26.4.2 最大利润问题 课件 -2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦二次函数的最大利润问题，梳理核心公式、两类模型及五步解题流程，通过商品销售实例导入，衔接二次函数顶点求最值知识，搭建从理论到实际应用的学习支架。 其亮点在于以真实情境例题（如奶茶店、文具店利润）培养数学眼光，用分类模型和解题流程训练数学思维，借助函数解析式与表格强化数学语言表达。学生能掌握解题方法减少易错，教师可直接使用系统资料提升教学效率。

新人教版9年级上册精做课件 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026年6月15日 26.4.2最大利润问题 第26章 二次函数 26.4.2 二次函数最大利润问题（含解析） 一、核心知识点梳理 最大利润问题是二次函数实际应用的必考大题，属于中考高频题型。核心解题逻辑：将销售问题中的单价、销量、利润关系转化为二次函数，利用顶点求最大利润，同时必须结合实际取值限制。 1. 三大核心公式（解题万能公式） （1）单件利润 = 售价 − 进价（成本） （2）总利润 = 单件利润 × 销售数量 （3）涨价/降价联动规律：价格上涨，销量减少；价格下降，销量增加 2. 两类经典模型 模型一：涨价型问题 设涨价$$x$$元：新售价=原售价$$+x$$；单件利润=(原售价$$+x$$)−进价；销量=原销量−单次涨价减少销量$$\times x$$。 模型二：降价型问题 设降价$$x$$元：新售价=原售价$$-x$$；单件利润=(原售价$$-x$$)−进价；销量=原销量+单次降价增加销量$$\times x$$。 3. 标准解题五步流程 ① 设未知数：一般设涨价/降价$$x$$元； ② 表示量：分别写出单件利润、销售数量的代数式； ③ 列函数：根据“总利润=单件利润×销量”列出二次函数； ④ 定范围：根据实际意义确定$$x$$取值范围（售价不为负、销量不为负）； ⑤ 求最值：开口向下，顶点处取最大值；若顶点横坐标不在取值范围内，则利用增减性取端点最值。 4. 关键注意点 利润问题二次函数永远开口向下（$$a<0$$），图象为开口向下的抛物线，存在最大值，无最小值；实际问题中$$x$$一般取非负数，部分题目要求售价、销量为整数。 二、基础+经典真题练习 （一）填空题 1. 一件商品进价20元，原售价30元，每天可卖100件，若每件涨价$$x$$元，则单件利润为________元。 2. 商品原价40元，每天卖200件，每降价1元多卖10件，若降价$$x$$元，则每日销量为________件。 （二）解答题（考试原题题型） 3. 某商店销售一种进价为20元的商品，售价为每件30元时，每天可卖出200件。市场调查发现：每件商品每涨价1元，每天销售量减少10件。设每件涨价$$x$$元，求每天的最大利润。 4. 某奶茶店一款饮品进价8元，售价15元，日均销量300杯。经统计，售价每降价1元，日均多卖50杯。设降价$$x$$元，求这款饮品的最大日利润。 5. 某文具销售进价为10元的笔记本，当售价为14元时，每月可售出200本。售价每提高1元，销量减少20本，求每月的最大销售利润。 三、参考答案与详细解析 1. 答案：$10+x$ 解析：单件利润=售价−进价，新售价$$30+x$$，利润$$(30+x)-20=10+x$$。 2. 答案：$200+10x$ 解析：降价销量增加，每降1元多10件，降价$$x$$元，多卖$$10x$$件，总销量$$200+10x$$。 3. 解析：设每件涨价$$x$$元，日利润为$$y$$元。 单件利润：$$30+x-20=10+x$$ 销售销量：$$200-10x$$ 列函数：$$y=(10+x)(200-10x)$$ 整理：$$y=-10x^2+100x+2000$$ $$a=-10<0$$，抛物线开口向下，顶点处取最大值。 顶点横坐标：$$x=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{100}{-20}=5$$ $$x=5$$在有效取值范围内，代入得：$$y_{max}=-10\times25+100\times5+2000=2250$$ 答：每件涨价5元时，每天最大利润为2250元。 4. 解析：设降价$$x$$元，日利润为$$y$$元。 单件利润：$$15-x-8=7-x$$ 销售销量：$$300+50x$$ 函数：$$y=(7-x)(300+50x)=-50x^2+50x+2100$$ 顶点横坐标：$$x=\dfrac{50}{100}=0.5$$ 最大利润：$$y_{max}=-50\times0.25+50\times0.5+2100=2112.5$$ 答：降价0.5元时，最大日利润为2112.5元。 5. 解析：设涨价$$x$$元，月利润为$$y$$元。 单件利润：$$14+x-10=4+x$$ 销售销量：$$200-20x$$ 函数：$$y=(4+x)(200-20x)=-20x^2+120x+800$$ 顶点：$$x=3$$，代入得$$y_{max}=-20\times9+120\times3+800=980$$ 答：每月最大利润为980元。 四、高频易错总结（扣分重点） 1. 公式混用：涨价销量减少、降价销量增加，极易写反，直接导致整题错误； 2. 忘记减进价：只算售价利润，忽略成本，单件利润列式错误； 3. 未化简函数：直接带入顶点公式计算，计算量大、极易算错； 4. 忽略实际范围：顶点超出取值范围时，不会用端点求最值； 5. 审题不清：看错“每涨/降1元对应销量变化数量”，数据代入错误。 掌握几何问题中的相等关系的寻找方法，并会应用函数解析式求图形面积的最值. 会应用二次函数的性质解决实际问题. 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，已知商品的进价为每件40元，则每星期销售额是 元，销售利润 元. 18000 6000 （1）销售额= 售价×销售量; （2）利润= 销售额-总成本=单件利润×销售量; （3）单件利润=售价-进价. 探究新知 利润问题中的数量关系 知识点 【数量关系】 3 例1 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映，若调整单价（单价为整数）：每涨价1元，则每星期要少卖出10件；每降价1元，则每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？最大利润是多少？ 如何定价利润最大 素养考点 1 探究新知 4 涨价销售 ①每件涨价x元，则每星期售出商品的利润y元，填空： 单件利润（元） 销售量（件） 每星期利润（元） 正常销售 涨价销售 20 300 20+x 300-10x y=(20+x)(300-10x) 建立函数解析式：y=(20+x)(300-10x), 即y=-10x2+100x+6000. 6000 探究新知 5 ②自变量x的取值范围如何确定？ 营销规律是价格上涨，销量下降，因此只要考虑销售量就可以，故300-10x ≥0，且x ≥0,因此自变量的取值范围是0 ≤x ≤30，x为整数. ③涨价多少元时，利润最大，最大利润是多少？ y=-10x2+100x+6000， 当 时,y=-10×52+100×5+6000=6250. 即定价65元时，最大利润是6250元. 探究新知 6 探究新知 例1 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映，若调整单价（单价为整数）：每涨价1元，则每星期要少卖出10件；每降价1元，则每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？最大利润是多少？ 7 降价销售 ①每件降价x元，则每星期售出商品的利润y元，填空： 单件利润（元） 销售量（件） 每星期利润（元） 正常销售 降价销售 20 300 20-x 300+20x y=(20-x)(300+20x) 建立函数解析式：y=(20-x)(300+20x)， 即y=-20x2+100x+6000. 6000 探究新知 即定价57.5元时，最大利润是6125. ②自变量x的取值范围如何确定？ 营销规律是价格下降，销量上升，因此只要考虑单件利润就可以，故20-x ≥0，且x ≥0,因此自变量的取值范围是0 ≤x ≤20. ③降价多少元时，利润最大，是多少？ 当 时, 即：y=-20x2+100x+6000， 由涨价销售和降价销售的讨论及现在的销售情况,你知道应该如何定价能使利润最大了吗? 探究新知 综合可知，应定价65元时，才能使利润最大. 例2 某网络玩具店引进一批进价为20元/件的玩具，如果以单价30元出售，那么一个月内售出180件，根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的下降，即销售单价每上涨1元，月销售量将相应减少10件，当销售单价为多少元时，该店能在一个月内获得最大利润？ ①每件商品的销售单价上涨x元，一个月内获取的商品总利润为y元，填空： 单件利润（元） 销售量（件） 每月利润（元） 正常销售 涨价销售 10 180 10+x 180-10x y=(10+x)(180-10x) 1800 建立函数解析式：y=(10+x)(180-10x), 即y=-10x2+80x+1800. 探究新知 营销规律是价格上涨，销量下降，因此只要考虑销售量就可以，故180-10x ≥0，因此自变量的取值范围是x ≤18. ③涨价多少元时，利润最大，最大利润是多少？ y=-10x2+80x+1800=-10(x-4)2+1960. 当x=4时，即销售单价为34元时，y取最大值1960元. 答：当销售单价为34元时，该店在一个月内能获得最 大利润1960元. ②自变量x的取值范围如何确定？ 探究新知 方法点拨 求解最大利润问题的一般步骤 （1）建立利润与价格之间的函数解析式： 运用“总利润=总售价-总成本”或“总利润=单件利润×销售量” （2）结合实际意义，确定自变量的取值范围； （3）在自变量的取值范围内确定最大利润： 可以利用配方法或公式法求出最大利润；也可以画出函数的简图，利用简图和性质求出. 探究新知 例3 某商店试销一种新商品，新商品的进价为30元/件，经过一段时间的试销发现，每月的销售量会因售价的调整而不同.令每月销售量为y件，售价为x元/件，每月的总利润为Q元. （1）当售价在40～50元时，每月销售量都为60件，则此时每月的总利润最多是多少元？ 解：由题意，得当40≤x≤50时， Q = 60(x－30)= 60x－1800. ∵ y = 60 > 0，Q随x的增大而增大， ∴当x最大= 50时，Q最大= 1200. 答：此时每月的总利润最多是1200元. 限定取值范围中如何确定最大利润 素养考点 2 探究新知 （2）当售价在50～70元时，每月销售量与售价的关系如图所示，则此时当该商品售价x是多少元时，该商店每月获利最大，最大利润是多少元？ 解：当50≤x≤70时， 设y与x函数解析式为y=kx+b, ∵线段过点(50，60)和(70，20). 50k+b=60, 70k+b=20, ∴ ∴ y =－2x +160（50≤x≤70）. 解得 k =－2, b = 160. 探究新知 ∴Q=(x－30)y =(x－30)(－2x + 160) =－2x2 + 220x－ 4800 =－2(x－55)2 +1250 (50≤x≤70). ∵a = －2＜0，图象开口向下， ∴当x = 55时，Q最大= 1250. ∴当售价在50～70元时，售价x是55元时，获利最大， 最大利润是1250元. 探究新知 解：∵当40≤x≤50时， Q最大= 1200＜1218. 当50≤x≤70时， Q最大= 1250＞1218. ∴售价x应在50~70元之间. 因此令－2(x－55)2 +1250=1218, 解得：x1=51，x2=59. 当x1=51时，y1=－2x+160=－2×51+160= 58(件), 当x2=59时，y2=－2x+160= －2×59+160= 42(件). ∴若4月份该商品销售后的总利润为1218元，则该商品售价为 51 元或59元，当月的销售量分别为58件或42件. （3）若4月份该商品销售后的总利润为1218元，则该商品售价与当月的销售量各是多少？ 探究新知 应用1 “每、每”问题 1. 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件.市场 调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件； 每降价1元，每星期可多卖出20件.已知商品的进价为每件40 元，据以上信息得出下列结论，其中错误的是( ) C A. 定价70元时，利润为6 000元 B. 定价56.5元时，利润为6 105元 C. 降价3元，能使所获利润最大 D. 涨价5元，能使所获利润最大 中考考法 17 【点拨】定价70元时，利润为 （元），故选项 A正确，不符合题意；定价56.5元时，利润为 （元），故 选项B正确，不符合题意；设每件降价元，利润为 元，则 ， 当 时，利润最大，故选项C错误，符合题意； 中考考法 18 设每件涨价元，利润为 元，则 ，当 时，利润最大，故选项D正确，不符合题意.故选C. 中考考法 应用2 销售问题与图象、表格相结合 2.某民族服饰店销售一款苗族 服饰，成本为50元/件，在销 售过程中发现销售量 （件） 与售价 （元/件，售价不低于 成本价）满足如图所示的一次 函数关系.物价部门规定：该服饰每件售价不得超过90元. 中考考法 20 （1）求与 之间的函数解析式. 中考考法 21 【解】设与之间的函数解析式为 ， 把，分别代入上式，得 解得 该服饰成本为50元/件,售价不低于成本价且每件售价不得 超过90元， . 与之间的函数解析式为 . 中考考法 （2）该服饰每件售价为多少元时，民族服饰店获得的利润 （元）最大？此时的最大利润为多少元？ 中考考法 23 由题意可得 当时，随 的增大而增大. ， 当时， 该服饰每件售价为90元时， 民族服饰店获得的利润 （元）最大，最大利润为2 400元. . ， 中考考法 24 3. 商场购进一批儿童智力玩具，调查发现该玩具的月销售 量（个）与销售单价 （元／个）之间满足一次函数关系， 销售单价（元/个）与月销售量（个）、月销售利润 （元） 的对应值如下： 销售单价 （元／个） 30 35 40 45 月销售量 个 230 180 130 月销售利润 元 2 300 2 700 2 600 2 000 中考考法 25 （1）直接写出与 的函数解析式. . 【点拨】设 . 由题意，得解得 与的函数解析式为 . 中考考法 26 （2）① ____，该商场购进玩具的价格为____元/个. 80 20 ②求与 的函数解析式，并求出当销售单价定为多少时，月 销售利润最大. 【解】由题意得 . , 当时,有最大值,为 当销售 单价定为36.5元/个时,月销售利润最大. 中考考法 27 最大利润问题 建立函数解析式 总利润=单件利润×销售量或总利润=总售价-总成本 确定自变量取值范围 涨价:要保证销售量≥0； 降价:要保证单件利润≥0 确定最大利润 利用配方法或公式求最大值或利用函数简图和性质求出 课堂小结 $