精品解析：2026年辽宁省鞍山市海城市协作体中考前模拟数学试题

2026年海城市协作体中考第三次质量监测 数学试卷 (试卷满分120分，答题时间120分钟） 温馨提示：请把所有的答案都答在答题卡上，答题要求见答题卡，否则不给分． 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题都有四个选项，只有一个最佳选项符合题目要求．） 1. 微信收付款具有“二维码收款”和“向商家付款”两项功能，若使用二维码收款10元记作元，那么向商家付款20元记作（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 【答案】B 【解析】 【分析】收款与付款是相反意义的量，收款记为正，则付款记为负，据此记数即可． 【详解】解：∵二维码收款10元记作元， ∴向商家付款应记作负数， 又∵向商家付款20元， ∴记作元． 2. 下图是在长方体中挖出一个圆柱体得到的几何体，这个几何体的主视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三视图的知识，掌握主视图是从物体的正面看得到的视图，左视图是从物体的左面看得到的视图，俯视图是从物体的上面看得到的视图是解题的关键．根据从正面看可得主视图，看不见的用虚线表示解答即可； 【详解】解：从正面看是个长方形，看不到里面的圆柱，故是虚线． 故选A． 3. 截至年月日，根据教育部发布的数据显示，年高考报名人数是人，比年增加了人，连续第年增长，创历史新高．数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：数据用科学记数法表示为． 4. “致中和，天地位焉，万物育焉．”对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被运用于建筑、器物、绘画、标志等作品的设计上，使对称之美惊艳了千年的时光．下列常见的运动图标是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 利用轴对称图形的定义进行解答即可． 【详解】解：选项B、C、D均不能找到这样的一条直线，使图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，所以不是轴对称图形， 选项A能找到这样的一条直线，使图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，所以是轴对称图形， 故选：A． 5. 为了解某校学生的户外运动时间，现对该校学生进行抽样调查，下列抽样方式较合理的是（ ） A. 随机抽取该校一个班级的学生 B. 随机抽取该校名学生 C. 在操场上随机抽取名学生 D. 随机抽取该校名男生 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查抽样调查的合理性判断，合理抽样要求样本具有广泛性和代表性，能够反映总体的真实情况． 【详解】解：∵ 调查目的是了解某校全体学生的户外运动时间，样本需能代表全校不同群体的情况， ∴ 逐一分析选项： A选项，仅抽取该校一个班级的学生，样本范围局限，代表性不足，抽样不合理； B选项，从全校随机抽取50名学生，样本具有广泛性和代表性，抽样合理； C选项，仅在操场上抽样，抽到的多为爱好运动的学生，抽样存在偏向，不能代表全体学生，不合理； D选项，仅抽取男生，忽略了女生群体，样本不全面，存在偏差，不合理． 6. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：与不是同类项，不能合并，故 A选项错误 故B选项错误； 故C选项正确； 故 D选项错误． 7. 如图，象棋盘上，若“将”位于点，“象”位于点．则“炮”位于点（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据“将”位于点，“象”位于点建立直角坐标系，然后写出“炮”的坐标即可． 【详解】解：根据“将”位于点，“象”位于点建立直角坐标系， 则“炮”位于点． 8. 如图，在菱形中，交于点O，，，于点E，则的长为（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据菱形的性质求出对角线的长，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解． 【详解】解：如图，连接， 四边形是菱形， ，，， ， ， 在中，，，， ， ， ， 在中，为的中点， ． 9. 《九章算术》中记载：“今有大器五、小器一容三斛；大器一、小器五容二斛，问大小器各容几何？”译文：“今有大容器5个、小容器1个，总容量为3斛；大容器1个、小容器5个，总容量为2斛．问大小容器的容积各是多少斛？”设1个大容器的容积为x斛，1个小容器的容积y斛，则根据题意可列方程组（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设大容器的容积为x斛，小容器的容积为y斛，根据“大容器5个，小容器1个，总容量为3斛；大容器1个，小容器5个，总容量为2斛”即可得出关于x、y的二元一次方程组． 【详解】解：设大容器的容积为x斛，小容器的容积为y斛， 根据题意得：， 故选：A． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，根据数量关系列出关于x、y的二元一次方程组是解题的关键． 10. 如图，点E在正方形的对角线上，于点F，连接并延长，交边于点M，交边的延长线于点G．若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例得出，根据，得出，则，进而可得，根据，得，根据相似三角形的性质得出，而在中，勾股定理即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形，，， ∴，，，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，． 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 因式分解：_______． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 12. 关于x的不等式的解集为_______． 【答案】 【解析】 【详解】解： 去分母得， 去括号得， 移项，合并同类项得， 系数化为1得． 13. 杨老师在讲勾股数时，在黑板上写出了下列几组勾股数：①3，4，5；②6，8，10；③8，15，17；④10，24，26；……根据上述规律，写出第⑤组勾股数为______． 【答案】12， 35， 37 【解析】 【分析】观察已知各组勾股数，总结各位置数字的变化规律，根据规律推导第⑤组勾股数，再验证是否满足勾股定理. 【详解】解：观察已知勾股数： 第①组：3，4，5 第②组：6，8，10 第③组：8，15，17 第④组：10，24，26 总结规律可得：从第②组开始，每组第一个数依次增加，因此第⑤组第一个数为 ， 对从第②组开始的勾股数，设第一个数为，可得第二个数为，第三个数为，验证规律： 当，对应第②组，， ， ，符合， 当，对应第③组，， ， ，符合， 当，对应第④组，，， ，符合， 因此第⑤组对应，计算得： ， ， ， 验证：，满足勾股数定义． 14. 我们把四个数a，b，c，d排成两行两列，记为，称为二阶行列式，并规定它的运算法则为．例如：．若，则x的值为__________． 【答案】1 【解析】 【分析】根据二阶行列式的运算法则，将已知等式转化为关于的一元一次方程，求解方程即可得到的值． 【详解】解： 根据运算法则可得 化简得 合并同类项得 系数化为得． 15. 如图，四边形内接于，为延长线上一点，若，则____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆的内接多边形的性质．此题由圆内接四边形对角互补得，从而得出的度数，再由与互补计算． 【详解】解：四边形内接于， ， ， ， ， ． 故答案为：． 三、简答题（共8小题，共75分，解答应写出适当文字） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算，分式的混合运算，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）分别化简零指数幂、二次根式的化简及绝对值的运算，得出各部分的最简结果，合并即可得出答案； （2）先将小括号里面的分式进行通分，然后在进行分式的除法运算，得出答案即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 为迎接3月日国际数学文化节，学校要准备两种趣味闯关道具．去年共准备了件，今年道具数量有所增加：其中A道具数量比去年多，B道具数量比去年多，今年两种道具总数比去年多件． （1）求今年准备的A，B两种道具各多少件？ （2）今年文化节活动当天，两组同学同时布置道具，第一组摆A道具，第二组摆B道具．已知第一组每小时摆的数量是第二组的倍，第一组比第二组提前分钟完成．求第二组每小时摆多少件B道具． 【答案】（1）今年准备A道具件，B道具件． （2）第二组每小时摆件B道具． 【解析】 【分析】（1）设去年准备的A道具件，道具件，根据“今年A道具数量比去年多，B道具数量比去年多，今年两种道具总数比去年多件”为等量关系列二元一次方程组求解，再计算今年A，B两种道具各多少件即可； （2）设第二组每小时摆件B道具，则第一组每小时摆件A道具，根据“第一组比第二组提前分钟完成”为等量关系列分式方程求解即可． 【小问1详解】 解：设去年准备的A道具件，道具件， ， 解得， 则（件），（件）， 答：今年准备A道具件，B道具件． 【小问2详解】 解：设第二组每小时摆件B道具， ， 经检验是原方程的解， 答：第二组每小时摆件B道具． 18. 2026年4月第四周是首个依法设立的“全民阅读活动周”，某校策划开展“书香校园”系列活动，努力营造爱读书、读好书、善读书的浓厚氛围．学校要在各楼层图书角放置散文、小说、诗歌、戏剧四类体裁的文学类书籍，为了解学生对这四类书籍的喜爱情况，图书管理员设计了以“我最喜爱的文学类书籍”为主题的调查问卷，随机抽取了部分学生进行问卷调查（每名学生只能选择其中一项），所有问卷全部收回且有效、并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图． 调查问卷 我最喜爱的文学类书籍是（ ）（单选）． A．散文 B．小说 C．诗歌 D．戏剧 “我最喜爱的文学类书籍”条形统计图 “我最喜爱的文学类书籍”扇形统计图 请根据以上信息，解答下列问题： （1）在扇形统计图中，“散文”对应的扇形圆心角度数为_______； （2）求本次调查中最喜爱“小说”的学生人数； （3）若该校共有860名学生，请你估计全校最喜爱“诗歌”的学生人数． 【答案】（1）108 （2）最喜爱“小说”的学生人数为80人 （3）全校最喜爱“诗歌”的学生人数为86人 【解析】 【分析】（1）根据扇形统计图中“散文”的占比进行求解即可； （2）先根据“散文”的信息求出总人数，进而即可求出最喜爱“小说”的学生人数； （3）先求出最喜爱“诗歌”的学生占比，进而即可求出全校喜爱诗歌的人数． 【小问1详解】 解：由题意得，“散文”对应的扇形圆心角度数为； 【小问2详解】 解：由题意得，总人数为（人）， ∴最喜爱“小说”的学生人数为（人）； 【小问3详解】 解：由题意得，最喜爱“诗歌”的学生占比为， ∴全校最喜爱诗歌的人数为（人）． 19. 【概念呈现】 在平面直角坐标系中，点是函数图象上任意一点，纵坐标与横坐标的差“”称为点的“虹桥值”，函数图象上所有点的“虹桥值”中的最大值称为函数的“最优虹桥值”． 【概念理解】 求函数的“最优虹桥值”； 解：设函数的“虹桥值”为， ， 随的增大而增大 时， 当，最大 函数的“最优虹桥值”为． 【拓展应用】 （1）求函数的“最优虹桥值”； （2）若二次函数的“最优虹桥值”为，求的值． 【答案】（1）函数（）的“最优虹桥值”为 （2） 【解析】 【分析】（1）设函数的“虹桥值”为，求出，再结合反比例函数的性质计算即可得出结果； （2）设二次函数的“虹桥值”为，求出，再结合二次函数的性质即可得出结果． 【小问1详解】 解：设函数的“虹桥值”为， ∴． ， ∴当时，随的增大而减小． ， 当，最大， 函数的“最优虹桥值”为． 【小问2详解】 解：设二次函数的“虹桥值”为， ∴ ， ， 开口向下， 当时，随的增大而减小， ， 当时，最大， ． 20. 小伟和小华想用所学数学知识测量小河的宽．测量示意图如图所示，他们在河边的山坡上的点C处安装测角仪，测得河对岸点A的俯角α为，与的夹角β为，又测得点C与河岸点B之间的距离为．已知，点A，B，C，D，M，N在同一平面上，点A，B，N在同一水平直线上，且．求河宽．（参考数据：，，，，，） 【答案】河宽约为． 【解析】 【分析】延长交于点H，则．，解直角三角形得出，，以及，由平行线的性质得出，解，得出，最后由求解即可． 【详解】解：延长交于点H，则． 在中，， ∵， ， ∴， ． ∴． ∵， ∴． 在中， ∵， ∴． ∴， 答：河宽约为． 21. 综合实践：智慧城市交通规划中的几何建模 为推进国家智慧城市交通网建设与城市立体交通规划的实施，某城市规划院设计了圆形交通枢纽模型：为城市核心交通圈（圆心为O），是的直径（代表枢纽主交通干线），规划的快速联络道是的切线（快速道沿切线方向接入交通圈），交通圈上的换乘节点B在上，且快速道与联络道的规划长度相等（）．规划的综合廊道与交通圈的核心联络弦交于换乘分流点E． （1）规划师需验证：联络道是否也为的切线（即是的切线），请完成证明； （2）若规划中测得（廊道规划的角度设计关系），求的比值． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）证明，则，根据切线的判定即可证明结论； （2）连接，设交于点F，证明，设，，则，求出，证明，根据相似三角形的性质即可求出答案． 【小问1详解】 证明：连接， ∵与相切于点A， ， ，，， ， ， ∵是的半径，且， ∴是的切线． 【小问2详解】 解：连接，设交于点F， ∵、是的切线． ∴， ∴是等腰三角形， ∵， ∴垂直平分，垂足为点， ∴，，， ∴， ， ∴是的中位线， ，， ， ， ， ， ， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ， ， ， 设，，则， ，且，， ， ， 解得，（不符合题意，舍去）， ， ， ， ， 的值为． 22. 新定义：如果一个三角形的三个顶点都在同一条抛物线上，那么这个三角形叫做这条抛物线的内接三角形，这条抛物线叫做这个三角形的外接抛物线．例如：如图1，的三个顶点，，都在抛物线上，我们把叫做抛物线的内接三角形，抛物线叫做的外接抛物线． 问题： （1）已知点，，则的外接抛物线的解析式为______； （2）如图2，已知等边是抛物线的内接三角形，求顶点A，B的坐标； （3）如图2，已知是抛物线的内接三角形，，求边与y轴的交点P的坐标； （4）已知是抛物线的内接三角形，抛物线与x轴交于点A，B（A在B的左侧）． ①当是等腰直角三角形时，求的面积； ②当点C在y轴上，且是钝角三角形时，请直接写出c的取值范围． 【答案】（1） （2）点A的坐标是，点B的坐标是 （3） （4）①1；②或 【解析】 【分析】（1）根据点A、B、O三点坐标即可设抛物线解析式为，再将代入计算即可； （2）根据等边三角形的性质设B点坐标，代入解析式求解即可； （3）过点A作轴于点C，过点B作轴于点D，证明∽，设点，点，根据相似比可得，再联立直线和二次函数解析式得到关于x的方程组，利用根与系数的关系即可求出点P坐标； （4）①由抛物线对称性可得点C为抛物线顶点，设，从而得到点B和点C的坐标，代入抛物线解析式即可求出a值，因而得解； ②由图象得当点A和点B在y轴同侧时，则为钝角三角形，此时；当点A和点B在y轴两侧时，可讨论的临界值，因此得解． 【小问1详解】 解：，， 抛物线的对称轴为直线，即y轴， 在抛物线上， 设抛物线解析式为， 将代入得， 的外接抛物线的解析式为； 故答案为：； 【小问2详解】 解：设与y轴交于点M， 为等边三角形， ，， ， ， 设，则， ， 将B坐标代入得，， 解得，（不合题意，舍去， 点A的坐标是，点B的坐标是； 【小问3详解】 解：如图，过点A作轴于点C，过点B作轴于点， 设点，点，则，，，， ， ，， ， ， ， ， ， 解得或（舍去）， 设直线的解析式为， 由， 得， ， ， 当时，， 点P的坐标是； 【小问4详解】 解：①如图，设抛物线的对称轴交于点， 由抛物线和等腰直角三角形的对称性， 得，，， 设， 对称轴为， 点B的坐标为，点C的坐标为， 将点B，C的坐标分别代入，得， 解得或（舍去）， ，， ； ②点A和点B在x轴上，点C在y轴上， 若当点A和点B在y轴同侧时，则为钝角三角形， 如图， 此时或， 抛物线开口向上， ； 若时，则可先讨论的c的值， 如图， 设，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得或舍去， 此时时，； 综上，或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质、待定系数法求二次函数解析式、等腰直角三角形的性质、相似三角形的判定和性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 23. 某同学制作一架小型航模，其主体骨架由若干根轻质杆组成．在骨架的一部分结构中，有三根长度相同的杆，分别记作，其中A是骨架上的一个节点，B、C是位于同一直线上的两个连接点，且杆与之间的夹角为，在组装过程中，他将杆绕节点A沿逆时针方向旋转一个角度a（），使其到达新的位置，然后用两根短杆分别连接B与D、D与C，构成一个四边形骨架． （1）如图1，当时，________°，________； （2）在上述结构中，过节点A作一条与垂直的直线，该直线与相交于点E，并与直线相交于点F，再用一根杆连接B与F．设当时，试探究线段之间的数量关系并证明你的结论； （3）在第（2）问的条件下，若，在杆AC绕A旋转的整个过程中（），当时，求的长．（直接写出结果） 【答案】（1）60； （2），见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质可得，，进而根据等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理即可得出，进而根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理即可求解． （2）同（1）的方法证明是等边三角形，延长至，使得，连接，证明，再得出，根据（1）的结论，即可求解； （3）由（1）的结论可得：，进而在和中，利用勾股定理求得，即可求解． 【小问1详解】 解：∵将线段绕点逆时针旋转（），得到线段， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； 如图，过点作于点， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：；． 【小问2详解】 ，证明如下： ∵将线段绕点逆时针旋转（），得到线段， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； ∵，， ∴垂直平分， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， 如图，延长至，使得，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 由（1）可得， ∴，即； 【小问3详解】 解：∵， 由（1）的结论可得：， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵，则当时，符合题意，如图， 在中，， 在中，， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年海城市协作体中考第三次质量监测 数学试卷 (试卷满分120分，答题时间120分钟） 温馨提示：请把所有的答案都答在答题卡上，答题要求见答题卡，否则不给分． 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题都有四个选项，只有一个最佳选项符合题目要求．） 1. 微信收付款具有“二维码收款”和“向商家付款”两项功能，若使用二维码收款10元记作元，那么向商家付款20元记作（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 2. 下图是在长方体中挖出一个圆柱体得到的几何体，这个几何体的主视图为（ ） A. B. C. D. 3. 截至年月日，根据教育部发布的数据显示，年高考报名人数是人，比年增加了人，连续第年增长，创历史新高．数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. “致中和，天地位焉，万物育焉．”对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被运用于建筑、器物、绘画、标志等作品的设计上，使对称之美惊艳了千年的时光．下列常见的运动图标是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 5. 为了解某校学生的户外运动时间，现对该校学生进行抽样调查，下列抽样方式较合理的是（ ） A. 随机抽取该校一个班级的学生 B. 随机抽取该校名学生 C. 在操场上随机抽取名学生 D. 随机抽取该校名男生 6. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，象棋盘上，若“将”位于点，“象”位于点．则“炮”位于点（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在菱形中，交于点O，，，于点E，则的长为（ ） A. B. C. 3 D. 9. 《九章算术》中记载：“今有大器五、小器一容三斛；大器一、小器五容二斛，问大小器各容几何？”译文：“今有大容器5个、小容器1个，总容量为3斛；大容器1个、小容器5个，总容量为2斛．问大小容器的容积各是多少斛？”设1个大容器的容积为x斛，1个小容器的容积y斛，则根据题意可列方程组（ ） A. B. C. D. 10. 如图，点E在正方形的对角线上，于点F，连接并延长，交边于点M，交边的延长线于点G．若，，则（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 因式分解：_______． 12. 关于x的不等式的解集为_______． 13. 杨老师在讲勾股数时，在黑板上写出了下列几组勾股数：①3，4，5；②6，8，10；③8，15，17；④10，24，26；……根据上述规律，写出第⑤组勾股数为______． 14. 我们把四个数a，b，c，d排成两行两列，记为，称为二阶行列式，并规定它的运算法则为．例如：．若，则x的值为__________． 15. 如图，四边形内接于，为延长线上一点，若，则____． 三、简答题（共8小题，共75分，解答应写出适当文字） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 为迎接3月日国际数学文化节，学校要准备两种趣味闯关道具．去年共准备了件，今年道具数量有所增加：其中A道具数量比去年多，B道具数量比去年多，今年两种道具总数比去年多件． （1）求今年准备的A，B两种道具各多少件？ （2）今年文化节活动当天，两组同学同时布置道具，第一组摆A道具，第二组摆B道具．已知第一组每小时摆的数量是第二组的倍，第一组比第二组提前分钟完成．求第二组每小时摆多少件B道具． 18. 2026年4月第四周是首个依法设立的“全民阅读活动周”，某校策划开展“书香校园”系列活动，努力营造爱读书、读好书、善读书的浓厚氛围．学校要在各楼层图书角放置散文、小说、诗歌、戏剧四类体裁的文学类书籍，为了解学生对这四类书籍的喜爱情况，图书管理员设计了以“我最喜爱的文学类书籍”为主题的调查问卷，随机抽取了部分学生进行问卷调查（每名学生只能选择其中一项），所有问卷全部收回且有效、并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图． 调查问卷 我最喜爱的文学类书籍是（ ）（单选）． A．散文 B．小说 C．诗歌 D．戏剧 “我最喜爱的文学类书籍”条形统计图 “我最喜爱的文学类书籍”扇形统计图 请根据以上信息，解答下列问题： （1）在扇形统计图中，“散文”对应的扇形圆心角度数为_______； （2）求本次调查中最喜爱“小说”的学生人数； （3）若该校共有860名学生，请你估计全校最喜爱“诗歌”的学生人数． 19. 【概念呈现】 在平面直角坐标系中，点是函数图象上任意一点，纵坐标与横坐标的差“”称为点的“虹桥值”，函数图象上所有点的“虹桥值”中的最大值称为函数的“最优虹桥值”． 【概念理解】 求函数的“最优虹桥值”； 解：设函数的“虹桥值”为， ， 随的增大而增大 时， 当，最大 函数的“最优虹桥值”为． 【拓展应用】 （1）求函数的“最优虹桥值”； （2）若二次函数的“最优虹桥值”为，求的值． 20. 小伟和小华想用所学数学知识测量小河的宽．测量示意图如图所示，他们在河边的山坡上的点C处安装测角仪，测得河对岸点A的俯角α为，与的夹角β为，又测得点C与河岸点B之间的距离为．已知，点A，B，C，D，M，N在同一平面上，点A，B，N在同一水平直线上，且．求河宽．（参考数据：，，，，，） 21. 综合实践：智慧城市交通规划中的几何建模 为推进国家智慧城市交通网建设与城市立体交通规划的实施，某城市规划院设计了圆形交通枢纽模型：为城市核心交通圈（圆心为O），是的直径（代表枢纽主交通干线），规划的快速联络道是的切线（快速道沿切线方向接入交通圈），交通圈上的换乘节点B在上，且快速道与联络道的规划长度相等（）．规划的综合廊道与交通圈的核心联络弦交于换乘分流点E． （1）规划师需验证：联络道是否也为的切线（即是的切线），请完成证明； （2）若规划中测得（廊道规划的角度设计关系），求的比值． 22. 新定义：如果一个三角形的三个顶点都在同一条抛物线上，那么这个三角形叫做这条抛物线的内接三角形，这条抛物线叫做这个三角形的外接抛物线．例如：如图1，的三个顶点，，都在抛物线上，我们把叫做抛物线的内接三角形，抛物线叫做的外接抛物线． 问题： （1）已知点，，则的外接抛物线的解析式为______； （2）如图2，已知等边是抛物线的内接三角形，求顶点A，B的坐标； （3）如图2，已知是抛物线的内接三角形，，求边与y轴的交点P的坐标； （4）已知是抛物线的内接三角形，抛物线与x轴交于点A，B（A在B的左侧）． ①当是等腰直角三角形时，求的面积； ②当点C在y轴上，且是钝角三角形时，请直接写出c的取值范围． 23. 某同学制作一架小型航模，其主体骨架由若干根轻质杆组成．在骨架的一部分结构中，有三根长度相同的杆，分别记作，其中A是骨架上的一个节点，B、C是位于同一直线上的两个连接点，且杆与之间的夹角为，在组装过程中，他将杆绕节点A沿逆时针方向旋转一个角度a（），使其到达新的位置，然后用两根短杆分别连接B与D、D与C，构成一个四边形骨架． （1）如图1，当时，________°，________； （2）在上述结构中，过节点A作一条与垂直的直线，该直线与相交于点E，并与直线相交于点F，再用一根杆连接B与F．设当时，试探究线段之间的数量关系并证明你的结论； （3）在第（2）问的条件下，若，在杆AC绕A旋转的整个过程中（），当时，求的长．（直接写出结果） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $