精品解析：2026年辽宁省鞍山市海城市协作体中考前模拟数学试题

6学科网 命组卷网 2026年海城市协作体中考第三次质量监测 数学试卷 (试卷满分120分，答题时间120分钟) 温馨提示：请把所有的答案都答在答题卡上，答题要求见答题卡，否则不给分 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题都有四个选项，只有一个最佳 选项符合题目要求.) 1.微信收付款具有“二维码收款”和“向商家付款”两项功能，若使用二维码收款10元记作+10元，那么 向商家付款20元记作() A.+20 元 B.20 元 C+10 元 D.-10 元 【答案】B 【解析】 【分析】收款与付款是相反意义的量，收款记为正，则付款记为负，据此记数即可. 【详解】解：二维码收款10元记作+10元， 向商家付款应记作负数， 又向商家付款20元， 记作-20元. 2.下图是在长方体中挖出一个圆柱体得到的几何体，这个几何体的主视图为() 正面 C 【答案】A 第1页/共34页 学科网命组卷网 【解析】 【分析】本题考查了三视图的知识，掌握主视图是从物体的正面看得到的视图，左视图是从物体的左面看 得到的视图，俯视图是从物体的上面看得到的视图是解题的关键.根据从正面看可得主视图，看不见的用 虚线表示解答即可： 【详解】解：从正面看是个长方形，看不到里面的圆柱，故是虚线， 故选A. 3.截至2026年4月7日，根据教育部发布的数据显示，2026年高考报名人数是13420000人，比2025 年增加了390000人，连续第9年增长，创历史新高.数据13420000用科学记数法表示为() 1342×104 B.134.2×10 c13.42×106 D.1.342×107 【答案】D 【解析】 13420000 .342×107 【详解】解：数据 用科学记数法表示为 4。“致中和，天地位焉，万物育焉.”对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被运用于建筑、器物、 绘画、标志等作品的设计上，使对称之美惊艳了千年的时光.下列常见的运动图标是轴对称图形的是( ·o6. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重 合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴. 利用轴对称图形的定义进行解答即可. 【详解】解：选项B、C、D均不能找到这样的一条直线，使图形沿着一条直线对折后两部分完全重合， 所以不是轴对称图形， 选项A能找到这样的一条直线，使图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，所以是轴对称图形， 第2页/共34页 命学科网命组卷网 故选：A 5.为了解某校学生的户外运动时间，现对该校学生进行抽样调查，下列抽样方式较合理的是() A.随机抽取该校一个班级的学生 B.随机抽取该校50名学生 C.在操场上随机抽取50名学生 D.随机抽取该校50名男生 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查抽样调查的合理性判断，合理抽样要求样本具有广泛性和代表性，能够反映总体的真实 情况. 【详解】解：·调查目的是了解某校全体学生的户外运动时间，样本需能代表全校不同群体的情况， .逐一分析选项： A选项，仅抽取该校一个班级的学生，样本范围局限，代表性不足，抽样不合理： B选项，从全校随机抽取50名学生，样本具有广泛性和代表性，抽样合理： C选项，仅在操场上抽样，抽到的多为爱好运动的学生，抽样存在偏向，不能代表全体学生，不合理： D选项，仅抽取男生，忽略了女生群体，样本不全面，存在偏差，不合理 6.下列运算正确的是() A.3a+b=3ab B aa=a2 C.a8÷a4=a4 D.(a-b)}2=a2-b 【答案】C 【解析】 【详解】解：3a与b不是同类项，不能合并，故A选项错误 dd=a'故B选项错误： d÷a=a=a,故C选项正确： (a-b}=d2-2ab+b故D选项错误。 7如图，象棋盘上，若“将”位于点山，“象”位于点3，-2).则“炮”位于点《) 第3页/共34页 6学科网命组卷网 炮 将 象 A.（1,) B.（12) c（-2,-) D.（-2,1) 【答案】D 【解析】 【分析】根据“将”位于点亿，-)，“象”位于点32)建立直角坐标系，然后写出“炮”的坐标即可。 【详解】解：根据“将”位于点亿，-），“象”位于点(3，-2)建立直角坐标系。 A 炮 将 象 则“炮”位于点（2，) 8.如图，在菱形ABCD中，AC、BD交于点O,AB=5,BD=8,AE⊥BC于点E,则OE的长为 5 8 10 A.2 B.3 C.3 D.3 【答案】C 【解析】 第4页/共34页 6学科网丽组卷网 【分析】根据菱形的性质求出对角线AC的长，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解。 【详解】解：如图，连接OE, 四边形 ABCD 是菱形， AC⊥BD, 04=0C=1 AC OB-1BD 2 2 .BD=8 ∴.OB=4 在R1aA0B中，AB=5,OB=4,0A=VAB2-OB2=V52-4=3 ∴.AC=2OA=6 .AE⊥BC ∴.∠AEC=90° 在Rt△AEC中，O为AC的中点， OE-4C 二×6=3 9.《九章算术》中记载：“今有大器五、小器一容三斛；大器一、小器五容二斛，问大小器各容几何？” 译文：“今有大容器5个、小容器1个，总容量为3斛：大容器1个、小容器5个，总容量为2斛.问大小 容器的容积各是多少斛？”设1个大容器的容积为x斛，1个小容器的容积y斛，则根据题意可列方程组( 第5页/共34页 可学科网 组卷网 九 章 5x+y=3 [x+3y=3 5x+y=2 5x+y=3 A x+5y=2 B. 5x+2y=2 C.x=3+5y D x=2+5y 【答案】A 【解析】 【分析】设大容器的容积为x斛，小容器的容积为y斛，根据“大容器5个，小容器1个，总容量为3斛： 大容器1个，小容器5个，总容量为2斛”即可得出关于x、y的二元一次方程组. 【详解】解：设大容器的容积为x斛，小容器的容积为y斛， 5x+y=3 根据题意得： x+5y=2, 故选：A, 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，根据数量关系列出关于x、y的二元一次方程组是 解题的关键， 10.如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，EF⊥AB于点F,连接DE并延长，交边BC于点 M,交边AB的延长线于点G.若AF=4,FB=2,则MG=() B A.4V5 B.3V5 c2W5+2 D.210 【答案】B 【解析】 第6页/共34页 6学科网6组卷网 DE AF =2 AD_DE=2 【分析】根据平行线分线段成比例得出EMFB,根据△ADEACME,得出CMEM 则M=)D-3 2 ,进而可得MB=3,根据BC∥AD,得△GMB△GDA,根据相似三角形的性质得 出BG=6,而在Rt△BGM中，勾股定理即可求解. 【详解】解：：四边形ABCD是正方形，AF=4,FB=2, :AD=BC=AB=AF+FB=4+2=6 ADIICB AD⊥ABCB⊥AB EF⊥AB, :ADIlEFIIBC DE AF =2 .EM-FB,△ADEACME, AD DE=2 .CM EM :CM=)4D=3 ,MB=6-CM=3 BCIlAD .△GMBAGDA BGMB31 ..AG DA 6 2, BG=AB=6 第7页/共34页 6学科网命组卷网 在R1aBGM中，MG=VMB2+BG2=V32+6=3V5 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11.因式分解： a3-9a= 【答案】a(a+3)(a-3) 【解析】 【详解】解：a-9a=a(d-9）=a(a+3)(a-3) 12.关于x的不等式32的解集为」 【答案】x<-10 【解析】 x-2>+1 【详解】解：32 去分母得2(6x-2)>3x+6 去括号得2x-4>3x+6. 移项，合并同类项得-x>10, 系数化为1得x<-10. 13.杨老师在讲勾股数时，在黑板上写出了下列几组勾股数：①3,4,5；②6,8,10；③8,15,17；④ 10,24,26;…根据上述规律，写出第⑤组勾股数为一 【答案】12,35,37 【解析】 【分析】观察已知各组勾股数，总结各位置数字的变化规律，根据规律推导第⑤组勾股数，再验证是否满 足勾股定理 【详解】解：观察已知勾股数： 第8页/共34页 命学科网命组卷网 第①组3,4,5 第②组：6,8,10 第③组：8,15,17 第④组：10,24,26 总结规律可得：从第②组开始，每组第一个数依次增加2，因此第⑤组第一个数为10+2=12， 对从第②组开始的勾股数，设第-个数为2，可得第二个数为-1，第三个数为人 ,k2+1 验证规律： 当=3 对应第②组， 2k=6k2-1=8,2+1=10,符合， 当-4 ，对应第③组， 2k=82-1=15,k2+1=17,符合 当f=5 对应第④组， 2k=10K2-1=24.K2+1=26,符合 因此第⑤组对应k=6,计算得： 2k=12, k2-1=62-1=35 k2+1=62+1=37 122+352=144+1225=1369=372 验证： ，满足勾股数定义 a b 14.我们把四个数a,b,c,d排成两行两列，记为cd,称为二阶行列式，并规定它的运算法则为 b 1 d =ad-bc 1(-27.3- .例如：3-1 ,则x的值为 【答案】1 【解析】 【分析】根据二阶行列式的运算法则，将己知等式转化为关于x的一元一次方程，求解方程即可得到x的 值. 第9页/共34页 6学科网 命组卷网 2x -x 1 =5 【详解】解：3 x1-（-x)3=5 ·根据运算法则可得 化简得2x+3x=5 合并同类项得5x=5 系数化为1得x=1. ABCD 15.如图，四边形 内接于O0,E为CD延长线上-点，若∠B=10°，则∠ADE= A D 【答案】100° 【解析】 【分析】本题考查了圆的内接多边形的性质.此题由圆内接四边形对角互补得∠B+∠ADC=180°，从而 得出∠ADC的度数，再由∠ADC与∠ADE互补计算∠ADE. 【详解】解：“四边形 ABCD.⊙O 内接于 ∴∠B+∠ADC=180°， :∠B=100°， ∠ADC=80° .'∠ADC+∠ADE=180° .∠ADE=100° 第10页/供34页 6学科网 命组卷网 故答案为：100° 三、简答题（共8小题，共75分，解答应写出适当文字） 16.计算： )(π-3)°-8+l-2 e3-小4 【答案】(1)-V2 2+x (2)2-x 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算，分式的混合运算，熟练掌握知识点是解题的关键。 (1)分别化简零指数幂、二次根式的化简及绝对值的运算，得出各部分的最简结果，合并即可得出答案： (2)先将小括号里面的分式进行通分，然后在进行分式的除法运算，得出答案即可. 【小问1详解】 解：（π-3）°-V⑧+1-V2 =1-2W2+√2-1 =-√2 【小问2详解】 [品司 第11页/共34页 6学科网组卷网 (2+x)(2-x) x-1 x-1 （x-2)月 2+x 2-x 17.为迎接3月14日国际数学文化节，学校要准备两种趣味闯关道具.去年共准备了300件，今年道具数 量有所增加：其中A道具数量比去年多10%，B道具数量比去年多20%，今年两种道具总数比去年多50 件. (1)求今年准备的A,B两种道具各多少件？ (2)今年文化节活动当天，两组同学同时布置道具，第一组摆A道具，第二组摆B道具.已知第一组每 小时摆的数量是第二组的1.5倍，第一组比第二组提前10分钟完成.求第二组每小时摆多少件B道具. 【答案】(1)今年准备A道具110件，B道具240件. (2)第二组每小时摆1000件B道具. 【解析】 【分析】(1)设去年准备的A道具x件，B道具y件，根据“今年A道具数量比去年多10%，B道具数 量比去年多20%，今年两种道具总数比去年多50件”为等量关系列二元一次方程组求解，再计算今年A, B两种道具各多少件即可： (2)设第二组每小时摆m件B道具，则第一组每小时摆1.5m件A道具，根据“第一组比第二组提前10 分钟完成”为等量关系列分式方程求解即可. 【小问1详解】 解：设去年准备的A道具x件，B道具y件， 第12页/供34页 6学科网命组卷网 x+y=300 10%x+20%y=50, x=100 解得y=200, 则100×(1+10%)=110（件） 200×1+20%)=240(4件)， 答：今年准备A道具110件，B道具240件. 【小问2详解】 解：设第二组每小时摆m件B道具， 110.10240 1.5m60m m=1000 经检验m=1000是原方程的解， 答：第二组每小时摆1000件B道具. 18.2026年4月第四周是首个依法设立的“全民阅读活动周”，某校策划开展“书香校园”系列活动，努 力营造爱读书、读好书、善读书的浓厚氛围.学校要在各楼层图书角放置散文、小说、诗歌、戏剧四类体 裁的文学类书籍，为了解学生对这四类书籍的喜爱情况，图书管理员设计了以“我最喜爱的文学类书籍” 为主题的调查问卷，随机抽取了部分学生进行问卷调查（每名学生只能选择其中一项），所有问卷全部收 回且有效、并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图. 调查问卷 我最喜爱的文学类书 籍是( )(单 选)· A.散文B.小说 C.诗歌 D.戏剧 “我最喜爱的文学类书籍”条形统计图 第13页/共34页 6学科网 6组卷网 人数 80H 60 60 40 40 20 20 0 散文小说诗歌戏剧体裁 “我最喜爱的文学类书籍”扇形统计图 散文 30% 小说 戏剧 侍歌 请根据以上信息，解答下列问题： (1)在扇形统计图中，“散文”对应的扇形圆心角度数为°； (2)求本次调查中最喜爱“小说”的学生人数： (3)若该校共有860名学生，请你估计全校最喜爱“诗歌”的学生人数， 【答案】(1)108 (2)最喜爱“小说”的学生人数为80人 (3)全校最喜爱“诗歌”的学生人数为86人 【解析】 【分析】(1)根据扇形统计图中“散文”的占比进行求解即可； (2)先根据“散文”的信息求出总人数，进而即可求出最喜爱“小说”的学生人数： (3)先求出最喜爱“诗歌”的学生占比，进而即可求出全校喜爱诗歌的人数， 【小问1详解】 解：由题意得，“散文”对应的扇形圆心角度数为360°×30%=108°： 【小问2详解】 解：由题意得，总人数为60÷30%=200（人）， ∴最喜爱“小说”的学生人数为200-60-20-40=80（人）： 【小问3详解】 第14页/供34页 6学科网命组卷网 20-10%, 解：由题意得，最喜爱“诗歌”的学生占比为200 ∴全校最喜爱诗歌的人数为860×10%=86（人）. 19.【概念呈现】 在平面直角坐标系中，点A(x,)是函数图象上任意一点，纵坐标y与横坐标x的差“)-x”称为点A的 “虹桥值”，函数图象上所有点的“虹桥值”中的最大值称为函数的“最优虹桥值”· 【概念理解】 求函数y=2x+1(2≤x≤4)的“最优虹桥值”； y=2x+1 解：设函数 的“虹桥值”为”， .w=y-x=2x+1-x=x+1 :k=1>0 .w随x的增大而增大 .2≤x≤4 时， =4w =5 当 最大 函数y=2x+1(2≤x≤4)的“最优虹桥值”为5. 【拓展应用】 6 ()求函数'=+1≤x≤5列。 的“最优虹桥值”： (2)若二次函数y=-t+5x+c(3≤x≤6)的“最优虹桥值”为6，求c的值. 6 【答案】（山）函数y=x+x (1≤x≤5)的“最优虹桥值”为6 (2)c=3 第15页/供34页 6学科网 命组卷网 【解析】 6 y=二+x 【分析】(1)设函数x“的“虹桥值”为w,求 出w=y-x=6 x,再结合反比例函数的性质计算 即可得出结果； (2)设二次函数y=-?+5x+c的“虹桥值”为w,求出w=y-x=-(x-2)+c+4,再结合二次函 数的性质即可得出结果 【小问1详解】 6 解：设函数少=+x x的“虹桥值”为w, 6 6 W=y-x= 2+x-x= .k=6>0 当x>0时，w随x的增大而减小. 1≤x≤5 当x=1,w =6 ,”最大 函数少=+x0≤xs5 6 的“最优虹桥值”为6。 【小问2详解】 解：设二次函数'=-+5x+ 的“虹桥值”为”， ..w=y-x =-x2+5x+c-x =-x2+4x+C =-(x-2)2+c+4 :a=-1<0 第16页/供34页 6学科网命组卷网 开口向下， 小当>2时 >2时，”随的增大而减小， .3≤x≤6 当x=3时，w最大=-(3-22+c+4=6 .c=3 20.小伟和小华想用所学数学知识测量小河的宽.测量示意图如图所示，他们在河边的山坡BM上的点C 处安装测角仪CD,测得河对岸点A的俯角a为8.5°，CD与BM的夹角B为78.5°，又测得点C与河岸 点B之间的距离CB为10m.己知CD=1.6m,点A,B,C,D,M,N在同-平面上，点A,B,N在 同一水平直线上，且CD1AB.求河宽AB.(参考数据：sin8.5°≈0.15，cos8.5°≈0.99， tan8.5°≈0.15sin78.5°≈0.98cos78.5°≈0.20tan78.5°≈4.92 M B 【答案】河宽AB约为14.2m. 【解析】 【分折】延长DC交MN于点红，则DH1N.∠BCH=∠B=78.5”,解直角三角形得出CH.BH 以及DH,由平行线的性质得出∠DAN=∠EDA=a=8.5°，解RLADAH,得出AH,最后由 AB=AH-BH求解即可. 【详解】解：延长DC交AW于点H,则DH⊥AW 第17页/供34页 6学科网列组卷网 E D B M N 在Rt△BCH中， ∠BCH=∠B=78.5° .cos∠BCH=CH sin∠BCH=BH ΓBC, :CH=CB-cos78.5°≈10x0.20=2(m) BH=CB.sin78.5°≈10×0.98=9.8(m) :DH=CD+CH=3.6(m) .DE∥AN. .∠DAN=∠EDA==8.5°， 在Rt△DAH中， :.tan∠DAW=DH AH :All=Dh ≈24(m） tan8.5° :AB=AH-BH=24-9.8=14.2(m） 答：河宽AB约为14.2m. 21.综合实践：智慧城市交通规划中的几何建模 为推进国家智慧城市交通网建设与城市立体交通规划的实施，某城市规划院设计了圆形交通枢纽模型： ⊙0 AC⊙O 为城市核心交通圈（圆心为O), 是的直径（代表枢纽主交通干线），规划的快速联络道 第18页/共34页 6学科网 命组卷网 PA ⊙0 .⊙0 是 的切线（快速道沿切线方向接入交通圈），交通图上的换乘节点B在O0上，且快速道P4与 联络道PB的规划长度相等(PA=PB)·规划的综合廊道PC与交通圈的核心联络弦AB交于换乘分流 点E. (1)规划师需验证：联络道PB 否也为 0的切线（即PB是O0的切线），请完成证明 ⊙0 ∠APC=∠BPC (2)若规划中测得3 (廊道规划的角度设计关系)，求PE:CE的比值. V17-1 【答案】(1)见解析 (2) 【解析】 【分析】)证明△1OP2aBOP(SS),则<0MP=∠0BP-90,根括切线的判定即可证明结论： (2)连接CB,设OP交AB于点F,证明PB=CB=2OF,设PF=x,OF=m,则PB=CB=2m 求出PF=7 2 二m,证明APEF∽ACEB,根据相似三角形的性质即可求出答案. 【小问1详解】 证明：连接OB、OP, .PA00 相切于点A, .PA⊥OA 第19页/供34页 6学科网6组卷网 .PA=PB OA=OB OP=OP ∴.△AOP≌aBOP(SSS) .∠OAP=∠OBP=90°， .OBg⊙0 PB⊥OB 是 的半径，且 :PB是O 的切线. P 【小问2详解】 B 解：连接CB,设OP交AB于点F, B .PAPB。⊙O 是 的切线。 .PA=PB,∠OBP=90 ∴.△PAB是等腰三角形， .OA=OB. .PO垂直平分AB,垂足为点F, .∠OPA=∠OPB,∠BFP=90°，AF=BF, .∠APB=2∠OPB. A0=BO 第20页/供34页 6学科网 命组卷网 .OF是△ABC的中位线， OF=CB ∴.OF∥CB, 2 ∠APC=3∠BPC, .∴∠APB=3∠BPC+∠BPC=4∠BPC. .2∠OPB=4∠BPC, ∴.∠OPB=∠OPC+∠BPC=2∠BPC, .∠OPC=∠BPC, :4C是o0 直径， .AB⊥BC, PO⊥AB, POBC ∴.∠OPC=∠BCP .∠BPC=∠BCP, ∴.PB=CB=2OF, 设PF=x,OF=m,则PB=CB=2m, PF PB .cos∠OPB= PB PO,PO=x+m.PB2=(2m)=4m2 ..PF.PO=PB2 ∴.x(x+m)=4m2 解得71 2 m,5=17- 2 二m(不符合题意，舍去)， 第21页/供34页 6学科网命组卷网 ∴PF=7- -m PF∥CB, .△PEF∽△CEB V17-1 PE PF -2m-1 CE CB 2m 4 PE 17-1 CE的值为4· 22.新定义：如果一个三角形的三个顶点都在同一条抛物线上，那么这个三角形叫做这条抛物线的内接三 角形，这条抛物线叫做这个三角形的外接抛物线.例如：如图1，△ABC的三个顶点A(,0）,B(2,-), C(4,3)都在抛物线=-4红+3上，我们把△ABC叫做抛物线y=-4x+3的内接三角形，抛物线 y=x2-4x+ 3叫做△ABC 的外接抛物线. V /yx2 B B (图1) (图2) (图3) 问题： (1)已知点A(-),B(,,则△AB0的外接抛物线的解折式为一； (②)如图2，已知等边△4B0是抛物线y= 的内接三角形，求顶点A,B的坐标： (3)如图2，已知Rt△MB0是抛物线y= 的内接三角形，∠AOB=90,求边AB与y轴的交点P的 第22页/供34页 学科网组卷网 坐标： (④)已知△MBC是抛物线'=+x+C的内接三角形，抛物线y=r+r+C与转交于点A,刀4 在B的左侧)· ①当△ABC是等腰直角三角形时，求△ABC的面积： ②当点C在y轴上，且△ABC是钝角三角形时，请直接写出c的取值范围. 【答案】(1)y=x2 (2)点4的坐标是-V5,3,点B的坐标是(N5,3) (3)P(0,) (4)①1；②c>0或-1<c<0 【解析】 【分析】)根据点A、B、0三点坐标即可设抛物线解析式为y=,再将4(-1，代入计算即可： (2)根据等边三角形的性质设B点坐标(m,V3m),代入解析式求解即可； (3)过点A作4CLx轴于点C,过点B作BD⊥x轴于点D,证明△A0C∽△0BD,设点A:,), 点B(气，)，根据相似比可得=-，再联立直线和二次函数解折式得到关于x的方程组，利用根与 系数的关系即可求出点P坐标： (4)①由抛物线对称性可得点C为抛物线顶点，设CD=BD=AD=a,从而得到点B和点C的坐标， 代入抛物线解析式即可求出a值，因而得解； ②由图象得当点A和点B在y轴同侧时，则△ABC为钝角三角形，此时C>O;当点A和点B在y轴两侧 时，可讨论∠ACB=90° 的临界值，因此得解。 第23页/共34页 6学科网命组卷网 【小问1详解】 解：A(-,).B(1,1) x=0 抛物线的对称轴为直线，即y轴， :0(0,0)在抛物线上， 六设抛物线解析式为)=a 将4(-，1)代入得a=1, ∴△ABO 的外接抛物线的解析式为y=产 故答案为： y=x2 【小问2详解】 解：设AB与y轴交于点M, M B :△AOB为等边三角形， ∴.∠AOB=∠A=∠B=60°OA=OB=AB AM BM, ∠40M=408=30 设MM=BM=m,则OM=V3m ∴.B(m,V3m) 第24页/供34页 6学科网命组卷网 将B坐标代入y=t得，V3m=m2 解得=5，m=0(不合思意，舍去)， :点A的坐标是一3,3，点8的坐标是(5,3)， 【小问3详解】 解：如图，过点A作AC⊥x轴于点C,过点B作BD⊥x轴于点D, 设点A(,),点B(5),则0C=-x,AC=X2,0D=,BD=2, =x2 .∠AOB=∠ACO=∠ODB=90° ∴.∠AOC+∠BOD=90°∠AOC+∠OAC=90° ∴.∠OAC=∠BOD .△40CAOBD OC AC BD OD, ∴.OC.OD=BD·AC ∴-x3=x232 解得=一1或5=0 舍去)， 第25页/供34页 学科网命组卷网 AB y=ka+m(k≠0) 设直线 的解析式为 y=kx+m 由y=x2 得-c-m=0 ∠BAC>90°， ∴.m=1, “当x=0时 y=m=1 时， 六点P的坐标是(0，) 【小问4详解】 解：①如图，设抛物线的对称轴交AB于点D, 由抛物线和等腰直角三角形的对称性， 得AD=BD,CD⊥AB,∠DCB=∠DCA=45°， 设CD=BD=AD=a, b 对称轴为=一2， b b 点B的坐标为2+a,0) 点C的坐标为 第26页/供34页 6学科网列组卷网 0-(aj小+9+ 将点B,C的坐标分别代入 +rea+》e 解得a=1或a=0(舍去)， .AB=2a=2 CD=1 ..w:CD-x2x11 ②，点A和点B在x轴上，点C在y轴上， 若当点A和点B在y轴同侧时，则△ABC为钝角三角形， 如图， B 此时∠ABC>90°或∠BAC>90°， ·抛物线开口向上， .c>0 若∠ACB>90 时，则可先讨论∠4CB=90 的c的值， 如图， 第27页/供34页 6学科网命组卷网 B 设A(x,0）,B(x,0) ..xx2=c .∠ACB=90° ∴.∠OAC=∠OCB=90°-∠OCA :∠AOC=∠BOC」 .△AOC∽△COB OA OC OC OB, ..=-c -Cx2 .-xx2=c2 .-c=c2 解得c=成c=0(。) 或 舍去， 此时 1<c<0,∠ACB>90° 时， 综上，c>0或-1<c<0 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质、待定系数法求二次函数解析式、等腰直角三角形的性质、 第28页/供34页 命学科网命组卷网 相似三角形的判定和性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键。 23.某同学制作一架小型航AC模，其主体骨架由若干根轻质杆组成.在骨架的一部分结构中，有三根长 度相同的杆，分别记作AB、ACAD,其中A是骨架上的一个节点，B、C是位于同一直线上的两个连 接点，且杆AB与AC之间的夹角为120°，在组装过程中，他将杆绕节点A沿逆时针方向旋转一个角度α (0°<α<180°)，使其到达新的位置AD,然后用两根短杆分别连接B与D、D与C,构成一个四边形 骨架ABCD. D B 图1 图2 备用图 BC (1)如图1，当a=30°时，∠BDC= °，AB (2)在上述结构中，过节点A作一条与BD垂直的直线，该直线与BD相交于点E,并与直线DC相交于 点F,再用一根杆连接B与F.设当O°<Q<120°时，试探究线段AF、CF、BF之间的数量关系并证明 你的结论： (3)在第(2)间的条件下，若BC=3V2,在杆4C绕4旋转的整个过程中0°<α<180°)，当 BF=3 AF 时，求“的长.（直接写出结果） 【答案】(1)60，V3 (2) 第29页/供34页 命学科网命组卷网 CF+BF=3AF ,证明如下： ,将线段AC绕点A逆时针旋转&(O°<a<180°)，得到线段AD, ∴.∠CAD=a,AC=AD」 :∠ADC=∠ACD=180°-∠C1D)=90°-a .∠BAC=120°， .∠BAD=∠BAC+∠CAD=120°+a, AB=AC.AC=AD. .AB=AD, :∠4DB=2080r-∠B1D)=30r-1a BDC-LADc-ADB AE⊥BD,AB=AD, .AE垂直平分BD, FB=FD」 .△BFD是等边三角形， :.∠AFB=∠AFC=30°，∠DBF=60°， 如图，延长FB至G,使得BG=CF,连接AG, 第30页/供34页 6学科网命组卷网 G. D B 图2 ∠4DB=30°-1G :∠ABF=∠ABD+∠DBF=90-Ia :∠ACD=900-1。 :.∠ACD=∠ABF, .180°-∠ACD=180°-∠ABF,即∠ABG=∠ACF, 在△MBG△MC °和 中， AB=AC ∠ABG=∠ACF BG=CF :△ABG2△ACF(SAS) .AG=AF,∠G=∠AFC=30°， .∠FAG=120°， 由(I)可得GF=V3AF :GB+BF-3AF CF+BF-3AF 第31页/供34页 命学科网命组卷网 35-15 (3) 2 【解析】 【分析】(1)根据旋转的性质可得∠CAD=a=30°，AC=AD,进而根据等腰三角形的性质以及三角 形的内角和定理即可得出∠BDC=60°，进而根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理即可求解. (2)同(1)的方法证明△BFD是等边三角形，延长FB至G,使得BG=CF,连接AG,证明 △ABG2a4CF(SMS),再得出∠FAG=120°，根据(1)的结论，即可求解： (3)由)的结论得：AB=AC=BC-v 3 ,进而在Rt△AEB和RtoBEF中，利用勾股定理 AE,EF 求得 ,即可求解. 【小问1详解】 解：：将线段AC绕点A逆时针旋转a(0°<a<180°)，得到线段AD, .∠CAD==30°，AC=AD. :∠ADC=00-∠CaD)=75 .∠BAC=120°， .∠BAD=∠BAC+∠CAD=120°+30°=150°， AB=AC.AC=AD. .AB=AD. 第32页/供34页 6学科网命组卷网 :∠ADB=I80-∠BAD)=15° .∠BDC=∠ADC-∠ADB=75°-15°=60° 如图，过点A作AG⊥BC于点G, A B G 图1 AB=AC, GGC-C 在Rt/ABG中，AG=)HB 2 BG=AB2-AG2=3AG .BG-AR 2 :BC=3AB BC=3 ..AB 故答案为： 60V5 【小问2详解】 略 【小问3详解】 第33页/供34页 6学科网列组卷网 解：BC=3V2 由(1)的结论可得： AB=AC= BC=6 3 :△BFD是等边三角形， .BD=BF, 1 BE=DE=BD-BF 2 Γ2 :BF<AC,则当>120°时，符合题意，如图， D G F B 在Rt△AEB中，AE=VAB2-BE2- 2， 2 3 2 AF=EF-AE=33-15 2 第34页/供34页 2026年海城市协作体中考第三次质量监测 数学试卷 (试卷满分120分，答题时间120分钟） 温馨提示：请把所有的答案都答在答题卡上，答题要求见答题卡，否则不给分． 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题都有四个选项，只有一个最佳选项符合题目要求．） 1. 微信收付款具有“二维码收款”和“向商家付款”两项功能，若使用二维码收款10元记作元，那么向商家付款20元记作（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 2. 下图是在长方体中挖出一个圆柱体得到的几何体，这个几何体的主视图为（ ） A. B. C. D. 3. 截至年月日，根据教育部发布的数据显示，年高考报名人数是人，比年增加了人，连续第年增长，创历史新高．数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. “致中和，天地位焉，万物育焉．”对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被运用于建筑、器物、绘画、标志等作品的设计上，使对称之美惊艳了千年的时光．下列常见的运动图标是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 5. 为了解某校学生的户外运动时间，现对该校学生进行抽样调查，下列抽样方式较合理的是（ ） A. 随机抽取该校一个班级的学生 B. 随机抽取该校名学生 C. 在操场上随机抽取名学生 D. 随机抽取该校名男生 6. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，象棋盘上，若“将”位于点，“象”位于点．则“炮”位于点（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在菱形中，交于点O，，，于点E，则的长为（ ） A. B. C. 3 D. 9. 《九章算术》中记载：“今有大器五、小器一容三斛；大器一、小器五容二斛，问大小器各容几何？”译文：“今有大容器5个、小容器1个，总容量为3斛；大容器1个、小容器5个，总容量为2斛．问大小容器的容积各是多少斛？”设1个大容器的容积为x斛，1个小容器的容积y斛，则根据题意可列方程组（ ） A. B. C. D. 10. 如图，点E在正方形的对角线上，于点F，连接并延长，交边于点M，交边的延长线于点G．若，，则（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 因式分解：_______． 12. 关于x的不等式的解集为_______． 13. 杨老师在讲勾股数时，在黑板上写出了下列几组勾股数：①3，4，5；②6，8，10；③8，15，17；④10，24，26；……根据上述规律，写出第⑤组勾股数为______． 14. 我们把四个数a，b，c，d排成两行两列，记为，称为二阶行列式，并规定它的运算法则为．例如：．若，则x的值为__________． 15. 如图，四边形内接于，为延长线上一点，若，则____． 三、简答题（共8小题，共75分，解答应写出适当文字） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 为迎接3月日国际数学文化节，学校要准备两种趣味闯关道具．去年共准备了件，今年道具数量有所增加：其中A道具数量比去年多，B道具数量比去年多，今年两种道具总数比去年多件． （1）求今年准备的A，B两种道具各多少件？ （2）今年文化节活动当天，两组同学同时布置道具，第一组摆A道具，第二组摆B道具．已知第一组每小时摆的数量是第二组的倍，第一组比第二组提前分钟完成．求第二组每小时摆多少件B道具． 18. 2026年4月第四周是首个依法设立的“全民阅读活动周”，某校策划开展“书香校园”系列活动，努力营造爱读书、读好书、善读书的浓厚氛围．学校要在各楼层图书角放置散文、小说、诗歌、戏剧四类体裁的文学类书籍，为了解学生对这四类书籍的喜爱情况，图书管理员设计了以“我最喜爱的文学类书籍”为主题的调查问卷，随机抽取了部分学生进行问卷调查（每名学生只能选择其中一项），所有问卷全部收回且有效、并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图． 调查问卷 我最喜爱的文学类书籍是（ ）（单选）． A．散文 B．小说 C．诗歌 D．戏剧 “我最喜爱的文学类书籍”条形统计图 “我最喜爱的文学类书籍”扇形统计图 请根据以上信息，解答下列问题： （1）在扇形统计图中，“散文”对应的扇形圆心角度数为_______； （2）求本次调查中最喜爱“小说”的学生人数； （3）若该校共有860名学生，请你估计全校最喜爱“诗歌”的学生人数． 19. 【概念呈现】 在平面直角坐标系中，点是函数图象上任意一点，纵坐标与横坐标的差“”称为点的“虹桥值”，函数图象上所有点的“虹桥值”中的最大值称为函数的“最优虹桥值”． 【概念理解】 求函数的“最优虹桥值”； 解：设函数的“虹桥值”为， ， 随的增大而增大 时， 当，最大 函数的“最优虹桥值”为． 【拓展应用】 （1）求函数的“最优虹桥值”； （2）若二次函数的“最优虹桥值”为，求的值． 20. 小伟和小华想用所学数学知识测量小河的宽．测量示意图如图所示，他们在河边的山坡上的点C处安装测角仪，测得河对岸点A的俯角α为，与的夹角β为，又测得点C与河岸点B之间的距离为．已知，点A，B，C，D，M，N在同一平面上，点A，B，N在同一水平直线上，且．求河宽．（参考数据：，，，，，） 21. 综合实践：智慧城市交通规划中的几何建模 为推进国家智慧城市交通网建设与城市立体交通规划的实施，某城市规划院设计了圆形交通枢纽模型：为城市核心交通圈（圆心为O），是的直径（代表枢纽主交通干线），规划的快速联络道是的切线（快速道沿切线方向接入交通圈），交通圈上的换乘节点B在上，且快速道与联络道的规划长度相等（）．规划的综合廊道与交通圈的核心联络弦交于换乘分流点E． （1）规划师需验证：联络道是否也为的切线（即是的切线），请完成证明； （2）若规划中测得（廊道规划的角度设计关系），求的比值． 22. 新定义：如果一个三角形的三个顶点都在同一条抛物线上，那么这个三角形叫做这条抛物线的内接三角形，这条抛物线叫做这个三角形的外接抛物线．例如：如图1，的三个顶点，，都在抛物线上，我们把叫做抛物线的内接三角形，抛物线叫做的外接抛物线． 问题： （1）已知点，，则的外接抛物线的解析式为______； （2）如图2，已知等边是抛物线的内接三角形，求顶点A，B的坐标； （3）如图2，已知是抛物线的内接三角形，，求边与y轴的交点P的坐标； （4）已知是抛物线的内接三角形，抛物线与x轴交于点A，B（A在B的左侧）． ①当是等腰直角三角形时，求的面积； ②当点C在y轴上，且是钝角三角形时，请直接写出c的取值范围． 23. 某同学制作一架小型航模，其主体骨架由若干根轻质杆组成．在骨架的一部分结构中，有三根长度相同的杆，分别记作，其中A是骨架上的一个节点，B、C是位于同一直线上的两个连接点，且杆与之间的夹角为，在组装过程中，他将杆绕节点A沿逆时针方向旋转一个角度a（），使其到达新的位置，然后用两根短杆分别连接B与D、D与C，构成一个四边形骨架． （1）如图1，当时，________°，________； （2）在上述结构中，过节点A作一条与垂直的直线，该直线与相交于点E，并与直线相交于点F，再用一根杆连接B与F．设当时，试探究线段之间的数量关系并证明你的结论； （3）在第（2）问的条件下，若，在杆AC绕A旋转的整个过程中（），当时，求的长．（直接写出结果） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $