29.1.1　圆的有关概念（课件）2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦圆的有关概念，涵盖定义、弦、直径、弧等核心知识点。从生活实例导入，通过提问车轮形状等引发思考，结合动手画圆、测量距离等活动，引导学生从直观到抽象构建知识脉络。 其亮点在于以“数学眼光”观察生活现象，如分析车轮原理，通过探究活动培养“数学思维”，如证明直径是最长弦的推理过程，用“数学语言”规范表达概念与逻辑。采用情境导入和案例分析，帮助学生理解知识本质，提升推理能力，也为教师提供清晰教学流程和丰富实例。

29.1　圆的有关概念 29.1.1　圆的有关概念 人教版 九年级 数学（上） 第29章　圆 你能说出生活中的圆形实例吗?(至少三个) 新课导入 现实生活中，路上行驶的各种车辆都是圆形的轮子，为什么要把轮子做成圆形的？为什么不能做成三角形、四边形或椭圆形呢？ 3 圆有这样一个特性:圆心到圆周上任意一点的距离都是相等的，这个相等的距离，叫作半径.因此，人们把车轮做成圆形的，并使车轴通过圆心，当车轮在地面上滚动时，车轴离开地面的距离就总是等于车轮半径那么长，这样行驶起来才会平稳. 探究新知 1.圆是生活中常见的图形，你还能说出其他除课本上以外的圆形实例吗? 2.请同学们在草稿纸上画圆，体验圆的形成过程．大家画的圆的位置和大小一样吗？圆的位置和大小分别由什么决定？ 在一个平面内，线段 OA 绕它固定的一个端点 O 旋转一周，另一个端点 A 所形成的图形叫做圆. O A r 圆心 半径 其固定的端点 О 叫做圆心，线段 OA 叫做半径. 描述性定义 以点 O 为圆心的圆，记作 ⊙O，读作“圆 O”. 圆的表示方法： O A r 圆心 半径 注意：根据圆的定义，“圆” 指的是 “圆周”，而不是 “圆面”； 封闭曲线 3.动手量一量，圆上任意一点到圆心的距离相等吗？为什么？ O A r 圆上各点到定点（圆心 O ）的距离都等于定长（半径 r ）. O A r 到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上. 4.反过来，平面内到圆心的距离等于半径长的点都在圆上吗？ 圆心为 О、半径为 r 的圆可以看成是所有到定点 О 的距离等于定长 r 的点的集合 O A r 集合性定义 圆是一条封闭的曲线，而不是“圆面”，圆上的点”指的是“圆周上的点” 圆面 圆周 圆周上的点 注意： 如图,☉O的半径OA,OB分别交弦CD于点E,F,且CE=DF.求证:△OEF是等腰三角形. 分析：作辅助线构造△OCE和△ODF,然后证明两三角形全等,最后根据全等的性质得出结论. 案例分析 解：连接OC,OD, ∵CE=DF. ∴△OCE≌△ODF（SAS）, ∴OE=OF, ∴△OEF是等腰三角形. ∵OC=OD, ∴∠C=∠D, 战国时的《墨经》 就有“圆,一中同长也” 的记载.它的意思是圆 上各点到圆心的距离都 等于半径. 1.请测量图中OA，OB，OC的长度，并比较它们的大小 O C B A OAOBOC 2.如何判断点与圆的位置关系，需要比较什么？ 设O的半径为r，任意一点P到圆心的距离OP=d，则有 点P在圆外d>r; 点P在圆上d=r; 点P在圆内d<r. 案例分析 如图矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O.求证:A，B，C，D四个点在以点O为圆心的同一个圆上. D A B C O D A B C O 证明：∵ 四边形 ABCD 是矩形， ∴ AO = OC=，OB = OD =. ∴ OA = OC = OB = OD. ∴ A、B、C、D 在以 O 为圆心，以 OA 为半径的圆上. 对角线AC，BC相较于点O O A C B 弦: 连接圆上任意两点的线段（如图中的AC）叫做弦. 经过圆心的弦（如图中的AB）叫做直径． 1.弦和直径都是线段. 2.直径是弦,是经过圆心的特殊弦，是圆中最长的弦，但弦不一定是直径. 注意 O A B O A B 探索：圆中最长的弦是什么？为什么？ O A B C C D C D O A B C O A B C D O A B C D 【发现】直径是最长的弦 求证：直径是圆中最长的弦. 证明：如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，半径是r. CD是不同于AB的任意一条弦. 连接OC、OD， 则OA+OB=OC+OD=2r,即AB=OC+OD. 在△OCD中，OC+OD＞CD， 即直径是圆中最长的弦, 练一练 ∴AB＞CD. 圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆． C O A B 圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以 A、B 为端点的弧记作 　，读作“圆弧 AB”或“弧 AB”． AB 弧: 小于半圆的弧(如图中的 )叫做劣弧 AC 大于半圆的弧(用三个字母表示，如图中的　　 )叫做优弧 ABC C O A B 劣弧与优弧 在同圆或等圆中，能重合的弧叫等弧. 等圆: · C O A 能够重合的两个圆叫做等圆. · C O1 A 容易看出，等圆是两个半径相等的圆. 等弧: 在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧. 等弧仅仅存在于同圆或者等圆中. 【结论】等弧仅仅存在于同圆或者等圆中. 可见这两条弧不可能完全重合 实际上这两条弧弯曲程度不同 “等弧”要区别于“长度相等的弧” 如图，如果AB和CD的拉直长度都是10cm，平移并调整小圆的位置，是否能使这两条弧完全重合？ ︵ ︵ C 【想一想】长度相等的弧是等弧吗？ A B C D 如图. (1)请写出以点A为端点的优弧及劣弧; A B C E F D O 劣弧： 优弧： AF, ( AD, ( AC, ( AE. ( AFE, AFC, ADE, ADC. 练一练 (2)请写出以点A为端点的弦及直径； 弦AF,AB,AC.其中弦AB又是直径. (3)请任选一条弦，写出这条弦所对的弧. 答案不唯一，如：弦AF,它所对的弧是 和 . AF ( ABF ( A B C E F D O 知识归纳 1．在一个平面内，线段OP绕它固定的一个端点 O旋转一周，另一个端点P所形成的图形叫作圆．其固定的端点O叫作____，线段OP叫作____． 2．以点O为圆心的圆，记作____，读作“____” 圆心 半径 ⊙O 圆O 3．圆的新定义：圆心为O、半径为r的圆可以看成平面内所有到定点O的距离等于定长r的点的集合． 4．设⊙O的半径为r，任意一点P到圆心的距离OP＝d，则有：点P在圆外⇔______；点P在圆上⇔______；点P在圆内⇔______． d>r d＝r d<r 5．与圆有关的概念： (1)连接圆上任意两点的线段叫作____，如图，线段AC，AB； (2)经过圆心的弦叫作____，如图，线段AB； 弦 直径 (3)圆上任意两点间的部分叫作______，简称______，以A，B为端点的弧记作AB读作“圆弧AB”或“弧AB”．圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫作______，大于半圆的弧(用三个点表示，如图中的ABC)叫作______，小于半圆的弧(如图中的AC)叫作______． 圆弧 弧 半圆 优弧 劣弧 6．能够_____的两个圆叫作等圆．容易看出：同圆或等圆的半径相等；反过来，_____相等的两个圆是等圆．在同圆或等圆中，能够__________的弧叫作等弧． 重合 半径 互相重合 例 1 例题与练习 在四边形ABCD中，∠DAB＝∠DCB＝90°，则A，B，C，D四个点是否在同一个圆上？若在，说出圆心的位置，并画出这个圆． 解：A，B，C，D四个点在同一个圆上．连接BD，取BD的中点O，连接OA，OC. ∵∠DAB＝∠DCB＝90°， ∴OA＝OC＝BD， 即OA＝OB＝OC＝OD. ∴A，B，C，D四个点在以BD的中点为圆心，BD长的一半为半径的圆上 例 2 如图，以点O为圆心的圆记作____，圆中有____条直径，记作_____________；圆中有____条弦，记作弦__________________；圆中劣弧有____条，记作___________________； 圆中以点B为一个端点的优弧有 ____条，记作___________． ⊙O 2 直径AC，BD 4 AB，AD，AC，BD 4 2 AB，AD，DC，BC BCA,BAC 例 3 如图，在⊙O中，AB是直径，C，D，E三点分别在⊙O上，则： (1)OC____OD____OE； (2)AD____ACD，ACB____ADB； (3)弦CD所对的弧有__________． ＝ ＝ < ＝ DAC,DC 1.如何在操场上画一个半径是5m的圆?说出你的方案及理由. O A 5 m 找一个 5 米长的绳子，一端固定在地面上，另一端旋转一周，便出现了半径为 5 m 的圆. 因为圆是到定点等于定长的点的集合. 2.你见过树木的年轮吗?从树木的年轮，可以知道树木的年龄.把树干的横截面看成圆形，如果一棵20年树龄的树的树干直径是23cm，这棵树的半径平均每年增加多少? 解：已知树干横截面的直径d=23cm，树龄为20年。 树干现在的总半径：r===11.5cm 平均每年增加的半径：11.5=0.575cm 答：这棵树的半径平均每年增加0.575厘米。 3. ⊙O的半径为10，根据下列点P到圆心O的距离，判断点P和O的位置关系: (1) 8; (2) 10; (3) 12. 点P在⊙O内 点P在⊙O上 点P在⊙O外 4. △ABC中，C=90，求证:A，B，C三点在同一个圆上. A B C 证明：取斜边AB的中点，记作点O，连接OC。 ∵C=90°，O为Rt△ABC斜边AB中点，根据直角三角形斜边中线定理: 直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。 A B C O ∴OA=OB=OC=AB ∵点A、B、C到定点O的距离相等， ∴ A、B、C三点在以点O为圆心，OA为半径的同一个圆上。 圆的基本概念 圆的定义 描述性定义 集合性定义 与圆有关的概念 弦 直径 圆弧（弧） 半圆 等圆、等弧 优弧、劣弧 课堂小结 随堂检测 1.下列语句正确的有( ) ①直径是弦；②弦是直径；③半径相等的两个半圆是等弧；④长度相等的两条弧是等弧；⑤半圆是弧，弧不一定是半圆. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 C 2.下列语句中正确的有( ) ①相等的圆心角所对的弧相等； ②在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等； ③经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴. A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 C 3.已知：如图，在⊙O中，AB为弦，C、D两点在AB上，且AC=BD．求证：OC=OD． 证明：∵OA、OB为⊙O的半径， ∴OA=OB. ∴∠A=∠B. 又∵AC=BD， ∴△ACO≌△BDO.∴OC=OD. 作业布置 学生用书对应课时练习． Lavf57.83.100 $