2025-2026学年沪科版七年级数学下册期末评估测评模拟卷二

**基本信息** 沪科版七年级数学期末模拟卷，以基础巩固为核心，融合文化传承（如幻方）与生活实践（如电梯载重、平遥牛肉），通过分层设问考查数学抽象、运算推理及模型应用能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/40|无理数、科学记数法、几何角度计算|基础概念辨析，如第4题完全平方公式逆向应用| |填空题|4/20|代数变形、几何动态角、幻方|融入传统文化，第14题幻方数字游戏考查方程思想| |解答题|9/100|方程应用、图形平移、代数恒等式、几何探究|综合实践与探究，如第21题几何动态问题迁移、第23题经济问题建模，体现分层能力考查|

2025-2026学年度沪科版七年级数学下册期末评估测评模拟卷二（解析版） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1．下列各数中，是无理数的是（     ） A．2.12122 B． C． D． 【答案】D 【知识点】无理数、求一个数的立方根 【分析】根据无理数是无限不循环小数，有理数是整数与分数的统称，即有限小数和无限循环小数都是有理数，逐一判断选项即可． 【详解】解：A、是有限小数，属于有理数； B、是分数，属于有理数； C、，是整数，属于有理数； D、是无限不循环小数，是无理数． 2．已知每毫升血液中约有万个红细胞，一个健康成年人的血液总量约为．则一个健康成年人血液中红细胞的总个数用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数、用科学记数法表示数的乘法 【分析】先将万用科学记数形式（中的范围是，是整数，与原数的整数部分的位数的关系是）表示，然后利用总红细胞个数每毫升红细胞个数血液总量计算总个数，最后整理为标准科学记数法形式即可． 【详解】解：万， 总个数为． 3．如图，直线，相交于点O，于点O，且，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】几何图形中角度计算问题、对顶角相等、垂线的定义理解 【分析】根据垂直定义可得，结合已知条件，求出的度数，再利用对顶角相等即可求解． 【详解】解：∵ ， ∴ ， 由图可知 ， 又∵ ， ∴，即 ， ∵与（即）是对顶角， ∴． 4．若关于的方程的左边可以写成一个完全平方式，则的值为（     ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】C 【知识点】求完全平方式中的字母系数、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、解一元一次方程（二）——去括号 【分析】已知二次项和常数项为平方项，完全平方式的一次项有正负两种情况，据此列方程计算的值即可． 【详解】解：方程的左边为完全平方式，且，， 根据完全平方公式，可得，即， 分两种情况计算： 当时，解得， 当时，解得， 的值为或． 5．已知非负实数x，y满足和，则下列式子正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】不等式的性质、构造二元一次方程组求解 【分析】根据题意将和变形即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵x，y为非负实数， ∴，解得， ∴， 已知， 将代入，得， 化简，得． 逐一验证选项： 选项A，，把代入，得，解得， 并非对所有满足条件的x都成立，因此A错误； 选项B，， ∵， ∴选项B错误； 选项C，， 把，代入左边， 得 ， 与右边相等，因此C正确； 选项D，，当时， ，因此D错误． 6．若，，则的结果是（     ） A．1 B．100 C．200 D．2 【答案】A 【知识点】幂的乘方的逆用、异分母分式加减法、同底数幂乘法的逆用 【分析】根据已知条件，利用指数幂的运算法则，建立和的关系式，再对所求式子通分后代入关系式即可求值，即可求解． 【详解】∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 7．若关于的不等式组的解集只有个整数解，则的取值范围是（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求不等式组的解集、由不等式组解集的情况求参数 【分析】先分别解不等式得到不等式组的解集，再根据整数解的个数列出关于的不等式组，求解即可得到的取值范围． 【详解】解：， 由①得， 由②得， ∴关于不等式组的解集为， ∵解集只有个整数解， ∴个整数解为， ∴， 由③得， 由④得， ∴的取值范围是． 8．如图，一部电梯的额定载重量为，两名体重分别为和的工人师傅要利用电梯搬运货物，每箱货物，两名工人师傅需要同时跟随货物一起乘坐电梯上楼，在保证安全的情况下，每次最多可以搬运货物的数量是（    ） A．27箱 B．28箱 C．30箱 D．33箱 【答案】B 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题 【分析】设每次搬运货物箱，根据两名工人的体重加上货物的总重量不超过电梯额定载重量列出一元一次不等式，求出的最大整数解即可． 【详解】解：设每次最多可以搬运货物箱． 根据题意，得． 解得． 为正整数， 的最大值为． 即每次最多可以搬运货物箱． 9．已知时，分式无意义，时，分式的值为零，则的值是（     ） A．0 B．2 C．4 D．8 【答案】D 【知识点】分式无意义的条件、分式值为零的条件、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】分式无意义时分母为0，分式值为0时分子为0且分母不为0，据此求出和的值，然后求的值即可． 【详解】解：∵时，分式无意义， ∴此时分母， 把代入得 ，解得：． ∵时，分式的值为0， ∴此时分子，且分母不为0， 把代入分子得 ，解得， 验证分母：时，，符合要求， ∴． 10．如图，，为上一点，，且平分，过点作于点，且，则下列结论：①；②平分；③；④平分．其中正确的结论是（   ） A．①③ B．①②③ C．②④ D．①③④ 【答案】A 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线的性质求角的度数 【分析】先根据可得，从而可得，再根据可得，再根据代入计算，即可判断①；根据平行线的性质可得，由此即可判断③；根据平行线的性质可得，，但题干未知的大小，由此即可判断②和④． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得，则结论①正确； ∵， ∴， ∴，则结论③正确； ∵， ∴，， 但不一定等于，也不一定等于， 所以平分，平分都不一定正确，则结论②和④都错误； 综上，正确的是①③． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 11．若，则的值是______． 【答案】 【知识点】分式的求值、已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题采用整体代入法求解，先根据已知等式整理得到与的等量关系，再将所求分式变形为含和的形式，整体代入约去即可得到结果． 【详解】，由分式有意义的条件可知，， ， 等式两边同乘得，即， ． 12．如图，将一块含角的三角尺按如图所示的方式放置，其中直线．若，则的度数是________． 【答案】/162度 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、平行公理推论的应用 【分析】作直线，由题得；再说明可得，即，最后再根据平行线的性质即可解答． 【详解】解：如图：作直线，由题得， ，， ． ， ． ， ． ． 13．已知，则____________． 【答案】21 【知识点】通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题利用换元法简化式子，结合完全平方公式进行整体求值，先求出换元后两个变量的和，再通过完全平方公式变形计算所求乘积． 【详解】解：设，由题意得：， ∵， ∴， ∴， ∴， 即． 14．“幻方”起源于中国，是我国古代数学的杰作之一．在数学活动课上，小华和小明同学探究类似填幻方的数字游戏，将数字1，2，3，4，5，6填入如图所示的“□”中，使每个圆圈上的三个数字之和都相等． ①如图1所示，每个圆圈上的三个数字之和为_____． ②如图2所示，三个“□”中的数字分别记为：，，，请根据以下的对话内容，则的值为______． 小彬：由填数规则得；所以 小华：我发现，若记每个圆圈上的三个数字之和为，则的值可以用含的式子表示． 小彬：对！根据你的发现，可以求出的值． 【答案】 12 6或9 【知识点】一元一次不等式组的其他应用、加减消元法 【分析】①根据每个圆圈上的三个数字之和相等，建立方程，解方程即可； ②根据每个圆圈上的三个数字之和相等，建立方程，再根据所有填入的数字之和建立等量关系，从而求得，最后由S为整数，以及，求出的值． 【详解】解：①设两个空白“□”中，左边空白“□”应填的数为x，右边空白“□”应填的数为y，根据每个圆圈上的三个数字之和相等，可得：， 解得：， 每个圆圈上的三个数字之和为：； ②设上方的圆圈上空白“□”应填的数为m，左侧的圆圈上空白“□”应填的数为x，右侧的圆圈上空白“□”应填的数为y， 每个圆圈上的三个数字之和为S， ， ， 所有填入的数字之和为：， ， ， ， ，S为整数， 或9． 三、（本大题共2小题，每小题8分，共16分） 15．计算：． 【答案】 【知识点】实数的混合运算、求一个数的算术平方根、求一个数的立方根 【详解】原式 16．已知：，求代数式的值． 【答案】 【知识点】分式化简求值、已知式子的值，求代数式的值 【分析】先根据，再得出，然后根据分式混合运算法则，将化简为，整体代入求值即可． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴原式． 四、（本大题共2小题，每小题8分，共16分） 17．如图，方格纸中每个小正方形的边长都为1、三角形的顶点均在方格纸的格点上，将三角形平移后得到三角形，使点A落在直线l上的点处． (1)画出平移后的三角形； (2)在直线l上找一格点D，使，，、D所围成的四边形的面积为6． 【答案】(1)如图，三角形如图所示： (2)符合条件的四边形的形状有两种，如图所示： 或 【知识点】利用平移的性质求解、平移(作图) 【分析】（１）点A向上平移5个单位，向右平移3个单位，得到，将点、点也向上平移5个单位，再向右平移3个单位，得到点，点，连线得所求的三角形； （2）符合条件的四边形有两种情况，分别是①从点开始，向右平移3个单位，得到点D，四边形构成平行四边形，长度为3，高为2，面积为6；②从点开始，向左平移3个单位，得到点D，四边形构成平行四边形，面积为6． 【详解】（1）略 （2）略 18．补全证明过程． 如图，已知分别是的平分线，．求证：． 证明：因为（已知）， 所以（①__________）， 因为平分平分（已知）， 所以②__________， ③__________（④__________）， 所以， 所以（⑤____________________）． 【答案】两直线平行，内错角相等；1；2；角平分线的定义；内错角相等，两直线平行 【知识点】根据平行线判定与性质证明 【详解】略 五、（本大题共2小题，每小题10分，共20分） 19．数形结合是解决数学问题的一种重要思想方法，借助此方法可将抽象的数学知识变得直观且具有可操作性，从而帮助我们解决问题．初中数学中有一些代数恒等式可以用一些卡片拼成的图形面积来解释．某同学在学习的过程中动手剪了如图①所示的正方形与长方形卡片若干张． (1)他用1张1号、1张2号和2张3号卡片拼出一个新的图形（如图②）．根据这个图形的面积关系写出一个你所熟悉的乘法公式，这个乘法公式是________． (2)如果要拼成一个长为，宽为的大长方形，那么需要2号卡片______张，3号卡片______张； (3)当他拼成如图③所示的长方形时，根据6张小卡片的面积和等于大长方形的面积可以把多项式分解因式，其结果是________． (4)请你依照该同学的方法，画出拼图并利用拼图将分解因式． 【答案】(1) (2)4张，5张 (3) (4)图见解析， 【知识点】因式分解的应用、完全平方公式在几何图形中的应用、多项式乘多项式与图形面积 【分析】（1）等积法作答即可； （2）求出多项式乘以多项式的积，即可得出结果； （3）等积法作答即可； （4）按要求画图后，即可得出结果. 【详解】（1）解：由题意，这个乘法公式是； （2）解：， 故需要2号卡片4张，3号卡片5张； （3）解：由图可知，； （4）解：由题意，画图如下： 由图可知：. 20．【问题背景】学年秋季学期的小明正在读初中八年级，小明的哥哥正在读高二，元旦假期休息的时候小明翻看哥哥放在书桌上的练习册，发现一道数学题．哥哥对他说：你学完分式相关的知识也能解决这道题，高中数学知识是在初中数学知识的基础上进行系统性拓展、深化和延伸的，二者是层层递进的衔接关系．初中打好基础，高中才能学的好． 你和小明一起来分析一下这道题： 【问题解决】规定：对于正数x，规定，例如：， 则． 小明观察题目发现，题目具有一定的规律： 第1个式子可以化为：； 第2个式子可以化为：； 第3个式子可以化为：； 第4个式子可以化为：；…… (1)仿照小明的发现规律，猜想并写出第个式子____________（为正整数）； (2)请用（1）中发现的规律计算的值，并写出过程． (3)请你根据已经掌握的经验直接写出 【答案】(1) (2)解：，过程如下： 由（1）可得， ∴ ； (3) 【知识点】分式的规律性问题 【分析】（1）观察可知两个相邻的正整数的乘积的倒数等于较小的正整数的倒数减去较大的正整数的倒数，据此可得答案； （2）根据（1）的规律把所求式子裂项求解即可； （3）根据（1）的规律把所求式子裂项求解即可． 【详解】（1）解：第1个式子可以化为：； 第2个式子可以化为：； 第3个式子可以化为：； 第4个式子可以化为：； ……， 以此类推，可知，第个式子为； （2）略 （3）解：由（1）可得， ∴ ． 六、（本大题共1小题，每小题12分，共12分） 21．问题情境：如图1，，，，求度数． 小明的思路是：过作，通过平行线性质来求． (1)按小明的思路，易求得的度数为_______度； (2)问题迁移：如图2，，若点在射线上运动，记，，问与，之间有何数量关系？请说明理由； (3)问题解决：图3为北斗七星的位置图，将其抽象成图4，其中北斗七星分别标为、、、、、、，将、、、、、、顺次连接，天文小组发现若恰好经过点，且，比大100°，，请直接写出与的数量关系． 【答案】(1)120 (2)当点在线段上时，；当点在的延长线上时，；当点在线段上时，；理由见解析 (3) 【知识点】平行公理推论的应用、根据平行线判定与性质求角度、根据平行线的性质探究角的关系 【分析】（1）过点作，通过平行线性质求即可； （2）分3种情况求解；当点在线段上时，当点在的延长线上时，当点在线段上时，即可得出答案； （3）作，则，由平行线的传递性的，，由比大100°得，整理可得． 【详解】（1）解：过点作， ∵，，， ∴， ∴， ， ∴； （2）解：当点在线段上时，．理由： 如图，过点作交于， ∵，，， ∴， ∴，， ∴； 如图，当点在的延长线上时，， 过点作交于， ∵，，， ∴， ∴，， ∴； 如图，当点在线段上时，， 过点作交于， ∵，，， ∴， ∴，， ∴． （3）解：作， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵比大100°， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 七、（本大题共1小题，每小题12分，共12分） 22．我们给出以下两个定义： ①三角形； ②3×3的方格图． 请你根据上面两个定义，解答下列问题： (1)填空： ， ； (2)若，求的值． 【答案】(1)16；48 (2)18 【知识点】同底数幂相乘、幂的乘方运算、含乘方的有理数混合运算 【分析】（1）根据新定义计算即可； （2）根据新定义得到，根据同底数幂的乘法得到，进而可知，再根据新定义计算的值即可． 【详解】（1） 解：， ； （2）解：依题意， ∴， ∴， ∴ ． 八、（本大题共1小题，每小题14分，共14分） 23．平遥牛肉是山西省国家地理标志产品．某特产店销售A，B两种规格的平遥牛肉．购买1袋A规格平遥牛肉和2袋B规格平遥牛肉花费280元；购买2袋A规格平遥牛肉和3袋B规格平遥牛肉花费460元． (1)分别求1袋A规格平遥牛肉和1袋B规格平遥牛肉的价格． (2)该特产店推出“转发朋友圈”的优惠方案（顾客只能选择其中一种方案，每种规格的平遥牛肉限购10袋）： 方案一：每袋A规格平遥牛肉便宜10元，每袋B规格平遥牛肉优惠； 方案二：每袋B规格平遥牛肉便宜15元，每袋A规格平遥牛肉优惠． 若小陈计划购买A，B两种规格的平遥牛肉各10袋，选择方案一的花费不高于选择方案二的花费，求a的最小值． 【答案】(1)1袋A规格平遥牛肉的价格为80元，1袋B规格平遥牛肉的价格为100元 (2)a的最小值为13 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、销售、利润问题(二元一次方程组的应用) 【分析】(1) 设1袋A规格平遥牛肉的价格为元，1袋B规格平遥牛肉的价格为元．根据“购买1袋A规格平遥牛肉和2袋B规格平遥牛肉花费280元；购买2袋A规格平遥牛肉和3袋B规格平遥牛肉花费460元”可列关于、的二元一次方程组，求解方程组即可； （2）根据“方案一的花费不高于选择方案二的花费”列不等式求解即可． 【详解】（1）解：设1袋A规格平遥牛肉的价格为元，1袋B规格平遥牛肉的价格为元．根据题意，得 ， 解得， 答：1袋A规格平遥牛肉的价格为80元，1袋B规格平遥牛肉的价格为100元． （2）解：根据题意，得． 解得． 答：a的最小值为13． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度沪科版七年级数学下册期末评估测评模拟卷二（原卷版） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1．下列各数中，是无理数的是（     ） A．2.12122 B． C． D． 2．已知每毫升血液中约有万个红细胞，一个健康成年人的血液总量约为．则一个健康成年人血液中红细胞的总个数用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 3．如图，直线，相交于点O，于点O，且，则的度数是（   ） A． B． C． D． 4．若关于的方程的左边可以写成一个完全平方式，则的值为（     ） A． B．或 C．或 D．或 5．已知非负实数x，y满足和，则下列式子正确的是（    ） A． B． C． D． 6．若，，则的结果是（     ） A．1 B．100 C．200 D．2 7．若关于的不等式组的解集只有个整数解，则的取值范围是（     ）． A． B． C． D． 8．如图，一部电梯的额定载重量为，两名体重分别为和的工人师傅要利用电梯搬运货物，每箱货物，两名工人师傅需要同时跟随货物一起乘坐电梯上楼，在保证安全的情况下，每次最多可以搬运货物的数量是（    ） A．27箱 B．28箱 C．30箱 D．33箱 9．已知时，分式无意义，时，分式的值为零，则的值是（     ） A．0 B．2 C．4 D．8 10．如图，，为上一点，，且平分，过点作于点，且，则下列结论：①；②平分；③；④平分．其中正确的结论是（   ） A．①③ B．①②③ C．②④ D．①③④ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 11．若，则的值是______． 12．如图，将一块含角的三角尺按如图所示的方式放置，其中直线．若，则的度数是________． 13．已知，则____________． 14．“幻方”起源于中国，是我国古代数学的杰作之一．在数学活动课上，小华和小明同学探究类似填幻方的数字游戏，将数字1，2，3，4，5，6填入如图所示的“□”中，使每个圆圈上的三个数字之和都相等． ①如图1所示，每个圆圈上的三个数字之和为_____． ②如图2所示，三个“□”中的数字分别记为：，，，请根据以下的对话内容，则的值为______． 小彬：由填数规则得；所以 小华：我发现，若记每个圆圈上的三个数字之和为，则的值可以用含的式子表示． 小彬：对！根据你的发现，可以求出的值． 三、（本大题共2小题，每小题8分，共16分） 15．计算：． 16．已知：，求代数式的值． 四、（本大题共2小题，每小题8分，共16分） 17．如图，方格纸中每个小正方形的边长都为1、三角形的顶点均在方格纸的格点上，将三角形平移后得到三角形，使点A落在直线l上的点处． (1)画出平移后的三角形； (2)在直线l上找一格点D，使，，、D所围成的四边形的面积为6． 18．补全证明过程． 如图，已知分别是的平分线，．求证：． 证明：因为（已知）， 所以（①__________）， 因为平分平分（已知）， 所以②__________， ③__________（④__________）， 所以， 所以（⑤____________________）． 五、（本大题共2小题，每小题10分，共20分） 19．数形结合是解决数学问题的一种重要思想方法，借助此方法可将抽象的数学知识变得直观且具有可操作性，从而帮助我们解决问题．初中数学中有一些代数恒等式可以用一些卡片拼成的图形面积来解释．某同学在学习的过程中动手剪了如图①所示的正方形与长方形卡片若干张． (1)他用1张1号、1张2号和2张3号卡片拼出一个新的图形（如图②）．根据这个图形的面积关系写出一个你所熟悉的乘法公式，这个乘法公式是________． (2)如果要拼成一个长为，宽为的大长方形，那么需要2号卡片______张，3号卡片______张； (3)当他拼成如图③所示的长方形时，根据6张小卡片的面积和等于大长方形的面积可以把多项式分解因式，其结果是________． (4)请你依照该同学的方法，画出拼图并利用拼图将分解因式． 20．【问题背景】学年秋季学期的小明正在读初中八年级，小明的哥哥正在读高二，元旦假期休息的时候小明翻看哥哥放在书桌上的练习册，发现一道数学题．哥哥对他说：你学完分式相关的知识也能解决这道题，高中数学知识是在初中数学知识的基础上进行系统性拓展、深化和延伸的，二者是层层递进的衔接关系．初中打好基础，高中才能学的好． 你和小明一起来分析一下这道题： 【问题解决】规定：对于正数x，规定，例如：， 则． 小明观察题目发现，题目具有一定的规律： 第1个式子可以化为：； 第2个式子可以化为：； 第3个式子可以化为：； 第4个式子可以化为：；…… (1)仿照小明的发现规律，猜想并写出第个式子____________（为正整数）； (2)请用（1）中发现的规律计算的值，并写出过程． (3)请你根据已经掌握的经验直接写出 六、（本大题共1小题，每小题12分，共12分） 21．问题情境：如图1，，，，求度数． 小明的思路是：过作，通过平行线性质来求． (1)按小明的思路，易求得的度数为_______度； (2)问题迁移：如图2，，若点在射线上运动，记，，问与，之间有何数量关系？请说明理由； (3)问题解决：图3为北斗七星的位置图，将其抽象成图4，其中北斗七星分别标为、、、、、、，将、、、、、、顺次连接，天文小组发现若恰好经过点，且，比大100°，，请直接写出与的数量关系． 七、（本大题共1小题，每小题12分，共12分） 22．我们给出以下两个定义： ①三角形； ②3×3的方格图． 请你根据上面两个定义，解答下列问题： (1)填空： ， ； (2)若，求的值． 八、（本大题共1小题，每小题14分，共14分） 23．平遥牛肉是山西省国家地理标志产品．某特产店销售A，B两种规格的平遥牛肉．购买1袋A规格平遥牛肉和2袋B规格平遥牛肉花费280元；购买2袋A规格平遥牛肉和3袋B规格平遥牛肉花费460元． (1)分别求1袋A规格平遥牛肉和1袋B规格平遥牛肉的价格． (2)该特产店推出“转发朋友圈”的优惠方案（顾客只能选择其中一种方案，每种规格的平遥牛肉限购10袋）： 方案一：每袋A规格平遥牛肉便宜10元，每袋B规格平遥牛肉优惠； 方案二：每袋B规格平遥牛肉便宜15元，每袋A规格平遥牛肉优惠． 若小陈计划购买A，B两种规格的平遥牛肉各10袋，选择方案一的花费不高于选择方案二的花费，求a的最小值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $