精品解析：2026年辽宁省盘锦市兴隆台区等校联考中考考前模数学试题

2025-2026学年度下学期九年级三模 数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 如果向南走3米，记作米，那么米表示（ ） A. 向东走7米 B. 向西走7米 C. 向北走7米 D. 向南走7米 2. 如图是由七个完全相同的小正方体组成的立体图形，则它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 3. 求索半世纪、奋斗十余载，中国人的“大飞机梦”在新时代终成现实——我国首次按照国际通行适航标准自行研制、具有自主知识产权的喷气式干线客机完成研发、制造、取证、投运．2024年9月19日中午，印有“”字样的南航航班从广州白云机场腾空而起，飞向上海虹桥机场．（标准航程型）最大起飞质量72500，72500用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 纹样是中国文化的瑰宝，以下纹样既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 6. 如图，平行四边形中，点为中点，若的面积为，则的面积为（ ） A. B. C. D. 7. 数学小组做“用频率估计概率”的试验时，为了统计试验结果出现的频率，绘制了如图的折线统计图，符合这一结果的试验最有可能的是 （ ） A. 掷一个质地均匀的正方体骰子，朝上的面点数是偶数 B. 在“石头、剪刀、布”的游戏中，小丽随机出的是“剪刀” C. 袋子中有1个红球和2个黄球，除颜色外完全相同，从中任取一球是黄球 D. 一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌花色是红桃 8. 如图，线段AB两个端点的坐标分别为，，以原点O为位似中心，在第一象限内将线段缩小为原来的后得到线段，则点B的对应点D的坐标为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，，，将绕点旋转得到，当点恰好落在直线上时，的长为（ ） A. B. C. D. 6 10. 《九章算术》中记载，浮箭漏出现于汉武帝时期．如图，它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺刻度计算时间．已知在箭尺有一定读数的情况下，供水2小时，箭尺读数为；供水6小时，箭尺读数为．若设箭尺每小时上升，则可列方程（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 不等式组的解集是_________． 12. 因式分解：______． 13. 如图，在平面直角坐标系中，点，点，以为边在第一象限内作正方形，反比例函数过点，则的值为__________． 14. 如图，菱形的边长为，，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于，两点，直线交于点，连接，则的长为______ ． 15. 如图，已知抛物线和线段，点和点的坐标分别为，将抛物线向上平移个单位长度后与线段仅有一个交点，则的取值范围是______． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答题写出文字说明，演算步骤或推理过程） 16. （1）计算： （2）化简： 17. 现有一根弹簧，在弹性限度内，弹簧的长度是所受拉力的一次函数．当弹簧所受拉力为时，弹簧长；所受拉力为时，弹簧长． （1）求弹簧在不受力时的自然长度； （2）若弹簧最大长度不超过，则弹簧所受的最大拉力为多少牛？ 18. 为了激发学生探究科学的兴趣，培养学生的创新精神和实践能力，学校开展了以“智能生活”为主题的发明创造竞赛活动，要求参赛的学生结合生活实际，设计并制作一款智能生活小发明，解决生活中的实际问题．学生们积极参与，上交了大量的作品，学校将学生上交的作品，按科学性，创新性，实用性三个方面进行了评比，给出了每件作品的最终评分（参赛作品的成绩为百分制，最低分为分）．学校抽取了部分参赛学生的成绩，成绩用（单位：分）表示，并将其分成如下四组：：，：，：，：，统计出如下信息： 信息一： 信息二： 信息三：组的数据（单位：分）如下： ， 请根据以上信息，解答下列问题： （1）求抽取成绩的学生人数； （2）求所抽取的学生成绩的中位数； （3）若全校参赛学生有人，请估计学生的成绩不低于分的人数． 19. 如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数（）的图象相交于，两点，过点作轴，过点作轴，与相交于点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）若直线与轴相交于点，点是反比例函数（）上一点，连接，，若的面积等于的面积，求点的坐标． 20. 问题提出 气象部门为研究雷暴生成与发展的规律，优化雷电预警机制，某雷雨天，在地面上点处，对雷电的发生实施监测（检测仪高度忽略不计，闪电光传播时间忽略不计）：闪电发生瞬间，首先测得闪电始发点处的仰角为，8秒钟后接收到该闪电传出的雷声；接着又在另一闪电的始发点处，测得仰角为，15秒钟后接收到该闪电的雷声，已知点、、在同一个垂直于地面的平面内．你能依据所提供数据，求出、两个闪电之间的距离吗？（雷声在空气中传播的速度为340米/秒） 分析解决 （1）建立模型：小海画出示意图，表示地面（如图所示），他将雷声传播速度米/秒记作，得到，请根据他的思路，求出之间的距离是多少米． （2）反思质疑：小华提出，除了小海所解的这种情形外，依据题意，点、的位置是否还存在其他情况呢？若存在，请在备用图中画出草图，并求出之间的距离是多少米；若不存在，请说明理由． 21. 已知：如图，内接于，点E为上一点，连接，，其中经过圆心O，的延长线交射线于点D，若． （1）求证：是切线； （2）若，求的长． 22. 已知是等边三角形，． （1）如图1，将沿直线平移到（A、B、C分别对应D、E、F），且两个三角形的另一边交于点G，若这两个三角形重叠部分的面积是面积的，则的长为________； （2）如图2，在（1）的条件下，当点D在边上时，将重叠绕点B逆时针旋转，使点G落在内，直线与直线相交于点F，连接，判断和和的关系，并说明理由； （3）如图3，在（1）的条件下，当点D在边上时，连接，将沿翻折得到，再将翻折得到，与交于点M，求线段的长． 23. 数学活动小组在函数学习中发现，研究不同函数的方法是一致的，因此，他们对一个分段函数开展了研究.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是，经过点A的函数G的解析式为：. （1）试求出k，a的值； （2）点A关于原点的中心对称点为，判断点是否在函数G的图象上； （3）点，是函数G上的两点. ①若点M，N之间的函数图象有确定的最大值或最小值，求出m的取值范围； ②连接，若直线与线段没有交点，求出m的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度下学期九年级三模 数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 如果向南走3米，记作米，那么米表示（ ） A. 向东走7米 B. 向西走7米 C. 向北走7米 D. 向南走7米 【答案】C 【解析】 【分析】根据向南走记为“”，得到向北走记为“”，即可求解， 本题考查了，正负数表示相反意义的量，解题的关键是：理解相反意义的量． 【详解】解：∵向南走记为“”，则向北走记为“”， ∴米表示：向北走7米， 故选：． 2. 如图是由七个完全相同的小正方体组成的立体图形，则它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接从上往下看，看到的平面图形就是俯视图，据此作答即可． 【详解】根据题意，从上面看原图形可得到 故选：B． 【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，熟练掌握知识点是解题的关键． 3. 求索半世纪、奋斗十余载，中国人的“大飞机梦”在新时代终成现实——我国首次按照国际通行适航标准自行研制、具有自主知识产权的喷气式干线客机完成研发、制造、取证、投运．2024年9月19日中午，印有“”字样的南航航班从广州白云机场腾空而起，飞向上海虹桥机场．（标准航程型）最大起飞质量72500，72500用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：， 故选：B． 4. 纹样是中国文化的瑰宝，以下纹样既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的识别．解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．如果一个图形绕某一点旋转后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心． 根据中心对称图形与轴对称图形的概念逐一判断即可． 【详解】解：A．是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B．既是轴对称图形也是中心对称图形，故此选项符合题意； C．是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D．不是轴对称图形，但是中心对称图形，故本选项不符合题意． 故选：B． 5. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了整式的运算，合并同类项，单项式乘以多项式，积的乘方以及完全平方公式，根据以上运算法则进行计算即可求解． 【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意； B. ，故该选项正确，符合题意； C. ，故该选项不正确，不符合题意； D. ，故该选项不正确，不符合题意； 故选：B． 6. 如图，平行四边形中，点为中点，若的面积为，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查相似三角形，平行四边形的性质，解题的关键是根据平行四边形的性质，得，则，，根据相似三角形的判定和性质，则，得到相似比，根据面积比是相似比的平方，即可得到答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∴， ∵点为中点， ∴， ∴， ∵的面积为， ∴， ∴的面积为． 故选：C． 7. 数学小组做“用频率估计概率”的试验时，为了统计试验结果出现的频率，绘制了如图的折线统计图，符合这一结果的试验最有可能的是 （ ） A. 掷一个质地均匀的正方体骰子，朝上的面点数是偶数 B. 在“石头、剪刀、布”的游戏中，小丽随机出的是“剪刀” C. 袋子中有1个红球和2个黄球，除颜色外完全相同，从中任取一球是黄球 D. 一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌花色是红桃 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了利用频率估计概率，利用折线统计图可得出试验的频率在0.5左右，进而得出答案． 【详解】解：A、掷一个质地均匀的正方体骰子，朝上的面点数是偶数概率为，符合这一结果，故此选项符合题意； B、在“石头、剪刀、布”的游戏中，小丽随机出的是“剪刀”的概率为，不符合这一结果，故此选项不符合题意； C、袋子中有1个红球和2个黄球，除颜色外完全相同，从中任取一球是黄球的概率为，不符合这一结果，故此选项不符合题意； D、一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌花色是红桃的概率为，不符合这一结果，故此选项不符合题意． 故选：A． 8. 如图，线段AB两个端点的坐标分别为，，以原点O为位似中心，在第一象限内将线段缩小为原来的后得到线段，则点B的对应点D的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用位似图形的性质，结合两图形的位似比，进而得出D点坐标． 【详解】解：∵线段的两个端点坐标分别为，，以原点O为位似中心，在第一象限内将线段缩小为原来的后得到线段， ∴ 即点D的横坐标和纵坐标都变为B点的一半， ∴点D的坐标为：． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了位似图形的性质，利用两图形的位似比得出对应点横纵坐标关系是解题关键．在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或－k． 9. 如图，在中，，，，将绕点旋转得到，当点恰好落在直线上时，的长为（ ） A. B. C. D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质以及特殊锐角三角函数的应用，由题意得，在中，利用特殊锐角三角函数得出和，进一步即可得出． 【详解】解：绕点旋转得到， ， ， ， , 又， 在中， ， ， ， ， ． 故选：D． 10. 《九章算术》中记载，浮箭漏出现于汉武帝时期．如图，它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺刻度计算时间．已知在箭尺有一定读数的情况下，供水2小时，箭尺读数为；供水6小时，箭尺读数为．若设箭尺每小时上升，则可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设箭尺每小时上升，由于刚开始箭尺有一定读数，根据2小时时箭尺的读数-2小时箭尺上升的高度=6小时时箭尺的读数-6小时箭尺上升的高度，即可列出方程． 本题主要考查了列一元一次方程解应用题，据题意找出等量关系是解题的关键． 【详解】设箭尺每小时上升，则可列方程， 故选：A． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 不等式组的解集是_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【详解】解：等式组的解集是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，正确掌握一元一次不等式解集确定方法是解题的关键． 12. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了综合提公因式和公式法分解因式．观察表达式，提取公因式后，再利用平方差公式进行因式分解，即可作答． 【详解】解：， 故答案为：． 13. 如图，在平面直角坐标系中，点，点，以为边在第一象限内作正方形，反比例函数过点，则的值为__________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与几何图形综合、全等三角形的判定及性质，证出是解题的关键；过点作轴于点，证明，进而求得点的坐标，即可求解． 【详解】解：如图，过点作轴于点 ∵点，点， ∴ ∵四边形是正方形， ∴， 又∵ ∴ ∴ ∴, ∴ ∴ ∴ 反比例函数的图象经过点， ． 故答案为：． 14. 如图，菱形的边长为，，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于，两点，直线交于点，连接，则的长为______ ． 【答案】 【解析】 【分析】延长交于点，交于点，如图，根据菱形的性质得到，，利用作法得垂直平分，所以，，接着计算出，则，然后计算出，最后利用勾股定理计算的长． 【详解】解：延长交于点，交于点，如图， 四边形为菱形， ，， ， 由作法得垂直平分， ，， ， 在中，， ， ， 在中， ， ， ， 在中，． 故答案为：． 【点睛】本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了线段垂直平分线的性质和菱形的性质． 15. 如图，已知抛物线和线段，点和点的坐标分别为，将抛物线向上平移个单位长度后与线段仅有一个交点，则的取值范围是______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质及图象的平移，由题意可知，将抛物线向上平移个单位长度后抛物线为，结合图形，找到临界点：当抛物线顶点恰好平移到线段上，当抛物线经过点时，求出对应的值，结合图形即可求解． 【详解】， 将抛物线向上平移个单位长度后抛物线为， 当抛物线顶点恰好平移到线段上，此时，，可得； 当抛物线经过点时，此时，可得， 此时关于对称轴对称的点，在线段上，不符合题意； 当抛物线经过点时，此时，可得， 此时关于对称轴对称的点，不在线段上，符合题意； 结合图形可知，平移后的抛物线与线段仅有一个交点时，或； 故答案为：或． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答题写出文字说明，演算步骤或推理过程） 16. （1）计算： （2）化简： 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查分式的加减运算、特殊角的三角函数及负整数指数幂，熟练掌握以上知识点是解题的关键； （1）根据去绝对值、特殊角的三角函数及负整数指数幂的运算法则进行计算即可； （2）先变成同分母的分式，再进行计算即可． 【详解】解：（1） （2） 17. 现有一根弹簧，在弹性限度内，弹簧的长度是所受拉力的一次函数．当弹簧所受拉力为时，弹簧长；所受拉力为时，弹簧长． （1）求弹簧在不受力时的自然长度； （2）若弹簧最大长度不超过，则弹簧所受的最大拉力为多少牛？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是利用待定系数法求出一次函数表达式． （1）设一次函数表达式，将两组拉力与弹簧长度数据代入列方程组，求解得到函数关系式，令得出弹簧自然长度． （2）根据弹簧最大长度列出关于拉力的不等式，解不等式求出弹簧所受最大拉力． 【小问1详解】 设与的函数关系式为（）． 已知当时，；当时，． 将其分别代入中，得到方程组． 解得： 所以与的函数关系式为． 当时， 答：弹簧在不受力时的自然长度为． 【小问2详解】 由题意得：弹簧最大长度不超过， 即， ， ． 即． 解得． 答：弹簧所受的最大拉力为牛． 18. 为了激发学生探究科学的兴趣，培养学生的创新精神和实践能力，学校开展了以“智能生活”为主题的发明创造竞赛活动，要求参赛的学生结合生活实际，设计并制作一款智能生活小发明，解决生活中的实际问题．学生们积极参与，上交了大量的作品，学校将学生上交的作品，按科学性，创新性，实用性三个方面进行了评比，给出了每件作品的最终评分（参赛作品的成绩为百分制，最低分为分）．学校抽取了部分参赛学生的成绩，成绩用（单位：分）表示，并将其分成如下四组：：，：，：，：，统计出如下信息： 信息一： 信息二： 信息三：组的数据（单位：分）如下： ， 请根据以上信息，解答下列问题： （1）求抽取成绩的学生人数； （2）求所抽取的学生成绩的中位数； （3）若全校参赛学生有人，请估计学生的成绩不低于分的人数． 【答案】（1）人 （2）分 （3）学生的成绩不低于分的人数约为人 【解析】 【分析】本题考查了中位数的定义，用样本估计总体，条形统计图和扇形统计图信息关联，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）用组的人数除以组占的百分比即可求得抽取成绩的学生人数； （2）根据中位数的定义求解即可； （3）用全校参赛人数乘以抽取的学生中成绩不低于分所占的比例，即可求解． 【小问1详解】 解：（人）， 答：抽取成绩的学生有人； 【小问2详解】 解：由题意可知组有人，组有人，组有人， 组有（人）， 抽取的第个和第个学生的成绩为、， 所抽取的学生成绩的中位数为； 【小问3详解】 解：（人）， 答：估计学生的成绩不低于分的有人． 19. 如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数（）的图象相交于，两点，过点作轴，过点作轴，与相交于点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）若直线与轴相交于点，点是反比例函数（）上一点，连接，，若的面积等于的面积，求点的坐标． 【答案】（1），（） （2） 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的综合知识点，解题的关键是熟练运用待定系数法求出函数解析式，以及利用三角形面积公式建立等式求解点的坐标． （1）已知反比例函数图象过点，将点坐标代入反比例函数中，可求出的值，进而得到反比例函数解析式．再把点代入已求出的反比例函数解析式，求出点坐标．最后将，两点坐标代入一次函数，通过解方程组得到一次函数的k，b的值，从而确定一次函数解析式． （2）先求出直线与轴交点的坐标，再根据已知条件求出点坐标为．设点坐标为，利用三角形面积公式，根据的面积等于的面积列出方程，求解得出点坐标． 【小问1详解】 反比例函数（）经过点， 将点代入中得，， 反比例函数解析式为（）， 的图象经过点， ，点坐标为， 将，两点代入中得， 解得， 一次函数解析式为 【小问2详解】 对于函数，令，得， 解得， ， ，，轴，轴， 点坐标为， ，，， ， 点是反比例函数（）上一点， 可设点坐标为， ， 解得， 点坐标为． 20. 问题提出 气象部门为研究雷暴生成与发展的规律，优化雷电预警机制，某雷雨天，在地面上点处，对雷电的发生实施监测（检测仪高度忽略不计，闪电光传播时间忽略不计）：闪电发生瞬间，首先测得闪电始发点处的仰角为，8秒钟后接收到该闪电传出的雷声；接着又在另一闪电的始发点处，测得仰角为，15秒钟后接收到该闪电的雷声，已知点、、在同一个垂直于地面的平面内．你能依据所提供数据，求出、两个闪电之间的距离吗？（雷声在空气中传播的速度为340米/秒） 分析解决 （1）建立模型：小海画出示意图，表示地面（如图所示），他将雷声传播速度米/秒记作，得到，请根据他的思路，求出之间的距离是多少米． （2）反思质疑：小华提出，除了小海所解的这种情形外，依据题意，点、的位置是否还存在其他情况呢？若存在，请在备用图中画出草图，并求出之间的距离是多少米；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）米． （2）存在，图见解析，米． 【解析】 【分析】此题考查了勾股定理的应用，解直角三角形的应用，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键． （1）证明，利用勾股定理即可求出答案； （2）根据题意可画出图形，如图，过点作于点，求出，，再利用勾股定理即可求出之间的距离． 【小问1详解】 解：由题意可知，， ∴， 在中， ∴， ∵雷声传播速度米/秒记作， ∴（米）， 即之间的距离是米． 【小问2详解】 解：如图，过点作于点，则， 在中， ， ∴，， ∴， ∴， ∵雷声传播速度米/秒记作， ∴（米）， 即之间的距离是米． 21. 已知：如图，内接于，点E为上一点，连接，，其中经过圆心O，的延长线交射线于点D，若． （1）求证：是切线； （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）过C作圆的直径，连接，由圆周角定理得到，，推出，即可证明是切线； （2）由圆周角定理得到，求出，判定是等边三角形，得到，由弧长公式即可求出的长． 【小问1详解】 证明：过C作圆的直径，连接， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴直径， ∴是切线； 【小问2详解】 解：由（1）知， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 22. 已知是等边三角形，． （1）如图1，将沿直线平移到（A、B、C分别对应D、E、F），且两个三角形的另一边交于点G，若这两个三角形重叠部分的面积是面积的，则的长为________； （2）如图2，在（1）的条件下，当点D在边上时，将重叠绕点B逆时针旋转，使点G落在内，直线与直线相交于点F，连接，判断和和的关系，并说明理由； （3）如图3，在（1）的条件下，当点D在边上时，连接，将沿翻折得到，再将翻折得到，与交于点M，求线段的长． 【答案】（1）9或15 （2）  理由：如图，将绕点顺时针旋转，使与重合， ∴ 由旋转性质得，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， 又∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴共线， 又∵，, ∴为等边三角形， ∴， ∵ ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）是等边三角形，平移后也为等边三角形，重叠部分仍为等边三角形，已知重叠面积是面积的，故相似比为，得重叠等边三角形的边长为， 分两种平移情况求解即可； （2）由旋转性质可证得，再将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，通过互补的性质证得共线，为等边三角形，即可得到； （3）建立平面直角坐标系，分别求出各个点的坐标，再求出直线的解析式，联立方程组即可求得交点的坐标，再用两点间距离公式即可求出的长． 【小问1详解】 解：当向右平移时，在上，如图所示， ∵是等边三角形， ∴平移后也为等边三角形，且， ∴ ∴为等边三角形， ∴ ∵重叠面积是面积的​， ∴相似比为， ∵， ∴， ∴； 当向左平移时，在左侧，如图所示， 此时刚好是重叠部分的边长， 同理可证： , 此时 所以； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 解：过作于点，连接，交于， ∴,， 以为原点，为轴，垂直的直线为轴建立平面直角坐标系， ∴，，， 由在上得， ∵是关于直线的对称点， ∴ , ∴, 设的解析式为， ∴解得 ∴直线的解析式为， 设， ∴， ， ∴， 整理得， 解得（舍去） ∴ ∵是的中点 ∴解得 ∴​， 设直线方程： ∴解得 得直线方程： 翻折沿得，且是等边三角形， ∴， ∴四边形为菱形， ∴的横坐标为，纵坐标与的纵坐标相同为， ∴， 设直线方程：； ∴， 解得， ∴直线方程：； 联立两方程解得 ， ∴ 【点睛】本题主要考查了图形的运动，平移旋转翻折，全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，一次函数解析式的求解，两点间距离公式，勾股定理，两条直线的交点坐标，熟练掌握相关知识点是解决本题的关键． 23. 数学活动小组在函数学习中发现，研究不同函数的方法是一致的，因此，他们对一个分段函数开展了研究.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是，经过点A的函数G的解析式为：. （1）试求出k，a的值； （2）点A关于原点的中心对称点为，判断点是否在函数G的图象上； （3）点，是函数G上的两点. ①若点M，N之间的函数图象有确定的最大值或最小值，求出m的取值范围； ②连接，若直线与线段没有交点，求出m的取值范围. 【答案】（1），； （2）点在函数G的图象上； （3）①或；②m的取值范围为或或． 【解析】 【分析】（1）将分别代入和，计算即可求解； （2）先根据中心对称的性质求得，再判断点是否在函数G的图象上即可； （3）①观察函数图象，有确定的最大值为2，得到；有确定的最小值为，得到，据此计算求解即可； ②分三种情况讨论，画出图象，数形结合，据此计算求解即可． 【小问1详解】 解：∵函数G经过点， ∴将代入，得， 将代入， 得， 解得； 【小问2详解】 解：由（1）得函数G的解析式为：， ∵点关于原点的中心对称点为， 当时，， ∴在函数G的图象上； 【小问3详解】 解：①对于点，， 观察函数图象，有确定的最大值为2， 此时， 解得； 有确定的最小值为， 此时， 解得； 综上，m的取值范围为或； ②当点和点都在上时，此时，即， 观察图象，直线与线段始终有交点，不符合题意，舍去； 当点和点都在时，此时， 设直线的解析式为， ∵点，， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 同理，直线的解析式为， 当时，则， 解得或， 则或， 当时，则， 解得（舍去）或， 当点在上，点在时， 此时，即， 则点，， 临界点为， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 将代入得， 整理得， 解得（舍去）或（舍去）或， 结合图象得， 综上，m的取值范围为或或． 【点睛】本题考查了分段函数的函数值求法及其图象画法，反比例函数图象和性质，二次函数图象和性质，方程思想的运用是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $