24.4 数据的分组 课件 2025～2026学年人教版八年级数学下册

这是一份初中数学八年级下册“24.4数据的分组”同步教学课件，通过回顾旧知引入离差平方和概念，结合招聘成绩分组实例，引导学生掌握组内离差平方和最小的分组原则，包含例题精讲、巩固练习及拓展提升等学习支架。 资料以问题驱动教学，通过招聘成绩、学生竞赛成绩等实例，引导学生用数学眼光观察现实分组需求，通过推导离差平方和分解培养逻辑推理能力，用表格规范呈现分组结果提升数据表达能力，适合八年级学生逻辑思维发展需求，帮助其发展数据分析素养，也为教师提供完整教学流程和实例参考。

24.4数据的分组 八年级　下册 教学目标 重点：能依据组内离差平方和最小的原则对数据进行合理分组. 难点：深刻领会组内离差平方和最小原则的原理并灵活运用其解决实际数据分组问题. 1.了解组内离差平方和与组间离差平方和的概念. 2.能够按照组内离差平方和最小的分组原则对数据进行分组. 3.借助数据的分组原则解决实际问题. 回顾旧知 1.若一组数据，， ，它的平均数为，这n个数的离差平方和 新课学习 问题 一家公司向社会招聘一名员工，所有应聘者先统一参加笔试，然后根据笔试成绩确定一部分应聘者进入面试.将10名应聘者的笔试成绩（百分制）按从小到大的顺序排列如下： 58 64 68 75 76 83 85 89 90 92 你认为哪一部分应聘者应当进入面试？ 选择笔试成绩好的进入面试，那么怎样才算好呢？ 可以有不同的标准。例如，前三名或85分以上等。不管那种标准，目的都是把笔试成绩分成好和差两组。 若以“85分及以上”为好成绩的标准，则85分属于好成绩，而83分属于差成绩;83分与85分的差距很小，这可能导致两个很接近的笔试成绩被分到不同的组. 新课学习 思考：应该遵循怎样的分组原则才更合理? 从公司角度看，把笔试成绩相对接近的分到同一组，是一种较合理的做法。因此，笔试成绩根据组内差异最小的原则进行分组. 要使分组后的组内差异最小，将笔试成绩按从小到大的顺序排列，使相互最接近的笔试成绩挨在一起，然后进行分组，可以发现，10个笔试成绩按顺序排列形成了9个间隔，如下. 每个间隔都可以把笔试成绩分成好和差两组，共有9种分法. 58 64 68 75 76 83 85 89 90 92 思考：怎么刻画组内笔试成绩差异的大小呢?哪种分法能使笔试成绩好和差两组的组内差异最小? 利用离差平方和刻画组内数据的离散程度，进而对数据进行分组 新课学习 一般地，设有一般地，设有n个数据x1，x2，…，xn，假设这些数据都不相等，其平均数记为x，则离差平方和为=（x1-x）2+（x2-x）2+…+（xn-x）2. 如果把这组数据分为两组，前m（m＜n）个数据为一组（称为第一组），后（n-m）个数据为一组（称为第二组），那么这n个数据的离差平方和可以分解为两类离差平方和：一类反映两个组内数据的离散程度，另一类反映两组数据之间的差异程度. 它们的平均数分别记为x1和x2，离差平方和分别为 =（x1-x1）2+（x2-x1）2+…+（xm-x1）2， =（xm+1-x2）2+（xm+2-x2）2+…+（xn-x2）2. 新课学习 =（x1-x）2+（x2-x）2+…+（xn-x）2 =（x1-x）2+（x2-x）2+…+（xm-x）2+（xm+1-x）2+ （xm+2-x）2+…+（xn-x）2 =（x1-x1+ x1 - x ）2+（x2-x1 + x1 - x ）2+…+ （xm-x1 + x1 - x ）2+（xm+1-x2 + x2 - x ）2+（xm+2-x2 + x2 - x ）2+…+（xn-x2 + x2 - x ）2 =（x1-x1）2+（x2-x1）2+…+（xm-x1）2+（xm+1-x2）2+ （xm+2-x2）2+…+（xn-x2）2 = + + m（x1-x）2+（n-m）（x2-x）2. + 称为组内离差平方和；表示两个组内数据的离散程度 新课学习 其中 + 称为组内离差平方和，表示两个组内数据的离散程度；记=m（x1-x）2+（n-m）（x2-x）2，称为组间离差平方和，表示两个组间的差异. 一个合理的分组原则是使组内离差平方和达到最小，组间离差平方和达到最大.由于总体离差平方和 d2不变，只需考虑使组内离差平方和+ 达到最小即可. 新课学习 根据组内离差平方和最小的原则，能使笔试成绩相差较小的应聘者分在同一组，计算这9种分法的组内离差平方和（结果保留小数点后一位）. 分析：第一组1个、第二组9个数据，计算组内离差平方和； 第一组2个、第二组8个数据，计算组内离差平方和； …… 58 64 68 75 76 83 85 89 90 92 新课学习 分组 第一组离差平方和 第二组离差平方和 组内离差平方和 第1个间隔 第2个间隔 第3个间隔 第4个间隔 第5个间隔 第6个间隔 第7个间隔 第8个间隔 第9个间隔 0 18 50.7 152.8 228.8 411.3 587.4 819.5 1026.2 799.6 503.5 271.4 170.8 54.8 26 4.7 2 0 799.6 521.5 322.1 323.6 283.6 437.3 592.1 821.5 1 026.2 可以发现，当按第5个间隔分组时，组内离差平方和最小. 因此，分法为{58，64，68，75，76}和{83，85，89，90，92}. 如下表所示. 58 64 68 75 76 83 85 89 90 92 例题精讲 例1 甲、乙、丙、丁四名学生竞赛成绩(单位：分)如下：15，18，15，24，根据组内离差平方和最小的原则，将竞赛成绩分成两组. 15，15，18，24　 {15，15，18}，{24}　 解：将4个数据按从小到大排列： . 将它们分成两组共有3种情况： 按第1个间隔分组为{15}，{15，18，24}； 按第2个间隔分组为{15，15}，{18，24}； 按第3个间隔分组为 . 例题精讲 以第2种分组情况为例，计算组内离差平方和. 第一组{15，15}的平均数是15，离差平方和 ＝0； 第二组{18，24}的平均数是21，离差平方和 ＝(18－21)2＋(24－21)2＝18， 因此，按第2个间隔分组，组内离差平方和 ＋ ＝0＋18＝18. 同理，计算其他2种分组情况的组内离差平方和，结果如下： 分组 第一组离差平方和 第二组离差平方和 组内离差平方和 第1个间隔 0 42 42 第2个间隔 0 18 18 第3个间隔 6 0 6 观察最后一列组内离差平方和可以发现，当按第 ⁠个间隔分组时，组内离差平方和最小.因此，将竞赛成绩分成的两组是 和 ⁠. 0 42 42 6 0 6 3　 {15，15，18}　 {24}　 归纳总结 (3)选择使组内离差平方和最小的分组方法作为最优解，组内离差平方和，其本质是衡量组内数据离散程度. (1)将数据按照从小到大排列; (2)数与数之间定好间隔，尝试不同的分组方法，计算每个分组的组内离差平方和; 解决实际分组问题的步骤有哪些？ 例题精讲 根据平均高温的组内离差平方和最小的原则，把这10个城市分为两组. 城市 北京 石家庄 呼和浩特 哈尔滨 上海 广州 海口 成都 贵阳 昆明 平均高温/℃ 11 9 10 12 16 21 23 24 21 18 例2 10个城市某月的每日最高温度的平均数（简称平均高温）如下表所示. 解：将表中的数据按从小到大排列，可得 -11 -3 3 3 9 10 12 17 21 22 将它们分成两组共有9种情况，分别计算组内离差平方和（结果保留小数点后一位），如下表所示. 例题精讲 分组 第一组离差平方和 第二组离差平方和 组内离差平方和 第1个间隔 第2个间隔 第3个间隔 第4个间隔 第5个间隔 第6个间隔 第7个间隔 第8个间隔 第9个间隔 0 32 98.7 132 228.8 308.8 397.4 562 789.6 584.2 380.9 285.7 158.8 113.2 62 14 0.5 0 584.2 412.9 384.4 290.8 342 370.8 411.4 562.5 789.6 观察最后一列组内离差平方和可以发现，当按第4个间隔分组时，组内离差平方和最小. 因此，按组内离差平方和最小的分法为{北京，石家庄，呼和浩特，哈尔滨}和{上海，广州，海口，成都，贵阳，昆明}. 巩固练习 1. 科研人员选出8株植物，在同等实验条件下，测量它们光合作用速率(单位：μmol∙m－2∙s－1)，统计结果为35，30，23，17，20，25，32，30.若按照组内离差平方和最小的原则，则需先将数据由 到 ⁠排序，再将这8株植物分成两组时，共可以分成 ⁠种情况. 小　 大　 7　 C层　拓展 巩固练习 2. (教材P186习题T2)某镇6家企业去年的产值如下表所示. 企业 A B C D E F 产值/亿元 3 12 4 8 9 15 根据年产值的组内离差平方和最小的原则，把这6家企业分为两组. 分别计算组内离差平方和，结果如下： 分组 第一组离差平方和 第二组离差平方和 组内离差平方和 第1个间隔 0 69.2 69.2 第2个间隔 0.5 30 30.5 第3个间隔 14 18 32 第4个间隔 26 4.5 30.5 第5个间隔 54.8 0 54.8 C层　拓展 巩固练习 观察最后一列组内离差平方和可以发现，当按第2、第4个间隔分组时， 组内离差平方和最小.因此，把这6家企业分成的两组是{3，4}， {8，9，12，15}或{3，4，8，9}，{12，15}. 2. (教材P186习题T2)某镇6家企业去年的产值如下表所示. 企业 A B C D E F 产值/亿元 3 12 4 8 9 15 根据年产值的组内离差平方和最小的原则，把这6家企业分为两组. C层　拓展 拓展提升 3.(教材P186习题T3)如果把数据9，6，3，5，12分成三组，根据组内离差平方和最小的原则，应该如何分？ 解：将5个数据按从小到大排列：3，5，6，9，12. 把它们分成三组共有6种情况，分别计算组内离差平方和， 结果如下： 分组 组内离差平方和 第一组{3}，第二组{5}，第三组{6，9，12} 18 第一组{3}，第二组{5，6}，第三组{9，12} 5 第一组{3}，第二组{5，6，9}，第三组{12} 8.67 第一组{3，5}，第二组{6}，第三组{9，12} 6.5 第一组{3，5}，第二组{6，9}，第三组{12} 6.5 第一组{3，5，6}，第二组{9}，第三组{12} 4.67 C层　拓展 拓展提升 3.(教材P186习题T3)如果把数据9，6，3，5，12分成三组，根据组内离差平方和最小的原则，应该如何分？ 计算结果表明，第6种情况的组内离差平方和最小. 因此，将数据9，6，3，5，12 分成的三组是{3，5，6}，{9}和{12}. C层　拓展 课堂小结 数据的分组 离差平方和： = + + m（x1-x）2+（n-m）（x2-x）2 组内离差平方和最小原则： 组内数据越集中，组间差异越清楚，分组才有意义 21 布置作业 1.必做题：习题24.4 第1，2题. 2.探究性作业：习题24.4 第3题. 22 $