25六年级上·山东东营·期中）【观察思考】观察下列等式 ， 将以上三个等式两边分别相加得： ． 【探索规律】 （1）猜想并写出：______． （2）直接写出下列各式的计算结果： ______； 【迁移运用】 （3）． 1．（23-24七年级上·浙江金华·期末）观察前三个图形，利用得到的计算规律，得到第四个图形的计算结果为（    ） A． B． C．5 D．9 2．（23-24七年级上·四川绵阳·期中）如图，把一个面积为1的正方形等分成两个面积为的长方形，接着又把一个面积为的长方形等分成两个面积为的正方形，再把其中的一个正方形等分成两个面积为的长方形，如此进行下去，试利用图形揭示的规律计算：（    ）    A． B． C．1 D． 3．（21-22七年级上·广西防城港·期中）观察下列各式：，，，，按照上面的规律，计算式子的值为（　　） A． B． C． D． 4．（24-25七年级上·河南驻马店·期中）【信息提取】 在有些情况下，不需要计算出结果也能把绝对值符号去掉．例如：，，，． 【初步体验】 （1）根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式（不要计算出结果）： ①________； ②________． 【拓广应用】 （2）计算：． 考点九： 有理数的加减运算与相反数、绝对值等的综合应用 1．（23-24七年级上·陕西安康·期中）若是最小的正整数，是绝对值最小的数，是相反数等于本身的数，则 ． 2．（2023七年级上·全国·专题练习）若，，且的绝对值与相反数相等，则的值是（ ） A． B． C．或 D．2或6 3．（20-21七年级上·山东菏泽·阶段练习）设X是最小的正整数，Y是最大的负整数，Z是绝对值最小的数，W是相反数等于他本身的数，则X-Y＋Z-W＝ ． 4．（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）已知a与b互为相反数，c是绝对值最小的有理数，求的值． 66．（23-24七年级上·河南驻马店·阶段练习）请根据下面的对话解答下列问题． 小明 小红 我不小心把老师留的作业题弄丢了，只记得式子是． 我告诉你：“a的相反数是3，b的绝对值是7，c与b的和是－8．” 这时数学老师笑着补充说：“a和b的符号相同哦！” (1)______，______，______． (2)求的值． 1．（23-24七年级上·河北邢台·阶段练习）已知a的相反数是它本身，b是最大的负整数，则a，b的绝对值的和比a，b的和（    ） A．大1 B．小1 C．大2 D．小2 2．（24-25七年级上·陕西咸阳·阶段练习）若x的绝对值是11，y的绝对值是14，z的绝对值是20，且的绝对值是，的绝对值是，则（   ） A．23 B．45或23 C．45 D．-45或-23 3．（2024七年级上·全国·专题练习）已知式子，其中a的相反数是，的绝对值是，与b的和是．求： (1)，的值； (2)的值． 考点十： 有理数加减运算中的新定义问题 1．（2024七年级上·云南·专题练习）对于有理数a、b，定义一种新运算※，规定：，则等于（   ） A．4 B． C． D． 2．（23-24七年级上·福建龙岩·期中）对有理数、，定义运算*如下：，如：.试求的值.（    ） A． B． C．6 D．8 3．（24-25七年级上·北京石景山·期末）规定一种新运算：，例如：， （1）请计算： ． （2）请判断该新运算是否满足交换律： （是或否）． 1．（23-24七年级上·河北保定·阶段练习）定义一种新运算，对于任意有理数a和b，规定，如：，则的值为（    ） A．2 B．4 C． D．10 2．（2024七年级上·全国·专题练习）对于任意有理数m，n，定义新运算：，则 ． 3．（22-23七年级上·江苏泰州·阶段练习）对于有理数、定义一种新运算“”，规定，则的值是(　　) A．6 B．5 C．4 D．2 4．（23-24七年级上·全国·课堂例题）中考新趋势·新定义 规定一种新运算“*”，即，则 ． 考点十一： 由有理数的加减运算解决数轴上两点间的距离问题 1．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）根据如图给出的数轴，解答下面的问题： (1)点表示的数是______．点表示的数是______； (2)观察数轴，与点的距离为3的点表示的数是______； (3)若将数轴折叠，使得点A与表示的点重合． ①点与数______表示的点重合； ②若数轴上两点（点在点的左侧）之间的距离为1002，且P、Q两点经过折叠后互相重合，则点表示的数是______，点表示的数是______． 2．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，、是数轴上的两点，点表示的数是，且每相邻刻度间的线段表示一个单位长度． (1)在数轴中画出原点的位置（用“0”表示），点表示的数为 ； (2)点先向左运动3个单位长度，再向右运动5个单位长度到达点． ①求点表示的数； ②若点是线段的中点，则点表示的数为 ． 1．（24-25七年级上·山西太原·阶段练习）距离能够产生美．唐代著名文学家韩愈曾赋诗：“天街小雨润如酥，草色遥看近却无．”距离，也是数学、天文学、物理学中的热门话题．唯有对宇宙距离进行测量，人类才能掌握世界尺度．    绝对值的定义：一个数在数轴上对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值． 例如：是指数轴上表示的点到原点的距离，是指数轴上表示的点到原点的距离． 概念延伸 数轴上表示和的两点之间的距离是 ， ； 数轴上表示和的两点之间的距离是 ， ； 数轴上表示和的两点之间的距离是 ， ． 归纳总结 点，在数轴上分别表示有理数，，，两点之间的距离表示为，则 ． 拓展应用 数轴上表示数和的两点和之间的距离为，则的最小值是 ，此时的值为 ； 数轴上表示数和的两点和之间的距离为 ，如果，那么的值为 ． 式子有最小值吗？若有，请求出它的最小值． 2．（24-25七年级上·河北邯郸·阶段练习）如图，在一条不完整的数轴上，从左到右的点A，B，C把数轴分成①②③④四部分，点A，B，C对应的数分别是a，b，c，已知，． (1)请直接写出原点在第几部分； (2)已知点A与点C之间的距离为5，点B与点C之间的距离是3． ①若，求的值； ②若a，c互为相反数，求的值； (3)设原点为O，若点C表示数3，数轴上一点D表示的数为d，在这三点中，当相邻两点的距离相等时，直接写出d的值． 一、单选题 1．（24-25七年级上·河南省直辖县级单位·期末）我国古代数学著作《九章算术》的“方程”一章，给出的名为“正负术”的算法：“同名相除，异名相益，正无入负之，负无入正之；其异名相除，同名相益，正无入正之，负无入负之”，“正负术”实际上符合现代有理数的加减运算法则，这是世界数学史上第一个有理数的加减运算法则，是我国古代数学的一个辉煌成就，其中“异名相益”即异号两数相减时，括号前为被减数的符号，括号内为被减数的绝对值与减数的绝对值之和，下列能体现“异名相益”这句话含义的算式是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）下列算式中，运算结果为正数的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·山东日照·期末）已知，，且，那么等于（    ） A．2或8 B．或 C．或8 D．2或 4．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）若，则a、b在数轴上表示的点的位置可能是（　　） A． B． C． D． 5．（24-25七年级上·河北保定·期末）有理数a、b、c在数轴上的对应点的位置如图所示，若a与c互为相反数，则下列说法正确的是（   ） A．a、b、c三个数中绝对值最大的数是c B． C． D． 6．（24-25七年级上·福建厦门·期末）某校模型社团制作建筑模型，为确保稳定性，模型高度的精度要求如下： 设计高度h（单位：cm） 允许偏差（单位：mm） 社团成员对编号为甲，乙，丙，丁的四个模型进行测量，获得了以下数据： 模型编号 甲 乙 丙 丁 设计高度h（单位：cm） 30.0 32.0 74.0 95.0 实际高度（单位：cm） 29.6 32.0 72.7 97.1 其中不符合精度要求的是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 7．（24-25七年级上·河北保定·期末）嘉嘉在计算有规律的算式时，不小心把一个运算符号写错了（“”错写成“”或“”错写成“”），结果算成了66． 甲说：如果没有写错符号，该算式； 乙说：嘉嘉一定是把“18”前面的符号写错了； 丙说：嘉嘉一定是把“20”前面的符号写错了； 丁说：算式． 下面对甲、乙、丙、丁四种说法判断正确的有（   ） A．只有甲和乙正确 B．只有乙和丁正确 C．甲、丙、丁正确 D．只有丙正确 8．（24-25七年级上·陕西榆林·期末）潜水艇停在海平面以下处，先上浮，又下潜，则此时潜水艇的位置是在（   ） A．海平面以下850m处 B．海平面以下m处 C．海平面以上850m处 D．海平面以上800m处 9．（24-25七年级上·内蒙古赤峰·期末）有人建议向火星发射如图①的图案，它叫幻方，其中9个格中的点数分别是1，2，3，4，5，6，7，8，9．幻方的排列规律是：每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的点数的和都相等．如果火星上有智能生物，那么他们可以从这种“数学语言”了解到地球上也有智能生物（人）．请你类比图①推算出图②幻方中处所对应的数字是（   ） A．21 B．22 C．23 D．24 10．（24-25七年级上·浙江温州·期中）若用符号表示a，b两数中的较大数，用符号表示a，b两数中的较小数，则的值为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 11．（24-25七年级上·山西朔州·期末）计算：的结果是 ． 12．（24-25七年级上·河南郑州·期末）小明用下图1直观解释，类似的，请你写出可用图直观解释的算式 ． 13．（24-25七年级上·湖南株洲·期末）如图，天平的两个盘内分别盛有和的糖，问应从盘A中拿出 糖放到盘B中，才能使两者所盛糖的质量相等？ 14．（24-25七年级上·湖南娄底·期末）小明在电脑中设置了一个有理数得运算程序：输入数a，加*键，再输入数b，就进行的运算，则 ． 15．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）计算 . 16．（24-25七年级上·山西吕梁·期末）某文具店在某一星期的销售中，盈亏情况如下表所示（记盈余为正，单位：元） 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日 合计 310 287.3 288.7 768 表中星期日的盈亏数被墨水污染了，请你算出星期日的盈亏数为 ． 17．（24-25七年级上·安徽安庆·期末）“九宫图”传说是远古时代洛河中的一个神龟背上的图案，故称“龟背图”．观察图①，我们可以归纳出“九宫图”中各数字之间的关系，即每行、每列及对角线上的3个数之和都相等．那么在图②中， ． 三、解答题 18．（24-25七年级上·广东广州·期中）有筐白菜，以每筐千克为标准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，称后的纪录如下： 回答下列问题： (1)这筐白菜中最接近标准重量的这筐白菜重______千克； (2)这筐白菜中，最重的与最轻的相差______千克； (3)这筐白菜一共重多少千克？ 19．（24-25七年级上·广东广州·期中）以下计算题需要有计算过程． (1) (2) (3) (4) 20．（21-22七年级上·河南平顶山·期中）学习了绝对值的概念后，我们可以认为：一个非负数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，也即当时，，当时，，根据以上阅读完成下面的问题： (1) ； (2) ； (3)如果有理数，则 ； (4)请利用你探究的结论计算下面式子： (5)如图，数轴上有a、b、c三点，化简． 21．（19-20七年级上·河南南阳·期末）七年级二班的几位同学正在一起讨论一个关于数轴上的点表示数的题目： 甲说：“这条数轴上的两个点、表示的数都是绝对值是4的数”； 乙说：“点表示负整数，点表示正整数，且这两个数的差是3”； 丙说：“点表示的数的相反数是它本身”． （1）请你根据以上三位同学的发言，画出一条数轴，并描出、、、、五个不同的点． （2）求这个五个点表示的数的和． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第07讲 有理数的减法 1.掌握有理数的减法法则，会将有理数的减法法则进行简单的计算； 2.会进行有理数的加减混合运算并解决一些实际问题； 3.理解省略加号和括号的有理数加减混合运算的算式，并会计算； 4.在学习、探究有理数减法法则的过程中，体会“化归”的数学思想，强化应用意思. 【新课指引】 【思考】如图是2024年扬州市广陵区连续的5天的天气情况，12月 日最高温度和最低温度的差距最大． 知识点一 有理数的减法 文字描述 用字母表示 有理数的减法法则 减去一个数，等于加上这个数的相反数. 差的符号与被减数，减数间的关系 较大的数 - 较小的数 = 正数 较小的数 - 较大的数 = 负数 相等的两个数的差为0 【明概念】1）有理数的减法，对于小数减大数的运算不能像小学阶段学习的那样直接减，而是要把它转化为加法，借助加法进行计算，其关键是要正确地将减法转化为加法，再按有理数的加法法则和运算律计算. 2）将减法转化为加法时，要注意“两变一不变”.（“两变”指：减数变相反数，减法变加号；“一不变”指：被减数不变） 例如： 3）减法法则的运用，体现了数学中最重要的转化思想，即将未知问题转化为已知问题. 1．（2025·安徽滁州·三模）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数减法，求一个数的绝对值，先化简绝对值，然后再算有理数减法即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 2．（2025·湖北武汉·模拟预测）武汉市年的最高温度是月日的，最低温度是月日的．则年武汉市全年温度的最大相差 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的减法法则，熟练掌握有理数的减法法则是解答本题的关键． 用最高温度减去最低温度即可． 【详解】解：， 故答案为：． 3．（2025·陕西宝鸡·二模）如图，在数轴上，点A表示的数为2，若将点A向左移动6个长度单位后，这时点A表示的数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了数轴上点的平移，熟练掌握规律是解题的关键．根据向左平移减，解答即可． 【详解】解：根据题意，得点A表示的数为2，将点A向左移动6个长度单位后得新数为． 故答案为：． 5．（24-25七年级上·广东广州·期中）计算： ；    ； ； ；        ；      ； ； ； ； ． 【答案】；；；；；；；；； 【分析】本题考查了有理数的加减运算，运用有理数的加法法则和减法法则进行计算即可求解． 【详解】解：； ； ； ； ； ； ； ； ； ， 故答案为：；；；；；；；；；． 知识点二 有理数的加减混合运算 1）由于有理数的减法法则能将减法转化为加法，所以可以把加减混合运算统一为省略加号和括号的几个正数或负数的和的形式. 【补充】 ①如：（-2）+（+3）+（-5）+（+4）可转化为-2+3-5+4，它的意义是-2，+3，-5，+4的和，可以读作“负2，正3，负5，正4的和”或读作“负2加3减5加4” ②在有理数运算中，“+”“-”有两种含义：a.表示运算符号:加号与减号；b.表示运算性质：正号与负号； ③性质符号中的“+”号可以省略，但运算符号中的必须保留. 2）有理数的加减混合运算统一成加法运算时，可适当选用加法运算律，使运算简便. 有理数的加减法混合运算的运算步骤： 1）将减法转化成加法运算； 2）把算式写成省略加号和括号的和的形式； 3）按有理数加法法则计算，并适当运用加法交换律和结合律简化运算. 1．（23-24七年级上·湖北武汉·期中）将写成省略括号和加号的形式是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了去括号法则：括号前面是“+”号，把括号和它前面的“+”号去掉，括号里各项都不改变正负号；括号前面是“−”号，把括号和它前面的“−”号去掉，括号里各项都改变正负号．根据减去一个数等于加上这个数的相反数，变为连加，加号和括号省略，即可． 【详解】解：， 故选：B． 2．（24-25七年级上·浙江温州·期中）若用符号表示a，b两数中的较大数，用符号表示a，b两数中的较小数，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的大小比较、有理数的加法．根据题意结合，，列式计算即可得解． 【详解】解：∵用符号表示，两数中的较大数，用符号表示，两数中的较小数，且，， ∴， 故选：B． 3．（24-25七年级上·河南南阳·期末）计算时，画线的步骤中使用了（   ）． A．乘法交换律 B．乘法结合律 C．加法交换律 D．加法结合律 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，根据算式的特点解答即可． 【详解】解： ， ∴画线的步骤中使用了加法结合律． 故选D． 4．（24-25七年级上·安徽阜阳·阶段练习）某地气温开始是，一会儿升高，再过一会儿又下降，这时气温是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查有理数的加减运算，理解题意，掌握有理数的加减运算是关键． 根据题意，运用有理数的加减运算法则计算即可． 【详解】解：开始是，一会儿升高，再过一会儿又下降， ∴， ∴这时气温是， 故答案为：． 5．（24-25七年级上·山东济南·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的加减混合运算及加法运算律，熟练掌握有理数的加减混合运算法则和加法运算律是解题的关键． （1）利用有理数的加减混合运算法则计算即可； （2）利用有理数的加减混合运算法则计算，注意利用加法运算律． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 考点一： 有理数的减法概念理解 1．（24-25七年级上·广西贺州·期中）下面几种说法，正确的是（   ） A．两个数的和一定比这两个数中任何一个都大 B．两个数的差一定比这两个数中任何一个都小 C．两个数的和是负数，这两个数一定都是负数 D．两个数的差是负数，被减数一定小于减数 【答案】D 【分析】本题考查有理数的加减运算，根据加减运算法则，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、两个数的和不一定比这两个数中任何一个都大，比如任何数加上0都等于本身，故原说法错误，不符合题意； B、两个数的差不一定比这两个数中任何一个都小，比如任何数减去0都等于本身，故原说法错误，不符合题意； C、两个数的和是负数，这两个数不一定都是负数，比如一个负数和0的和还是负数，故原说法错误，不符合题意； D、两个数的差是负数，被减数一定小于减数，故原说法正确，符合题意； 故选D． 2．（23-24七年级上·天津滨海新·期中）若，，，则下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知条件，逐一判断式子的符号即可． 【详解】解：∵，，， ∴，，，； 故错误的是B选项； 故选B． 【点睛】本题考查判断式子的符号，熟练掌握有理数的加减乘除中的符号法则，是解题的关键． 3．（24-25六年级上·山东烟台·阶段练习）下列说法中，正确的是（ ） ①两个有理数之和大于其中任意一个加数；②减去一个负数，差一定大于被减数； ③一个数的绝对值一定是正数；     ④若，则． A．①③ B．②④ C．①② D．②③④ 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的加法和减法，绝对值，掌握加减运算法则和绝对值的意义是解题关键．举反例，可判断①；根据减去一个负数等于加上这个负数的相反数（正数），可判断②；根据的绝对值是，可判断③；根据，可判断④． 【详解】解：①，此时两个有理数之和小于其中任意一个加数，说法错误，不符合题意； ②减去一个负数等于加上这个负数的相反数（正数），差一定大于被减数，说法正确，符合题意； ③的绝对值是，不是正数，说法错误，不符合题意； ④若，则，因此，说法正确，符合题意； 正确的是②④， 故选：B． 有理数的减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数. 1．（2024七年级·全国·竞赛）是有理数，如果，那么对于结论：（1）一定不是负数；（2）可能是负数，其中（    ）． A．只有（1）正确 B．只有（2）正确 C．（1）、（2）都正确 D．（1）、（2）都不正确 【答案】C 【分析】本题主要考查了绝对值的性质，有理数的减法．根据绝对值的性质，分两种情况讨论，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，即， 当时，， 当时，， ∴一定不是负数；可能是负数． 故选：C． 2．（24-25七年级上·山西太原·期中）数学课上，同学们对有理数的运算特点展开讨论，善思小组提出如下观点，其中一定正确的是（   ） A．两个数相加，和大于每一个加数 B．一个数减一个正数，结果比原数小 C．一个数乘2，结果比原数大 D．两数乘积为正数，这两个数同为正数 【答案】B 【分析】根据有理数的加法、减法以及乘法法则依次判断即可． 本题主要考查了有理数的加法、减法以及乘法的符号法则．熟练掌握法则是解题的关键． 【详解】解：A、两个正数相加，和大于每一个加数，故A选项错误，不符合题意； B、一个数减一个正数，结果比原数小，正确，符合题意； C、一个正数数乘2，结果比原数大，故C选项错误，不符合题意； D、两数乘积为正数，这两个数同为正数或同为负数，故D选项错误，不符合题意； 故选：B． 3．（22-23七年级上·广东·单元测试）给出下列判断：①在数轴上，原点两旁的两个点所表示的数都是互为相反数；②任何正数必定大于它的倒数；③零减去一个数得这个数的相反数；④没有最小的有理数但有绝对值最小的数，其中判断正确的是（    ） A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 【答案】C 【分析】根据相反数的性质，倒数的定义以及有理数的减法运算法则对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：①应为在数轴上，原点两旁的到原点距离相等的两个点所表示的数都是互为相反数，故本选项错误； ②任何正数必定大于它的倒数，错误，例如1等于它的倒数1； ③零减去一个数得这个数的相反数，正确； ④没有最小的有理数但有绝对值最小的数，正确； 综上所述，判断正确的是③④． 故选：C． 【点睛】本题考查了有理数的减法，相反数的性质，以及倒数的性质和有理数的性质，是基础题，熟记概念与性质是解题的关键． 考点二： 有理数的减法运算 1．（2025·江苏扬州·二模）算式，若使计算结果为；则中的运算符号是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数的四则运算，分别填入加减乘除符号，计算出对应式子的结果即可得到答案． 【详解】解：， 故选：B． 2．（2025七年级下·全国·专题练习）下列计算错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了化简绝对值，有理数的加减法，先化简绝对值，然后根据有理数的加减法则计算，最后逐项判断即可． 【详解】解：A．，故原计算正确，但不符合题意； B．，故原计算正确，但不符合题意； C．，故原计算正确，但不符合题意； D．，故原计算错误，符合题意； 故选：D． 3．（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）如图，数轴上点A表示数是0，则点B表示的数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了数轴，熟知数轴上的点所表示数的特征是解题的关键．根据所给图形，结合数轴上的点所表示数的特征即可解决问题． 【详解】解：由所给数轴可知， 因为， 所以点B在点A左边，且与点A相距 因为点A表示的数是0， 所以点B表示的数是． 故答案为：． 4．（24-25七年级上·新疆和田·阶段练习）计算 (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8)(9) 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)； (9)． 【分析】本题考查了有理数的加减法，掌握有理数的加减法法则是解题的关键． （1）根据有理数的减法则运算即可； （2）根据有理数的减法则运算即可； （3）根据有理数的减法则运算即可； （4）根据有理数的减法则运算即可； （5）根据有理数的减法则运算即可； （6）根据有理数的减法则运算即可； （7）根据有理数的减法则运算即可； （8）根据有理数的减法则运算即可； （9）根据有理数的加法则运算即可； 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：； （5）解：； （6）解：； （7）解：； （8）解：； （9）解：； 将减法转化为加法，根据加法法则计算即可 1．（2025·河北保定·三模）下列计算中，可以用来验证成立的是(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的加法、减法、乘法，除法运算，根据被减数、减数、差三者之间的关系，即可求解． 【详解】解：∵ ∴， 可以用来验证成立的是 故选：A． 2．（2025·河北唐山·二模）若数轴上点A，B分别表示数为，2，则A，B两点之间的距离可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是数轴上两点间的距离，即数轴上两点之间的距离等于两点所表示数的差的绝对值，或用右边的点表示的数减去左边的点表示的数． 【详解】解：∵数轴上点A，B分别表示数为，2， ∴A，B两点之间的距离可表示为， 故选：C． 3．（24-25六年级上·上海·期中）已知，数轴上点表示的数是，存在一点使得点到点的距离为，则点表示的数为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了数轴上两点距离计算，有理数的加减法计算，点C在点A左边时用点A表示的数减去点A和点C的距离，点C在点A右边时用点A表示的数加上点A和点C的距离，据此可得答案． 【详解】解：当点C在点A左边时，则点C表示的数为， 当点C在点A左边时，则点C表示的数为， 综上所述，点C表示的数为或， 故答案为：或． 4．（24-25七年级下·广东揭阳·开学考试）如图所示是计算机程序计算，当输入的数为5时，则输出的结果 【答案】 【分析】本题主要考查有理数的加减混合运算与程序图的运用，理解程序图的计算，掌握有理数的加减混合运算是解题的关键． 根据所给的程序图代入相应的值进行运算即可． 【详解】解：由计算机程序可知，当输入的数为5时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 考点三： 省略加法和括号的形式 1．（24-25七年级上·山西太原·阶段练习）为计算简便，把写成省略括号和加号的和的形式，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数的加法，括号前是“”，可以直接去掉，不变号，括号前是“”，去掉“”和括号，括号内变号，即可解答． 【详解】原式． 故选：A． 2．（22-23七年级上·广西桂林·阶段练习）把写成省略括号的和的形式，下列变形正确的是（  ） A．原式 B．原式 C．原式 D．原式 【答案】C 【分析】根据绝对值和正负数的定义以及性质进行转换即可． 【详解】 故答案为：C． 【点睛】本题考查了去绝对值和括号的问题，掌握绝对值和正负数的定义以及性质是解题的关键． 由于有理数的减法法则能将减法转化为加法，所以可以把加减混合运算统一为省略加号和括号的几个正数或负数的和的形式. 1．（22-23七年级上·湖南益阳·期末）下列省略加号和括号的形式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据有理数的加法法则判断即可. 【详解】解：. 故选：B. 【点睛】本题考查了有理数的加法，属于基本题目，掌握有理数的加法法则是关键. 2．（21-22七年级上·全国·课后作业）将下列式子写成省略括号的和的形式，并说出它的两种读法： （1）； （2）． 【答案】（1），读作：正3.7，正2.5，负3.5，负2.4的和；3.7加2.5减3.5减2.4 ；（2），负，负，负，正，正，正4的和；负减减加加； 【分析】（1）利用减法法则把减法改为加法，省略加号即可，按运算顺序与算式的意义读出即可； （2）利用减法法则把减法改为加法，省略加号即可，按运算顺序与算式的意义读出即可． 【详解】解：（1）原式； 读作：正3.7，正2.5，负3.5，负2.4的和；3.7加2.5减3.5减2.4 （2）原式． 读作：负，负，负，正，正，正4的和； 负减减加加； 【点睛】此题考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键 考点四： 有理数的加减混合运算 1．（24-25七年级下·甘肃兰州·期中）一个点从数轴的原点开始，先向左移动3个单位，再向右移动2个单位，这时该点所表示的数是（         ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了数轴三要素，即原点、正方向、单位长度，解题的关键是熟练掌握原点左边的点表示的数为负数，原点右边的点表示的数为正数，左边的点表示的数比右边的点表示的数小．根据数轴表示数的方法，一个点从数轴的原点开始，先向左移动3个单位，再向右移动2个单位，这时该点所表示的数为，然后计算即可． 【详解】解：， 该点所表示的数为， 故选：A． 2．（24-25七年级上·湖南郴州·阶段练习）规定图形表示运算，图形表示运算，则＋= ．（直接写出答案） 【答案】0 【分析】此题考查了有理数的加减混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．根据题中的新定义化简，计算即可得到结果． 【详解】解：， 故答案为：0． 3．（24-25七年级上·广东汕头·阶段练习）计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的加减混合运算，首先根据减去一个数等于加上这个数的相反数，把加减混合运算转化为有理数的加法运算，把小数转化为分数，再利用加法交换律和结合律，把分母相同的数结合在一起，可得：原式，利用有理数的加法法则进行计算即可． 【详解】解： 4．（24-25七年级上·福建漳州·阶段练习）计算： (1) ； (2)． (3)， (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了有理数的加减法计算，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）根据有理数加法计算法则求解即可； （2）根据有理数减法计算法则求解即可； （3）根据有理数加减法计算法则求解即可； （4）根据有理数加减法计算法则求解即可． 【详解】（1）解；； （2）解：； （3）解： ； （4）解： ． 有理数加减混合运算的步骤 1. 把混合运算中的减法转化为__________________(一般此步骤可省略)； 2. 省略算式中的加号、括号； 3. 运用___________律，_______________律. 4. 按加法法则计算出最后结果. 答案：1.加法3.交换结合 1．（2025·湖北武汉·三模）黑板上有按规律排列的20个整数：1，，3，，5，，7，，，19，．对它们进行如下操作：划掉其中三个数，并将这三个数之和的个位数字添写在黑板上，其符号与划掉的这三个数之和的符号相同，然后连同所添写的数一起，重复上述操作，直到剩下两个数为止．如：某次划掉的数是5，，，则添写数字．经过9次操作后剩下两个数，若一个数是，则另一个数是（    ） A．6或4 B．2或8 C．或6 D．2或 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数加减运算，数字规律探索，解题的关键是理解题意，找出数字运算规律．根据题意可分析出这20数的和的个位数为0，经过9次操作后剩下两个数，一个是，另一个一定是一个个位数，据此即可确定答案． 【详解】解：， 这20数的和的个位数为0， 经过9次操作后剩下两个数，一个是，另一个一定是一个个位数， 或， 另一个数是或6． 故选：C． 2．（24-25七年级上·山东济宁·阶段练习）数轴上一点A向右移动4个单位长度到达点B，若点B再向左移动2个单位长度到达点C，若点C表示的数是，则点A表示的数是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了数轴上的动点问题，有理数的加减混合运算，正确列出算式是解答本题的关键．根据左加右减的规律列式求解即可． 【详解】解：由题得，故A正确，C、B、D错误； 故选：A． 3．（24-25七年级上·内蒙古赤峰·期末）有人建议向火星发射如图①的图案，它叫幻方，其中9个格中的点数分别是1，2，3，4，5，6，7，8，9．幻方的排列规律是：每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的点数的和都相等．如果火星上有智能生物，那么他们可以从这种“数学语言”了解到地球上也有智能生物（人）．请你类比图①推算出图②幻方中处所对应的数字是（   ） A．21 B．22 C．23 D．24 【答案】A 【分析】此题考查了有理数的运算，根据题意求出右下角的数，进而求解即可． 【详解】∵幻方的排列规律是：每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的点数的和都相等，且等于中间的数的3倍， ∴右下角的数 ∴． 故选：A． 考点五： 有理数的加减中的简便运算 1．（24-25七年级上·河北唐山·阶段练习）甲、乙两人用简便方法进行计算的过程如下所示，下列判断正确的是（    ） 甲： 乙： A．甲、乙都正确 B．甲、乙都不正确 C．只有甲正确 D．只有乙正确 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的混合运算．熟练掌握加法运算律是解题的关键． 先把减法转化成加法，再利用加法的运算律求解． 【详解】解：甲：； 正确； 乙：． 正确． 故选：A． 2．（2024七年级上·全国·专题练习）计算的结果为（　　） A．0 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数加减法中的简便运算，把小数转化成分数，然后根据同分母相加减计算即可． 【详解】解： 故选：C． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）在计算时，中可以填入的使该题能用简便方法进行计算的数值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的加减运算，观察各项，如果填入的数满足凑整法，则原式能用简便方法进行计算．本题主要考查了有理数加法，掌握凑整法是解题关键． 【详解】解：当填入的数是或或，不能使原式能用简便方法进行计算， 当填入的数是， 则 ． 故选：D． 4．（2024七年级上·北京·专题练习）利用公式计算： （1） ；（直接写答案） （2） ．（直接写答案） 【答案】 【分析】本题考查有理数的混合运算，变形套用公式是解题的关键： （1）利用公式拆项进行计算即可； （2）拆项，套用公式进行计算即可． 【详解】解：（1）原式1； 故答案为：． （2）原式 ； 故答案为：． 运用运算律简化计算常见方法:①相反数结合--抵消；②同号结合--符号易确定；③同分母结合法--无需通分(分母倍数的也可考虑)；④凑整数；⑤同行结合法--分数拆分为整数和分数。 1．（2024七年级上·全国·专题练习）计算时运算律用得恰当的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数加法的交换律与结合律：同号相加，取相同符号，并把绝对值相加；绝对值不等的异号加减，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两个数相加得0；一个数同0相加，仍得这个数． 【详解】解：. 故选：B ． 2．（2024七年级上·全国·专题练习）学习情境·过程性纠错请指出下面计算错在哪一步（   ） ① ② ③ ④ A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数的加减法，根据有理数的减法运算法则判断出②错误，然后进行计算即可得解，熟练掌握减去一个数等于加上这个数的相反数是解决此题的关键． 【详解】 ① ② ③ ④ ∴错在②的第二个括号内的运算， 故选：B． 3．（2023七年级上·四川眉山·竞赛）式子的结果不可能是（    ） A．奇数 B．正数 C．偶数 D．整数 【答案】A 【分析】本题主要考查有理数的加减混合运算，解答的关键是对从所给的数字中找到存在的规律，把两个数看成一组，从而可求解． 【详解】解： ． 则1012不可能是奇数． 故选：A． 4．（24-25七年级上·山东济南·阶段练习）计算 (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 【答案】(1)8 (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 【分析】本题考查有理数的加减混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）先把减法转化为加法，再根据加法法则计算即可； （2）先去绝对值，再运用加法交换律和结合律计算即可； （3）运用加法结合律将原式变形后计算即可； （4）先去括号，再运用加法结合律计算即可； （5）将小数统一化成分数，再从左到右进行计算即可； （6）先化简，然后根据加法的交换律和结合律计算即可； （7）先化简并将小数统一化成分数，然后根据加法的交换律和结合律计算即可； （8）先化简并将小数统一化成分数，然后根据加法的交换律和结合律计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ； （7）解： ； （8）解： 考点六： 根据有理数的加减法法则判断不等关系 1．（24-25七年级上·江苏南通·期末）有理数，，在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查根据点在数轴的位置判断式子的正负、有理数的加减计算，解题关键是根据点在数轴的位置判断式子的正负． 先根据数轴得到，，再根据有理数的加减计算法则求解即可． 【详解】解：A、由点在数轴的位置可知，，故，故A错误； B、由点在数轴的位置可知，，故，故B正确； C、由点在数轴的位置可知，，且，故，故C错误； D、由点在数轴的位置可知， ，故，故D错误． 故选：B． 2．（24-25七年级上·福建漳州·期末）若有理数，，，满足，则以下四个结论中，正确的是（   ） A．一定是正数 B．可能是负数 C．一定是负数 D．一定是正数 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的加法法则、相反数、减法法则．首先根据减去一个数等于加上这个数的相反数，把减法转化为加法，再根据有理数的加法法则进行判断即可． 【详解】解：A选项：，不一定是正数，故A选项错误； B选项：，，一定是正数，故B选项错误； C选项：，，，不一定是负数，故C选项错误； D选项：，，，又，，，一定是正数，故D选项正确． 故选：D． 3．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）若，则a、b在数轴上表示的点的位置可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查数轴与有理数，绝对值的意义，根据绝对值的意义，得到，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， A、由数轴得，，不符合题意； B、由数轴得，，不符合题意； C、由数轴得，，不符合题意； D、由数轴得，，符合题意； 故选：D． 1．（23-24七年级上·贵州贵阳·期中）如下图，点A、B、C、D四个点在数轴上表示的数分别为a、b、c、d，则下列结论中，错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了数轴、绝对值、有理数的加减运算，弄清数轴上各点的位置是解题的关键．由数轴可得，，再利用绝对值和有理数的加减运算逐项分析判断即可解答． 【详解】解：由数轴可得，， A、，故此项结论正确，不符合题意； B、，故此项结论正确，不符合题意； C、，故此项结论错误，符合题意； D、，故此项结论正确，不符合题意； 故选：C． 2．（23-24七年级上·福建泉州·期中）如图，有理数m，n在数轴上对应的点分别为M，N，则的结果可能是（　　）    A． B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】此题考查了数与数轴，利用数轴比较数的大小，根据数轴上表示的两个数，右边的数大于左边的数，得到，即可得到答案，正确理解数轴上数的大小关系是解题的关键． 【详解】由数轴可知：， ∴ ∴的结果可能是2， 故选：C． 3．（24-25七年级上·云南曲靖·期中）数m与数n在数轴上的位置如图所示，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了数轴，绝对值和有理数的加法，由数轴可知，，再进行判断即可． 【详解】解：根据数轴可知，， 所以，，， 所以，即， 选项A结论不正确，符合题意． 故选：A． 4．（23-24七年级上·江苏常州·阶段练习）如图，将数轴上与6两点间的线段六等分，这五个等分点所对应数依次为，，，，，则下列不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了数轴以及有理数的加减运算，熟练掌握数轴上的点表示有理数与有理数的加减法运算法则是解答此题的关键． 根据已知先求出五个等分点对应的数，，，，的值，然后再逐项判断正误即可． 【详解】解：数轴上与6两点间的线段六等分，， 与6两点间的距离为：， 每段长度为， 这五个等分点所对应数依次为： ，，，，， A．，故该选项说法正确，符合题意； B． ，，所以，故选项说法不正确，不符合题意； C． ，，所以，故该选项说法正确，不符合题意； D． ，，所以，故该选项说法正确，不符合题意； 故选：B． 考点七： 有理数的加减混合运算的实际应用 1．（2025·辽宁铁岭·二模）嘉嘉一周内在某支付平台上有4次交易：①购物支出950 元；②售卖个人物品存进500元；③购物支出800元；④绩效奖励存进1200元．则这一周嘉嘉在平台上的余额增加了（    ） A．1700元 B．900元 C．400元 D．元 【答案】D 【分析】本题考查了正负数的应用、有理数的加减运算等知识点，理解正负数的相反意义成为解题的关键． 先根据有理数的正负数的相反意义列式，然后根据有理数加减运算法则计算即可． 【详解】解：根据题意可得：元． 故选D． 2．（24-25六年级上·上海松江·期末）某公交车出发时，车上有人，经过个站点，乘客上下车情况（上车为正，下车为负）：一号站点“，”；二号站点“，”；三号站点“，”．那么此时车上有 人． 【答案】 【分析】本题考查了正负数的意义的实际应用，有理数加减的实际运算，根据题意列出算式计算即可求解，理解正负数的意义是解题的关键． 【详解】解：， ∴此时车上有人， 故答案为：． 3．（2025七年级下·全国·专题练习）三（1）班同学参加学校运动会，参加田赛的有26人，参加径赛的有30人，以上这两项都参加的有12人，这两项都没参加的有4人．全班学生有多少人？ 【答案】全班学生有48人 【分析】本题主要考查了有理数的加减混合运算的应用．用计算即可得出答案． 【详解】解：如图： 全班学生：（人） 答：全班学生有48人． 4．（2025七年级下·全国·专题练习）小王在网店上销售文具，计划每天销售100千克，但实际每天销售量与计划销售量相比有增减，超过计划量记为正，不足计划量记为负，下表是小王第一周文具的销售情况： 星期 一 二 三 四 五 六 日 文具销售超过或不足计划量情况（单位：千克） (1)小王第一周销售文具最多的一天比最少的一天多销售多少千克？ (2)小王第一周实际销售文具的总量是多少千克？ (3)若文具售价为8元/千克，包装及快递费为3元/千克，则小王这一周文具销售收入共多少元？ 【答案】(1)小王第一周销售文具最多的一天比最少的一天多销售20千克 (2)小王第一周实际销售文具的总量是718千克 (3)小王这一周文具销售收入共3590元 【分析】本题考查了正负数的实际应用，涉及了有理数的混合运算，注意计算的准确性． （1）用周六文具的销量减去周五文具的销量即可； （2）计算即可求解； （3）收入=（售价－运费）×总量，据此即可求解． 【详解】（1）解：根据表格可知，实际每天销售量最多超过13千克，实际每天销售量最少低7千克， 所以（千克）， 答：小王第一周销售文具最多的一天比最少的一天多销售20千克． （2）解：小王第一周实际销售文具的总量： （千克）， 答：小王第一周实际销售文具的总量是718千克． （3）解：小王这一周文具销售收入共： （元）， 答：小王这一周文具销售收入共3590元． 1．（24-25七年级上·广东深圳·期末）某公司推出无人驾驶载人飞行器，可搭载乘客或物资．在某次运输模拟测试中，出发时搭载货物重量为，记录装载卸载货物的数据如下：，，，，，（正数表示新装载的货物重量，负数表示卸载的货物重量，单位：）．模拟测试结束时，无人驾驶飞行器上装载的货物总重量是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查正数和负数及有理数加减混合运算，熟练掌握正数和负数是表示一对相反意义的量是解题的关键．根据题意列式计算即可． 【详解】解：， 即模拟测试结束时，无人驾驶飞行器上装载的货物总重量是． 故选：D． 2．（24-25七年级上·陕西榆林·期中）下表是某河段今年雨季一周内水位变化情况（正号表示水位比前一天上升，负号表示水位比前一天下降），那么水位最高是（   ） 星期 一 二 三 四 五 六 日 水位变化/米 A．周二 B．周三 C．周四 D．周五 【答案】A 【分析】本题考查正数和负数的应用，有理数的加减应用，解题的关键是掌握正数和负数的应用，有理数的加减应用，根据题意，设警戒水位为米，根据题意，可求出最高水位． 【详解】解：设警戒水位为米， ∴周一水位为：米， ∵正号表示水位比前一天上升，负号表示水位比前一天下降， ∴周二水位为：米；周三水位为：米；周四水位为：米；周五水位为：米，周六水位为：米；周日水位为：米； ∴周二水位最高， 故选：A． 3．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）某公司去年每季度盈亏情况如下：“+”表示盈利，“-”表示亏损，单位：万元．第一季度；第二季度；第三季度，第四季度，则这个公司去年一年共 （填“盈利”或“亏损”） 万元． 【答案】 盈利 4 【分析】本题考查有理数的加减混合运算，正数和负数，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键． 根据正数和负数的实际意义列式计算即可． 【详解】解：（万元）， 即这个公司去年一年共盈利4万元， 故答案为：盈利；4． 4．（2025·河北邢台·二模）出租车往返于A，B两个城市，A市在B市的正北方向，在A，B两城市沿线有若干个村庄．某天出租车从A市出发前往B市，再从B市返回A市，规定向北行驶为正．出租车当天行驶的记录如下（单位：千米）：，，，，，，，． (1)通过计算，说明出租车离A市多远？ (2)在A，B两个城市之间距A市6千米处有一个加油站，该出租车经过加油站________次； (3)若出租车每行驶1千米耗油0.07升，则该出租车一天共耗油多少升？ 【答案】(1)4千米 (2)6 (3)升 【分析】此题考查了正负数的实际应用，有理数的运算的实际应用，解题的关键是正确列式． （1）将出租车当天行驶的记录相加即可求解； （2）根据出租车当天行驶的记录结合在A，B两个城市之间距A市6千米处有一个加油站求解即可； （3）首先求出行驶的总路程，然后乘以1千米耗油量即可求解． 【详解】（1）（千米） ∴说明出租车离A市多远4千米； （2）∵出租车从A市出发前往B市，规定向北行驶为正 ∴向南行驶为负 ∴由可得，当出租车向南行驶8千米时，第一次经过加油站； ∵ ∴此时离A市南边1千米，故第二次经过加油站； ∵ ∴此时离A市南边10千米，故第三次经过加油站； ∵ ∴此时离A市南边4千米，故第四次经过加油站； ∴此时离A市南边17千米，故第五次经过加油站； ∴此时离A市南边4千米，故第六次经过加油站； 综上所述，出租车经过加油站6次； （3） （升） ∴该出租车一天共耗油升． 考点八： 有理数加减法中的规律问题 1．（24-25七年级上·贵州·阶段练习）一只跳蚤在数轴上从0开始沿数轴左右跳动，第1次向右跳1个单位长度，第2次向左跳2个单位长度，第3次向右跳3个单位长度，第4次向左跳4个单位长度……依此规律跳下去，当它第2025次落下时，落点处对应的数为（   ） A． B． C．1013 D．2025 【答案】C 【分析】此题考查了数轴上动点问题，有理数的加减混合运算以及数字类规律问题，根据题意列出算式求解即可． 【详解】解：由题可得： ， 故选：C． 2．（23-24六年级下·黑龙江绥化·期中）观察图，找出规律根据规律（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 本题考查了数字类规律探索，有理数的加减，由题意得出计算顺序与方法，列数式子，根据有理数的加减运算法则计算即可得出答案，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：由题意得：，，， ， 故选：B． 3．（24-25六年级上·山东东营·期中）【观察思考】观察下列等式 ， 将以上三个等式两边分别相加得： ． 【探索规律】 （1）猜想并写出：______． （2）直接写出下列各式的计算结果： ______； 【迁移运用】 （3）． 【答案】（1）  （2）   （3） 【分析】本题主要考查有理数的乘法运算及加减运算，熟练掌握有理数的运算是解题的关键． （1）根据题干所给方法求解即可； （2）根据题干所给方法及（1）中的结论可进行求解； （3）根据（1）中所给结论可进行求解． 【详解】（1）解：∵， ∴． 故答案为：． （2）解：∵ ； （3）解： ． 1．（23-24七年级上·浙江金华·期末）观察前三个图形，利用得到的计算规律，得到第四个图形的计算结果为（    ） A． B． C．5 D．9 【答案】D 【分析】根据前三个图形得到规律：左上角与右下角的两数之和减去右上角与左下角的两数之和，即可得到答案．此题考查了有理数的加减混合运算，根据图形，发现规律是解题的关键． 【详解】解：由题意可得， ， ， ， ∴， 故选：D． 2．（23-24七年级上·四川绵阳·期中）如图，把一个面积为1的正方形等分成两个面积为的长方形，接着又把一个面积为的长方形等分成两个面积为的正方形，再把其中的一个正方形等分成两个面积为的长方形，如此进行下去，试利用图形揭示的规律计算：（    ）    A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】主要考查了学生的分析、总结、归纳能力，规律型的习题一般是从所给的数据和运算方法进行分析，从特殊值的规律上总结出一般性的规律． 【详解】解：根据以上分析可得： ． 故选：B． 3．（21-22七年级上·广西防城港·期中）观察下列各式：，，，，按照上面的规律，计算式子的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据式子的规律得出，进而化简式子，根据有理数的加减进行计算，最后求绝对值即可求解． 【详解】解：∵，，，，……， ∴， ∴ ， 故选：B． 【点睛】本题考查了有理数的加减混合运算，找到规律是解题的关键． 4．（24-25七年级上·河南驻马店·期中）【信息提取】 在有些情况下，不需要计算出结果也能把绝对值符号去掉．例如：，，，． 【初步体验】 （1）根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式（不要计算出结果）： ①________； ②________． 【拓广应用】 （2）计算：． 【答案】（1）①；②；（2） 【分析】本题主要考查了有理数的加减混合运算和绝对值的性质，解题关键是熟练掌握绝对值的性质和有理数的加减法则． （1）①根据负数的绝对值是其相反数可得答案；②根据负数的绝对值是其相反数可得答案； （2）根据绝对值的性质化简后计算可得答案． 【详解】解：（1）由题目规律可得：负数的绝对值是其相反数，正数的绝对值等于本身； ①； ②； （2） ． 考点九： 有理数的加减运算与相反数、绝对值等的综合应用 1．（23-24七年级上·陕西安康·期中）若是最小的正整数，是绝对值最小的数，是相反数等于本身的数，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了正整数、绝对值、相反数，有理数的加减混合运算，先根据正整数的定义、绝对值和相反数的意义得出的值，再代入进行计算即可，由正整数的定义、绝对值和相反数的意义得出的值是解题的关键． 【详解】解：由题意得，，，， ∴， 故答案为：． 2．（2023七年级上·全国·专题练习）若，，且的绝对值与相反数相等，则的值是（ ） A． B． C．或 D．2或6 【答案】C 【分析】根据绝对值的意义求出a、b的值，进行计算即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵的绝对值与相反数相等， ∴＜0， ∴，， 或， 故选：C． 【点睛】本题考查绝对值，相反数，有理数的减法运算，理解绝对值及相反数的概念，掌握有理数减法运算法则是解题关键． 3．（20-21七年级上·山东菏泽·阶段练习）设X是最小的正整数，Y是最大的负整数，Z是绝对值最小的数，W是相反数等于他本身的数，则X-Y＋Z-W＝ ． 【答案】2 【分析】根据题意得到X、Y、Z、W的值，再进行运算即可得到结果． 【详解】解：根据题意得：X=1，Y=-1，Z=0，W=0， 则X-Y+Z-W=1-（-1）+0-0=2， 故答案为：2． 【点睛】本题考查有理数的加减混合运算、相反数、绝对值、以及有理数，熟练掌握相关定义是解题的关键． 4．（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）已知a与b互为相反数，c是绝对值最小的有理数，求的值． 【答案】 【分析】本题考查有理数的运算，根据互为相反数的两数之和为0，绝对值最小的有理数为0，进行计算即可． 【详解】解：因为a与b互为相反数，c是绝对值最小的有理数， 所以，， 所以． 66．（23-24七年级上·河南驻马店·阶段练习）请根据下面的对话解答下列问题． 我不小心把老师留的作业题弄丢了，只记得式子是． 我告诉你：“a的相反数是3，b的绝对值是7，c与b的和是－8．” 这时数学老师笑着补充说：“a和b的符号相同哦！” (1)______，______，______． (2)求的值． 【答案】(1)；；； (2)2020． 【分析】（1）根据对话求出所求即可； （2）求出，，的值，代入原式计算即可求出值． 【详解】（1）解：a的相反数是3， ， 又的绝对值是7，而且a和b的符号相同； ， 与的和是． 当时，， 故答案为：；；； （2）当，，， 原式， 原式的值为2020． 【点睛】本题考查了代数式求值，掌握运算法则是关键． 1．（23-24七年级上·河北邢台·阶段练习）已知a的相反数是它本身，b是最大的负整数，则a，b的绝对值的和比a，b的和（    ） A．大1 B．小1 C．大2 D．小2 【答案】C 【分析】此题考查了相反数、绝对值的应用能力、有理数到加减，关键是能熟练运用相反数、绝对值和有理数的加减等知识进行求解． 【详解】解：∵a的相反数是它本身，b是最大的负整数， ∴，， ∴ ， ， ∴ ． 故选：C． 2．（24-25七年级上·陕西咸阳·阶段练习）若x的绝对值是11，y的绝对值是14，z的绝对值是20，且的绝对值是，的绝对值是，则（   ） A．23 B．45或23 C．45 D．-45或-23 【答案】B 【分析】本题考查有理数的加减混合运算，绝对值等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．判断出，，的值，可得结论． 【详解】解：x的绝对值是11，y的绝对值是14，z的绝对值是20， ，，， 的绝对值是，的绝对值是， ，， ，，或，，， 或23． 故选：B 3．（2024七年级上·全国·专题练习）已知式子，其中a的相反数是，的绝对值是，与b的和是．求： (1)，的值； (2)的值． 【答案】(1)，； (2)33或5． 【分析】本题考查了相反数、绝对值等； （1）由相反数和绝对值的定义，即可求解； （2）分类讨论①当，，时，②当，，时，分别代入，即可求解； 会求一个数的相反数、绝对值，能进行分类讨论是解题的关键． 【详解】（1）解：a的相反数是， ， 的绝对值是， ， 解得：； （2）解：由题意得 ， 当时， ， 解得：， 当时， ， 解得：， ①当，，时， 原式 ； ②当，，时， 原式 ； 综上所述：的值为或． 考点十： 有理数加减运算中的新定义问题 1．（2024七年级上·云南·专题练习）对于有理数a、b，定义一种新运算※，规定：，则等于（   ） A．4 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，熟练掌握新定义的运算形式，以及对有理数混合运算的运算法则是解题的关键． 根据新定义的运算，把相应的数值代入运算即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：C． 2．（23-24七年级上·福建龙岩·期中）对有理数、，定义运算*如下：，如：.试求的值.（    ） A． B． C．6 D．8 【答案】D 【分析】此题考查了有理数的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．原式利用题中的新定义计算即可得到结果． 【详解】解：根据题中的新定义得：， 故选：D． 3．（24-25七年级上·北京石景山·期末）规定一种新运算：，例如：， （1）请计算： ． （2）请判断该新运算是否满足交换律： （是或否）． 【答案】 是 【分析】本题主要考查了有理数的加减混合运算，化简绝对值等知识点，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据题中的新运算的定义计算即可； （2）求出与，再验证与是否相等即可得出结论． 【详解】解：（1）， 故答案为：； （2）该新运算满足交换律，理由如下： ， ， ， 该新运算满足交换律， 故答案为：是． 1．（23-24七年级上·河北保定·阶段练习）定义一种新运算，对于任意有理数a和b，规定，如：，则的值为（    ） A．2 B．4 C． D．10 【答案】D 【分析】根据新运算法则求解即可 【详解】解：； 故选：D. 【点睛】本题考查了有理数的加减运算，正确理解新运算法则是解题关键 2．（2024七年级上·全国·专题练习）对于任意有理数m，n，定义新运算：，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了新定义下的有理数加减混合运算，掌握相应的运算法则是解题的关键． 根据新定义运算法则代入后按照有理数加减混合运算计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 3．（22-23七年级上·江苏泰州·阶段练习）对于有理数、定义一种新运算“”，规定，则的值是(　　) A．6 B．5 C．4 D．2 【答案】A 【分析】根据新定义进行计算即可求解． 【详解】解：依题意， 故选：A． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握新定义运算法则是解题的关键． 4．（23-24七年级上·全国·课堂例题）中考新趋势·新定义 规定一种新运算“*”，即，则 ． 【答案】12 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，理解新定义运算法则是解题的关键． 根据新定义把新运算转化为常规运算进行解答便可． 【详解】解：∵， ∴ ． 故答案为：12． 考点十一： 由有理数的加减运算解决数轴上两点间的距离问题 1．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）根据如图给出的数轴，解答下面的问题： (1)点表示的数是______．点表示的数是______； (2)观察数轴，与点的距离为3的点表示的数是______； (3)若将数轴折叠，使得点A与表示的点重合． ①点与数______表示的点重合； ②若数轴上两点（点在点的左侧）之间的距离为1002，且P、Q两点经过折叠后互相重合，则点表示的数是______，点表示的数是______． 【答案】(1)1； (2)或 (3)①；②； 【分析】本题主要考查了有理数与数轴，有理数的加减计算： （1）根据数轴上点的位置即可得到答案； （2）分该点在点A左边和右边两种情况，根据数轴上两点距离计算公式求解即可； （3）①先求出折叠点表示的数，再根据点B和点B重合的点到折叠点的距离相等进行求解即可；②根据题意可得点P和点Q到折叠点的距离都为501，据此根据数轴上两点距离计算公式求解即可． 【详解】（1）解：由数轴可知，点A表示的数是1，点B表示的数是， 故答案为：1；． （2）解；由数轴可知，当该点在点A左边时，该点表示的数是， 当该点在点A右边时，该点表示的数是， 故答案为：或； （3）解：①∵将数轴折叠，使得点A与表示的点重合， ∴折叠点表示的数为， ∴点B与数表示的点重合， 故答案为：； ②∵数轴上两点（点在点的左侧）之间的距离为1002，且P、Q两点经过折叠后互相重合， ∴点P和点Q到折叠点的距离都为501， ∴点P表示的数为，点Q表示的数为； 故答案为：；． 2．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，、是数轴上的两点，点表示的数是，且每相邻刻度间的线段表示一个单位长度． (1)在数轴中画出原点的位置（用“0”表示），点表示的数为 ； (2)点先向左运动3个单位长度，再向右运动5个单位长度到达点． ①求点表示的数； ②若点是线段的中点，则点表示的数为 ． 【答案】(1)2 (2)①4；② 【分析】本题考查数轴上两点之间的距离、数轴上点的左右平移，解题关键是熟练掌握平移规律：左减右加． （1）根据点表示的数是，可得原点的位置和点表示的数； （2）①根据点左右移动的长度就可以得到点表示的数；②根据点是线段的中点，即可得出点表示的数． 【详解】（1）解：如图，画图如下： 点表示的数是，与之间的距离为7的单位长度， 点表示的数为； （2）解：①点表示的数为2， 点表示的数为； ②点是线段的中点， 点表示的数为． 1．（24-25七年级上·山西太原·阶段练习）距离能够产生美．唐代著名文学家韩愈曾赋诗：“天街小雨润如酥，草色遥看近却无．”距离，也是数学、天文学、物理学中的热门话题．唯有对宇宙距离进行测量，人类才能掌握世界尺度．    绝对值的定义：一个数在数轴上对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值． 例如：是指数轴上表示的点到原点的距离，是指数轴上表示的点到原点的距离． 概念延伸 数轴上表示和的两点之间的距离是 ， ； 数轴上表示和的两点之间的距离是 ， ； 数轴上表示和的两点之间的距离是 ， ． 归纳总结 点，在数轴上分别表示有理数，，，两点之间的距离表示为，则 ． 拓展应用 数轴上表示数和的两点和之间的距离为，则的最小值是 ，此时的值为 ； 数轴上表示数和的两点和之间的距离为 ，如果，那么的值为 ． 式子有最小值吗？若有，请求出它的最小值． 【答案】概念延伸 ， ， ， 归纳总结 拓展应用 ， ，或 有， 【分析】概念延伸： 根据数轴和有理数的加减运算以及绝对值等知识逐项化简即可求解； 根据数轴和有理数的加减运算以及绝对值等知识逐项化简即可求解； 根据数轴和有理数的加减运算以及绝对值等知识逐项化简即可求解； 归纳总结： 根据概念延伸规律可以得到数轴上两点间的距离等于表示这两个点的有理数的差的绝对值，据此即可求解； 拓展应用： 根据绝对值的非负性可以得到的最小值为，进而即可求出此时的值为； 根据归纳总结的内容即可得到，根据绝对值的化简即可求出的值为或； 根据绝对值的意义得到表示数轴上点到表示的点的距离与到表示的点的距离之和，据此即可求出当时，的最小值为． 【详解】解：概念延伸： 数轴上表示和的两点之间的距离是，， 故答案为：，； 数轴上表示和的两点之间的距离是，， 故答案为：，； 数轴上表示和的两点之间的距离是，， 故答案为：，； 归纳总结： 点，在数轴上分别表示有理数，，，两点之间的距离表示为，则， 故答案为：； 拓展应用： 数轴上表示数和的两点和之间的距离为，则的最小值是，此时的值为， 故答案为：，； 数轴上表示数和的两点和之间的距离为，如果，那么的值为或， 故答案为：，或； ， 表示数轴上点到表示的点的距离与到表示的点的距离之和， 当时，此时的值最小，最小值为． 【点睛】本题主要考查了数轴，有理数的加减运算，化简绝对值，绝对值的非负性，绝对值的意义等知识点，根据绝对值的概念结合题目的概念延伸解答是解题的关键． 2．（24-25七年级上·河北邯郸·阶段练习）如图，在一条不完整的数轴上，从左到右的点A，B，C把数轴分成①②③④四部分，点A，B，C对应的数分别是a，b，c，已知，． (1)请直接写出原点在第几部分； (2)已知点A与点C之间的距离为5，点B与点C之间的距离是3． ①若，求的值； ②若a，c互为相反数，求的值； (3)设原点为O，若点C表示数3，数轴上一点D表示的数为d，在这三点中，当相邻两点的距离相等时，直接写出d的值． 【答案】(1)原点在第③部分； (2)①，②； (3)的值为或或 【分析】本题主要考查了数轴的应用，数轴上两点之间的距离，有理数的加减法运用，熟练掌握分类讨论是解题的关键． （1）由，可得b、c异号，从而得出圆点的位置； （2）①由分别求出a，c的值即可得到答案； ②a，c互为相反数，故，再由点与点之间的距离为5，点与点之间的距离是3求出值计算； （3）分三种情况讨论，当点是的中点时，当点是的中点时，当点是的中点时，分别求解． 【详解】（1）解：∵， ∴b、c异号， ∴原点在，之间， 即原点在第③部分； （2）解：①∵点与点之间的距离是，， ∵点与点之间的距离为5， ， ； ②∵，互为相反数，故， ∵点与点之间的距离为， ，， ∵点与点之间的距离是， ， ， ； （3）解：①当点是的中点时，， ， ∴， ②当点是的中点时，， ， ③当点是的中点时， , 综上所述，或或 一、单选题 1．（24-25七年级上·河南省直辖县级单位·期末）我国古代数学著作《九章算术》的“方程”一章，给出的名为“正负术”的算法：“同名相除，异名相益，正无入负之，负无入正之；其异名相除，同名相益，正无入正之，负无入负之”，“正负术”实际上符合现代有理数的加减运算法则，这是世界数学史上第一个有理数的加减运算法则，是我国古代数学的一个辉煌成就，其中“异名相益”即异号两数相减时，括号前为被减数的符号，括号内为被减数的绝对值与减数的绝对值之和，下列能体现“异名相益”这句话含义的算式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的减法运算，根据“异号两数相减时，括号前为被减数的符号，括号内为被减数的绝对值与减数的绝对值之和”，即可求解． 【详解】解：由题意可得能体现“异名相益”这句话含义的算式是 故选：C． 2．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）下列算式中，运算结果为正数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的加减法，以及化简多重符号，求一个数的绝对值，正确的计算是解题的关键．根据有理数的加减法，以及化简多重符号，求一个数的绝对值进行计算即可求解． 【详解】解：A、，是正数，符合题意； B、，不是正数，不符合题意； C、，不是正数，不符合题意； D、，不是正数，不符合题意． 故选：A． 3．（24-25七年级上·山东日照·期末）已知，，且，那么等于（    ） A．2或8 B．或 C．或8 D．2或 【答案】B 【分析】本题考查了绝对值的计算，乘方，有理数的加减，熟练掌握绝对值的化简是解题的关键． 先计算绝对值，结合，确定a，b的值，计算即可． 【详解】解：∵，， ∴或；或， ∵， ∴或， ∴或， 故选：B． 4．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）若，则a、b在数轴上表示的点的位置可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查数轴与有理数，绝对值的意义，根据绝对值的意义，得到，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， A、由数轴得，，不符合题意； B、由数轴得，，不符合题意； C、由数轴得，，不符合题意； D、由数轴得，，符合题意； 故选：D． 5．（24-25七年级上·河北保定·期末）有理数a、b、c在数轴上的对应点的位置如图所示，若a与c互为相反数，则下列说法正确的是（   ） A．a、b、c三个数中绝对值最大的数是c B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数与数轴，相反数的定义，化简绝对值，有理数的减法运算，由数轴可知，，，则，，再由相反数的定义可得，据此可得答案． 【详解】解：由数轴可知，， ∵a与c互为相反数， ∴ ∴a、b、c三个数中绝对值最大的数是， ，，， ∴四个选项中只有B选项说法正确，符合题意， 故选：B． 6．（24-25七年级上·福建厦门·期末）某校模型社团制作建筑模型，为确保稳定性，模型高度的精度要求如下： 设计高度h（单位：cm） 允许偏差（单位：mm） 社团成员对编号为甲，乙，丙，丁的四个模型进行测量，获得了以下数据： 模型编号 甲 乙 丙 丁 设计高度h（单位：cm） 30.0 32.0 74.0 95.0 实际高度（单位：cm） 29.6 32.0 72.7 97.1 其中不符合精度要求的是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的减法计算和正负数的意义．先计算每个模型设计高度与实际高度的偏差，再看是否在允许偏差的范围内即可． 【详解】解：甲模型设计高度与实际高度的偏差为：，允许偏差为：， ∴甲符合精度要求； 乙模型设计高度与实际高度的偏差为：，允许偏差为：， ∴乙符合精度要求； 丙模型设计高度与实际高度的偏差为：，允许偏差为：， ∴丙符合精度要求； 丁模型设计高度与实际高度的偏差为：，允许偏差为：， ∴丁不符合精度要求， 故选：D． 7．（24-25七年级上·河北保定·期末）嘉嘉在计算有规律的算式时，不小心把一个运算符号写错了（“”错写成“”或“”错写成“”），结果算成了66． 甲说：如果没有写错符号，该算式； 乙说：嘉嘉一定是把“18”前面的符号写错了； 丙说：嘉嘉一定是把“20”前面的符号写错了； 丁说：算式． 下面对甲、乙、丙、丁四种说法判断正确的有（   ） A．只有甲和乙正确 B．只有乙和丁正确 C．甲、丙、丁正确 D．只有丙正确 【答案】C 【分析】本题考查有理数的加减运算及解一元一次方程，通过计算确定写错的符号，再根据计算的特点列出方程是解题的关键．先求出这列数的和为，再由题意可知是“”错写成“”，设写错符合的数是，则，解得，即可确定答案，再同法求解即可． 【详解】解： ；故甲运算正确； ∵嘉嘉不小心把一个运算符号写错了（“”错写成“”或“”错写成“”），结果算成了66． 而； ∴错误的符合一定是把“”错写成“” 设写错符号的数为， ∴， 解得， ∴写错符号的数为，故乙错误；丙正确； ∵ ，故丁正确； 故选：C 8．（24-25七年级上·陕西榆林·期末）潜水艇停在海平面以下处，先上浮，又下潜，则此时潜水艇的位置是在（   ） A．海平面以下850m处 B．海平面以下m处 C．海平面以上850m处 D．海平面以上800m处 【答案】A 【分析】设海平面以下800m处记作，根据题意，得即海平面以下850m处，解答即可． 本题考查了正负数的应用，有理数加减法的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：设海平面以下800m处记作， 根据题意，得， 故位于海平面以下850m处． 故选：A． 9．（24-25七年级上·内蒙古赤峰·期末）有人建议向火星发射如图①的图案，它叫幻方，其中9个格中的点数分别是1，2，3，4，5，6，7，8，9．幻方的排列规律是：每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的点数的和都相等．如果火星上有智能生物，那么他们可以从这种“数学语言”了解到地球上也有智能生物（人）．请你类比图①推算出图②幻方中处所对应的数字是（   ） A．21 B．22 C．23 D．24 【答案】A 【分析】此题考查了有理数的运算，根据题意求出右下角的数，进而求解即可． 【详解】∵幻方的排列规律是：每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的点数的和都相等，且等于中间的数的3倍， ∴右下角的数 ∴． 故选：A． 10．（24-25七年级上·浙江温州·期中）若用符号表示a，b两数中的较大数，用符号表示a，b两数中的较小数，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的大小比较、有理数的加法．根据题意结合，，列式计算即可得解． 【详解】解：∵用符号表示，两数中的较大数，用符号表示，两数中的较小数，且，， ∴， 故选：B． 二、填空题 11．（24-25七年级上·山西朔州·期末）计算：的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查绝对值，以及有理数的减法运算，解题的关键在于熟练掌握相关运算法则．根据相关运算法则计算求解，即可解题． 【详解】解：， 故答案为：． 12．（24-25七年级上·河南郑州·期末）小明用下图1直观解释，类似的，请你写出可用图直观解释的算式 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的加减法运算，根据图以及图所表示的算式，领会图中圆所表示的意义，根据图所表示的规律得到图表示的算式． 【详解】解：由图可知，左边有个带有“”号的圆，表示， 又增加了个带有“”号的圆，表示增加了， 然后与抵消， 还剩下个带“”号的圆，表示还剩下， 这个算式应表示为：． 故答案为： ． 13．（24-25七年级上·湖南株洲·期末）如图，天平的两个盘内分别盛有和的糖，问应从盘A中拿出 糖放到盘B中，才能使两者所盛糖的质量相等？ 【答案】3 【分析】先计算盛糖的相等质量为，再计算解答即可． 本题考查了有理数的除法，有理数的减法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得盛糖的相等质量为， 又． 故从盘A中拿出糖放到盘B中，才能使两者所盛糖的质量相等． 故答案为：3． 14．（24-25七年级上·湖南娄底·期末）小明在电脑中设置了一个有理数得运算程序：输入数a，加*键，再输入数b，就进行的运算，则 ． 【答案】0 【分析】本题考查了新定义，以及有理数的混合运算，读懂题意，先运算，再运算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴ ， 故答案为：0． 15．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）计算 . 【答案】1 【分析】此题主要考查了加法中的巧算问题，注意加法结合律的应用，根据加法结合律，通过观察题目可以发现，1后面每相邻的四项的和为0，从而可以解答本题． 【详解】解： ． 故答案为：1． 16．（24-25七年级上·山西吕梁·期末）某文具店在某一星期的销售中，盈亏情况如下表所示（记盈余为正，单位：元） 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日 合计 310 287.3 288.7 768 表中星期日的盈亏数被墨水污染了，请你算出星期日的盈亏数为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是正负数的应用，有理数加减混合运算，根据正负数的意义列式，再计算即可． 【详解】解： 元， 故答案为：． 17．（24-25七年级上·安徽安庆·期末）“九宫图”传说是远古时代洛河中的一个神龟背上的图案，故称“龟背图”．观察图①，我们可以归纳出“九宫图”中各数字之间的关系，即每行、每列及对角线上的3个数之和都相等．那么在图②中， ． 【答案】2 【分析】此题考查了数字规律，已知式子的值求代数式的值，解题的关键是正确列式求解．首先求出，然后根据题意求出，得，再进一步求解即可． 【详解】解：依题意， ∵每行、每列、每条对角线上三个数字之和都相等， ∴， ∴， 故答案为：2． 三、解答题 18．（24-25七年级上·广东广州·期中）有筐白菜，以每筐千克为标准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，称后的纪录如下： 回答下列问题： (1)这筐白菜中最接近标准重量的这筐白菜重______千克； (2)这筐白菜中，最重的与最轻的相差______千克； (3)这筐白菜一共重多少千克？ 【答案】(1) (2)5 (3)千克 【分析】本题考查了有理数的运算在实际中的应用，体现了正负数的意义，解题的关键是理解“正”和“负”的相对性，确定具有相反意义的量． （1）与标准重量比较，绝对值越小的越接近标准重量； （2）最重的与最轻的相减即可求解； （3）用25乘以8的积，加上图中八个数的和即可求解． 【详解】（1）解：该组数据中，的绝对值最小，最接近千克的标准， 这筐白菜重千克． 故答案为； （2）（千克） 故答案为； （3） （千克） 答：这筐白菜一共重千克． 19．（24-25七年级上·广东广州·期中）以下计算题需要有计算过程． (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)0 (2)8 (3) (4) 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握相关运算法则是解答本题的关键． （1）利用加法交换律和结合律求解即可； （2）先把减法统一成加法，再按加法法则计算； （3）利用加法交换律和结合律求解即可； （4）先把减法统一成加法，再利用加法交换律和结合律求解即可； 【详解】（1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 20．（21-22七年级上·河南平顶山·期中）学习了绝对值的概念后，我们可以认为：一个非负数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，也即当时，，当时，，根据以上阅读完成下面的问题： (1) ； (2) ； (3)如果有理数，则 ； (4)请利用你探究的结论计算下面式子： (5)如图，数轴上有a、b、c三点，化简． 【答案】(1)1 (2) (3) (4) (5) 【分析】（1）原式利用绝对值的代数意义计算即可求出值； （2）原式利用绝对值的代数意义计算即可求出值； （3）原式利用绝对值的代数意义计算即可求出值； （4）原式利用绝对值的代数意义计算即可求出值； （5）根据数轴先判断出，，，再由绝对值的代数意义计算即可求． 【详解】（1）解：． 故答案为：1． （2）解：． 故答案为：． （3）解：∵， ∴． 故答案为：． （4）解： ． （5）解：∵，，， ∴原式． 【点睛】本题主要考查了有理数减法，相反数，以及绝对值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 21．（19-20七年级上·河南南阳·期末）七年级二班的几位同学正在一起讨论一个关于数轴上的点表示数的题目： 甲说：“这条数轴上的两个点、表示的数都是绝对值是4的数”； 乙说：“点表示负整数，点表示正整数，且这两个数的差是3”； 丙说：“点表示的数的相反数是它本身”． （1）请你根据以上三位同学的发言，画出一条数轴，并描出、、、、五个不同的点． （2）求这个五个点表示的数的和． 【答案】（1）见解析；（2）五个点表示的数的和为或. 【分析】根据甲说的可知，B或，，再由乙说的可得，而根据丙说的可得，据此进一步求出各点表示的数再画出数轴即可； （2）根据（1）中的数据加以计算即可. 【详解】（1）∵两点、表示的数都是绝对值是4的数， ∴，B或，； ∵点表示负整数，点表示正整数，且这两个数的差是3， ∴， ∴，或，； ∵点表示的数的相反数是它本身， ∴； 综上所述， 当，B，，，时，数轴如下： 当，B，，，时，数轴如下： 当，，，，时，数轴如下： 当，，，，时，数轴如下： （2）由（1）可得： ①当，B，，，时，五个点表示数的和为：， ②当，B，，，时，五个点表示数的和为：， ③当，，，，时，五个点表示数的和为：， ④当，，，，时，五个点表示数的和为：， 综上所述，五个点表示的数的和为或. 【点睛】本题主要考查了有理数与数轴的性质的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$