精品解析：甘肃武威市古浪县2024-2025学年下学期八年级期末数学试卷

甘肃省武威市古浪县2024-2025学年下学期八年级期末数学试卷 一、选择题（30分） 1. 在式子、、、、、中，分式的个数有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查分式的定义，熟练掌握分式的定义是解答本题的关键．判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．注意π不是字母，是常数，所以分母中含π的代数式不是分式，是整式． 【详解】解：、、是整式， 、、时分式． 故选：B． 2. 下列函数中，随x的增大而减小的是（ ） A. B. C. （） D. （） 【答案】D 【解析】 【详解】A、∵函数中，，∴该函数图像在第二、四象限，且在每个象限内随的增大而增大，故本选项错误，不符合题意； B、∵函数中，，∴该函数图像在第一、三象限，在每个象限内随的增大而减小，但总体不是随的增大而减小，故本选项错误，不符合题意； C、∵函数（）中，，∴该函数图像在第四象限，且在第四象限内随的增大而增大，故本选项错误，不符合题意； D、∵函数（）中，，∴该函数图像在第三象限，且在第三象限内随的增大而减小，故本选项正确，不符合题意． 3. 初三•一班五个劳动竞赛小组一天植树的棵数是：10，10，12，x，8，如果这组数据的众数与平均数相等，那么这组数据的中位数是（　　） A. 12 B. 10 C. 9 D. 8 【答案】B 【解析】 【详解】分析: 众数可能是10，也可能是12或8，因此应分众数是10或者众数是12，或者众数是8三种情况进行讨论． 详解: 当众数是10时， ∵众数与平均数相等， ∴（10+10+12+x+8）=10，解得x=10． 这组数据为：8，10，10，10，12， ∴中位数为10； 当众数是12时，∵众数与平均数相等， ∴（10+10+12+x+8）=12，此题解出x=20，故不可能； 当众数是8时，∵众数与平均数相等， ∴（10+10+12+x+8）=8，此题解出x=0，故不可能． 所以这组数据中的中位数是10． 故选B． 点睛: 本题考查了众数、平均数、中位数的求法及分类讨论的数学思想，正确运用分类讨论的思想是解答本题的关键． 4. 下面四个命题； ①相邻的两个角都互补的四边形是平行四边形 ②对角线相等的四边形是矩形 ③一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 ④对角线互相垂直平分的四边形是菱形． 其中正确的是（ ） A. ①④ B. ②④ C. ②③ D. ①③ 【答案】A 【解析】 【分析】①利用同旁内角互补，两直线平行，即可证得此四边形的两组对边分别平行，得平行四边形；②、③举反例等腰梯形，即可判断；④根据平行四边形与菱形的判定即可证得． 【详解】解：如图所示： ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形． 即相邻的两个角都互补的四边形是平行四边形， 故①是符合题意的； 对角线相等的四边形不一定是矩形，也可能是等腰梯形， 故②是不符合题意的； 一组对边平行，另一组对边相等的四边形可能是等腰梯形； 故③是不符合题意的； 对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形； 故④是符合题意的； 5. 已知直角坐标系内三个点．若在坐标系平面内再找一个点，使这四个点构成的四边形是平行四边形，则该点的坐标不可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设平行四边形的第四个顶点为点D，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得到D点坐标的三种情况：当时；当时；当时，分别求出点D的坐标即可求解． 【详解】解：∵两组对边分别平行的四边形是平行四边形， ∴设平行四边形的第四个顶点为点D，分以下三种情况分别求出D点的坐标： ①当时，D点的坐标为； ②当时，D点的坐标为； ③当时，D点的坐标为． 故D点坐标不可能是． 6. 函数中自变量的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据分母不为0，即可求得的取值范围． 【详解】解：根据题意，可得， ∴． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了求函数自变量的取值范围问题，利用分母不为0求解是解题关键． 7. 如图所示，在中，对角线交于点O，下列式子中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行四边形的对角线的性质，即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴B选项正确． 故选：B． 【点睛】本题考查了平行四边形的对角线的性质，熟记平行四边形的性质是解题关键． 8. 如图，在梯形中，，，，，，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【详解】注意掌握辅助线的作法及数形结合思想的应用．由过点A作，交于点E，由，可得四边形是平行四边形，又由，，易证得是等边三角形，则可求得答案． 【解答】解：过点A作，交于点E， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴． 9. 如图，在周长为的中，，交于点O，交于点E，则的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，垂直平分线的判定与性质，根据线段垂直平分线的性质可知，再结合平行四边形的性质即可计算的周长． 【详解】解：根据平行四边形的性质得： ， 为的垂直平分线， ， 的周长 故选：D． 10. 如图，四边形为矩形纸片，把纸片折叠，使点恰好落在边的中点处，折痕为，若，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了矩形、直角三角形的性质、轴对称的性质、勾股定理等知识，由图形折叠的性质得到，，由是的中点可求出的长，再求出的长，从而用表示出，在中利用勾股定理求出的长，进而再利用勾股定理即可求得答案. 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，，， 由折叠的性质得，，， ∵，为中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在中，根据勾股定理得，， ∴， ∴， 故选：． 二、填空题（每小题3分，共24分） 11. 若数据8，9，7，8，x，3的平均数是7，则这组数据的众数是________． 【答案】7，8 【解析】 【详解】由题意知，， 解得x＝7， 这组数据中7，8各出现两次，出现次数最多， 故众数是7，8． 12. 如图，将一张等腰直角三角形纸片沿中位线剪开可以拼成不同形状的四边形，请写出其中一种四边形的名称_______． 【答案】平行四边形或等腰梯形或矩形 【解析】 【详解】让相等边重合，动手操作看拼合的形状即可． 【解答】解：如图：可知可拼成平行四边形、等腰梯形和矩形三种不同的形状． 13. 一次函数y1＝kx＋b与y2＝x＋a的图象如图，则下列结论：①k＜0；②a＞0；③当x＜3时，y1＜y2正确的是_____． 【答案】① 【解析】 【分析】根据一次函数的图象和性质即可判断出k和a的取值范围；由图象的交点横坐标即可得到③的结论． 【详解】解：①y1＝kx＋b的图象过一、二、四象限，则k＜0；故此选项正确； ②y2＝x＋a的图象过一、三、四象限，则a＜0；故此选项错误； ③由于两函数图象交点横坐标为3，则当x＜3时，y1＞y2；故此选项错误． 故答案为：①． 【点睛】此题考查一次函数图象，一次函数图象的性质，一次函数图象与系数的符号关系，根据一次函数交点判定函数值的大小，熟记一次函数的性质是解题的关键． 14. 如图，菱形的对角线，，则菱形的周长_______． 【答案】52 【解析】 【分析】根据菱形的性质利用勾股定理求得菱形的边长，再根据周长公式求得即可． 【详解】解：设菱形的对角线相交于点O， ∴，，， ∴在中，， ∴菱形的周长． 15. 生物学家发现一种病毒的长度约为，用科学记数法表示这个数为_______． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 16. 如图所示，在▱ABCD中，E，F分别为AD，BC边上的一点，若添加一个条件_______，则四边形EBFD为平行四边形． 【答案】AE＝FC或∠ABE＝∠CDF 【解析】 【详解】试题分析：∵四边形EBFD要为平行四边形，∴∠BAE=∠DCF，AB=CD，又AE=FC ∴△AEB≌△CFD，∴AE=FC，∴DE=BF ∴四边形EBFD为平行四边形． ∴可添加的条件是AE=FC，同理还可添加∠ABE=∠CDF． 故答案为AE=FC或∠ABE=∠CDF． 考点： 平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质． 17. 如图，梯形纸片，，，，，将纸片折叠，使点B与点D重合，折痕为，则_______． 【答案】4 【解析】 【详解】根据翻折不变性，找到全等的三角形，得，．以此确定四边形为平行四边形，得，最后把数值代入计算，即可作答． 【解答】解：连接． ∵将纸片折叠，使点B与点D重合，折痕为， 故， ∴，． 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴． 18. 已知直线交y轴于点，交轴于点，交双曲线于点，轴，垂足为，且，则_______． 【答案】6 【解析】 【详解】先确定直线与坐标轴的交点坐标，则可计算出的面积，于是得到的面积，然后根据反比例函数的比例系数的几何意义即可得到的值． 【解答】解：把代入， 解得：， 把代入得， 解得：， ∴坐标为，点坐标为， ∴， ∵， ∴， ∴，而， ∴． 三、解答题 19. 解分式方程：﹣＝． 【答案】无解 【解析】 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】解：去分母得：（x﹣2）2﹣16＝（x+2）2， 整理得：8x＝﹣16， 解得：x＝﹣2， 经检验x＝﹣2是增根，分式方程无解． 【点睛】本题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根． 20. 先化简分式，然后请你选取一个合适的x的值，使分式的值为一个整数． 【答案】化简结果：；答案不唯一，当时，值为1 【解析】 【详解】解： ， 根据分式有意义的条件，得，且， 故，且且， 当时，原式． 21. 如图，直线与双曲线只有一个交点，且与x轴、y轴分别交于B，C两点，垂直平分，垂足为D，求直线、双曲线的表达式． 【答案】， 【解析】 【分析】根据点A的坐标求出反比例函数解析式；根据A点坐标以及与的关系求出B点坐标，利用待定系数法求出直线解析式 【详解】∵点在上 ， ∴， ∴.， ∴双曲线的解析式为， ∵垂直平分， ∴ ∴ ∵在直线上 ∴ ， 解得 ， ∴直线解析式为 【点睛】本题考查了利用待定系数法求函数解析式.根据已知条件求出点B的坐标是求一次函数解析式的关键. 22. 如图，等腰梯形中，，、分别是、的中点，、分别是、中点． （1）求证：四边形是菱形； （2）若四边形是正方形，请探索等腰梯形的高和底边的数量关系，并证明你的结论． 【答案】（1）证明：∵四边形为等腰梯形， ∴，， ∵为的中点， ∴， ∴在和中， ∴， ∴， ∵、、分别是、、的中点， ∴、分别为的中位线， ∴，，且，， ∴， ∴四边形是菱形； （2）结论：等腰梯形的高是底边的一半． 理由：连接， ∵，， ∴， ∴是梯形的高， 又∵四边形是正方形， ∴， ∴为直角三角形， 又∵是的中点， ∴， 即等腰梯形的高是底边的一半． 【解析】 【分析】（1）利用等腰梯形的性质证明，得到，再利用中位线的性质证明，即可证明四边形是菱形； （2）连接，利用等腰三角形三线合一的性质证明，利用正方形的性质得到，证明出为直角三角形，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得到． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 23. 由于某地供水管爆裂.该地供水部门组织工人进行抢修.供水部门距离抢修工地15千米.抢修车装载着所需材料先从供水部门出发，15分钟后，工人乘吉普车从同一地点出发，结果他们同时到达抢修工地．已知吉普车速度是抢修车速度的1.5倍，求这两种车的速度. 【答案】抢修车的速度为20千米/时，吉普车的速度为30千米/时. 【解析】 【详解】分析：速度分别是：设抢修车的速度为x千米/时，则吉普车的速度为1.5x千米/时；路程：都是15千米，时间表示为：，．关键描述语为：“抢修车装载着所需材料先从供电局出发，15分钟后，电工乘吉普车从同一地点出发，结果两车同时到达抢修工地”．等量关系为：抢修车的时间-吉普车的时间=． 详解：设抢修车的速度为x千米/时，则吉普车的速度为1.5x千米/时. 由题意得-=， 解得x＝20 经检验x＝20是原方程的根  当x＝20时，1.5x＝30  答：抢修车的速度为20千米/时，吉普车的速度为30千米/时. 点睛：此题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 24. 已知：如图，在▱ABCD中，点E是BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，连接BF． (1)求证：△ABE≌△FCE； (2)若AF＝AD，求证：四边形ABFC是矩形． 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析. 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形性质得出AB∥DC，推出∠1＝∠2，根据AAS证两三角形全等即可； （2）根据全等得出AB＝CF，根据AB∥CF得出平行四边形ABFC，推出BC＝AF，根据矩形的判定推出即可． 【详解】(1)证明：如图． ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥DC 即 AB∥DF， ∴∠1＝∠2， ∵点E是BC的中点， ∴BE＝CE． 在△ABE和△FCE中， ， ∴△ABE≌△FCE(AAS)． (2)证明：∵△ABE≌△FCE， ∴AB＝FC， ∵AB∥FC， ∴四边形ABFC是平行四边形， ∴AD＝BC， ∵AF＝AD， ∴AF＝BC， ∴四边形ABFC是矩形． 【点睛】考查了平行四边形的性质和判定，矩形的判定，全等三角形的性质和判定等知识点的应用，本题主要考查学生运用定理进行推理的能力． 25. 某企业进行了一次人事变动，面向本企业全体职工招聘副厂长一名，对竞聘的A、B、C三人进行了三项测试．他们的各项测试成绩如表： 测试项目 测试成绩 A B C 笔试 67 85 72 面试 70 74 50 职工评议 67 45 88 （1）根据三项测试的平均成绩择优录用，谁将被录用？ （2）若将笔试、面试、职工评议三项测试得分按3：2：5的比例确定各人的测试成绩，此时谁将被录用？ 【答案】（1）C将被录用； （2）C将被录用． 【解析】 【分析】（1）根据平均数的定义分别计算A、B、C的平均数，然后比较大小即可； （2）根据加权平均数的计算方法分别计算A、B、C的加权平均数，然后比较大小即可． 【小问1详解】 解：∵A的平均成绩， B的平均成绩， C的平均成绩， ∴C的平均数最大， ∴根据三项测试的平均成绩择优录用，那么C将被录用； 【小问2详解】 ∵A的测试成绩， B的测试成绩， C的测试成绩， ∴C的测试成绩最高， ∴若将笔试、面试、职工评议三项测试得分按的比例确定各人的测试成绩，此时C将被录用． 26. 如图，直线与轴交于点B，与双曲线交于点A、C，其中点A在第一象限，点C在第三象限． （1）求双曲线的解析式； （2）求B点的坐标； （3）若，求A点的坐标； （4）在（3）的条件下，在x轴上是否存在点P，使是等腰三角形？若存在，请直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）（2）（3）（4），，， 【解析】 【详解】此题考查了反比例函数的定义确定函数的解析式，也考查了利用函数的性质确定点的坐标，最后考查了根据图形变换求点的坐标． （1）根据双曲线函数的定义可以确定m的值； （2）利用当时，就知道B的坐标； （3）根据（1）知道，而，利用它们可以求出A的坐标； （4）存在点P，使是等腰三角形．只是确定P坐标时，题目没有说明谁是腰，是底，所以要分类讨论，不要漏解． 解：（1）∵是双曲线， ∴， ∴， ∴； （2）∵直线与x轴交于点B， ∴当时，， ∴， ∴； （3）∵， ∴， 过A作轴于点D ∵点A在双曲线上， ∴设， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （4）存在； 由（2）知，， ∴， 设， ∴， 当时， ∴， ∴， ∴， ∴， 当， ∴， ∴， ∴（舍）或， ∴， 当， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴P点的坐标为，，， ． 27. 请阅读下列材料： 问题：如图，在正方形和平行四边形中，点A，B，E在同一条直线上，P是线段的中点，连接． 探究：当与的夹角为多少度时，平行四边形是正方形？ 小聪同学的思路是：首先可以说明四边形是矩形；然后延长交于点H，构造全等三角形，经过推理可以探索出问题的答案． 请你参考小聪同学的思路，探究并解决这个问题． （1）求证：四边形是矩形； （2）与的夹角为_______度时，四边形是正方形． 理由： 【答案】（1）证明：∵正方形中，， ∴， ∵平行四边形， ∴四边形是矩形． （2）解：； 理由：延长交于点H， ∵正方形和平行四边形中，， ∴， ∴， ∵P是线段的中点， ∴， ∴， ∴，， 当时，， ∵， ∴， ∴， ∵正方形中，， ∴，即， ∴， ∴平行四边形是菱形， 由（1）知四边形是矩形， ∴四边形是正方形． 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质得出，再由矩形的判定即可证明； （2）延长交于点H，根据全等三角形的判定得出，，再由其性质确定，，结合正方形的判定即可证明． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 甘肃省武威市古浪县2024-2025学年下学期八年级期末数学试卷 一、选择题（30分） 1. 在式子、、、、、中，分式的个数有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 2. 下列函数中，随x的增大而减小的是（ ） A. B. C. （） D. （） 3. 初三•一班五个劳动竞赛小组一天植树的棵数是：10，10，12，x，8，如果这组数据的众数与平均数相等，那么这组数据的中位数是（　　） A. 12 B. 10 C. 9 D. 8 4. 下面四个命题； ①相邻的两个角都互补的四边形是平行四边形 ②对角线相等的四边形是矩形 ③一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 ④对角线互相垂直平分的四边形是菱形． 其中正确的是（ ） A. ①④ B. ②④ C. ②③ D. ①③ 5. 已知直角坐标系内三个点．若在坐标系平面内再找一个点，使这四个点构成的四边形是平行四边形，则该点的坐标不可能是（ ） A. B. C. D. 6. 函数中自变量的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 如图所示，在中，对角线交于点O，下列式子中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在梯形中，，，，，，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 9. 如图，在周长为的中，，交于点O，交于点E，则的周长为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，四边形为矩形纸片，把纸片折叠，使点恰好落在边的中点处，折痕为，若，则等于（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共24分） 11. 若数据8，9，7，8，x，3的平均数是7，则这组数据的众数是________． 12. 如图，将一张等腰直角三角形纸片沿中位线剪开可以拼成不同形状的四边形，请写出其中一种四边形的名称_______． 13. 一次函数y1＝kx＋b与y2＝x＋a的图象如图，则下列结论：①k＜0；②a＞0；③当x＜3时，y1＜y2正确的是_____． 14. 如图，菱形的对角线，，则菱形的周长_______． 15. 生物学家发现一种病毒的长度约为，用科学记数法表示这个数为_______． 16. 如图所示，在▱ABCD中，E，F分别为AD，BC边上的一点，若添加一个条件_______，则四边形EBFD为平行四边形． 17. 如图，梯形纸片，，，，，将纸片折叠，使点B与点D重合，折痕为，则_______． 18. 已知直线交y轴于点，交轴于点，交双曲线于点，轴，垂足为，且，则_______． 三、解答题 19. 解分式方程：﹣＝． 20. 先化简分式，然后请你选取一个合适的x的值，使分式的值为一个整数． 21. 如图，直线与双曲线只有一个交点，且与x轴、y轴分别交于B，C两点，垂直平分，垂足为D，求直线、双曲线的表达式． 22. 如图，等腰梯形中，，、分别是、的中点，、分别是、中点． （1）求证：四边形是菱形； （2）若四边形是正方形，请探索等腰梯形的高和底边的数量关系，并证明你的结论． 23. 由于某地供水管爆裂.该地供水部门组织工人进行抢修.供水部门距离抢修工地15千米.抢修车装载着所需材料先从供水部门出发，15分钟后，工人乘吉普车从同一地点出发，结果他们同时到达抢修工地．已知吉普车速度是抢修车速度的1.5倍，求这两种车的速度. 24. 已知：如图，在▱ABCD中，点E是BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，连接BF． (1)求证：△ABE≌△FCE； (2)若AF＝AD，求证：四边形ABFC是矩形． 25. 某企业进行了一次人事变动，面向本企业全体职工招聘副厂长一名，对竞聘的A、B、C三人进行了三项测试．他们的各项测试成绩如表： 测试项目 测试成绩 A B C 笔试 67 85 72 面试 70 74 50 职工评议 67 45 88 （1）根据三项测试的平均成绩择优录用，谁将被录用？ （2）若将笔试、面试、职工评议三项测试得分按3：2：5的比例确定各人的测试成绩，此时谁将被录用？ 26. 如图，直线与轴交于点B，与双曲线交于点A、C，其中点A在第一象限，点C在第三象限． （1）求双曲线的解析式； （2）求B点的坐标； （3）若，求A点的坐标； （4）在（3）的条件下，在x轴上是否存在点P，使是等腰三角形？若存在，请直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由． 27. 请阅读下列材料： 问题：如图，在正方形和平行四边形中，点A，B，E在同一条直线上，P是线段的中点，连接． 探究：当与的夹角为多少度时，平行四边形是正方形？ 小聪同学的思路是：首先可以说明四边形是矩形；然后延长交于点H，构造全等三角形，经过推理可以探索出问题的答案． 请你参考小聪同学的思路，探究并解决这个问题． （1）求证：四边形是矩形； （2）与的夹角为_______度时，四边形是正方形． 理由： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $